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Engenharia de Alimentos ·
Geometria Analítica
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15 Sejam os vetores u 2 2i j e v 2 2i j Mostre que esses vetores são unitários e ortogonais entre si 15 Primeiro mostrando que são unitários u 2 2² 2 2² 24 24 44 1 1 v 2 2² 2 2² 24 24 44 1 1 Agora que são ortogonais entre si u v 2 22 2 2 22 2 24 24 0 02 Determinando os vetores AB e BC AB 1 4 3 2 1 3 4 2 2 2 BC 2 3 1 4 2 1 3 4 3 1 Sendo θ o ângulo entre AB e BC cos θ AB BC ABBC 23 21 2² 2² 3² 1² 6 2 8 10 4 80 4 45 1 5 Logo θ arccos1 5 13 Se x é paralelo a w 2 3 0 então x λw Logo x u v λw u v λw u v λ2 3 0 1 1 0 0 0 2 λ i j k 2 3 0 0 0 2 λ0 0 2 3 0 0 2 1 1 0 λ0 0 1 0 0 2 λ 2 Logo x 2 2 3 0 x 4 6 0 Agora veja que cosαu βv αu βv αuβv αβu v αβuv u v uv cosu v Assim cosαu βv cosu v Também se u cosθ₁i senθ₁j e v cosθ₂i senθ₂j cosu v u v uv cosθ₁cosθ₂ senθ₁senθ₂ cos²θ₁ sen²θ₁ cos²θ₂ sen²θ₂ cos θ₁ cos θ₂ sen θ₁ sen θ₂ 5 5 cos θ₁ cos θ₂ sen θ₁ sen θ₂ cosθ₁ θ₂ Assim cosi v cosθ₁ θ₂ 10 O vetor paralelo a r₁ é 212 e paralelo a r₂ é 310 Se queremos uma reta ortogonal a ambos então é paralelo a 212 x 310 i j k 2 1 2 3 1 0 2623 265 E como passa por A214 então as equações paramétricas são x 2t 2 y 6t 1 z 5t 4 13 Um vetor paralelo a r é 123 x 211 i j k 1 2 3 2 1 1 21 21 14 333 e passa por 134 pois 4 21 4 3 0 21 1 4 7 0 Assim r 134 t333 logo também passa por 134 333 421 Assim a normal do plano é ortogonal a 321 421 742 e 321 134 415 Logo 742 x 415 i j k 7 4 2 4 1 5 20 2 8 35 7 16 18279 Assim a equação geral é da forma 18x 27y 9z d 0 e como passa por 134 181 273 94 d 0 d 18 27 36 9 Logo a equação geral é 9x 15y 6z 9 0 E paramétricas x 3 7t 4h y 2 4t h z 1 2t 5h 14 A reta que passa por A e B é paralelo a k1 1 1 2 0 k 1 2 2 logo tem a forma 1 1 0 tk 1 2 2 E é ortogonal a 3 2 0 x 0 0 3 i j k 3 2 0 0 0 3 6 9 0 Logo k 1 2 2 6 9 0 0 6k 6 18 0 6k 24 k 4 15 A reta r é paralela a 321 Logo o vetor normal ao plano é 3 2 1 x 2 3 1 i j k 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 9 4 5 1 13 Logo tem a forma 5x y 13z d 0 e como passa por 2 2 1 52 2 131 d 0 d 10 2 13 5 Logo a equação é 5x y 13z 5 0
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15 Sejam os vetores u 2 2i j e v 2 2i j Mostre que esses vetores são unitários e ortogonais entre si 15 Primeiro mostrando que são unitários u 2 2² 2 2² 24 24 44 1 1 v 2 2² 2 2² 24 24 44 1 1 Agora que são ortogonais entre si u v 2 22 2 2 22 2 24 24 0 02 Determinando os vetores AB e BC AB 1 4 3 2 1 3 4 2 2 2 BC 2 3 1 4 2 1 3 4 3 1 Sendo θ o ângulo entre AB e BC cos θ AB BC ABBC 23 21 2² 2² 3² 1² 6 2 8 10 4 80 4 45 1 5 Logo θ arccos1 5 13 Se x é paralelo a w 2 3 0 então x λw Logo x u v λw u v λw u v λ2 3 0 1 1 0 0 0 2 λ i j k 2 3 0 0 0 2 λ0 0 2 3 0 0 2 1 1 0 λ0 0 1 0 0 2 λ 2 Logo x 2 2 3 0 x 4 6 0 Agora veja que cosαu βv αu βv αuβv αβu v αβuv u v uv cosu v Assim cosαu βv cosu v Também se u cosθ₁i senθ₁j e v cosθ₂i senθ₂j cosu v u v uv cosθ₁cosθ₂ senθ₁senθ₂ cos²θ₁ sen²θ₁ cos²θ₂ sen²θ₂ cos θ₁ cos θ₂ sen θ₁ sen θ₂ 5 5 cos θ₁ cos θ₂ sen θ₁ sen θ₂ cosθ₁ θ₂ Assim cosi v cosθ₁ θ₂ 10 O vetor paralelo a r₁ é 212 e paralelo a r₂ é 310 Se queremos uma reta ortogonal a ambos então é paralelo a 212 x 310 i j k 2 1 2 3 1 0 2623 265 E como passa por A214 então as equações paramétricas são x 2t 2 y 6t 1 z 5t 4 13 Um vetor paralelo a r é 123 x 211 i j k 1 2 3 2 1 1 21 21 14 333 e passa por 134 pois 4 21 4 3 0 21 1 4 7 0 Assim r 134 t333 logo também passa por 134 333 421 Assim a normal do plano é ortogonal a 321 421 742 e 321 134 415 Logo 742 x 415 i j k 7 4 2 4 1 5 20 2 8 35 7 16 18279 Assim a equação geral é da forma 18x 27y 9z d 0 e como passa por 134 181 273 94 d 0 d 18 27 36 9 Logo a equação geral é 9x 15y 6z 9 0 E paramétricas x 3 7t 4h y 2 4t h z 1 2t 5h 14 A reta que passa por A e B é paralelo a k1 1 1 2 0 k 1 2 2 logo tem a forma 1 1 0 tk 1 2 2 E é ortogonal a 3 2 0 x 0 0 3 i j k 3 2 0 0 0 3 6 9 0 Logo k 1 2 2 6 9 0 0 6k 6 18 0 6k 24 k 4 15 A reta r é paralela a 321 Logo o vetor normal ao plano é 3 2 1 x 2 3 1 i j k 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 9 4 5 1 13 Logo tem a forma 5x y 13z d 0 e como passa por 2 2 1 52 2 131 d 0 d 10 2 13 5 Logo a equação é 5x y 13z 5 0