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Cursos Gerais ·
Geometria Euclidiana
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Lista de geometria 1 Sobre uma reta marque quatro pontos A B C e D em ordem da esquerda para a direita Determine a AB U BC b AB n BC c AC n BD d AB n CD e SAB n SBC f SAB n SAD g SCB n SBC e SAB U SBC 2 Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano E um conjunto de 4 retas do plano 2 Prove que se uma reta intercepta um lado de um triângulo e não passa por nenhum de seus vértices então ela intercepta também um dos outros dois lados 3 Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas Faça uma conjectura de qual será a resposta no caso de n retas 4 Mostre que não existe um exemplo de uma geometria com 6 pontos em que sejam válidos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos 5 Se C pertence a SAB e C A mostre que SAB SAC que BC SAB e que A BC Mostre por indução Sejam a1 a2 an b1 b2 bn números reais positivos e p 1 então i1 to n ai bip 1p i1 to n aip1p i1 to n bip 1p 1 A B C D a AB U BC A união entre os segmentos AB e BC é dada por todos os pontos que estão entre A e C ou seja AB U BC AC b AB n BC A interseção entre AB e BC é o conjunto dos pontos que pertencem a AB e BC Logo AB n BC B c AC n BD AC n BC é o conjunto dos pontos que pertencem à AC e BC logo AC n BC BC AC BC d AB n CD AB n CD conjunto dos pontos que pertencem a AB e CD logo AB n CD AB CD e SAB n SBC SBC A B C D f SAB n SAD SAB g SCB n SBC BC A B C D e SAB U SBC SAB 2 Quantos pontos pontos comuns a pelo menos das retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano É um conjunto de 4 retas do plano Solução Seja r1 r2 e r3 três retas distintas Seja Pij o ponto de intersecção entre os retas ri rj com ij e 1 2 3 Considere a seguinte tabela que contém os pontos de interseção entre as retas n r1 r2 r3 r1 P12 P13 r2 P21 P23 r3 P31 P32 Inicialmente de acordo com a tabela existem 9 possiveis pontos de interseção Observe que os elementos da diagonal são nulos pois uma reta não intercepta ela mesma Assim o número de interseção passa para 9 3 6 Agora note que os pontos Pij e Pji como os pontos P12 e P21 são os mesmos pois das retas distintas se interceptam um único ponto Logo o número de pontos de interseção é 3 62 3312 Suponha agora que r1 r2 r3 e r4 são 4 retas distintas Considere a seguinte tabela que contém os pontos de interseção entre as retas n r1 r2 r3 r4 r1 P12 P13 P14 r2 P21 P23 P24 r3 P31 P32 P34 r4 P41 P42 P43 Seguindo o mesmo raciocínio para o caso em que tínhamos 3 retas Inicialmente temos 16 pontos de interseções Mas os elementos da diagonal são nulos pois uma reta não intercepta ela mesma Logo o número de interseções passa ser 16 4 12 Ainda temos que os pontos Pij e Pji entre as retas ri e rj são os mesmo Então o número de interseções é 6 4412 122 Portanto para 3 retas distintas temos 3 pontos de interseções e para 4 retas distintas temos 6 pontos 3 Prove que se uma reta intercepta um lado de um triângub e não passa por nenhum de seus vértices então ela intercepta também um dos outros dois lados Prova Sejam um triângub ABC e r uma reta Se r intercepta o segmento AB então A está do lodo oposto a B em relação a reta r Por hipótese r não passa por c então c está do lodo de A ao de B Se C está do lodo de A então C está oposto a B em relaçõ à r e então a reta r intercepta BC Se c está do lodo de B então é contrário a A logo r intercepta AC Portanto r sempre intercepta um dos lados 4 Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas Faça uma conjectura no