Análise de Potência em Circuitos CA

Análise de circuitos CA Circuitos II Prof Armando L Keller Prof Jean Schmith Potência CA Potência instantânea Taxa na qual um elemento absorve ou fornece energia 𝒑 𝒕 𝒗 𝒕 𝒊 𝒕 𝑾 2 Potência CA 𝑝 𝑡 𝑉𝑚cos𝜔𝑡 𝜃𝑣 𝐼𝑚cos𝜔𝑡 𝜃𝑖 𝑊 𝑝 𝑡 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃𝑣 cos𝜔𝑡 𝜃𝑖 Identidade trigonométrica cos 𝐴 cos 𝐵 1 2 cos 𝐴 𝐵 cos 𝐴 𝐵 𝑝 𝑡 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡𝜃𝑣𝜔𝑡𝜃𝑖 cos 𝜔𝑡𝜃𝑣 𝜔𝑡𝜃𝑖 2 3 Potência CA 𝑝 𝑡 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣𝜃𝑖 cos 2𝜔𝑡𝜃𝑣𝜃𝑖 2 𝒑 𝒕 𝑽𝒎𝑰𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗𝜽𝒊 𝟐 𝐕𝐦𝐈𝐦 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝎𝒕𝜽𝒗𝜽𝒊 𝟐 Parte constante Parte senoidal 4 Potência CA v i p Potência CA A potência instantânea por variar com o tempo é difícil de ser medida logo é mais conveniente medir a potência média que é a média da potência média ao longo de um período 𝑃 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 7 Potência CA 𝑃 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑃 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 𝜃𝑖 2 𝑑𝑡 1 2 න 0 𝑇 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 2𝜔𝑡 𝜃𝑣 𝜃𝑖 2 𝑑𝑡 Constante A média de uma senoide ao longo de um período é nula 8 Potência CA 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 𝜃𝑖 2 A potência média é constante e depende apenas das amplitudes e da diferença entre as fases da tensão e da corrente 9 Potência CA 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 𝜃𝑖 2 Na forma fasorial 𝑉 𝐼 2 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 𝜃𝑣 𝜃𝑖 𝑉 𝐼 2 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑣 𝜃𝑖 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑣 𝜃𝑖 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 𝜃𝑖 2 𝑅𝑒 𝑉 𝐼 2 10 Potência CA Exemplo Determine a potência instantânea e a potência média absorvida por um circuito linear com tensão e corrente 𝑣 𝑡 120 cos 377𝑡 45 𝑉 𝑖 𝑡 10 cos 377𝑡 10 𝐴 11 Potência CA 𝑣 𝑡 120 cos 377𝑡 45 𝑉 12045 𝑉 𝑖 𝑡 10 cos 377𝑡 10 𝐴 10 10 𝐴 𝑉𝑚 120 𝐼𝑚 10 𝜃𝑣 45 𝜃𝑖 10 𝜔 377 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑝 𝑡 12010 cos 4510 cos 2377𝑡4510 2 𝑝 𝑡 600 cos 55 600 cos 754𝑡 35 𝑊 𝑝 𝑡 3442 600 cos 754𝑡 35 𝑊 𝑃 3442 𝑊 12 Valor RMS ou Eficaz O valor eficaz ou rms de uma corrente periódica é a corrente CC que libera a mesma potência média para um resistor que a corrente periódica Para um sinal periódico o valor eficaz é a raiz do valor médio quadrático rms 𝐹𝑅𝑀𝑆 𝐹𝐸𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Onde T Período de ft RMS Root Mean Square Valor RMS ou Eficaz Aplicando a uma fonte de tensão 𝑉𝑅𝑀𝑆 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑉𝑚2 cos2 𝜔𝑡 𝜙 𝑑𝑡 Considerando 𝑇 2𝜋 𝜔 temos que 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑉𝑚 2 de forma análoga temos que 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑚 2 assim temos