Análise de Escoamento Laminar e Turbulento em Tubos Cilíndricos

Em um conduto retílineo em uma seção afastada de alguma singularidade no qual o escoamento é dito desenvolvido isto é em que o perfil de velocidade é estável há uma relação direta entre a variação da tensão tangencial e tel perfil seja no escoamento laminar ou turbulento A análise desenvolvida no capítulo anterior que resultou na Equação 126 pode ser aplicada de modo semelhante a um tubo de corrente qualquer de raio r concêntrico com o tubo cilíndrico em um escoamento permanente como na Figura 21 Desta forma a Equação 126 pode ser escrita como τ γΔH 4L γΔH 2L A equação precedente mostra que independente do escoamento na tubulação ser laminar ou turbulento a tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância r da linha central ao ponto de interesse Desde que para r R temse τ τₒ a seguinte relação pode ser determinada τ τₒ R r R 1 y R No caso do escoamento laminar em que predominam os esforços viscosos a tensão tangencial pode ser expressa pela lei de Newton da viscosidade válida para os líquidos nos quais há proporcionalidade entre tensão e gradiente de velocidade que é o caso da água τ μ dv dy μ dv dr em que v é a velocidade no ponto a uma distância y da parede da tubulação ou r da linha de centro do tubo Igualando as Equações 21 e 23 e fazendo integração entre um ponto qualquer do perfil no qual a velocidade v é a distância y até a parede do tubo em que r R e v obtémse A Equação 24 mostra que o perfil de velocidade em um tubo circular em que o escoamento é laminar é um parabolóide de raio R Na linha de centro com r 0 a velocidade é máxima assim o perfil pode ser representado de forma mais conveniente por vmax 1 r R² em que vmax γΔH 4μ R² Como a velocidade mais representativa da seção é a velocidade média a relação entre a velocidade máxima vmax e a velocidade média V pode ser determinada pela aplicação da equação da continuidade no regime permanente Q v dA v 2πr dr VπR² Equação que foi obtida experimentalmente em 1839 por Hagen é um ano mais tarde teoricamente por Poiseuille sendo conhecida como fórmula de HagenPoiseuille Assim igualando a Equação 120 a Equação 29 vem ΔH f L V² 2g D 32μLV γD² f 64μ pVD f 64 Rey Resultado importante que mostra que no escoamento laminar o fator de atrito só depende do número de Reynolds independentemente da rugosidade da tubulação como será discutido adiante Esta relação que tem sido comprovada experimentalmente é válida para Rey 2300 212 ESCOAMENTO TURBULENTO O escoamento laminar pela própria natureza física do processo de transferência individual de moléculas entre lâminas adjacentes do escoamento permite um tratamento analítico da tensão de cisalhamento e consequentemente do fator de atrito com comprovação experimental No escoamento turbulento são agrupamentos de moléculas animadas de velocidade de perturbação que se transportam de forma caótica para camadas adjacentes do fluido produzindo forças tangenciais de muito maior intensidade Pelo princípio da aderência uma partícula fluida em contato com a parede do tubo tem velocidade nula e existe uma camada delgada de fluido adjacent a parede na qual a flutuação de velocidade não atinge os mesmos valores que nas regiões distantes da parede A região do instante inicial chamada de subcamada limite laminar e caracterizada por uma variação praticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento subcamada limite laminar desenvolvese no núcleo turbulento que ocupa praticamente toda a área central da seção No caso em que as rugosidades da parede da tubulação e estão totalmente cobertas pela subcamada limite laminar temse ue 5 Escamento turbulentamente hidraulicamente liso Para a situação em que as asperzas da parede afloram a subcamada limite laminar alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência temse ue 70 Escamento turbulentamente hidraulicamente rugoso Na condição intermediária em que apenas as asperzas maiores transpassem a subcamada limite laminar alcançando o núcleo turbulento fica 5 ue 70 Escamento turbulentamente hidraulicamente misto ou de transição O termo ue v é chamado de número de Reynolds de rugosidade O escamento turbulento como o que ocorre em um jato de água no interior de caráter de uma bomba hidráulica ou mesmo em grandes turbilhões em um rio é caracterizado por uma constante flutuação da velocidade devido a uma inerente instabilidade do escamento Analisandose a situação pontual da perturbação em um escamento turbulento podese imaginar em cada direção que as velocidades instantâneas são afetadas pela existência de uma perturbação levando em conta os valores assumidos aleatoriamente entre as velocidades de perturbação v V vx v x 212 Em coordenadas cartesianas têmse Vx vx v x Vy vy v y Vz vz v z O registro pontual do componente na direção x da velocidade instantânea no escamento turbulento utilizando técnicas de laboratório como anemômetro de fio quente ou velocímetro a laser tem o aspecto apresentado na Figura 23 em que não existe nenhum padrão de regularidade seja na amplitude ou no período Devese observar que se a velocidade média temporal é constante embora as velocidades instantâneas variem com o tempo este escamento é definido como permanente Ao contrário do escamento laminar no qual a tensão tangencial depende de uma propriedade do fluido a viscosidade no escamento turbulento seguindo modelo proposto por Boussinesq a tensão tangencial é dada por τt η dvdy 214 em que η chamada de viscosidade de redemoinho ou viscosidade de turbulência é uma propriedade do escamento e não somente do fluido e depende primeiramente da intensidade da agitação turbulenta no escamento Por causa da natureza aleatória das partículas de fluido os valores de η são muito maiores que a ideia de simplicidade do modelo e sua analogia com o caso laminar ie a Equação 214 é utilizada no estudo da turbulência embora não descreva satisfatoriamente a fenomenologia envolvida dFat ρ y v dA v x e consequentemente a tensão instantânea de cisalhamento turbulenta τt dF dA ρ v x v y 215 Os termos da forma ρ v x v y são chamados de tensões de Reynolds Em 1925 Prandtl formulando a hipótese de que as velocidades de perturbação apresentam a mesma ordem de grandeza isto é turbulência isotrópica propôs que propriedades de partículas são transportadas pelo movimento turbulento até uma certa distância média ℓ entre regiões com velocidades diferentes Em analogia ao conceito de livre caminho médio molecular da teórica dos gases Prandtl chama esta distância de comprimento de mistura e sugere que a variação da velocidade sofrida por uma partícula que se desloca pelo comprimento de mistura é proporcional a dvdy em que v é a velocidade média no fluxo e y comumente medida a partir de um contorno sólido como na Figura 25 Desta hipótese as velocidades de perturbação são vx vx e vy 216 Substituindo na Equação 215 e incorporando em ℓ o fator de proporcionalidade fica τt ρ e 2 dvdy Na equação anterior ℓ é uma função desconhecida de y e portanto