Resolução de Problemas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB Licenciatura em Matemática Matemática Discreta Professor Eduardo Delcides Bernardes Avaliação 3 online Questão 1 25 pontos Faça o que se pede a seguir a Explique a diferença entre Arranjo e Combinação e escreva suas respectivas fórmulas explicando como usálas b Dê um exemplo em que devemos considerar o Arranjo e outro em que devemos considerar a combinação Questão 2 30 pontos Considere um grupo de teatro com 5 integrantes que tem 8 figurinos diferentes que podem ser usados por qualquer um dos seus integrantes a Se o grupo for fazer um cartaz para divulgação usando uma foto com 3 integrantes em fila de quantas maneiras esse cartaz pode ser feito b Se para fazerem um espetáculo o grupo precisa escolher 5 figurinos dos 8 disponíveis de quantas maneiras esses 5 figurinos podem ser escolhidos c De quantas maneiras podemos vestir o grupo para um espetáculo Considere que os integrantes permanecem do início ao fim com um mesmo figurino Questão 3 25 pontos De uma turma formada por 8 homens e 6 mulheres desejase formar uma comissão de 6 membros Quantas são as possibilidades de formar uma comissão escolhendo os membros para formar esta comissão de acordo com cada caso a seguir a Sem restrições b De modo que a comissão tenha 3 pessoas de cada sexo Questão 4 20 pontos Uma moeda é lançada 5 vezes Encontre o número de maneiras de se obter a 3 caras e 2 coroas b exatamente uma coroa Boa atividade Questão 1 a Arranjos são agrupamentos de elementos de um conjunto onde a ordem dos elementos importam enquanto combinações são agrupamentos onde a ordem não importa O número de arranjos de n elementos tomados KaK é Ank n nk Já o número de combinações de n elementos tomados k a k é Cnk n knk Por fim observe o papel da ordem Em um conjunto de n pessoas escolhemos K pessoas Existem n knk formas de escolher estas pessoas Agora vamos organizar estas K pessoas em uma fila Podemos fazer isso de K formas Então se consideramos diretamente que a ordem importa temos n nk k x k k n nk Ank b Considere uma turma de 10 alunos Se queremos organizar 7 destes alunos em uma fila usamos arranjo A107 10 107 604800 formas de ordenálos Por outro lado se queremos escolher 7 alunos para ir em uma excursão usamos combinação C107 10 7 107 120 formas de escolhêlos Questão 2 a Como os 3 integrantes selecionados estão ordenados em fila o número de maneiras de fazer o cartaz é A53 5 53 543 60 2 b Como a escolha de figurinos não é ordenada a quantidade de maneiras de escolher 5 figurinos dentre os 8 disponíveis é C85 8 5 85 8765 53 56 c Precisamos escolher 5 figurinos dentre os 8 disponíveis e ordenálos entre os integrantes Portanto podemos vestir o grupo de A85 8 85 876543 3 6720 maneiras Questão 3 a Como não há restrições vamos calcular a quantidade de maneiras de escolher 6 pessoas dentre 14 8 homens e 6 mulheres C146 14 6 146 14 6 8 3003 maneiras b Escolhendo 3 pessoas de cada sexo teremos C83 C63 8 3 83 6 3 63 876 321 654 321 56 20 1120 maneiras de formar a comissão Questão 4 a O número de maneiras de obter 3 cavos e 2 covoas não depende de ordenação logo é C53 5 3 53 543 32 10 b Analogamente o número de formas de obter exatamente uma covoa é C51 5 1 51 5 4 5