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28090 C = (−1/2, 1/2) x y \alpha = -5/4 Assíntota Questão 3 (3 pontos) Considere as retas r1, r2, r3, r4 dadas abaixo: r1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \end{cases} r2: \begin{cases} x = 2012 - 1000t \\ y = 2012 + 500t \end{cases} r3: x - 2y - 3 = 0, e r4 contém a mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A = (1,0), B = (0,1) e C = (2,5). Faça um esboço e complete o quadro abaixo com respeito à posição relativa destas retas duas a duas, usando CO para concorrentes, CI para coincidentes e P para paralelas. Justifique suas respostas. Posição r1 r2 P r1 r3 CO r1 r4 CO r2 r3 CO r2 r4 CO r3 r4 CO (1) Como r1, r2 têm vetores diretores paralelos \left( \begin{matrix} 2 \ 1 \end{matrix} \right) = - \frac{1}{500} \left( \begin{matrix} -1000 \ 500 \end{matrix} \right) e \left(1,2\right) \notin r1, então r1 \parallel r2 (2) Escrevendo r3 na forma paramétrica, obtemos \begin{cases} x = 2t + 3 \\ y = t \end{cases}, vemos que \left(2,1\right) é um vetor diretor para r3, logo, como \left(2,1\right) e \left(2,-1\right) não são paralelos, r1 e r3 são concorrentes. (3) O ponto médio de BC é P = (1,3), logo, r4 tem vetor diretor (1-1, 3-0) = (0,3) \therefore r1, r4 são concorrentes. \alpha = -5/4: A equação representa um par de retas concurrentes que se cruzam em (-1/2, 1/2) : 5(x + 1/2)^{2} - 10( y - 1/2)^{2} = 0 = ( x + 1/2)^2 -2( y - 1/2)^2 = 0\left(( x + 1/2) - \sqrt{2}( y - 1/2)\right)\left(( x + 1/2) + \sqrt{2}( y - 1/2)\right) = 0 \frac{x + 1/2}{y - 1/2} = \pm \sqrt{2}( y - 1/2 ) p/ \alpha > -5/4: \frac{-5/4 + \alpha}{5} > 0 A equação representa uma hipérbole de centro ( -{1/2} , \pm , \frac{\sqrt{ \frac{5/4 + \alpha}{10}}} \begin{pmatrix} a = \frac{\sqrt{5/4 + \alpha}}{5} c = \frac{3}{10}(5/4 + \alpha) \end{pmatrix} as assíntotas são \frac{y - 1/2}{x + 1/2} = \frac{\pm b}{a} = \pm \sqrt{2}\ p/ \alpha < -5/4: tom e β =\frac{-5/4 - \alpha}{5} > 0 ( -1000, 500) NÃO É PARALELO A (2, 1), LOGO, \(\;l_2,\l_3 SÃO CONCORRENTES. ( -1000, 500) \neq (0, 3) \cdots l_2 E l_4 SÃO CONCORRENTES. (2,1) \neq (0,3) \cdots l_3 ECONCORRENTES. l_3 \quad l_ 4 SÃO CONCORRENTES. E l_ 4 SÃO ESBOÇO l1 l3 l4 l2 \begin{gather} y \\ x \end{gather}