Lista Cp 5 Reta

Problemas propostos\n\n1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(-1, -1, 2) e verificar se os pontos C(5/2, -4.5) e D(-1, 3, 4) pertencem à r.\n\n2. Dada a reta r:(x, y, z) = (-1, 2, 3) + t(2, -3, 0), escrever equações paramétricas de r.\n\n3. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e é paralela à reta r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1)\n\n4. Dada a reta\n { x=2+t\n r: y=3-1, determinar o ponto de r tal que\n z=4+2t\n\na) a ordenada seja 6;\nb) a abscissa seja igual a ordenada;\nc) a cota seja o quádruplo da abscissa.\n\n5. A reta r passa pelo ponto A(-4, -3, -2) e é paralela à reta\n { x=1+3t\n y=2-4t\n z=3-t\n\nSe P(m, n, -5) ∈ r, determinar m e n.\n\n6. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:\n a) A(1, -1, -2) e B(2, 1, 0)\n b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2)\n c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2)\n d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0)\n\n7. Com base na Figura 5.14, escrever equações da reta por\n a) A e B\n b) C e D\n c) A e D\n f) B e C\n\nFigura 5.14\n119 8. O ponto P(m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Determinar P.\n\n9. Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio de lado AB e pelo vértice oposto C.\n\n10. Os pontos M(2, -1, 3), M1(1, -3, 0) e M2(1, -5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1.\n\n11. Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 3) e C(3, -1, -1). Obter equações paramétricas dos lados AB, AC e BC, e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B.\n\n12. Verificar se os pontos P(5, -5, 6) e P(4, -1, 12) pertencem à reta\n { x=3 - y+1\n z= -2\n -1 -2\n\n13. Determinar o ponto da reta r: x - y + 3 = 0 que possui\n a) abscissa 5;\nb) ordenada 2.\n\n14. Obter o ponto de abscissa 1 da reta r:\n 2x + 1 = 3y - z e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2.\n\n15. Obter equações reduzidas na variável x, da reta\n a1) que passa por A(4, 0, -3) e tem a direção de v=(2, 4, 5);\n b1) pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(3, -1, -1);\n c) pelos pontos A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3);\n d) dada por { x=2-t\n y=3t\n z=4t-5.\n\n16. Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, 1).\n\n17. Na reta r: { y=2x + 3\n z=x - 1 }, determinar o ponto de\n a) ordenada igual a 9;\nb) abscissa igual ao dobro da cota;\nc) ordenada igual ao triplo da cota.\n\n120 23. Sabendo que as retas r₁ e r₂ são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:\n\na) x=2m−3\n y=4t\n z=−4t\n\n r₁: y=mx+3\n z=x−1\n r₂: x=2y−1\n z=y+4\n\nb) r₁: reta por A(1, 0, m) e B(−2, 2m, 2m)\n\n24. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r₁ e r₂, nos casos:\n\na) A(3, 2, −1), r₁: x=3\n y−1\n z=−2x+3\n x=3t\n\nb) A(0, 0, 0), x=y+2−3\n y=1\n z=2\n r₂: x=3t\n y=t+1\n z=2\n\nc) A é a interseção de r₁ e r₂.\n\n25. Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r₁ e r₂:\n\na) r₁: y=−2x−3\n z=−x+5\n\n r₂: x=−1+t\n y=4−t\n z=2+x\n\nb) x=−3−t\n y=1+7h\n z=−1+13h\n e r₂: (x, y, z)=(2,4,1)+(1,−2,3) e r₂: (x,y,z)=(−1,2,5)+(4,3,−2)\n\nc) x=2+t\n r₁: y=4−t\n z=−t\n 18. Representar graficamente as retas de equações\n\na) x=1−t\n y=1+t\n z=2+t\n\nb) y=−x\n z=3+x\n\nc) x=y\n z=2x\n\nd) y=2x\n z=3\n z=−1\n\ne) y=4\n z=2x\n\nf) x=3\n\ng) y=−4\n z=2x\n\nh) x=−3\n z=3\n\n19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa\npor\n\na) A(3,−2,−4) e é paralela ao eixo x;\n\nb) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz;\n\nc) A(−3, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos x e y;\n\nd) A(4,−1, 3) e tem a direção de 3i−2j;\n\ne) A(3, 1, 3) e B(3, 3, 4).\n\n20. Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4,−5, 3) e são, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz.\n\n21. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:\n\nr₁: x=−2−t\n r₂: x=3−2t\n\n22. Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas\n\na) r₁: x=−2−y\n y=5\n z=2x\n\nb) r₂: y=n x−1\n z=2x−2\n\nc) r₃: eixo Oy\n 26. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:\n\na) r₁: y=2x−5\n r₂: x=−x+2\n z=−5−y+m=z+1\n\nb) r₁: x−1=t\n z=2t−2\n x=−1−t\n y=4−t\n z=8+3t\n\n27. Dadas as retas\n\nr₁: x−1\n y=z=3 e r₂: x=t\n y=1+t\n z=2+2t\n\n28. Determinar na reta r:\n (x=2+t, y=2, z=3+2t)\n que\n\ndistam 6 unidades do ponto A(2, 1, 3);\n\ndistam 2 unidades do ponto B(1, −1, 3).\n\n29. Determinar os pontos da reta\n\nr: x=2+t,\n y=1+2t,\n z=3+2t\n Dado o ponto A(3, 4, -2) e a reta\n\nx = 1 + t\ny = 2 - t\nz = 4 + 2t\n\na) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r.\nb) calcular a distância de A a r.\nc) determinar o ponto simétrico de A em relação a r. BC: x = 2 + t\ny = 1 - 2t\nz = 4 - 5t\ncom t ∈ [0,1]\nr: x = 2 + t\ny = 1 + t\nz = 4 + 3t P(2, 1, 9)