Exercicios-cap3 1

Exercício: Consideremos j=1\na) Obter as matrizes: J², Jz, J±, Jx e Jy\n* para j=1; m=-1,0,1\n* As matrizes buscadas têm a forma:\n< j',m' | J² | j,m > = k²(j(j+1)δj,j' δm,m')\n< j',m' | Jz | j,m > = hm δj,j' δm,m'\n< j',m' | J± | j,m > = h√(j(j+1)−m(m±1)) δj,j' δi,j,m±1\nJx e Jy podem ser escritos em termos de J± e Jz: \n< j',m' | Jx | j,m > = h/2 [√(j(j+1)−m(m+1)) δj,j' δi,j,m+1 + √(j(j+1)−m(m−1)) δj,j' δi,j,m-1] \n\n* Com j=j1 e explicitado para J², temos:\nJ² = ⟨ 4,1 | J² | 4,1 ⟩ = ⟨ 4,1 | J² | 1,1 ⟩ ⟨ 4,1 | J² | 1,0 ⟩ \n⟨ 1,0 | J² | 1,1 ⟩ = ⟨ 1,0 | J² | 1,0 ⟩ \n⟨ 1,-1 | J² | 1,1 ⟩ = 2k²\n = 2k² 1 0 0\n 0 1 0\n 0 0 1 as outras matrizes (verifica!!):\nJz = h 1 0 0 ; J±=h√2 0 1 0\n 0 1 1 0\n 0 0 0 -1\n ; Jx =\nh/√2 0 1 0 ; Jy = h/√2 0 -i 0\n 1 0 0 0 ; 0 i 0 0\n 0 0 0 -i ; 0 1 0\n 0 0 1 0\n\nb) Obter os autovetores de J² e Jz e verificar que eles não ortonormais e formam uma base completa.\n⇒ Sabemos que: Jz |j,m> = mh|j,m>\nh ( 1 0 0 a ) = m h ( a )\n ( 0 -1 0 b ) ( b ) => {hα = m hα \n ( 0 0 1 c )\nd 0 = m h b \n -hc = m h c \n solução: {m = 0 a = 0; b = 1; c = 0 \n m = 1 a = 1; b = 0; c = 0 \n m = 0; b = 0; c = 0)\n a = ; i = 0 \n | m,0 >= \n | j,-1>= ( 0 )\n | 1,0 >= ( 1 )\n c) Quais os possíveis valores se medimos Jx? \nDiagonalizando a matriz Jx , os autovalores são jx = h, 0, -h (verificar)\n=> Os autovetores (VERIFICAR)\n| j = 1> = 1/2√(−1√2 | j=0 >\n| j = 1/0 > = 1/√2 (1 )\n | 1 > = 1/2 | √2 |\n\nd) Se o sistema está nos estados jx = -h , o vetor |Jz>\n=> para jx = -h, o matriz é -1 | 3 >,\nAmim:\n ⟨ 4 | n | | 1 j > (( 0 ) ) ((0,3) )= h/4 (-√2 1) \n = - 1 (( ) ) (( ) )\n\n⟨ 4,1 | J² | 1,0 >\n* Verifica que < J² > não mapeia estado i: k²/2 \n\ne) Se o sistema inicialmente está em: | 1 > = 1 / √14 ((-\sqrt{3} 2√3) ) , quais\no valores obtidos medindo Jx e quais as respectivas probabilidades:\n | 1 > escrita em termos dos autovetores (*) fica\n\n1 / √14 ( | 0, 0 | 000 > + ( | 0, 1 > 1 ) + ( | 0, 1/√2 > ))\n\npara jx = -h\nP00 = K|1|P|² =√2 ((le 0,1 | √-1 0,0 >)) ) + 5/3 | 0,1 0,\n < 1| 1 > /√2( | 0,1 > √| ) = 2 /7 \nVERIFICAR: P00 = K( 0 | 0,0 | ) = 3/7 & = P00| K |1> = 2/7. Exercício: Considera o sistema no estado inicial\n\\( |\\psi(\\theta,\\phi)\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{5}} |1_{0,0}\\rangle + \\frac{3}{5} |1_{1,0}\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt{5}} |1_{1,1}\\rangle \\)\n\na) calcula \\( \\langle 4|L_{1}|4\\rangle : \nA representação acima é equivalenta a :\n\\[ |4\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left( |1_{1,-1}\\rangle + \\frac{3}{5}|1_{1,0}\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt{5}}|1_{1,1}\\rangle \\right) \\]\n\nusando \\( L_{1},L_{m} = \\hbarj(|L_{l} | - m) |L_{m + 1} \\rangle + L_{z}|L_{m}|\\rangle \\), temos\n\\( \\langle 4|L_{1}|4\\rangle = \\frac{\\sqrt{3}}{5} \\langle 1_{0,0}|L_{1-1} \\rangle + \\frac{\\sqrt{3}}{5} \\langle 1_{1}|L_{4-1}|0\\rangle = \\sqrt{6} \\frac{k}{\\sqrt{2}\\hbar} \\)\n\nTodos os termos se annulam!\n\nb) Se \\(L_{z}\\) for radido quanta cores e quais probabilidades não obtidos. \\(L_{3}, L_{1,m} = m\\hbar |L_{m}\\rangle \nAnalisando \\(\\psi(\\theta,\\phi)\\) vemos que terão valores não obtidos \\(L_{z} = 0, ±\\hbar\\)\nPara \\(L_{z} = -\\hbar \\Rightarrow P_{prob} = |\\langle 1_{-1}|4\\rangle|^{2} = \\frac{1}{5}\\)\n\\{L_{z} = 0 \\Rightarrow \\frac{3}{5} e \\frac{4}{5}; respectivamente (verifica!)\\} Exercício: Tome duas partículas, cada uma com momento angular \\(l_{1}\\) Hamiltoniana\n\\(H= \\frac{E_{1}}{k^{2}} (L_{1} + L_{2}) \\cdot L_{z} + \\frac{E_{2}}{k^{2}} (L_{1z} + L_{2z})^{2}\\)\n\\(E_{1} e E_{2} = constantes com dimensão de energia.\\)\nOBTER: AUTOESTADOS E SUAS DEGENERESCÊNCIAS para os estados de sistema agiu momentos angulares \n total \\(L\\) e \\(2h\\)\nO momento angular total é obtido pelo acoplamento \\(l_{1}= l, l_{2}=2\\)\n\\(L= L_{1}+L_{2} \\Rightarrow L_{1}^{2} L_{2}^{2} = \\frac{1}{2} (L^{2} - L_{1}^{2} - L_{2}^{2})\\)\nrecuperando a Hamiltoniano\n\\(H = \\frac{E_{1}}{k^{2}}(L_{1}^{2} + L_{2}^{2}) + \\frac{E_{2}}{k^{2}} = \\frac{E_{1}}{k^{2}}(L_{2}^{2}+L_{2}^{2})\\)\n\n(##)\n\\(E_{l,m} = \\frac{E_{1}}{2} \\left[ |L(l+1) - l_{m}(l+1)| + l_{2}(l+1) \\right] + \\frac{E_{2} m^{2}}{2}\\)\nA obtenção de \\(l,m\\) em termos de \\(l_{1} l_{2} m_{1} m_{2}\\) usando C-G.\nVia Tabela C-G não nega. Considerando apenas aquilo com \\(l=j=2\\).\n\\(l_{2,+2} = |1,+1\\rangle \\Rightarrow \\langle E_{2,2} = 3E_{1} + 4E_{2} (duplo degenerado)\\)\n\\(l_{2,+1} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left( |1_{1,+1}\\rangle + |1_{0,0}\\rangle + |1_{1,-1}\\rangle \\right)\\)\n\\(l_{2,0} = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\left( |1_{1,+1}\\rangle + |1_{1,0}\\rangle + |1_{1,-1}\\rangle\\right)\\)