da mesma forma que a viscosidade turbulenta ηt é função de posição Com base em condições de semelhança e estatística entre perfis de velocidades da turbulência von Kármán propôs a seguinte relação para o comprimento de mistura ℓ k dvdy d²vdy² em que K é uma constante universal adimensional característica do movimento turbulento com valor experimental de cerca de 038 para a água limpa e usualmente assumida como 040 chamada de constante de von Kármán O valor desta constante pode variar consideravelmente em escoamentos carregados de sedimentos 221 LEI DE DISTRIBUIÇÃO UNIVERSAL DE VELOCIDADE Para deduzir matematicamente os perfis de velocidade para os escoamentos turbulentos a partir do conceito de comprimento de mistura recorremse a três hipóteses formuladas por Prandtl que embora não sejam totalmente convincentes têm demonstrado sua validade quando o resultado é comparado com as verificações experimentais As hipóteses para a determinação dos perfis de velocidade são a Supõese que o esforço cortante na região do núcleo turbulento seja igual ao que se desenvolve na parede do tubo b O esforço cortante que predomina é o fornecido pela Equação 216 c Como nas proximidades da parede as velocidades de perturbação tendem a zero há uma variação linear do comprimento de mistura com a distância y da parede dada por k γ Com essas hipóteses podese escrever a partir da Equação 216 τt τ0 ρK² y² dvdy τ0 ρ k dvdy v k dvdy dy que após integrada resulta em Vuₐ 1 K ln y C A Equação 218 é válida tanto para escoamento turbulento bidimensional quanto para escoamento com asimetria axial em tubulações As condições de contorno para escoamento em tubulações circulares de raio R são Se y R temse vₘₐₓ Se y 0 v 0 logo vₘₐₓ uₐ 1 K ln R C vₘₐₓ uₐ 1 K R que substituída na Equação 218 fica vₘₐₓ v uₐ 1 K R 219 Para K 040 a Equação 219 apresenta boa concordância com valores experimentais em tubos lisos e rugosos assim vₘₐₓ v uₐ 25 R 220 A Equação 220 é conhecida como lei universal de distribuição de velocidade e é válida para tubos lisos e rugosos Derivandose a Equação 218 com K 040 temse dvdy 25 uₐ y o que leva aos seguintes resultados no centro do tubo y R e o valor do gradiente dvdy deveria ser zero pois v vₘₐₓ porém a última relação fornece um valor finito para y 0 o gradiente dvdy tornase infinito o que resulta evidentemente impossível A partir dessas improbabilidades matemáticas a teoria proposta por Prandtl não invalida as aplicações práticas da Equação 220 V π R² ₀ᵛ R² 25 uₐ lnR r Cₐ 2π r dr expressão que desenvolvida leva a V uₐ 25 ln R C 375 221 Equação que representa a velocidade média em uma tubulação lisa ou rugosa de raio R 23 EXPERIÊNCIA DE NIKURADSE Em 1933 J Nikuradse publicou os resultados de um trabalho experimental para a determinação do fator de atrito em tubulações circulares Os ensaios foram realizados com tubos lisos cuja parede interna foi revestida com grãos de areia sensivelmente esféricos de granulometria controlada criando assim uma rugosidade uniforme e artificial de valor ε correspondente ao diâmetro do grão de areia Desta forma podese levantar para os escoamentos turbulentos as relações entre o fator de atrito f o número de Reynolds Rey e a rugosidade relativa artificial εD Embora o tipo de atrito não identificado entre os tubos escoamentos em outras condições em última análise consequência do processo industrial o objetivo inicial é facilmente mensurável e o método serve para verificar e classificar o número de Reynolds O gráfico da Figura 26 chamado Harpa de Nikuradse representa em resumo dos resultados dos testes e apresenta cinco regiões distintas a Região I Rey 2300 escoamento laminar o fator de atrito independe da rugosidade devido à subcamada limite laminar e ε vale f 64Rey b Região II 2300 Rey 4000 região crítica onde o valor de f não fica caracterizado c Região III curva dos tubos hidraulicamente lisos influência da subcamada limite laminar o fator de atrito depende do número de Reynolds Escoamento turbulento hidraulicamente liso d Região IV transição entre o escoamento turbulento hidraulicamente liso e rugoso o fator de atrito depende simultaneamente da rugosidade relativa e do número de Reynolds e Região V turbulência completa escoamento hidraulicamente rugoso o fator de atrito só depende da rugosidade relativa e independe do número de Reynolds Devese observar na figura que a série de curvas para cada rugosidade relativa se desprende da curva dos tubos lisos à medida que o número de Reynolds vai aumentando ou seja um tubo pode ser hidraulicamente liso para Reynolds baixos e hidraulicamente rugoso para Reynolds altos Isto se deve ao fato de que à medida que o número de Reynolds cresce aumenta a turbulência e o transporte de quantidade de movimento entre regiões de escoamento diminuindo a espessura da subcamada limite laminar e expondo as asperesas da tubulação ao núcleo turbulento do escoamento A curva limite dos tubos hidraulicamente lisos pode ser representada na faixa 3000 Rey 10⁵ por uma expressão conhecida como fórmula de Blasius dada por f 0316 Rey⁰²⁵ 222 A fórmula de Blasius a despeito da simplicidade ajustase bem a resultados experimentais em tubos lisos como de PVC na faixa de Reynolds 241 TUBOS LISOS A Equação básica 220 para um tubo de raio R pode ser escrita como 223 Multiplicando e dividindo o logaritmo por uₓ e desenrolvendo fica v uₓ vₘₐₓ uₓ 25 ln y R 224 Os ensaios de Nikuradse em tubos lisos mostraram que a soma dos dois primeiros termos do lado direito da equação anterior é praticamente constante e igual a 55 portanto v uₓ 55 25 ln y uₓ v Como pela Equação 218 temse v uₓ 55 25 ln y uₓ v 25 ln y uₓ v C 55 25 ln uₓ v que substituída na Equação 221 tornase V uₓ 25 ln uₓ R v 175 225 equação que permite a determinação da velocidade média V em um tubo de parede lisa no escoamento turbulento Da definição de velocidade de atrito Equação 128 podese escrever V g f 226 que substituída na Equação 225 tornase 1 f 0884 ln uₓ R v 0618 227 observando que uₓ R 2v uₓ Reₓ f 2 8 substituindo na Equação 227 e transformandose em logaritmo decimal temse 1 f 2035 log Re y f 0913 228 Esta equação que no plano 1 f versus log Rey f é representada por uma reta tem concordado bem com resultados experimentais de vários autores com um pequeno ajuste nos termos numéricos na forma 1 f 2 log Rey f 251 229 para uₓ v 5 correspondente a Reₓ f D e 1414 242 TUBOS RUGOSOS Na faixa de números de Reynolds elevados em que o escoamento é hidraulicamente rugoso o efeito do atrito é preponderantemente influenciado pelo tamanho e a configuração da aspereza da parede da tubulação visto que a ruptura da subcamada limite laminar torna as tensões tangenciais viscosa negligenciáveis Reciprocamente a lei básica de distribuição de velocidade Equação 220 relativa ao escoamento laminar rugosidade absoluta equivalente da tubulação vem u uₓ vₘₐₓ R 25 ln e R 230 Os ensaios de Nikuradse demonstraram que a soma dos dois primeiros termos do segundo membro dessa equação permanece constante e igual a 848 o