Prova de Propriedades de Funções Lipschitzianas e Densidade em R

Questão 1 Uma função f X R dizse lipschitziana quando existe C 0 tal que se x y X então fx fy Cx y Prove que toda função lipschitziana é uniformemente contínua Questão 2 Seja f R R contínua Prove que se fx 0 para todo x X R então fx 0 para todo x X Questão 3 Dizse que um conjunto A R é denso em R se A R Por exemplo o conjunto dos números racionais Q e o conjunto dos números irracionais RQ são densos em R Demonstre que se f R R é contínua e fx 0 para todo x A com A denso em R então fx 0 para todo x R Questão 4 Seja f a b R uma função derivável Prove que se existe k 0 tal que fx k para todo x a b então f é lipschitziana