Distancias Resumo

Distâncias - Resumo\n\nI.1 Distância de um ponto a uma reta\nP - ponto no espaço\nr - reta determinada pelo ponto Q e vetor direto\n\n dist(P, r) = ||QP × v|| / ||v||\n\nI.2 Distância de um ponto a um plano\nπ - Plano determinado pelo ponto Q e pelo vetor normal N.\nP - ponto no espaço\n\n dist(P, π) = |QP · N| / ||N||\n\nObs:\nSe u e v são dois vetores diretores do π, então N = u × v. I.3 Distância de uma reta a um plano\n\nA distância de r a π é igual à distância de um ponto de r a π\n\ndist(r, π) = dist(P, π)\n\nObs:\n(i) Para calcular dist(r, π) = dist(P, π), precisamos encontrar o vetor normal a π.\n\n(ii) Se π é definido pela equação ax + by + cz + d = 0 ⇒ N = (a, b, c)\n\n(iii) Para o cálculo da distância dist(r, π), não precisamos do vetor diretor da reta r.\n\n(iv) Lembre-se: r e π são paralelos quando N · w = 0. I.4 Distância entre duas retas\n\nSe r e s são concorrentes (i.e., interceptam-se em P), então dist(r, s) = 0.\n\nSe r e s são paralelas, então dist(r, s) = dist(P, r) = dist(Q, s).\n\nObs: (A) A distância de um ponto P à reta r coincide com a distância de um ponto Q à retas (P - ponto de S e Q - ponto de r)\n(B) Aplica I.1 (página 1) Retas r e s são reversas\n\nCálculo de distância :\n\nPasso (i) Cálculo o vetor \\vec{N} = \\vec{u} \\times \\vec{v}\n\nPasso (ii) Para um ponto P de r s cálculo o vetor \\vec{QP}\n\nPasso (iii)\ndist (r_1,s) = \\frac{|\\vec{QP} \\cdot \\vec{N}|}{||\\vec{N}||}\n\nObs:\n(i) No caso de r e s serem reversas, o cálculo da distância é feito de modo análogo a I.2 (página 1) e a I.4 (página 2)\n\n(ii) O vetor \\vec{N} = (a,b,c) perpendicular à r e s, determina um plano \\Pi: a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0.\n\nLogo \\{\\vec{QP} \\cdot \\vec{N} = a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0)\\}\n\n(iii) A distância entre duas retas reversas coincide com a distância de um ponto a um plano \\Pi cujos vetores diretores \\vec{u_1} e \\vec{u_2} são vetores diretores de r (vetor \\vec{u}) e s (vetor \\vec{v}) De um ponto P a um plano \\Pi -\n\n\\text{dist}(P,\\Pi) = ||proj_{\\vec{N}} \\vec{QP}||\n\nonde \\vec{N} vetor normal a \\Pi e \\vec{Q} \\in \\Pi\n\nDe um ponto P a uma reta r -\n\n\\text{dist}(P,r) = ||\\vec{RQ} \\times \\vec{v}||\n\nonde \\vec{Q} \\in r e \\vec{v} vetor diretor de r.\n\nDistância entre os planos \\Pi_1 e \\Pi_2\n\n\\text{dist}(\\Pi_1,\\Pi_2) = 0 se \\Pi_1 = \\Pi_2 \\text{ (não são paralelas)}\n\n\\text{dist}(\\Pi_1,\\Pi_2) = \\text{dist}(P_1,P_2)\n\nP_1 ponto \\Pi_1\nP_2 ponto \\Pi_2\n\nDistância entre as retas r_1 e r_2: \\text{dist}(r_1,r_2) = \\text{dist}(P_1,P_2)\n\nN não são paralelas:\n\n\\vec{N} = \\vec{v_1} \\times \\vec{v_2} \\text{ vetor normal ao plano } \\Pi_1\\text{, } \\vec{v_2} \\text{direto}.\n\n\\text{dist}(s_1,s_2) = \\text{dist}(P_1,P_1)\n\n= \\text{dist}(P_1,P)