que torna v u 848 25 ln y ε 231 Comparandose a Equação 218 com κ 040 com a Equação 231 chegase ao valor da constante de integração na forma C 848 25 ln ε que substituída na Equação 221 fica V u 25 ln R ε 473 equação esta que permite a determinação da velocidade média V no escoamento francamente turbulento em uma tubulação de raio R e rugosidade e Comparando a Equação 232 com a 226 transformandose em logaritmo decimal vem 1 f 204 log R ε 167 Equação que com pequenos ajustes numéricos coincide com resultados dos experimentais e é escrita na forma 1 f 2 log D 2ε 174 ou 1 f 2 log 371D ε para y ε 70 correspondente a D198 A equação anterior representa a lei de resistência para escoamentos turbulentos em tubos circulares rugosos EXEMPLO 21 Um ensaio de laboratório em uma tubulação de diâmetro igual a 030 m mostrou que a velocidade medida com um tubo de Pitot em um ponto situa do a 2 cm de parede era de 25 ms Sendo a rugosidade absoluta da tubulação ε 10 mm e a viscosidade cinemática da água ν 106 m²s determine a a tensão tangencial na parede da tubulação b se o escoamento é hydraulicamente rugoso c a distribuição de velocidade correspondente à máxima vazão para a qual a mesma tubulação pode ser considerada lisa d o valor da velocidade na linha de centro da tubulação em ambos os perfis liso e rugoso a Assumindo que o escoamento seja hydraulicamente rugoso podese utilizar a Equação 231 na forma v u 848 25 ln 2 01 u 0156 ms Logo como u² τc ρ τc 10³0156² 243 Nm² b O número de Reynolds de rugosidade vale u ε 0156103 106 156 70 portanto a fronteira é hydraulicamente rugosa e o uso da Equação 231 é justificado hipótese confirmada c A condição limite para a qual a fronteira ainda é hydraulicamente lisa é u 5u 5103 ms Aplicando a Equação 224 vem v 5103 55 25 ln 106 106 v 0134 125103 ln y d Na linha de centro e 015 m e v vmax assim para escoamento liso o rugosidade respectivamente fica vmax 0134 125103 ln 015 011 ms e pela Equação 231 vmax 848 25 ln 015 0156 vmax 328 ms EXEMPLO 22 Em um escoamento turbulento em um tubo liso de raio R determine o valor de yR em que y é a distância medida a partir da parede até o ponto onde a velocidade se iguala à velocidade média da seção Das Equações 224 e 225 têmse v u 55 25 ln yu v e V u 25 ln u R v 175 Dividindo uma equação pela outra tornase v u 55 25 ln yuv 175 25 ln u Rv que como se quer v V temse 55 25 ln yuv 175 25 ln u Rv que desenvolvida resulta em ln R y 15 y R e15 0223 terminandose a velocidade média que multiplicada pela área da seção fornecerá a vazão Partindose da lei de distribuição universal de velocidades Equação 220 e usandose o conceito de velocidade de atrito e velocidade média em uma seção podese integrar o perfil de velocidade e chegar à seguinte relação entre a velocidade média V e a máxima Vmax em uma tubulação circular na qual o fator de atrito é V Vmax 1 375f8 Existe melhor concordância com resultados experimentais quando o fator 375 é substituído por 407 assim e usando a Equação 226 fica V Vmax V 407 u Esta equação tem caráter geral e é válida tanto para tubos lisos quanto rugosos Com este resultado passase ao Exemplo 23 EXEMPLO 23 Em um escoamento estabelecido num tubo de 010 m de diâmetro a velocidade na linha central é igual a 30 ms e a 15 mm da parede do tubo é 26 ms Calcule o fator de atrito da tubulação e a vazão Equação 220 V Vmax V 25 ln ry 3026 25 ln 0050015 Equação 128 u f8 0133 e V Vmax 1 407f8 V 30 portanto V 246 ms daf f 0023 e Q 246π0052 0019 m³s EXEMPLO 24 Água escoa em um tubo liso com número de Reynolds igual a 25000 Compare os valores da relação velocidade média V e velocidade máxima Vmax calculados pela relação do exemplo anterior com o fator de atrito dado pela fórmula de Blasius sendo a relação calculada pela lei da raiz sétima de Prandtl ver resultado do Problema 11 Blasius f 0316 Re025 031625000025 00251 daf V Vmax 1 1 407002518 0814 Lei da raiz sétima V Vmax 4960 0817 Os valores são praticamente iguais o que mostra que a fórmula de Blasius dentro da faixa 3000 Re 105 fornece bons resultados na determinação do fator de atrito para tubos lisos 1f 2 log e37D 251Ref Esta equação particularmente indicada para a faixa de transição entre os escoamentos turbulentos liso e rugoso tem sua condição de aplicabilidade no intervalo 1414 RefDe 198 Devese observar que a fórmula de ColebrookWhite se reduz às Equações 229 e 234 para os tubos lisos ou para os tubos rugosos se a rugosidade relativa tende a zero ou o número de Reynolds tende para infinito respectivamente Posteriormente em 1944 Moody5 estendeu o trabalho e representou esta equação em um gráfico na forma do diagrama de Stanton que apresenta os eixos coordenados em graduação logarítmica com o fator de atrito f em ordem e o número de Reynolds em abscissas para vários valores de rugosidade relativa conforme Figura 27 A utilização da Equação 235 apresenta dificuldades computacionais uma vez que não se pode expedir o valor de f mas pode ser explicitada em relação à velocidade média na forma V 2g log e371D 251v2gDJ Diagrama de Moody Hidrânica Básica Cap 2 No mesmo trabalho SwameeJain apresentam expressões explícitas para o cálculo da perda de carga unitária Jmm da vazão Qm³s e do diâmetro Dm da tubulação cobrindo assim todos os problemas relativos ao dimensionamento ou verificação de escoamentos permanentes em tubos circulares sem necessidade de processos iterativos Tabela 22 Valores da rugosidade absoluta equivalente É interessante observar o valor do expoente da velocidade nas expressões da perda unitária para os três tipos de escoamentos turbulento rugoso laminar e turbulento liso Portanto o diâmetro é constante e a vazão também a carga cinética nas duas seções é a mesma Assim a equação da energia entre A e B fica zA pAγ zB pBγ ΔH J K Q Dm 244 Tabela 23 Valores da constante β da fórmula de HazenWilliams Q A V 265 103 Vπ0152 4 V 150 ms Re 225 105 262 COMPARAÇÃO ENTRE A FÓRMULA DE HAZENWILLIAMS E A FÓRMULA UNIVERSAL J 681 v185 C185 D117 f v2 D 2g C f054 Rey0081 D0011 Figura 28 Adequabilidade da fórmula de HazenWilliams a Material aço galvanizado novo conduzindo água fria J 0002201 Q188 D488 b Material PVC rígido conduzindo água fria J 00008065 Q175 D475 Devese observar que os expoentes da Equação 247 estão bem próximos dos expoentes da fórmula de HazenWilliams 27 CONDUTOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR Nos itens anteriores foi vista uma série de formulações que refletem as relações entre a perda de carga a dimensão da tubulação circular e a característica do escoamento No caso das seções circulares existe uma simetria axial do escoamento o que resulta em uma distribuição uniforme da tensão de cisalhamento no perímetro No caso de condutos de geometria diversa da circular o efeito de forma da seção influi em tal distribuição de tensões e consequentemente no fator de atrito Em tais seções desenvolvemse escoamentos secundários e a distribuição de velocidade não tem simetria de modo que a tensão cisalhante tende a ser menor nos cantos da seção que