Otica e Fısica Moderna - Conteúdo e Referências

4320293 Otica e Fısica Moderna Marcos Lima Referˆencias Serway Jewett Principles of Physics 4th Edition Thomson 2006 Young Freedman University Physics 12th Edition Pearson 2004 Halliday Resnick Fundamentals of Physics 9th Edition John Wiley Sons 2011 Nussenzveig Curso de Fısica Basica Vol 4 Edgard Blucher 1997 Feynman Leighton Sands The Feynman Lectures on Physics AddisonWesley 1964 Griffiths Introduction to Electrodynamics 3rd Edition Prentice Hall 1999 Reif Fundamentals of Statistical and Thermal Physics McGrawHill Science 1965 Eisberg Resnick Quantum Physics 2nd Edition Wiley 1985 Griffiths Introduction to Quantum Mechanics Prentice Hall 1995 Shankar Principles of Quantum Mechanics 2nd Edition Springer 1994 3 Conteudo 1 Ondas Eletromagneticas 9 11 Equacoes de Maxwell 9 12 Equacao de Onda Mecˆanica Corda 9 13 Equacao de Ondas Eletromagneticas 10 131 Solucao no Vacuo 10 14 Equacoes de Maxwell em Meios Materiais 13 15 Condicoes de Contorno 15 151 Meios Lineares 16 16 Reflexao e Refracao Incidˆencia Normal 17 2 Reflexao Refracao e Polarizacao 19 21 Leis da Reflexao e da Refracao 19 211 Condicoes de Contorno 20 212 Refletividade e Transmissividade 23 213 Reflexao Total 24 214 ˆAngulo de Brewster 26 215 Dispersao 27 22 Princıpio de Huygens 27 221 Reflexao e Refracao 28 23 Princıpio de Fermat 28 231 Reflexao e Refracao 28 24 Polarizacao 30 241 Ondas Planas Monocromaticas 30 242 Polarizacao Linear 31 243 Polarizacao circular 31 244 Polarizacao elıptica 31 245 Luz naopolarizada 31 3 Imagens por Espelhos e Lentes 33 31 Objetos e Imagens 33 32 Espelho Plano 34 33 Espelho Esferico 34 331 Espelho Esferico Cˆoncavo 35 332 Espelho Esferico Convexo 37 333 Construindo diagramas 38 34 Refracao em Superficies Esfericas 38 5 6 CONTE UDO 341 Refracao em Superficies Planas 40 342 Refracao em Superficies Convencoes 40 35 Lentes Delgadas 40 351 Derivacao 1 Duas superfıcies refratoras 41 352 Derivacao 2 Princıpio de Fermat 42 4 Interferˆencia e Difracao 45 41 Interferˆencia por fenda dupla 45 42 Mudanca de Fase na Reflexao 47 43 Interferˆencia em Filmes Finos 48 44 Difracao 49 5 Mecˆanica Estatıstica 55 51 Estados de Energia 55 52 Temperatura Pressao Trabalho e Calor 56 53 Equilıbrio Termodinˆamico 58 54 Distribuicao de Boltzmann e Funcao de Particao 59 55 Medias e Vınculos 61 56 Gas Ideal e Limite Classico 62 57 Teorema da Equiparticao de Energia 65 58 Distribuicao de Velocidades de Maxwell 65 581 Valores medios 67 59 Radiacao Termica Classica e Espectro de Corpo Negro 68 6 Mecˆanica Quˆantica 73 61 Modelo de Planck 73 611 Lei de Deslocamento de Wien 75 612 Lei de StefanBoltzmann 76 62 Efeito Fotoeletrico 77 63 Atomo de Bohr 80 631 Orbitas 81 632 Energias 81 64 Efeito Compton 82 65 Ondas de de Broglie 84 651 Atomo de Bohr Revisitado 86 66 Interferˆencia de Eletrons 86 661 Experimento de DavissonGermer 86 662 Fenda Dupla com Eletrons 88 67 Princıpio de Incerteza de Heisenberg 90 671 Difracao de Eletrons 90 672 Incerteza PosicaoMomento 91 673 Incerteza EnergiaTempo 91 674 Funcao de Onda 92 CONTE UDO 7 7 A Equacao de Schrodinger 95 71 Funcoes de Onda 95 72 Operadores Posicao Momento e Energia 95 721 Valores Medios 96 73 Equacao de Schrodinger 96 731 Condicoes de Contorno 97 74 Partıcula Livre 98 741 Pacote de Ondas 98 75 Partıcula