caso de n retas Solução i Caso para 5 retas Sejam r1r2r5 umes retas distintas Considere Pij o ponto de interseção dos retas ri e rj ij 125 Considere a tabela que contém os pontos de interseção n r1 r2 r3 r4 r5 r1 P12 P13 P14 P15 r2 P21 P23 P24 P25 r3 P31 P32 P34 P35 r4 P41 P42 P43 P45 r5 P51 P52 P53 P54 Inicialmente temos 25 pontos de interseção como a reto não pode interceptar eb mesmo reduzimos para 255 pontos ou seja 20 pontos Ainda temos que os pontos Pij e Pji são os mesmo considerando em relaçao as retas ri e rj Logo temos 10 pontos de interseção Observe 10 202 5512 ii Caso 6 retas Sejam r1r2r6 seis retas distintas Ambogamente temos inicialmente 36 pontos de interseçoes Como uma reta não intercepta ela mesma reduzimos para 366 30 pontos como os pontos Pij e Pji são os mesmos em relaçao as retas ri e rj Temos 302 6612 15 pontos de interseções iii caso n retas Seguindo mesmo raciocínio para n retas distintas temos nn1 2 pontos de interseções Ou seja duas retas podem ter nn12 pontos comuns num conjunto de n retas no plano 5 Mostre que não existe exemplo na geometria com 6 pontos em que sejam válidos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos Solução Axioma I1 Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem a reta e pontos que não pertencem à reta Axioma I2 Dado dois pontos distintos existe uma única reta que contém esses pontos Considere a reta r P1 P2 T por hipótese existe D1 e r tal que D1 P1 e D1 P2 Seja D1 outro ponto diferente de P1 P2 e D1 também por hipótese D4 r pois r já tem 3 pontos Então existe uma reta s P1 D4 T e que contém um ponto D3 com D3 P1 P2 D1 D2 Tomando D4 P1 P2 D1 D4 D3 segue por hipótese que D4 r pois as duas retas já tem três pontos Logo deve existir uma reta m P1 D4 p que contêm um terceiro ponto D5 Logo por construção D5 P1 e D5 D1 D5 D1 e D5 P2 pois r m D5 D4 e D5 D3 pois s m Contradição Pois D5 seria o oitavo ponto da geometria dado 6 Se C pertence a SAB e C A mostre que SAB SAC que BC SAB e que A BC Observação Usaremos a seguinte proposição para provar a questão Proposição a SAB SBA é a reta determinada por A e B b SAB SBA AB Prova Exercício Considere as semiretas SAB e SBA Sabemos que SAB SBA determinam uma reta m Por definição SAB é o conjunto dos pontos do segmento AB mais o pontos X tais que B encontrase entre A e X Se C SAB por hipótese existem três possibilidades i C B É imediato Pois como C B então SAB SAC B SAB e A BC ii Se B está entre A e C ABc Por definição de semireta SAB SAC ainda temos BC SBC SCA Logo BC SAB e como A SBC então A BC iii C está entre A e B Acb Por definição de semireta SAC SAB Ainda temos BC SAB e como A SBC então A BC Mostre por indução sejam a1a2anb1b2bn números reais positivos e p 1 então i1n ai bip1p i1n aip1p i1n bip1p Prova Provaremos por indução sobre p Se p 1 então i1n ai bi111 i1n ai bi i1n ai i1n bi i1n ai111 i1n bi111 Logo para p 1 a desigualdade é válida Hipótese de indução Suponha que para p k1 k 1 vale i1n ai bik11k1 i1n aik11k1 i1n bik11k1 Σi1 to n ai bik1k1 Σi1 to n aik11k1 Σi1 to n bik11k1 Então a desigualdade também vale para k Observe que Σi1 to n ai bik Σi1 to n ai ai bik1 Σi1 to n bi ai bik1 Temos Σi1 to n ai ai bik1 Σi1 to n aik1k Σi1 to n ai biqk11q Σi1 to n bi ai bik1 Σi1 to n bik1k Σi1 to n ai biqk11q Deste modo também temos Σi1 to n ai bik Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k Σi1 to n ai biqk11q Note que qk1 k Logo Σi1 to n ai bik11q Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k ou seja Σi1 to n ai bik1k Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k Portanto para p 1 Σi1 to n ai bip1p Σi1 to n aip1p Σi1 to n bip1p