a média em todo o perímetro No tratamento analítico de seções não circulares admitese que a tensão tangencial média ao longo do perímetro molhado da seção varie de modo similar à indicada na Equação 127 em que f tem o mesmo significado do fator de atrito nas tubulações circulares e só diferirá daquela em uma certa proporção que leve em conta a forma geométrica da seção Igualandose as Equações 125 e 127 chegase a τo γ Rh J ρfV2 8 J f 8Rh ρ γ V2 que pode ser escrita na forma J f V2 4Rh 2g 249 A expressão anterior é idêntica à das tubulações circulares Equação 242 em que unicamente aparece 4 Rh no lugar de D Desta forma concluise que no cálculo de um conduto de seção qualquer podese determinar um diâmetro equivalente ou diâmetro hidráulico de uma seção circular que tenha a mesma perda de carga que a seção considerada Este diâmetro equivalente é igual a quatro vezes o raio hidráulico da seção Como a seção circular plena tem Rh D4 evidentemente o diâmetro hidráulico desta é o próprio diâmetro geométrico Esta aproximação geométrica é tão mais válida quanto mais o valor do raio hidráulico da seção se aproximar da relação D4 do seu círculo circunscrito Assim a fórmula universal de perda de carga pode ser generalizada com o conceito de diâmetro hidráulico da seção de interesse na forma ΔH f L V2 Dh 2g 250 observando que o fator de atrito pode ser determinado no diagrama de Moody ou pela Equação 237 redefinindose o número de Reynolds e a rugosidade relativa da tubulação respectivamente como Re y VDh V 4Rh ε Dh 251 sendo V a velocidade média na seção original EXEMPLO 28 O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório principal com nível dágua suposto constante na cota 81200 m e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede nas horas de aumento de consumo com nível dágua na cota 80000 m No ponto B na cota 76000 m inalçase a rede de distribuição Para que valor particular da vazão de entrada na rede Q8 a linha piezométrica no sistema a mostrada na Figura 29 Determine a carga de pressão disponível em B O material das adutoras é aço soldado novo Utilize a fórmula de HazenWilliams desprezando as cargas críticas nas duas tubulações A situação da linha piezométrica podese concluir que o abastecimento de água está sendo feito somente pelo reservatório superior e o reservatório de sobra está sendo abastecido pois a cota piezométrica em B é superior a 80000 m e também as perdas de carga unitárias nos trechos são iguais mesmo inclinação da linha piezométrica Desta forma J1 J2 812800650420 00112 mm Pela Tabela 24 o valor do coeficiente de rugosidade vale C 130 e podese determinar as vazões nos dois trechos pela Tabela 23 como Trecho AB D1 6 C 130 e J1 112 m100 m β 968610³ en táo J1 β Q1 185 112 968610³Q1 185 Q2 000745 m³s Portanto a diferença está sendo consumida pela rede Q8 142 ls A cota piezométrica em B é igual ao NA do reservatório principal menos a perda de carga entre A e B CPB 81200 ΔHAB 81200 J1L1 81200 012650 80472 m portanto a carga de pressão disponível em B é a diferença entre a cota piezométrica e a cota geométrica no ponto PB 80472 76000 4472 mH₂O PB 43826 kNm² 28 PROBLEMAS 25 Mostre que a Equação 231 pode ser escrita como vu 575log2984yε 211 Dado um tubo circular e outro não circular ambos tendo o mesmo perímetro P para um escoamento turbulento de um líquido de viscosidade cinemática v e vazão Q em ambos os tubos mostre que a o número de Reynolds é o mesmo em ambas as situações e dado por Rey 4 QP v b a perda de carga unitária no tubo não circular é relacionada à perda de carga unitária no tubo circular pela expressão JnJc fcfe AcAn³ 215 Com que declividade constante deve ser assentada uma tubulação retilenea de ferro fundido novo e 025 mm de 010 m de diâmetro para que a carga de pressão em todos os pontos seja a mesma Vazão de água a ser transportada 11 ls I 00262 mm 221 Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm de ferro fundido em uso com cimento centrifugado foi instalada em uma seção A uma mangueira plástica piezômetro e o nível dágua na mangueira alcançou a altura de 420 m Em uma seção B 120 m a jusante de A o nível dágua em outro piezômetro alcançou a altura de 240 m Determine a vazão Q 2651 ls 227 Considere o escoamento de água em um conduíte forçado de seção quadrada de lado a Para uma determinada vazão determine a relação entre o fator de atrito f da fórmula universal e o coeficiente C de rugosidade da fórmula de HazenWilliams para que a perda de carga unitária seja a mesma nas duas formulações Utilize o conceito de diâmetro hidráulico nas duas equações f 12878a013 C185Q015 Q 0121 m³s J 68010³ ms y 29 mm 3347 mm dVdy 141 msm a Q 0117 m³s b Pot 3493 kW 475 cv c pintens 661 mH₂O d pdepγ 2561 mH₂O SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES Esta expressão mostra que a inclinação da linha piezométrica em relação à horizontal é sempre maior que a perda unitária J a menos que a tubulação esteja na horizontal situação em que são iguais Desde então ao desenhar o perfil altimétrico de uma adutora por exemplo em que esta não apareça reta étlina por acompanhar a topografia do terreno não se deve esperar tampouco que a linha piezométrica seja retilínea Assim quando nos exemplos do Capítulo 2 e nas aplicações que se seguirão a linha piezométrica for desenhada como retilínea se quer indicar somente que se sinaliza uma posição média da mesma não muito afastada da realidade e obtida partir do conhecimento das duas cotas piezométricas no início e da perda de carga unitária a desprezar 43 INFLUÊNCIAS RELATIVAS ENTRE O TRAÇADO DA TUBULAÇÃO E AS LINHAS DE CARGA Serão analisadas a seguir as influências sobre o escoamento que pode exercer o traçado de uma canalização que liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes Para uma adutora por gravidade suficientemente longa para que se possa despresar as perda localizadas um determinado comprimento material é diferente único e especialmente a estrutura é a Figura 42 Como tipo de transporte e reveladora do esquema tectônico se encontrase em torno de 12 ms o que significa que a carga cinética se situam entre 05 e 20 m valores bem menores que os outros fatores em regra para efeitos de explicação das situações de carga confudida a linha piezométrica é um tipo de energia de carga em desacordo uma vez que a carga pode ser capitulada A situação da Figura 42 é aquela buscada nos projetos e considerada a condição normal na qual todas as seções da tubulação estão sujeitas a carga de pressão positiva uma vez que o traçado se orienta na sua totalidade abaixo da linha piezométrica Neste condição a pressão de carga é igual ao desnível topográfico correspondendo ao PCE portanto a especificação da classe dos tubos capacidade de resistência a pressão interna deve ser feita a partir das pressões estáticas PY que são maiores que as dinâmicas PX Eventualmente as pressões máximas na linha e consequentemente a classe dos tubos podem ser especificadas levandose em conta os efeitos originados do fenômeno de golpe