Amostragem e Estimação: Capítulos 6, 7 e 8 de Stevenson

Amostragem Distribuições Amostrais e Estimação Capítulos 6 7 8 Stevenson 2001 Amostragem Censo exame de todos os elementos de um grupo Amostragem estudo de apenas parte dos elementos processo de coleta de amostras Inferência análise e interpretação dos dados amostrais com vistas a descrever as características da população População e Amostra termos relativos População totalidade dos elementos que possuem em comum determinadas características Também denominada Universo Amostra um subconjunto de uma população Parcela examinada de determinado grupo Amostragem Probabilística Obtida por meios que envolvem acaso aleatórios Cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida e diferente de zero de ser selecionado Processo aleatório quando o meio de seleção empregado não permite conhecer qual será o primeiro elemento escolhido bem como os elementos seguintes Amostragem não Probabilística Obtida pelo menos em parte por meios que não envolvem o acaso Quando não se conhece a probabilidade de que um elemento da população venha a ser selecionado para Planos de amostragem Probabilísticas Aleatória simples Sistemática Estratificada Por conglomerado Nãoprobabilística ou nãoaleatória Acidental ou por conveniência acessibilidade Intencional ou por julgamento Quotas ou proporcional Populaçãoalvo todo o grupo do qual se deseja obter a informação População de estudo parcela da populaçãoalvo identificável e passível de ser pesquisada Populações Finitas que possuem tamanho limitado Têm existência real Ex Número de alunos de uma escola Populações Infinitas o nº de elementos é ilimitado Geralmente identificadas com determinados processos que geram itens Ex Numero de peças geradas por uma máquina Aleatória simples Todos os elementos da população têm igual probabilidade de ser selecionados para compor a amostra Obtenção de amostras aleatórias População Infinita podese considerála como um processo probabilístico População Finita necessidade uma listagem de todos os elementos da população identificados e numerados Etapas Atribuir número para cada elemento da população Determinar tamanho da amostra Empregar procedimento aleatório Exemplo Um auditor resolveu extrair uma amostra aleatória simples definindo o tamanho da amostra n 5 de um estoque de tamanho N 50 em que os tecidos estão codificados de 1 a 50 Amostragem Sistemática É uma variação da amostragem aleatória simples Necessário dispormos de uma listagem da população ou seus elementos devem ser ordenados de tal forma que possam ser identificados pela posição Calculase o intervalo de amostragem Nn aproximandoo para o inteiro mais próximo a Sorteiase um número x entre 1 e a Amostra x xa x2ª Fácil de ser conduzida e economicamente viável Restrição necessidade de disporse dos elementos de uma população em uma listagem Cuidado não deve existir nenhum ordenamento prévio dos elementos da população Ex Em um dia foram confeccionadas 1000 peças A inspeção é realizada em 20 unidades 1000 x 2 O intervalo k é de 50 1000 20 Supondo que a primeira unidade sorteada é a que está na posição 15ª qual será a posição da segunda e terceira unidades sorteadas Amostragem estratificada Consiste basicamente em segmentar a população em estratos Estratos partes da população que se caracterizam por possuir características homogêneas Exemplo sexo nível de renda faixa etária nível de escolaridade Tipos de estratificação proporcional não proporcional Vantagem redução do tamanho da amostra Exemplo extremo estratos com todos os elementos idênticos Seleção em geral procedese à amostragem aleatória em cada estrato às vezes é útil um censo em um ou mais subgrupos Exemplo Selecionar uma amostra considerando dois grupos estratos distintos de lojas a lojas cujas vendas alcançaram até R 10000000 b lojas cujas vendas superaram R 10000000 Amostragem por conglomerado Divisão da população em subgrupos heterogêneos tão semelhantes à população total quanto possível clusters Casos de população dispersa Não exige que se disponha de listagem da população Busca de maior quantidade de informações ao menor custo Realizada de 1 a n estágios Dentro de um conglomerado a amostragem pode ser aleatória simples estratificada ou por conglomerados Exemplo Admitindo a hipótese de que a direção de uma empresa queira realizar uma pesquisa com clientes de seis de suas lojas situadas em conglomerados como poderiam proceder para a seleção Amostragem nãoprobabilística Amostragem por conveniência acidentais elementos da amostra são selecionados conforme sua disponibilidade para o estudo ou por conveniência do pesquisador Acessibilidade Amostragem por julgamento intencionais de acordo com determinado critério é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra Amostragem por quotas tipo de amostragem em que se determina antecipadamente o número de elementos quota procurando obter uma amostra que