que 𝑃𝑅𝑀𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑉𝑚 2 𝐼𝑚 2 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 Esta potência obtida pela multiplicação dos valores eficazes é chamada de potência aparente representada pela letra S com unidades em VA voltampères o que a difere da potência média 𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑉𝐴 Potência complexa A potência em circuitos de corrente alternada pode ser representada como 𝑆 𝑃 𝐽𝑄 ത𝑉 ഥ𝐼 2 𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 𝜙𝑣 𝜙𝑖 Onde S é a potência complexa medida em VA que representa a potência total do circuito A parte real de S representada por P é a potência média ou potência ativa do circuito sendo aquela que realmente exerce trabalho e é medida em W Potência complexa A parte imaginária da potência complexa representada por Q é a potência reativa uma potência que é demandada pelo circuito mas não é absorvida simplesmente fica circulando pelos condutores e demais elementos do circuito Esta é medida em Var voltampère reativo Potência complexa Esta potência complexa com suas componentes pode ser representada na forma de um triangulo conhecido como triangulo de potências 𝜃 atan 𝑄 𝑃 tan 𝜃 𝑄 𝑃 𝜃 𝜙𝑣 𝜙𝑖 Potência complexa O ângulo 𝜃 da potência complexa é chamado de ângulo do fator de potência E o fator de potência é dado como o cosseno deste ângulo e abreviado por fp 𝑓𝑝 cos𝜙𝑣 𝜙𝑖 cos𝜃 Potência complexa A representação em triangulo de potências permite que se utilize as relações trigonométricas para trabalhar com as potências Algumas das principais relações são 𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑃2 𝑄2 𝑃 𝑅𝑒 𝑆 𝑆cos𝜙𝑣 𝜙𝑖 𝑄 𝐼𝑚 𝑆 𝑆sen𝜙𝑣 𝜙𝑖 𝐹𝑃 𝑃 𝑆 cos𝜙𝑣 𝜙𝑖 𝑆 𝑉𝑟𝑚𝑠 2 𝑍 𝑍 𝐼𝑟𝑚𝑠 2 Fator de potência O termo cos𝜙𝑣 𝜙𝑖 que aparece na equação da potência média é chamado de fator de potência abreviado fp Este fator está diretamente relacionado a potência aparente S e a potência média P é adimensional e seu valor varia de 0 a 1 𝑓𝑝 𝑃 𝑆 cos 𝜙𝑣 𝜙𝑖 Fator de potência O ângulo 𝜙𝑣 𝜙𝑖 pode variar de 90 a 90 e nos dá informações sobre a impedância da carga caso o circuito seja mais indutivo ou com ângulo maior do que zero dizemos que possui fator de potência atrasado pois a corrente está atrasada em relação a tensão Caso o ângulo seja menor do que zero temos um circuito mais capacitivo ou com fator de potência adiantadocorrente adiantada em relação à tensão No caso em que o ângulo é nulo temos um circuito puramente resistivo Potência em circuitos em paralelo Grande parte das cargas AC são conectadas em paralelo como os equipamentos de uma residência e até diversas residências ligadas em uma linha de distribuição Potência em circuitos em paralelo Logo 𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼1𝑅𝑀𝑆 𝐼2𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑛𝑅𝑀𝑆 𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆1 𝑆2 𝑆𝑛 𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄1 𝑄2 𝑄𝑛 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2 Potência em circuitos em paralelo Exemplo Três cargas descritas abaixo estão conectadas em paralelo em uma linha de 6 𝑘𝑉𝑅𝑀𝑆 Encontre a potência complexa total do circuito 𝑃1 10 𝑘𝑊 𝐹𝑃1 1 𝑃2 20 𝑘𝑊 𝐹𝑃2 05𝑖𝑛𝑑 𝑃3 15 𝑘𝑊 𝐹𝑃3 06𝑖𝑛𝑑 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃1 𝑃2 𝑃3 45 𝑘𝑊 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄1 𝑄2 𝑄3 546 𝑘𝑉𝐴𝑟 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 45 𝑗546 𝑘𝑉𝐴 70754505 𝑘𝑉𝐴 Correção do fator de potência Para ajustar o fator de potência de um determinado circuito para um valor específico podese adicionar cargas reativas em paralelo para não haver queda de tensão com a carga Estas cargas reativas podem ser dimensionadas utilizando as relações trigonométricas com o triângulo de potências Correção do fator de potência tan 𝜃2 𝑄1 𝑄𝑐 𝑃 𝑄𝑐 𝑃 tan 𝜃2 𝑄1 𝑋𝑐 𝑉𝑟𝑚𝑠 2 𝑄𝑐 𝑋𝑐 𝑅2 𝑋2 𝑅 tan acos 𝐹𝑃 𝑋 Caso a tensão não seja conhecida mas a impedância ZRjX sim podese utilizar a seguinte equação Correção do fator de potência Exemplo Um determinado circuito alimentado por uma fonte de tensão de 220 𝑉𝑅𝑀𝑆 e frequência de 60 Hz consome uma potência ativa de 100 kW com um fator de potência de 063 indutivo e desejase corrigir o fator de potência para 095 indutivo Dimensione o componente a ser ligado em paralelo com o circuito para corrigir o fator de potência para o valor desejado e a redução na corrente exigida da fonte de tensão Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 Informações sobre 𝑍1 𝑉𝑅𝑀𝑆 220 𝑉 𝑃 100000 W 𝐹𝑃 cos 𝜃1 063𝑖𝑛𝑑 𝜃1 acos 𝐹𝑃 509498775 𝑆 𝑃 𝐹𝑃 100000 063 1587302 𝑉𝐴 𝑄1 𝑆 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 1232691 𝑉𝐴𝑟 Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 Informações sobre o fator de potência desejado 𝐹𝑃 cos 𝜃2 095𝑖𝑛𝑑 𝜃2 acos 𝐹𝑃 1819487 Com isso podemos calcular a potência reativa necessária para corrigir o fator de potência 𝑄𝑐 𝑃 tan 𝜃2 𝑄1 𝑄𝑐 100 103 tan 1819487 1232691 𝑄𝑐 90400689 𝑉𝐴𝑟 Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 Podemos dimensionar a reatância através da potência reativa e da tensão 𝑋𝑐 𝑉𝑅𝑀𝑆 2 𝑄𝐶 2202 90400689 053539414 Ω Como 𝑋𝑐 é uma reatância negativa tratase de um capacitor logo podemos encontrar a capacitância utilizando a equação da reatância capacitiva 𝑋𝑐 1 𝜔𝐶 𝜔 2𝜋𝑓 120𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 Com isto temos o valor da capacitância a ser ligada em paralelo com a carga para corrigir o fator de potência para 095𝑖𝑛𝑑 053539414 1 120𝜋𝐶 𝐶 1 120𝜋 053539414 49544 103 𝐹 495 𝑚𝐹 Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 Podemos verificar se a correção do fato de potência foi bem sucedida analisando a potência total fornecida pela fonte 𝑆𝑍1 100000 𝑗1232691 𝑉𝐴 15873 5095 𝑘𝑉𝐴 𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆 2 𝑍 𝑍1 2202 15730 5095 030492 5095 