de ariete que é a variação de pressão que ocorre em uma tubulação como consequência de mudança na velocidade média devido a uma manobra relativamente brusca nos registros Outras trocadas e suas relações com as linhas de carga são apresentadas nas Figuras 43 a 45 em que o traçado 2 por necessidade topográfica de passar em certo ponto alto ou mesmo para o traçado do lançamento da adutora é devido ao erro de traçado que as situações mostradas são cada vez mais incomuns a Traçado 2 A canalização passa acima da LCE porém abaixo da LCA e do PCE Nesta situação estando a linha previamente cheia pela abertura do registro de nível localizado em L o escoamento deveria acontecer em condições normais sob a carga H Todavia em um ponto P do trecho da água não estará sob pressão positiva uma vez que como a linha piezométrica corta a adutora a carga de pressão absoluta é reinante medida por PM é inferior à pressão atmosférica local de uma quantidade medida por PO Em virtude dessa pressão negativa o escoamento tornase irregular pois além do despendido que não haverá dissolvido na água e que vai se acumulando nos pontos altos há tendência a entrada de ar ambiente pelas juntas Como nesta situação não é possível instalar ventosas pois entraria mais ar por elas será necessário correr risco de bombas ou outros recursos para extrair o ar por aspiração No caso da entrada ar de ser tal que a pressão em P se torne igual à atmosférica a linha piezométrica no trecho NP deixará de ser CO e passará a ser CP Além de P a água não encherá completamente a seção do conduto escoandose como em canal e só entrará em pressão enclonemente nova da seção a partir do ponto X sendo XD paralela a CP porque então para o va lor da vazão no trecho NP a linha piezométrica interrompida no trecho PX readquire sua declividade Calculandose a adutora para fornecer uma vazão Q ao reservatório R2 sob carga total H sendo a linha piezométrica CD temse pela Equação 242 J 00827F Q²D⁵ Q αJ D⁵ αHD⁵ 42 Quando porém a linha piezométrica em NP passar a ser CP nas condições expostas a nova vazão QI fornecida ao reservatório R2 será menor que a projetada uma vez que se a tubulação passa acima da linha piezométrica CD a nova linha de carga efetiva CP será necessariamente menor declividade isto é J1 J QI αJ1 D⁵ Q α J D⁵ 43 Esta situação leva a dois grandes inconvenientes O primeiro é o fato de a vazão real transportada ser menor que aquela para a qual a adutora foi calculada O segundo é que o trecho PX fica economicamente mal aproveitado uma vez que do ponto P em diante há uma disponibilidade grande de carga topográfica dada por H HI e como a vazão é reduzida o trecho PX estará ocioso como o escoamento ocupando somente parte da seção da tubulação sendo a parte restante preenchida por vapor que se desprende do líquido e o escoamento não será dado de modo regular tendo caráter punessent Se as condições de projeto exigirem o traçado NPL sem contornar o ponto alto para garantir o fornecimento da vazão Q e conseguir uma solução econômica é necessário dividir a entrada em dois trechos de diâmetros diferentes Assim instalase no ponto P um pequeno reservatório aberto para a atmosfera chamada caixa de passagem e dimensionase para a vazão de projeto Q o diâmetro D1 do trecho PL sob carga H e o diâmetro D2 D1 do trecho PH sob carga restante H HI A caixa de passagem deve ser provida de registros na entrada a saída para compatibilizar a vazão nos dois trechos com as cargas disponíveis pois os diâmetros calculados devem ser necessariamente coerentes b Traçado 3 A canalização corta a LCE e o PCE mas fica abaixo da LCA Devido à pressão própria a água irá até o ponto G escoandose retirandose o ar acumulado o trecho GEF por meio de uma bomba o encanamento funcionará como um sifão As condições são piores que no caso anterior pois o escoamento cessará completamente desde que entre ar no trecho GEF sendo necessário portanto assegurar novamente o sifão para permitir o funcionamento da adutora a Traçado 4 A canalização corta a LCA mas fica abaixo do PCE Haverá escoamento mas a vazão Q2 fornecida será inferior à vazão Q1 do traçado 2 A linha de pressão efetiva tornase CP no trecho NP e XD no trecho PL com CP paralela a XD No trecho PX a água se moverá como conduito livre só adquirindo pressão no ponto X A solução para contornar esta situação é semelhante ao caso 2 com a instalação de uma caixa de passagem no ponto alto e dimensionando a adutora em dois trechos distintos NP e PL de diâmetros diferentes 44 DISTRIBUIÇÃO DE VAZÃO EM MARCHA Qm Todos os elementos de transporte de água até aqui tratados referemse ao movimento permanente e uniforme no qual há constância de vazão ao longo do trecho Outro tipo de escoamento de interesse prática é aquele em que a vazão no longo do percurso é e classificado como movimento permanente gradualmente variado Tal situação ocorre nos contidos de um sistema de abastecimento público de água ou mesmo em sistemas de irrigação Nesta situações não há como determinar perdas de carga e vazões entre suas derivações sucessivas tendo em vista que seu número é em geral elevado e seu funcionamento é um modo intermitente e variável Para controlar o problema da variabilidade de distribuição especial e temporal da água ao longo do trecho assumese a hipótese básica que a totalidade da vazão consumido no percurso é feito de modo uniforme ao longo da linha como se fosse ligada a uma fonte de água de um ponto da tubulação distribuía uma vazão contínua chamada vazão unitária de distribuição expressa em ls ou m³sm³s Esta hipótese permite um tratamento analítico do problema usandose as equações de resistência discutidos no Capítulo 2 para o dimensionamento do sistema ou verificação de vazões e perdas de carga Suponha um trecho de tubulação de diâmetro constante e rugosidade uniforme de comprimento L alimentado por uma vazão Qm na extremidade de montante sendo Qj a vazão residual na extremidade de jusante conforme Figura 46 Sendo q a vazão unitária de distribuição e x uma abscissa marcada a partir da extremidade de montante em que a vazão residual é Qx as seguintes relações estão disponíveis Qm Qj qL e Qx Qm qx A Equação 242 aplicada ao trecho elementar dx em que a vazão é Qx na hipótese de assumir um coeficiente de atrito médio ao longo do trecho J 00827 Q²D⁵ J dx KQ² dx Deste modo a perda de carga contínua ao longo do comprimento L é calculada por ΔH ₀L J dx ₀L KQm qx² dx ou ΔH KLQm² Qm qL q² L²3 A Equação 48 mostra que a perda de carga é funda cúbica do comprimento do trecho e assim em uma tubulação distribuída em mar cha a linha de energia é representada por uma parábola cujas tangentes inicial e final têm inclinações correspondentes aos escoamentos uniformes de vazões Qm e Qj conforme figura 46 Chamando Qd q L Qm Qj a vazão total distribuída no percurso a Equação 48 é aproximadamente igual a ΔH KLQm 045Q₀² Com o objetivo prático de facilitar os cálculos definese como vazão equivalente ou vazão fictícia Qf uma vazão constante que percorrendo o conduto