Lista Cap 6 Plano

Problemas propostos\nOs Problemas 1 a 48 estão de acordo com a ordem do texto, e os demais se constituem ótimo reforço.\n1. Seja o plano\nπ: 3x + y - z - 4 = 0\nCalcular:\n\na) o ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3;\nb) o ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2;\nc) o valor de k para que o ponto P(k, 2, k - 1) pertença a π;\nd) o ponto de abscissa 2 cuja ordenada é o dobro da cota;\ne) o valor de k para que o plano π_k: kx - 4y + 4z - 7 = 0 seja paralelo a π.\n\nNos Problemas 2 a 4, determinar uma equação geral do plano.\n2. Paralelo ao plano π: 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4, -2, 1).\n3. Perpendicular à reta\n\nt = 2 + 2t\nr: y = 1 - 3t\nz = 4t\ne que contenha o ponto A(-1, 2, 3).\n4. Que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1) e é perpendicular a ele.\n5. Dada a equação geral do plano π: 3x - 2y - z - 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π.\n6. Sendo\nx = 1 + h - 2t\ny = 1 - t\nz = 4 + 2h - 2t\nequações paramétricas de um plano π, obter uma equação geral.\n\nNos Problemas 7 a 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:\n7. A(1, 0, 2), B(-1, 2, -1) e C(1, 1, -1).\n8. A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(-1, 1, 1).\n9. A(2, 0, -1), B(-2, 6, 3) e C(0, 3, 4). 10. A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).\n11. A(2, 1, 3), B(-3, -1, -3) e C(4, 2, 3).\n12. Determinar o valor de α para que os pontos A(α, 1, 9), B(2, 3, 4), C(-4, -1, 6) e D(0, 2, 4) sejam coplanares.\n\nNos Problemas 13 a 18, determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:\n13. O plano passa por A(2, 0, -2) e é paralelo aos vetores u = i - j + k e v = 2i + 3j.\n14. O plano passa pelos pontos A(-3, -1, -2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo à reta\nr_1: x/2 = -2/-3, y = 4.\n15. O plano contém os pontos A(1, -2, 2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano π: 2x + y - 2 + 8 = 0.\n16. O plano contém os pontos A(2, 1, 2) e B(1, -1, 4) e é perpendicular ao plano xOy.\n17. O plano contém a reta\n\n{x = 2 + t\ny = 1 - t\nz = 3 + 2t}\ne é perpendicular ao plano π: 2x + 2y - 3z = 0.\n18. O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos π_1: 2x + y - 3z = 0 e π_2: x + y - 2z - 3 = 0. 22. \\[ \\begin{cases} x = z \\\\ y = -3 \end{cases} \\quad \\text{e} \\quad \\begin{cases} x = t \\\\ y = 2 - t \\\\ z = 3 + 2t \end{cases} \\] 23. A(4, 3, 2) \\quad 24. A(1, -1, 2) \\quad e \\quad o \\quad eixo \\quad dos \\quad z \\quad 25. paralelo \\quad ao \\quad eixo \\quad z \\quad e \\quad que \\quad contenha \\quad os \\quad pontos \\quad A(0, 3, 4) \\quad e \\quad B(2, 0, -2). \\quad 26. paralelo \\quad ao \\quad eixo \\quad x \\quad e \\quad que \\quad contenha \\quad os \\quad pontos \\quad A(-2, 0, 2) \\quad e \\quad B(0, -2, 1). \\quad 27. paralelo \\quad ao \\quad eixo \\quad y \\quad e \\quad que \\quad contenha \\quad os \\quad pontos \\quad A(2, 3, 0) \\quad e \\quad B(0, 4, 1). \\quad 28. paralelo \\quad ao \\quad plano \\quad xOy \\quad e \\quad