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Lista de geometria 1 Sobre uma reta marque quatro pontos A B C e D em ordem da esquerda para a direita Determine a AB U BC b AB n BC c AC n BD d AB n CD e SAB n SBC f SAB n SAD g SCB n SBC e SAB U SBC 2 Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano E um conjunto de 4 retas do plano 2 Prove que se uma reta intercepta um lado de um triângulo e não passa por nenhum de seus vértices então ela intercepta também um dos outros dois lados 3 Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas Faça uma conjectura de qual será a resposta no caso de n retas 4 Mostre que não existe um exemplo de uma geometria com 6 pontos em que sejam válidos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos 5 Se C pertence a SAB e C A mostre que SAB SAC que BC SAB e que A BC Mostre por indução Sejam a1 a2 an b1 b2 bn números reais positivos e p 1 então i1 to n ai bip 1p i1 to n aip1p i1 to n bip 1p 1 A B C D a AB U BC A união entre os segmentos AB e BC é dada por todos os pontos que estão entre A e C ou seja AB U BC AC b AB n BC A interseção entre AB e BC é o conjunto dos pontos que pertencem a AB e BC Logo AB n BC B c AC n BD AC n BC é o conjunto dos pontos que pertencem à AC e BC logo AC n BC BC AC BC d AB n CD AB n CD conjunto dos pontos que pertencem a AB e CD logo AB n CD AB CD e SAB n SBC SBC A B C D f SAB n SAD SAB g SCB n SBC BC A B C D e SAB U SBC SAB 2 Quantos pontos pontos comuns a pelo menos das retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano É um conjunto de 4 retas do plano Solução Seja r1 r2 e r3 três retas distintas Seja Pij o ponto de intersecção entre os retas ri rj com ij e 1 2 3 Considere a seguinte tabela que contém os pontos de interseção entre as retas n r1 r2 r3 r1 P12 P13 r2 P21 P23 r3 P31 P32 Inicialmente de acordo com a tabela existem 9 possiveis pontos de interseção Observe que os elementos da diagonal são nulos pois uma reta não intercepta ela mesma Assim o número de interseção passa para 9 3 6 Agora note que os pontos Pij e Pji como os pontos P12 e P21 são os mesmos pois das retas distintas se interceptam um único ponto Logo o número de pontos de interseção é 3 62 3312 Suponha agora que r1 r2 r3 e r4 são 4 retas distintas Considere a seguinte tabela que contém os pontos de interseção entre as retas n r1 r2 r3 r4 r1 P12 P13 P14 r2 P21 P23 P24 r3 P31 P32 P34 r4 P41 P42 P43 Seguindo o mesmo raciocínio para o caso em que tínhamos 3 retas Inicialmente temos 16 pontos de interseções Mas os elementos da diagonal são nulos pois uma reta não intercepta ela mesma Logo o número de interseções passa ser 16 4 12 Ainda temos que os pontos Pij e Pji entre as retas ri e rj são os mesmo Então o número de interseções é 6 4412 122 Portanto para 3 retas distintas temos 3 pontos de interseções e para 4 retas distintas temos 6 pontos 3 Prove que se uma reta intercepta um lado de um triângub e não passa por nenhum de seus vértices então ela intercepta também um dos outros dois lados Prova Sejam um triângub ABC e r uma reta Se r intercepta o segmento AB então A está do lodo oposto a B em relação a reta r Por hipótese r não passa por c então c está do lodo de A ao de B Se C está do lodo de A então C está oposto a B em relaçõ à r e então a reta r intercepta BC Se c está do lodo de B então é contrário a A logo r intercepta AC Portanto r sempre intercepta um dos lados 4 Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas Faça uma conjectura no caso de n retas Solução i Caso para 