em toda sua extensão produz a mesma perda de carga verificada na distribuição em marcha Desta forma para o mesmo conduto a perda de carga contínua é dada por ΔH KLQf² Comparandose as Equações 49 e 410 podese determinar o valor da vazão fictícia como Qf Qm 045Q₀ Considerando a natureza do problema o número de elementos em jogo e as hipóteses adotadas para propósitos práticos a vazão fictícia pode ser escrita da forma mais cômoda como Qf Qm 050Qq Pela Equação 44 a expressão da vazão fictícia tornase Qf Qm Qj2 Logo para efeito prático podese determinar a perda de carga ao longo do comprimento L utilizandose uma vazão constante que percorra todo o trecho e cujo valor seja a média aritmética das vazões de montante e jusante Um caso particularmente é a situação em que toda a vazão de montante é consumida ao longo do comprimento L de modo que na extremidade de jusante a vazão residual seja nula Neste caso a extremidade de jusante será a extremidade aberta ou ponta seca 175 0082700220020 0022002 Q2 0022Q2 2 0022Q2 2 2g 015 015 015 175 16383 Q2 0383 287510 Q2 201257 Q2 1367 287510 Q2 217595 Q2 Como pela Equação 412 a vazão fictícia é a média entre a vazão de montante e de jusante vem Qr Qm Qi 0020 Qi 2 2 Substituindo na expressão anterior 1367 287510 0020 Q2 2 217595 Q2 Qi 0015 m³s Logo a vazão distribuída ao longo dos 120 m vale Qd Qm Qi 50 ls Dado a vazão unitária de distribuição será Qd 50 q 120 q 00417 ls 45 CONDUITOS EQUIVALENTES Muitas vezes há interesse prático para efeito de cálculo na determinação das características geométricas e de rugosidade de uma tubulação equivalente a outra ou a um sistema de tubulações O conceito de equivalência é o mesmo adotado no método dos comprimentos equivalentes do Capítulo 2 ou seja um conduto equivalente a outro ou a um sistema de condutos será a perca de carga total em ambos é a mesma para a mesma vazão transportada A adoção do conceito de equivalência tornase vantajosa uma vez que se pode substituir um sistema complexo de tubulações por outro mais simples ou mesmo por um conduto único 451 CONDUTO EQUIVALENTE A OUTRO Sejam dois condutos de comprimentos diâmetros e rugosidades diferentes Para que haja equivalência entre ambos é necessário que ΔH1 ΔH2 e Q1 Q2 Pela Equação 242 a perda de carga é dada em termos da vazão como ΔH 00827 f L Q² D5 Para as duas tubulações igualando as perdas de carga e simplificando a expressão anterior chegase a L2 L1 f1 f2 D2 D1 75 Expressão que permite determinar o comprimento do segundo conduto de diâmetro D2 equivalente ao primeiro de diâmetro D1 Utilizandose a fórmula de HazenWilliams a equação correspondente a anterior será Portanto comparandose a equação anterior com a Equação 410 verificase que se a vazão na extremidade de jusante for nula a vazão fictícia é dada por Qr Qm 3 e a perda de carga é igual à terça parte da que ocorreria se toda a vazão de montante Qm fosse transportada até a extremidade de jusante sem distribuição em marcha EXEMPLO 41 OK ENTENDI SOU TUDO BELEZA HEIN Na tubulação mostrada na Figura 47 com 6 de diâmetro e coeficiente de atrito 0022 a pressão em A vale 1666 kNm² e em D vale 1402 kNm² Determine a vazão unitária de distribuição em marcha q sabendo que a vazão no trecho AB é de 20 ls Despreze as perdas localizadas As energias disponíveis nos pontos A e D em relação a um plano horizontal passando por BC valem respectivamente EA zA PA γ V² A 2g 10 166610³ 9810³ V² A 9810³ 1806 m ED zD PD γ V² D 2g 140210³ 9810³ V² D 2g 1631 V² D 2g Portanto a perda de carga total entre os pontos A e D é igual à diferença EA ED e pode ser a soma das três parcelas ΔHAB ΔHBC ΔHCD Utilizando o conceito de vazão fictícia podese escrever ΔHAD 175 D² 2g JAB JBC JCD Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 103 a Sistema em série A característica principal de tal sistema assim como na associação de resistências em série é que o conduto é percorrido pela mesma vazão corrente elétrica e a perda de carga total entre as extremidades é a soma das perdas de carga queda de tensão em cada tubo O conduto equivalente de comprimento L diâmetro D e coeficiente de atrito f a um sistema de n tubulações pode ser determinado como ΔH αf L D S ² Σ αf L i D i 5 Q² i1 portanto 417 f L D 5 Σ f i L i D i 5 417 Fixado um certo diâmetro D o comprimento L de uma tubulação equivalente a um sistema em série também pode ser determinado transformandose cada trecho da associação em conduto equivalente de diâmetro D usando a Equação 415 Pela fórmula de HazenWilliams a expressão correspondente à Equação 417 é L C1485 D 487 Σ L i C1485 D i 487 418 b Sistema em paralelo O sistema em paralelo é mais complexo que o sistema em série uma vez que como na associação de resistências em paralelo há uma redistribuição da vazão de entrada corrente elétrica pelos trechos inversamente proporcionais às resistências hidráulicas órmicas A característica básica do esquema é que a perda de carga queda de tensão é a diferença de cotas piezométricas potências elétricas na entrada e saída do sistema circuito de modo que a perda de carga é a mesma em todos os trechos e a vazão de entrada é igual a Hidrânica Básica Cap 4 104 A Figura 48 mostra um sistema em paralelo constituído por três trechos de comprimentos diâmetros e fatores de atrito diferentes Sendo Q a vazão de entrada é possível substituir a associação em paralelo por um único conduto que lhe seja equivalente observando que Q Q1 Q2 Q3 e também ΔH AB ΔH1 ΔH2 ΔH3 Pela Equação 414 a vazão em um trecho qualquer tem a forma Q i ΔH D 5 α f L i 419 Como o conduto equivalente de comprimento L diâmetro D e coeficiente de atrito f deverá transportar a vazão total Q sob perda de carga ΔH pela equação da continuidade vem Q Q1 Q2 Q3 ΔH D 5 α f L ΔH D 5 α f L i Desolvendo e observando que a perda de carga é constante chegase a D²5 L 05 Σ D²5 L i 05 420 O uso da Equação 420 tornase mais prático observandose que se for fixado o comprimento L entre os pontos A e B e determinado o diâmetro equivalente pela equação anterior este muito provavelmente não será um troco comercial Assim é mais fácil aplicar a Equação 420 e voltar do diâmetro D do conduto equivalente ao comprimento L Se for usada a equação de HazenWilliams a expressão correspondente à Equação 420 será Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 105 EXEMPLO 42 A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema de tubulações mostrado na Figura 49 Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulações e igual a f 0020 desprezando as perdas localizadas e as cargas cintéticas determine a vazão que chega ao reservatório R2 as vazões nos trechos de 4 e 6 e a pressão disponível no ponto B Como o trecho BC tem diâmetro 8 é conveniente transformar o trecho em paralelo em um conduto equivalente também de 8 pois assim toda a linha transformada ficará com um diâmetro único Pela Equação 420 podese calcular o comprimento de uma tubulação de 8 equivalente à associação em paralelo de 4 e 6 na forma L 8 25 L 05 625 75 05 42 60 05 L 1600 m