Lista 5 - Cálculo 1 2022-1

Lista de Exercícios 5 MA111 turmas I e J 1S 2022 Exercício 1. Encontre a derivada da seguinte função g(X) = \int_{e^x}^{0} \sin^3 t dt Exercício 2. A seguinte integral \pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx representa o volume de um sólido. Que sólido é este? Exercício 1. Encontre a derivada da seguinte função g(X) = \int_{e^x}^{0} \sin^3 t dt Utilizando a primeira forma do teorema fundamental do cálculo, temos que se A(x) = \int_{q(x)}^{p(x)} f(t)dt, então \frac{dA}{dx} = f(p(x)) \cdot \frac{dp(x)}{dx} - f(q(x)) \cdot \frac{dq(x)}{dx}. Ou seja, sendo p(x)=0, q(x)=e^x e f(t)=\sin^3 t, então, utilizando a primeira forma do teorema fundamental do cálculo, temos \frac{dg(x)}{dx} = \sin^3(0) \cdot 0 - \sin^3(e^x) \cdot e^x \Rightarrow \frac{dg(x)}{dx} = -\sin^3(e^x) e^x Exercício 2. A seguinte integral \pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx representa o volume de um sólido. Que sólido é este? Calculando a integral, temos \pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx, sabendo que \cos^2 x = \frac{1+ \cos 2x}{2}, temos \Rightarrow \pi \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 + \cos 2x) dx = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} \right] = \frac{\pi^2}{4} Podemos determinar de que sólido esse volume pertence. A função área a ser rotacionada é A(x) = \pi \left(f(x) - eixo \right)^2, num caso, f(x) = \cos x e o eixo é o eixo x, ou seja, y = 0. Então temos que o sólido S é obtido rotacionando a curva de f(x) = \cos x sobre o eixo x, no intervalo [0, \pi/2].