Regressão Logística Multinomial - Análise e Aplicações

Métodos Quantitativos Docente Flávio Rocha Email flaviorochaunioestebr Análise de Regressão Multinomial 2 INTRODUÇÃO Imaginemos uma situação em que a variável dependente se apresenta na forma qualitativa com três categorias possíveis de resposta O 1 ou 2 Se a categoria de referência escolhida for a categoria O teremos duas outras possibilidades de evento em relação a esta categoria que serão representadas pelas categorias 1 e 2 e dessa forma serão definidos dois vetores de variáveis explicativas com os respectivos parâmetros estimados ou seja dois logitos como segue Quando a variável dependente que representa o fenômeno em estudo é qualitativa porém oferece mais de duas possibilidades de resposta categorias devemos fazer uso da regressão logística multinomial para estimarmos as probabilidades de ocorrência de cada alternativa Para tanto precisamos definir inicialmente a categoria de referência REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL em que o número do logito aparece agora no subscrito de cada parâmetro a ser estimado 3 INTRODUÇÃO Assim de maneira genérica se a variável dependente que representa o fenômeno em estudo apresentar M categorias de resposta o número de logitos estimados será M 1 Até o presente momento neste capítulo estávamos trabalhando com duas categorias e consequentemente apenas um logito Zi Dessa forma as probabilidades de ocorrência do não evento e do evento eram calculadas respectivamente por meio das seguintes expressões REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Probabilidade de ocorrência do não evento Probabilidade de ocorrência do evento 4 INTRODUÇÃO Já para três categorias podemos estimar a probabilidade de ocorrência da categoria de referência Oe as probabilidades de ocorrência dos dois eventos distintos representados pelas categorias 1 e 2 Dessa forma as expressões dessas probabilidades podem ser escritas da seguinte forma REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Probabilidade de ocorrência da categoria O referência Probabilidade de ocorrência da categoria 1 Probabilidade de ocorrência da categoria 2 de modo que a soma das probabilidades de ocorrência dos eventos representados pelas distintas categorias será sempre 1 5 INTRODUÇÃO Na forma completa as expressões podem ser escritas respectivamente como segue REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL 6 ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Suponha que agora não estamos interessado somente em estudar o que leva os alunos a chegarem ou não atrasados à escola Neste momento ele deseja saber também se os alunos chegam atrasados à primeira aula ou à segunda aula REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Em outras palavras o professor agora tem o interesse em investigar se algumas variáveis relativas ao trajeto dos alunos até a escola influenciam a probabilidade de não se chegar atrasado ou de se chegar atrasado à primeira aula ou à segunda aula Logo a variável dependente passa a ter três categorias não chegar atrasado chegar atrasado à primeira aula e chegar atrasado à segunda aula Elaborou uma pesquisa com os mesmos 100 alunos da escola porém a realizou em outro dia esolveu perguntar apenas sobre a distância díst e sobre o número de semáforos sem pelos quais cada um havia passado naquele dia ao se deslocar para a escola 7 A variável dependente assume agora três distintos valores que nada mais são do que rótulos labels referentes a cada uma das três categorias de resposta M 3 Lembrar que a variável dependente não é quantitativa só porque apresenta números em sua coluna REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 8 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 9 As expressões dos logitos que desejamos estimar são portanto REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Logo podemos escrever as expressões das probabilidades estimadas de ocorrência de cada evento correspondente a cada categoria da variável dependente Sendo assim temos em que P10 P11 e P12 representam respectivamente a probabilidade de que um estudante í não chegue atrasado categoria O a probabilidade de que um estudante i chegue atrasado à primeira aula categoria 1 e a probabilidade de que um estudante í chegue atrasado à segunda aula categoria 2 ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 10 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Logaritmo da Função de verossimilhança maximum likelihood estimation ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 11 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 12 Gerou as seguintes estimativas dos parâmetros REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL e desta forma os logitos zi e zi podem ser escritos da seguinte forma Com base nas expressões dos logitos Z e Z podemos escrever as expressões das probabilidades de ocorrência de cada uma das categorias da variável dependente como segue Probabilidade de um estudante i não chegar atrasado categoria O Probabilidade de um estudante i chegar atrasado à 1ª aula categoria 1 Probabilidade de um estudante i chegar atrasado à 2ª aula categoria 2 ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 13 Tendo sido elaborada a estimação por máxima verossimilhança dos parâmetros das equações de probabilidade de ocorrência de cada uma das categorias da variável dependente podemos elaborar a classificação das observações e definir a eficiência global do modelo de regressão logística multinomial REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Diferentemente da regressão logística binária em que a classificação