Portanto o problema transformase em outro mais simples de uma audora de 2500 m de comprimento e 8 de diâmetro sujeita a uma diferença de cotas piezométricas de 20 m Pela Equação 414 determinase a vazão veiculada pelo sistema como ΔH 00827 f L Q² D 5 20 008270020Q² Q 00393 m³s A cota piezométrica no ponto B pode ser calculada através da perda de carga no trecho BC pela relação CPB ΔH 57300 B ΔH 008270020Q 900 0205 Pela propriedade do trecho em paralelo as perdas de carga nos condutos de 4 e de 6 de diâmetro são iguais entre si e iguais à diferença de cotas piezométricas entre o reservatório superior e o ponto B Desta modo ΔHAB 59300 58020 00827 0020 0750 0155 Q2 0028 m³s ΔHAB 59300 58020 00827 0020 0600 0105 Q4 00114 m³s A carga de pressão disponível em B é igual à diferença entre a cota piezométrica e a cota geométrica pBγ 58020 54420 360 mH₂O pB 35280 kNm² 46 SISTEMAS RAMIFICADOS Um sistema hidráulico é dito ramificado quando um ou mais seções de um conduto ocorrem variação da vazão por derivação de água A derivação de água pode ser para um reservatório ou para consumo direto em uma rede de distribuição Serão analisados dois casos clássicos e simples como meio de demonstrar o tipo de racionamento para o problema ΔH Z₁ Z₂ A vazão pode ser determinada como ΔH ΔH₁ ΔH₂ 00827Q² rfL₁D₁⁵ rfL₂D₂⁵ À medida que a solicitação em B aumenta a linha piezométrica cai pela diminuição da cota piezométrica em B e consequente redução da vazão que chega a R₂ Este processo continua até que a cota piezométrica B₃ se torne igual ao nível dágua Z₂ Neste ponto a linha piezométrica B₃M é horizontal e a vazão no trecho 2 é nula A vazão retirada em B neste caso é dada por QB Z₁ Z₂D₁⁵ 00827f₁L₁ A questão básica é saber como as vazões são distribuídas pelos três condutos na condição de regime permanente isto é estando o sistema em equilíbrio A questão fundamental para a determinação das vazões é conhecer o valor da cota piezométrica no ponto de bifurcação ponto B Pela própria condição topográfica do sistema é evidente que o reservatório 1 será sempre abastecido enquanto o reservatório 3 será sempre abastecido Seja X o valor da cota piezométrica em B Três situações se apresentam a Se X Z₂ a vazão descarregada do reservatório 1 será transferida parte para o reservatório 2 e parte para 3 isto é abastecer R₂ e R₃ b Se X Z₂ a vazão no conduto 2 é nula perda de carga nula e vazão que sai de R₁ é integralmente transferida para R₃ c Se X Z₂ o reservatório R₂ passa a ser também abastecido portanto R₃ é abastecido pelos outros dois A determinação das vazões pode ser feita por um processo de tentativa e erro fixandose o valor da cota piezométrica em B e verificando a condição de continuidade das vazões no ponto de bifurcação Admitindo um coeficiente de atrito único para as três tubulações as equações que devem ser satisfeitas são Z₁ X k L₁D₁² Q₁² X Z₂ ou Z₂ X k L₂D₂² Q₂² X Z₃ k L₃D₃² Q₃² Q₁ Q₂ Q₃ ou Q₃ Q₁ Q₂ Outras variantes deste problema podem ser resolvidas utilizandose o procedimento descrito como por exemplo a ligação de quatro reservatórios através de duas junções distintas Fixandose a cota piezométrica na junção mais próxima ao reservatório de cota mais elevada determinamse as vazões dos dois reservatórios mais próximos Com estes valores e a equação de continuidade a cota piezométrica da segunda junção pode ser determinada Se as condições de continuidade não forem satisfeitas na segunda junção um novo valor da cota piezométrica na primeira junção é adotado e o processo repetido EXEMPLO 43 Uma instalação de transporte de água compreende dois reservatórios A e D abertos e mantidos em níveis constantes e um sistema de tubulações de ferro fundido novo C 130 com saída livre para a atmosfera em C No conduto BD e logo a jusante de B está instalada uma bomba com rendimento igual a 75 Determina a vazão bombeada para o reservatório D quando o conduto BC deixa sair livremente uma vazão de 010 m³s e ter uma distribuição de vazão em marcha com taxa vazão unitária de distribuição q 000015 m³sm Determine também a potência necessária à bomba Despreze as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações Trecho AB ΔHAB 300 2422 578 m JAB 578 m 810 m 0714 m100 m Para DAB 040 m JAB 0714 m100 m e C 130 pela Tabela 23 vem 0714 11327QAB185 QAB 0225 m³s QBD 0225 016 0065 m³s Bomba como se está desprezando a carga cinética a altura total de elevação da bomba é igual à diferença entre as cotas piezométricas na saída e na entrada da bomba Na entrada da bomba a cota piezométrica vale CPB 2422 m e na saída pode ser determinada calculandose a perda de carga no trecho BD Para QBD 0065 m³s DBD 020 m e C 130 pela Tabela 23 vem JBD 3312 10² 0065¹85 2108 m100 m ΔHBD 422 m Pela equação da energia CPs ΔHBD 360 CPs 4022 m Da Equação 134 Pot ηQH1 H2 98006540222422 1358 kW 1884 CV H H0 H1 v²2g ΣΔH 425 V 2g H0 H1 ΣΔH 426 Esta equação fornece a primeira condição para o funcionamento do sifão Uma vez que V 0 temse H0 H1 ΣΔH ou H0 H1 ΣΔH 427 A Equação 427 indica que a saída do sifão deve ser tão baixa quanto maiores forem as perdas de carga existentes Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos A e C chegase a pa pA γ H v²2g ΣΔH 428 Outra condição limite de funcionamento pode ser obtida fazendose a pressão no ponto alto ser igual a tensão de vapor da água pv e então pela expressão anterior H1 pa pv γ ΔHAC 429 Esta condição indica que a sobreelevação do ramo ascendente do sifão deve ser tão menor quanto maiores forem as perdas totais entre A e C Como se deve ter uma pressão absoluta em C bem acima da pressão de vapor na prática o ponto alto da canalização não deve superar 5 a 6 m acima do nível do reservatório Finalmente a aplicação da equação da energia entre o ponto mais alto e a saída do sifão observando a continuidade do escoamento leva a outra condição limite de funcionamento na forma H0 Pc γ pa γ ΔHCD Pela mesma condição da Equação 429 a cota de saída do sifão em relação a cota superior deve atender a desigualdade H0 pa pv γ ΔHCD 430 que na prática indica um valor da ordem de 8 m no máximo Como o comprimento do sifão é relativamente pequeno as perdas de carga localizadas não são desprezíveis em relação às demais pela Equação 425 podese englobar todas as perdas na mesma circunstância H v² 2g 1 f LD ΣK v 1 α 2gH Sendo A a área da seção transversal do sifão a vazão pode ser determinada por Q VA μA 2gH 431 Esta expressão é conhecida como lei dos orifícios a ser discutida posteriormente sendo μ um coeficiente definido como coeficiente de vazão EXEMPLO 44 O sifão mostrado na Figura 414 conecta dois reservatórios com diferença de níveis igual a 40 m e tem a forma de um arco de parábola dado por y 01 x² Se o diâmetro d igual a 010 m fator de atrito f 0018 e coeficientes de perda de carga na entrada e saída correspondem a 05 e 10 determine a a vazão descarregada b as coordenadas do ponto de pressão mínima em relação ao referencial xy c a pressão mínima Em um sifão a pressão mínima pode não ocorrer no ponto mais alto mas logo à sua jusante