Ω Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍1 𝑍2 𝑍1 0304925095 Ω 𝑍2 𝑗𝑋𝐶 𝑗0535 053590Ω 𝑍𝑒𝑞 𝑍1𝑍2 04598918161 Ω 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍𝐸𝑄 𝑆𝑒𝑞 𝑉𝑅𝑀𝑆 2 𝑍 2202 04598918161 𝑆𝑒𝑞 10524018161 100000 𝑗32802 Correção do fator de potência 2200 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑍𝐸𝑄 𝑆𝑒𝑞 10524018161 100000 𝑗32802 𝐹𝑃 𝑃 𝑆 100000 105240 0950 Correção do fator de potência 𝑆𝑒𝑞 100000 𝑗32802 10524018161 𝑘𝑉𝐴 𝑆𝑍1 100000 𝑗1232691 158715095 𝑘𝑉𝐴 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑆 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼2 105240 220 47836 𝐴 𝐼1 158710 220 72140 𝐴 𝐼1 𝐼2 24304 𝐴 Redução de 3369 na corrente Correção do fator de potência Utilizando o outro método 𝑍1 030492 5095 01921 𝑗02368 Ω 𝑋𝑐 𝑅2 𝑋2 𝑅 tan acos 𝐹𝑃 𝑋 𝑋𝑐 019212 023682 01921 tan acos 095 02368 𝑋𝑐 0535395 Correção do fator de potência Como a reatância necessária para a correção do fator de potência é a mesma encontrada pelo método anterior o capacitor será o mesmo encontrado anteriormente Exercícios 1 A carga L1 do circuito abaixo absorve uma potência média de 8 kW com fator de potência de 08 capacitivo A carga L2 absorve 20 kVA com um fator de potência 06 indutivo a Determine o fator de potência das duas cargas em paralelo b Determine a potência aparente necessária para alimentar as cargas a magnitude da corrente ഥ𝐼𝑆 e a potência média dissipada na linha de transmissão c Adicione um capacitor em paralelo com as cargas para que o fator de potência seja unitário e recalcule os valores do item b R cos 𝜃 08944𝑖𝑛𝑑 𝑆 20𝑘 𝑗10𝑘 2236 𝑘𝑉𝐴 𝐼1 8944 𝐴 𝐶 4244 𝜇𝐹 𝑆2 𝑃 20 𝑘𝑉𝐴 𝐼2 80 𝐴 Exercícios 2 Determine o fasor 𝑉𝑠𝑅𝑀𝑆 para o circuito abaixo sabendo que as cargas Z1 e Z2 absorvem 15 kVA com FP 06𝑖𝑛𝑑 e 6 kVA com FP 08𝑐𝑎𝑝 respectivamente 𝑉𝑆 𝑍1 𝑍2 𝑗1 Ω 2000 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑅 𝑉𝑠 251641591 𝑉𝑅𝑀𝑆 Exercícios 3 Um televisor recebe o sinal da antena através de um cabo com impedância de 200 Ω onde 𝑉𝑠 4 cos 𝜔𝑡 𝑚𝑉 A frequência da estação de TV que está sendo sintonizada é de 52 MHz Determine a potência média fornecida ao aparelho a Se a impedância do parelho é 300 Ω e há apenas um aparelho ligado à antena b Se dois aparelhos iguais estão ligados em paralelo e a impedância de cada receptor é de 300 Ω c Se dois aparelhos iguais estão ligados em paralelo e a impedância Z é escolhida de tal forma que a potência transferida para cada receptor é a maior possível 𝑅 𝑎 96 𝑚𝑊 𝑏 48979 𝑚𝑊 𝑐 5 𝑚𝑊 Exercícios 4 Determine a potência instantânea e a potência média absorvida por um circuito linear com tensão e corrente 𝑣 𝑡 330 cos 10𝑡 20 𝑉 𝑖 𝑡 33 sen 10𝑡 60 𝐴 𝑝 𝑡 35 5445 cos 20𝑡 10 𝑘𝑊 𝑃 35 𝑘𝑊 41 Exercícios 5 Calcule a potência média absorvida por uma impedância 𝑍 30 𝑗70Ω quando uma tensão 𝑉 1200 𝑉 é aplicada sobre seus terminais 𝑃 3724 𝑊 42 Exercícios 6 Para o circuito abaixo determine a potência média absorvida pelo resistor 𝑃 25 𝑊 43