contenha \\quad o \\quad ponto \\quad A(5, -2, -3). \\quad 29. perpendicular \\quad ao \\quad eixo \\quad y \\quad e \\quad que \\quad contenha \\quad o \\quad ponto \\quad A(3, 4, -1). \\quad 30. que \\quad contenha \\quad o \\quad ponto \\quad A(1, -2, 1) \\quad e \\quad o \\quad eixo \\quad x. 31. Representar \\quad graficamente \\quad os \\quad planos \\quad de \\quad equações: \\text{a)} \\quad 3x + 4y + 2z = 12 = 0 \\quad \\text{b) } 6x + 4y - 3z = 12 = 0 \\quad \\text{c) } x + y + z = 0 = 0 \\quad \\text{d) } 2x + 3y = 12 = 0 \\quad \\text{e) } 3y + 4z = 12 = 0 \\quad \\text{f) } 2z - 5 = 0 \\quad \\text{g) } y + 4 = 0 \\quad \\text{h) } 2x = 0 \\] 32. Determinar \\quad o \\quad ângulo \\quad entre \\quad os \\quad seguintes \\quad planos: \\text{a)} \\quad \\pi_1: x - 2y + 2z = 6 = 0 \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: 2x - y - z + 3 = 0 \\quad \\text{b)} \\quad \\pi_1: x - y + 4 = 0 \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: 2x - y - z = 0 \\quad \\text{c)} \\quad \\pi_1: x + 2y = 6 = 0 \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: y = 0 \\quad \\text{d)} \\quad \\pi_1: x = 1 + t \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: y = h + 2t \\quad z = h \\quad 33. Determinar \\quad o \\quad valor \\quad de \\quad m \\quad para \\quad que \\quad seja \\quad 30^\\circ \\quad o \\quad ângulo \\quad entre \\quad os \\quad planos \\quad \\pi_1: x + my + 2z - 7 = 0 \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: 4x + 5y + 3z + 2 = 0 \\quad 34. Determinar \\quad m \\quad de \\quad modo \\quad que \\quad os \\quad planos \\quad \\pi_1 \\quad e \\quad \\pi_2 \\quad sejam \\quad perpendiculares: \\quad \\pi_1: mx + y - 3z - 1 = 0 \\quad \\text{e} \\quad \\pi_2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0 \\quad 35. Dados \\quad a \\quad reta \\quad r \\quad e \\quad o \\quad plano \\quad \\pi, \\quad determinar \\quad o \\quad valor \\quad de \\quad m \\quad para \\quad que \\quad se \\quad tenha \\quad \\frac{r}{\\perp} \\quad e \\quad \\frac{n}{\\perp} \\quad \\text{nos \\quad casos}: \\text{a)} \\quad \\begin{cases} r: x = -3 + t \\quad y = -1 + 2t \\quad z = 4t \\end{cases} \\quad \\text{e} \\quad \\pi: mx - y - 2z - 3 = 0 \\quad \\text{b)} \\quad \\begin{cases} (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, m, -1) \\end{cases} \\quad \\text{e} \\quad \\begin{cases} r: 3x + 2y + mz = 0 \\end{cases} \\quad 36. Verificar \\quad se \\quad a \\quad reta \\quad r \\quad está \\quad contida \\quad no \\quad plano \\quad \\pi: \\text{a)} \\quad \\begin{cases} y = 4x - 1 \\quad \\text{e} \\quad z = 2x - 1 \\end{cases} \\quad \\text{e} \\quad \\pi: 2x - y - 3z - 4 = 0 \\quad \\text{b)} \\quad \\text{r:} \\begin{cases} x = h + t \\quad y = -1 + 2h - 3t \\quad z = -3 + h - 3t \\end{cases}\\] 2x - 3y - z - 13 = 0\n2x - 3y + 4z - 4 = 0\n4x + 4y + 2z + 3 = 0\nUm deles é: x = t, y = h, z = -6 + 3h - 2t. Existem infinitos. 3x + 6y + 2z - 7 = 0\n{x = 1 - 2h\ny = 2h + t\nz = 2 - 3h - 3t} 2x + 3y - z = 0\n{x = h - t\ny = h + t\nz = 5h + t}