5 retas Sejam r1r2r5 umes retas distintas Considere Pij o ponto de interseção dos retas ri e rj ij 125 Considere a tabela que contém os pontos de interseção n r1 r2 r3 r4 r5 r1 P12 P13 P14 P15 r2 P21 P23 P24 P25 r3 P31 P32 P34 P35 r4 P41 P42 P43 P45 r5 P51 P52 P53 P54 Inicialmente temos 25 pontos de interseção como a reto não pode interceptar eb mesmo reduzimos para 255 pontos ou seja 20 pontos Ainda temos que os pontos Pij e Pji são os mesmo considerando em relaçao as retas ri e rj Logo temos 10 pontos de interseção Observe 10 202 5512 ii Caso 6 retas Sejam r1r2r6 seis retas distintas Ambogamente temos inicialmente 36 pontos de interseçoes Como uma reta não intercepta ela mesma reduzimos para 366 30 pontos como os pontos Pij e Pji são os mesmos em relaçao as retas ri e rj Temos 302 6612 15 pontos de interseções iii caso n retas Seguindo mesmo raciocínio para n retas distintas temos nn1 2 pontos de interseções Ou seja duas retas podem ter nn12 pontos comuns num conjunto de n retas no plano 5 Mostre que não existe exemplo na geometria com 6 pontos em que sejam válidos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos Solução Axioma I1 Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem a reta e pontos que não pertencem à reta Axioma I2 Dado dois pontos distintos existe uma única reta que contém esses pontos Considere a reta r P1 P2 T por hipótese existe D1 e r tal que D1 P1 e D1 P2 Seja D1 outro ponto diferente de P1 P2 e D1 também por hipótese D4 r pois r já tem 3 pontos Então existe uma reta s P1 D4 T e que contém um ponto D3 com D3 P1 P2 D1 D2 Tomando D4 P1 P2 D1 D4 D3 segue por hipótese que D4 r pois as duas retas já tem três pontos Logo deve existir uma reta m P1 D4 p que contêm um terceiro ponto D5 Logo por construção D5 P1 e D5 D1 D5 D1 e D5 P2 pois r m D5 D4 e D5 D3 pois s m Contradição Pois D5 seria o oitavo ponto da geometria dado 6 Se C pertence a SAB e C A mostre que SAB SAC que BC SAB e que A BC Observação Usaremos a seguinte proposição para provar a questão Proposição a SAB SBA é a reta determinada por A e B b SAB SBA AB Prova Exercício Considere as semiretas SAB e SBA Sabemos que SAB SBA determinam uma reta m Por definição SAB é o conjunto dos pontos do segmento AB mais o pontos X tais que B encontrase entre A e X Se C SAB por hipótese existem três possibilidades i C B É imediato Pois como C B então SAB SAC B SAB e A BC ii Se B está entre A e C ABc Por definição de semireta SAB SAC ainda temos BC SBC SCA Logo BC SAB e como A SBC então A BC iii C está entre A e B Acb Por definição de semireta SAC SAB Ainda temos BC SAB e como A SBC então A BC Mostre por indução sejam a1a2anb1b2bn números reais positivos e p 1 então i1n ai bip1p i1n aip1p i1n bip1p Prova Provaremos por indução sobre p Se p 1 então i1n ai bi111 i1n ai bi i1n ai i1n bi i1n ai111 i1n bi111 Logo para p 1 a desigualdade é válida Hipótese de indução Suponha que para p k1 k 1 vale i1n ai bik11k1 i1n aik11k1 i1n bik11k1 Σi1 to n ai bik1k1 Σi1 to n aik11k1 Σi1 to n bik11k1 Então a desigualdade também vale para k Observe que Σi1 to n ai bik Σi1 to n ai ai bik1 Σi1 to n bi ai bik1 Temos Σi1 to n ai ai bik1 Σi1 to n aik1k Σi1 to n ai biqk11q Σi1 to n bi ai bik1 Σi1 to n bik1k Σi1 to n ai biqk11q Deste modo também temos Σi1 to n ai bik Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k Σi1 to n ai biqk11q Note que qk1 k Logo Σi1 to n ai bik11q Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k ou seja Σi1 to n ai bik1k Σi1 to n aik1k Σi1 to n bik1k Portanto para p 1 Σi1 to n ai bip1p Σi1 to n aip1p Σi1 to n bip1p