traga as mesmas proporções de certas características da população Planos de Amostragem Amostragem Probabilística Nãoprobabilística Geração de erro amostral Sim Não Eficiência Estatística Alta e baixa Não é possível comparar Necessidade de listagem da população Sim Não Custo De elevado a alto De muito baixo a moderado Distribuições Amostrais Distribuição Amostral Conceito Representa uma distribuição de grandezas estatísticas como a média a variância e o desvio padrão de todas as amostras possíveis de um mesmo tamanho retiradas de uma população CORRAR 2003 É uma distribuição de probabilidades formada por estatísticas amostrais Indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações causuais na amostragem aleatória Stevenson 2001 p172 Distribuições amostrais Distribuições amostrais tendem a produzir estatísticas amostrais representativas de parâmetros populacionais Características Média da Distribuição amostral DA tende a se igualar a média populacional O desv Pad da DA parece decrescer quando o tamanho da amostra aumenta Teorema do Limite Central Para grandes amostras a distribuição amostral da média pode ser bastante aproximada da distribuição Normal Distribuições amostrais Amostragem obter indicação dos parâmetros de uma população valores usados para estimar os dados populacionais Variabilidade amostral tendência dos valores amostrais variar de uma amostra a outra em função de valores casuais relacionados com a amostragem Distribuição amostral distribuição de probabilidades que indica até que ponto a estatística amostral tende a variar Distribuição Amostral O uso de distribuições amostrais para cálculo da estatística amostral do verdadeiro valor do parâmetro populacional está relacionado a três fatores 1 Estatística que está sendo considerada 2 Tamanho da amostra n Quanto maior n menor a variabilidade amostral 3 Variabilidade da população Distribuição Amostral Distribuições de médias amostrais É uma distribuição de probabilidade que mostra as possíveis médias amostrais É função da média e do desvio padrão da população e do tamanho da amostra Por conseguinte μx μx σx σx n Média da DA média da população DP da DA DP da população Distribuição Amostral Distribuições de proporções amostrais p p σp p1 pn Indica quão provável é determinado conjunto de proporções amostrais dados o tamanho da amostra e a proporção populacional Por conseguinte Distribuição Amostral Forma da DA Em geral depende da forma da distribuição da população a Se Normal DA Normal para qualquer n b Se nãoNormal DA aproximadamente Normal para n 30 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL TLC Importância do TLC Permite utilizar a distribuição normal para cálculos da média amostral qualquer que seja a forma da distribuição da população Estimação Inferência Estatística Estimação Consiste na utilização de dados amostrais para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos assegurando a confiabilidade dessas estimativas Tipos de estimativas Pontual estimativa única de um parâmetro populacional Intervalar dá um intervalo de valores possíveis no qual se admite esteja o parâmetro populacional Estimação Estimação da média de uma população Estimativa pontual Estimativa intervalar Trabalhase com uma atribuição probabilística do intervalo em que o verdadeiro valor pode estar intervalo de confiança 1 p Erro Quão próxima determinada média amostral pode estar da média da distribuição amostral em unidades efetivas depende da variabilidade desvio padrão da Distribuição Amostral Quando o desvio padrão da população é desconhecido usase o desvio padrão dos dados amostrais como estimativa Amostras 30 usase a distribuição t Maiores que 30 usase a distribuição z Considerações quanto ao ERRO da estimativa Quanto menor for o coeficiente de confiança ou a dispersão da população maior o ERRO potencial Maiores amostragens significam menor possibilidade de ERRO da estimativa Para amostragens de pequenas populações amostra 5 da população usase o fator de correção fina Estimação Observação Devido à variabilidade amostral as amostras aleatórias retiradas de uma população apresentam médias diferentes Como estimar de forma confiável a média de uma população com apenas uma amostra Intervalo de Confiança É o intervalo de valores que contém o parâmetro da população com uma determinada probabilidade de acerto Os intervalos de confiança mais utilizados são os de 90 95 e 99 Estimação da média de uma população Estimação Erro de estimação Intervalo de Confiança x e x x e Erro máximo provável Erro máximo provável Erro e ½ amplitude do intervalo de confiança Nível confiança z Amplitude do intervalo 682 100 954 196 998 258 Estimação A amplitude de um intervalo de confiança depende dos seguintes fatores 1 Dispersão da população 2 Nível de confiança indicado 3 Tamanho da amostra Estimação Estimação Intervalo de confiança com t x tn1 σx μx x tn1 σx Cálculo do tamanho da amostra