uma vez que as perdas por atrito e na entrada podem reduzir mais a pressão do que o acrecimento causado pela diminuição de cota topográfica O comprimento do arco de uma curva plana entre os pontos a e b é dado por Lab b a 1 dy dx ² dx Para a parábola dada dydx 02x assim o comprimento total do sifão pode ser calculado como Lab 837 548 1 004x² 17814 m Portanto a velocidade média é calculada pela aplicação da equação da energia entre os níveis dágua na forma 40 v² 2g 05 10 0018 010 17814 V 408 ms Q 321 ls As perdas localizadas na entrada e na saída correspondem pela Equação 316 a um comprimento equivalente Le KD f 1501 0018 833 m O ponto de pressão mínima é aquele ponto do arco que está verticalmente mais distante da linha piezométrica Geometricamente corresponde à distância da tangente ao arco derivada que seja paralela à linha piezométrica Portanto J ΔH Lab 40 17814 833 0153 mm dy dx 02x x 077 m y 0059 m Aplicando a equação da energia entre o ponto a e o ponto de pressão mínima e calculando o comprimento do arco correspondente x 548 a x 077 de forma análoga temse 0 p γ 3 0059 408² 196 1 05 0018 0564 Portanto P γ 537 m H2O p 5264 kNm² 48 ESCOAMENTO QUASEPERMANENTE Grande parte das aplicações feitas nos capítulos anteriores teve como premissa básica o escoamento permanente isto é suas propriedades e características em cada ponto do espaço eram invariantes no tempo Em problemas como enchimento ou esvaziamento de reservatórios nos quais a taxa de varia Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulação 115 ação de vazão lenta e contínua com o tempo podese desprezar a aceleração do fluido e as forças responsáveis por esta aceleração Este tipo de escoamento é dito quase permanente e as equações utilizadas no caso permanente podem ser aplicadas com razoável acurácia Dois problemas que podem ser tratados com esta hipótese são o esvaziamento de um reservatório através de uma tubulação com saída livre e a variação no tempo dos níveis de água em dois reservatórios abertos e ligados por uma tubulação No primeiro caso conforme a Figura 415 uma tubulação de características conhecidas descarregando livremente permite o esvaziamento do reservatório aberto de geometria dada a partir de uma condição inicial do nível dágua Como a área do reservatório Ar é muito maior que a área da tubulação At a variação no tempo do nível dágua é lenta e a única forma de energia disponível é a potencial dada pela carga de posição z Na extremidade de saída a energia residual em relação ao referencial passando por esta seção é a carga cinética Assim a equação de energia aplicada aos dois pontos sujeitos à pressão atmosférica em um tempo gerido t considerandose todas as perdas de energia tornase z v²2g KfLD 432 Devese observar que a aproximação realizada ao se adotar a Equação 432 corresponde a desprezar o termo Lg dVdt da Equação 111 Para propósitos práticos o fator de atrito na Equação 432 é assumido constante a depender da variação do número de Reynolds pela variação da At e da At2 é H0 e em um tempo genérico vale H A equação de energia aplicada entre os dois níveis dágua leva a Hidráulica Básica Cap 4 A continuidade do escoamento entre a superfície do reservatório e a saída da tubulação de área At permite escrever Q VAt βzAt Atzdz dt 434 em que o sinal negativo indica um processo de esvaziamento isto é quando o tempo aumenta o nível dágua diminui e Arz é a relação entre área e a profundidade do reservatório na faixa a z y A Equação 434 leva à seguinte integral t 1βAt z Arzz12dz z1 435 que pode ser resolvida por processos analíticos ou métodos de integração numérica ou gráfica desde que se estabeleça a função Arz No caso particular em que o reservatório é prismático a área é constante e a integração tornase t 2ArβAt a z 436 Escoamento quasepermanente pode ocorrer também quando dois tanques ou reservatórios são conectados por uma tubulação de diâmetro relativamente pequeno permitindo a transferência de água por gravidade entre eles com variação dos níveis dágua como na Figura 416 Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulação 117 V 2gKfLD H V α αH 437 A condição de continuidade do escoamento impõe que Q VAt αHAt A1dz1dt A2dz2dt 438 A relação entre a variação dos níveis dágua com o tempo é dada por z2 z1 H dz2dt dz1dt dHdt que substituída na relação precedente fica dz1dt dHdt 11 AtA2 Substituindose na Equação 438 temse αHAr A1 dH1 AtA2 dt A1 αHA11 AtA2 dH expressão que integrada entre a condição inicial e um tempo qualquer fica t 2A1αAtH0 H 439 49 PROBLEMAS Un sistema de distribuição de água é feito por uma auditora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro ambos com o mesmo fator de atrito f 0028 A vazão total que entra no sistema é 0025 m3s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento vazão de distribuição unitária nos dois trechos de modo que a vazão na extremi Hidráulica Básica Cap 4 118 Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 119 Hidráulica Básica Cap 4 120 a a carga de pressão mínima no sistema deve ser de 20 mH2O b as vazões que chegam aos reservatórios E e D devem ser iguais Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas DAB 020 m DBC 015 m DCE 010 m 412 A diferença de nível entre dois reservatórios conectados por um sifão 675 m O diâmetro do sifão é 030 m seu comprimento 750 m e o coeficiente de atrito f 0026 Se ar é liberado de água quando a carga pressão absoluta é menor que 12 mH2O qual deve ser o máximo comprimento do tramo ascendente do sifão para que ele escane seção plena sem quebra na coluna de líquido se o ponto mais alto está 554 m acima do nível do reservatório superior Neste caso qual a vazão Pressão atmosférica local 9265 kNm2 La 273 m Q 0105 m3s 413 Dois reservatórios têm uma diferença de nível igual a 15 m e são conectados por uma tubulação ABC na qual o ponto mais alto B está 2 m abaixo do nível dágua do reservatório superior A O trecho AB tem diâmetro de 020 m e o trecho BC diâmetro de 015 m e o fator de atrito f é mesmo para os dois trechos O comprimento total da tubulação é 3000 m Determine o maior valor do comprimento AB para que a carga de pressão em B não seja menor que 2 mH2O abaixo da pressão atmosférica Despreze a carga cinética LAB 1815 m 414 Um tanque cilíndrico aberto de 10 m de diâmetro está sendo esvaziado por um tubo de 50 mm de diâmetro e 40 m de comprimento com entrada em aresta viva K 05 para o qual f 0025 e descarregando na atmosfera Determine o tempo necessário para que a diferença entre o nível dágua no tanque e o nível da saída do tubo caia de 20 m para 10 m t 140 s 415 Dois reservatórios prismáticos de área igual a 74 m2 e outro de área igual 37 m2 estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimento de 50 mm de diâmetro com fator de atrito f 0030 Determine o tempo necessário para que um volume de 23 m3 de água seja transferido do tanque para o outro Considerando a diferença de nível inicial entre eles de 15 m Coeficientes de perda de carga na entrada K 05 e na saída K 10 t 388 min