é elaborada com base na definição de um cutoff na regressão logística multinomial a classificação de cada observação é feita com base na maior probabilidade entre aquelas calculadas Pio Pi ou P Assim por exemplo como a observação 1 Gabriela apresentou P0 0018 P 0523 e Pi 0459 devemos classificála como categoria 1 ou seja por meio do nosso modelo esperase que a Gabriela chegue atrasada à primeira aula Entretanto podemos verificar que na verdade esta aluna chegou atrasada à segunda aula e portanto para este caso não obtivemos um acerto ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 14 Por meio da análise desta tabela podemos verificar que o modelo apresenta um percentual total de acerto de 890 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Entretanto o modelo apresenta um maior percentual de acerto 959 para os casos em que houver indicação de que não ocorrerá atraso ao se chegar à escola Por outro lado quando houver indícios de que um aluno chegará atrasado à primeira aula o modelo terá um percentual de acerto menor 750 ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT MULTINOMIAL POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 15 Assim como na regressão logística binária já estudada a multinomial também oferece as estatísticas referentes ao pseudo R² de McFadden e ao X2 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Enquanto o pseudo R² de McFadden é bastante limitado em termos de informação sobre o ajuste do modelo podendo ser utilizado quando o pesquisador tiver interesse em comparar dois modelos distintos A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS A estatística X2 propicia que seja realizado um teste para verificação da existência propriamente dita do modelo proposto uma vez que se todos os parâmetros estimados forem estatisticamente iguais a O o comportamento de alteração de cada uma das variáveis explicativas não influenciará em absolutamente nada as probabilidades de ocorrência dos eventos representados pelas categorias da variável dependente 16 As hipóteses nula e alternativa do teste X2 para um modelo geral de regressão logística multinomial são respectivamente REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Logo pelo menos uma variável X é estatisticamente significante para explicar a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos em estudo Da mesma forma que o discutido na seção 1322 podemos definir o seguinte critério A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS Além da significância estatística geral do modelo é necessário verificarmos a significância estatística de cada parâmetro por meio da análise das respectivas estatísticas z de Wald 17 Como podemos verificar todas as estatísticas z de Wald calculadas apresentaram valores menores do que z 196 ou maiores do que z 196 valores críticos ao nível de significância de 5 sendo as probabilidades na cauda inferior e na cauda superior iguais a 0025 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Desta forma verificamos para o nosso exemplo que os critérios A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS Além da significância 18 Podemos propor três interessantes perguntas REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS Qual é a probabilidade média estimada de se chegar atrasado à primeira aula ao se deslocar 17 quilômetros e passar por 15 semáforos Como a categoria chegar atrasado àprimeira aula é a categoria 1 devemos fazer uso da expressão da probabilidade estimada Pl Desta forma para esta situação temos que Logo a probabilidade média estimada de se chegar atrasado à primeira aula é nas condições informadas igual a 722 19 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS Em média em quanto se altera a chance de se chegar atrasado à primeira aula em relação a não chegar atrasado à escola ao se adotar um percurso 1 quilômetro mais longo mantidas as demais condições constantes Para respondermos a esta questão Logo a chance é multiplicada por um fator de 1749 ou seja mantidas as demais condições constantes a chance de se chegar atrasado à primeira aula em relação a não chegar atrasado ao se adotar um trajeto 1 quilômetro mais longo é em média 749 maior Em modelos de regressão logística multinornial a chance odds ratio também é chamada de razão de risco relativo relative risk ratio de modo que mantidas as demais condições constantes a chance de se chegar atrasado à primeira aula em relação a não chegar atrasado à escola ao se adotar um trajeto 1 quilômetro mais longo é 20 REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA GERAL DO MODELO E DOS PARÂMETROS Em média em quanto se altera a chance de se chegar atrasado à segunda aula em relação a não chegar atrasado ao se passar por 1 semáforo a mais no percurso até a escola mantidas as demais condições constantes Neste caso como o evento de interesse referese à categoria chegar atrasado à segunda aula a expressão da chance passa a ser Logo a chance é multiplicada por um fator de 18081 ou seja mantidas as demais condições constantes a chance de se chegar atrasado à segunda aula em relação a não chegar atrasado ao se passar por 1 semáforo a mais no percurso até a escola é em média 17081 maior 21 O Modelo de Regressão Logística Multinomial REGRESSÃO LOGÍSTICA MULTINOMIAL Gretl REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA UMA ABORDAGEM MODERNA TRADUÇÃO DA 4ª EDIÇÃO NORTEAMERICANA JEFFREY M WOOLDRIDGE ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS 6ª EDIÇÃO Hair Black Babin Anderson Tatham ANÁLISE DE DADOS MODELOS DE REGRESSÃO Com EXCEL STATA e SPSS LUIZ PAULO FÁVERO Material na WEB wwwebookfasescombr 22