Parâmetros para o tamanho da amostra Depende dos fatores ligados à precisão desejada Amostra muito grande gera maior precisão nas conclusões mas aumenta os custos Amostra pequena reduz custos mas os resultados podem não ser precisos O tamanho ideal de uma amostra é aquele em que os resultados encontrados situamse dentro de uma margem de erro tolerável que não comprometa os objetivos do estudo Determinação do tamanho da amostra Determinação do tamanho da amostra Se o desvio padrão da população é conhecido a estimativa desse intervalo conseguese por meio da fórmula n Tamanho da amostra z Nº desvios padrões na Distribuição Normal nível confiança σ Desvio padrão da população unidade da variável µ Média populacional e Erro máximo admitido unidade da variável Parâmetros para o tamanho da amostra Determinação do tamanho da amostra Como a média amostral encontrase no centro do Intervalo de Confiança o erro tolerável corresponde à metade do Intervalo de Confiança Portanto o Erro e é calculado pela seguinte fórmula n Tamanho da amostra z Nº desvios padrões na Distribuição Normal nível confiança σ Desvio padrão da população unidade da variável e Erro máximo admitido unidade da variável Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão população conhecido Neste caso são consideradas duas alterações nos componentes da fórmula Pela falta do desvio padrão da população σ devese usar o desvio padrão da amostra S visto que o mesmo proporciona uma boa aproximação do desvio padrão da população Quando o desvio padrão populacional é desconhecido é indicada a distribuição Student t Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão população conhecido Variável Quantitativa População Infinita n N 5 Para populações infinita ou finita com relação Usase a fórmula geral n Tamanho da amostra z Nº desvios padrões na Distribuição Normal nível confiança σ Desvio padrão da população unidade da variável N Tamanho da população e Erro máximo admitido unidade da variável População Finita quando n é que 5 de N Neste caso usase a fórmula ajustada n n z2σx 2N N 1 e 2 z 2 σ x 2 n n z σx N e n z σx N e n Tamanho da amostra z Nº desvios padrões na Distribuição Normal nível confiança σ Desvio padrão da população unidade da variável N Tamanho da população e Erro máximo admitido unidade da variável Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão população conhecido Variável Quantitativa População Finita Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão da população conhecido Exemplo Considerando o caso de uma empresa onde a Auditoria Interna necessita calcular o tamanho da amostra para verificação e conciliação dos estoques físicos e possuía os seguintes dados Quer uma amostra com um nível de confiança de 95 Admita um erro máximo de 170 unidades Que existem 50 itens de estoque e que o desvio padrão das quantidades em estoque já foi calculado e é de 29316 Que a amostra aleatória anteriormente definida seria de 5 itens Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão população desconhecido População infinita ou finita com relação nN 5 n Tamanho da amostra t Número de desvios padrões na Distribuição Student t S Desvio padrão da amostra unidade da variável N Tamanho da população e Erro máximo admitido unidade da variável População finita em que a relação nN 5 n t 2 S x2 N t 2 S x2 e 2 N 1 n t Sx N e Cálculo do tamanho da amostra Desvio padrão população desconhecido Exemplo Como a empresa queria estudar o poder aquisitivo da sua clientela e com base numa amostra piloto em que foi apurado o desvio padrão da amostra em 300 E definindo a empresa que Quer uma amostra com um nível de confiança de 95 E admite um erro de 170 Cálculo do tamanho da amostra para proporções p Proporção dos elementos cdeterminada característica x Número de elementos com a característica estudada n Número de elementos da amostra A proporção indica a quantidade de elementos de uma amostra ou população de possuidores de determinadas características em relação ao total delas O cálculo da proporção amostral é dado pela fórmula Cálculo do tamanho da amostra para proporções Variável qualitativa Fórmula para população infinita Fórmula para população finita n Número total de elementos da amostra N Número de elementos da população z Número de desvios padrões da Distribuição Normal nível de confiança e Erro máximo admitido p Proporção de ocorrência da variável em estudo q Proporção de não ocorrência da variável em estudo q 1 p n N z e p q n N z e p q Cálculo do tamanho da amostra para proporções Exemplo Considerando que parte dos clientes da empresa retorna às lojas para troca de mercadorias e que estudos da Associação Comercial indicam que esse percentual de retorno é de 20 a direção da empresa querendo estudar esse comportamento escolheu aleatoriamente a loja 11 que possui 400 clientes cadastrados e fez as seguintes definições aClientes que já procederam trocas de mercadorias passou a ser considerada a população FINITA bClientes que visitam as lojas quer comprem ou não foram considerados como população INFINITA cDeterminou um nível de confiança de 95 dAdmitiu um erro máximo de 5 Cálculo do tamanho da amostra Amostragem estratificada Os cálculos para tamanho da amostra no caso da amostragem estratificada são os seguintes Amostra com tamanhos iguais em cada estrato Amostra com tamanho proporcional em cada estrato Amostra com tamanho ótimo em cada estrato Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanhos iguais em cada estrato n Número total de elementos da amostra z Número de desvios padrões da Distribuição Normal k Número de estratos N Número de elementos da população Ni Número de elementos da população em cada estrato σi 2 Variância da população em cada estrato e Erro máximo admitido Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanhos iguais em cada estrato ni Tamanho de cada estrato n Número total de elementos da amostra k Número de estratos Amostra com tamanhos iguais em cada estrato Para se obter o tamanho de cada estrato Cálculo do tamanho da amostra Amostragem estratificada A empresa pretende emitir um cartão de fidelidade para seus clientes e necessitando ouvilos sorteou aleatoriamente a loja 11 que possui 400 clientes cadastrados Para determinar o tamanho da amostra de clientes a serem consultados sobre a ideia o cadastro de clientes foi segregado da seguinte forma ESTRATO N DE CLIENTES DESVIO PADRÃO σ Até 20 anos 150 15 Entre 20 e 40 anos 200 10 Acima de 40 anos 50 20 Considerando ainda O desejo de um nível de confiança de 95 e Um erro máximo de 5 Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanho proporcional em cada estrato n Número total de elementos da amostra z Número de desvios padrões da Distribuição Normal N Número de elementos da população Ni Número de elementos da população em cada estrato σi 2 Variância da população em cada estrato e Erro máximo admitido O tamanho da amostra em cada estrato é proporcional ao tamanho do estrato em relação a população obtendose uma amostra autoponderada Para se obter o tamanho de cada estrato ni Tamanho de cada estrato N Número de elementos da população Ni Numero de elementos da população em cada estrato n Número total de elementos na amostra Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanho proporcional em cada estrato Nesse caso considerando que se deseja minimizar os gastos com a pesquisa é necessário conhecermos o custo de pesquisa de cada estrato bem como o tamanho da população e a variância da população em cada estrato Cálculo do tamanho da amostra Amostragem estratificada Amostra com tamanho ótimo em cada estrato n Número total de elementos da amostra z Número de desvios padrões da Distribuição Normal N Número de elementos da população Ni Número de elementos da população em cada estrato σi Desvio Padrão da População em cada estrato σi 2 Variância da população em cada estrato Ci Custo unitário para pesquisar um elemento do estrato e Erro máximo admitido Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanho ótimo em cada estrato Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanho ótimo em cada estrato ni Tamanho de cada estrato Ni Número de elementos da população em cada estrato n Número total de elementos da amostra σi Desvio padrão da população no estrato Ci Custo unitário para pesquisar um elemento do estrato Para se obter o tamanho de cada estrato ESTRATO Nº DE CLIENTE S DESVIO PADRÃO σ C U S T O U N I T Até 20 anos 150 15 1 0 0 Entre 20 e 40 anos 200 10 1 5 0 Acima de 40 anos 50 20 2 0 0 ESTRATO Nº DE CLIENTES DESVIO PADRÃO σ CUSTO UNIT Até 20 anos 150 15 100 Entre 20 e 40 anos 200 10 150 Acima de 40 anos 50 20 200 E considerando o mesmo desejo de nível de confiança de 95 e o mesmo erro máximo de 5 Considerar os mesmos dados da amostra com tamanhos iguais em cada estrato acrescentando apenas o custo unitário da entrevista em cada estrato Cálculo do tamanho da amostra Variável intervalar Amostragem estratificada Amostra com tamanho ótimo em cada estrato Bibliografia ANDERSON David R SWEENEY Dennis J WILLIAMS Thomas A Estatística aplicada à administração e economia Tradução da 2ª edição por Luiz Sérgio de Castro Paiva São Paulo Pioneira Thomson Learning 2002 CORRAR LJ e THEÓPHILO CR coord Pesquisa operacional para contabilidade e administração contabilometria São Paulo Atlas 2008 KAZMIER Leonard J Estatística aplicada à economia e à administração Tradução Carlos Augusto Crusius São Paulo McGrawHill do Brasil 1982 LAPPONI Juan Carlos Estatística usando excel São Paulo Lapponi Treinamento e Editora Ltda 2000 LEVINE David M BERENSON Mark L STEPHAN David Estatística teoria e aplicações usando microsoft excel em português Tradução Teresa Cristina Padilha de Sousa Rio de Janeiro LTC 2000 STEVENSON Estatística aplicada à administração Tradução Alfredo Alves de Farias São Paulo Harper Row do Brasil 2001