na Caixa 99 76 Barreira de Potencial e Tunelamento 101 77 Oscilador Harmˆonico Simples 105 771 Estado Fundamental 109 772 Funcao de onda dos momentos 109 773 Relacao com o caso classico 109 8 Fısica Atˆomica 111 81 Equacao de Schrodinger em 3 Dimensoes 111 82 Potencial Central 111 83 Solucoes das Equacoes Angulares 113 84 Momento Angular 115 85 Solucao da Equacao Radial 116 86 Solucao final 118 861 Estado Fundamental 119 87 Series Espectrais 120 9 Estatıstica Quˆantica 121 91 Partıculas Idˆenticas 121 911 Estatıstica de Spin Bosons e Fermions 122 912 Princıpio de Exclusao de Pauli 122 913 Spin e Tabela Periodica 123 914 Partıculas Classicas e Quˆanticas 123 92 Estatıstica Quˆantica Ensemble GrandCanˆonico 124 921 Distribuicao de FermiDirac 125 922 Distribuicao de BoseEinstein 126 923 Distribuicao de MaxwellBoltzmann 127 924 Limite Classico 128 925 Comparacao 128 93 Estatıstica Quˆantica Ensemble MicroCanˆonico 129 931 Configuracoes 129 932 Distribuicao de Equilibrio 132 933 Distribuicao MaxwellBoltzmann 133 934 Distribuicao de BoseEinstein 133 935 Distribuicao de FermiDirac 134 94 Aplicacoes 135 941 Gas de Bosons 135 942 Gas de Fermions 137 CONTEÚDO Capıtulo 1 Ondas Eletromagneticas 11 Equacoes de Maxwell As equacoes de Maxwell descrevem a producao e propagacao de campos eletromagneticos Na forma diferencial sao dadas por E ρ ϵ0 Lei de Gauss 11 B 0 Inexistˆencia de Monopolos Magneticos 12 E B t Lei de inducao de Faraday 13 B µ0j µ0ϵ0 E t Lei de Ampere 14 onde ρ e a densidade de carga eletrica e j e a densidade de corrente eletrica 12 Equacao de Onda Mecˆanica Corda Figura 11 Forca de tensao sobre um ele mento de uma corda oscilante Na horizon tal a forca e nula pois a corda nao se move nessa direcao Na vertical a forca e dada pela segunda Lei de Newton causando os cilacao na corda Griffiths Considere um pulso de onda que se propaga em uma corda esticada com extremidades fixas Podemos obter a equacao de ondas nesse caso usando a segunda Lei de Newton em um elemento da corda de comprimento x e altura vertical ux t conforme a Fig82 Primeiramente temos que a forca horizontal no ele mento de corda e nula ja que este nao se movimenta nesta direcao Ja as forcas verticais se somam para acelerar a corda Aplicando a segunda Lei de Newton obtemos a equacao de movimento 2u x2 1 v2 2u t2 Equacao de Ondas na Corda 15 onde v e a velocidade da onda na direcao de propagacao ie na direcao x 9 10 CAPITULO 1 ONDAS ELETROMAGNETICAS 13 Equacao de Ondas Eletromagneticas 131 Solucao no Vacuo No vacuo ie na ausˆencia de cargas ρ 0 e correntes j 0 as Eqs de Maxwell ficam E 0 16 B 0 17 E B t 18 B µ0ϵ0 E t 19 Temos entao E E 2 E B t B t µ0ϵ0 2 E t2 e portanto 2 E µ0ϵ0 2 E t2 110 ou definindo c 1µ0ϵ0 2 E 1 c2 2 E t2 0 111 O mesmo procedimento nas equacoes para B leva a 2 B 1 c2 2 B t2 0 112 ie no vacuo os campos E e B se propagam satisfazendo a equacao de ondas classica em 3 dimensoes com velocidade v c Inserindo valores numericos obtemos c 1 µ0ϵ0 2998 108ms 113 ie a velocidade de propagacao que resulta de quantidades puramente eletromagneticas e idˆentica a velocidade da luz no vacuo A luz e onda eletromagnetica se propagando unificacao do eletromagnetismo e da otica Questao c e a velocidade da luz com relacao a que referencial A resposta a esta pergunta levou Einstein a desenvolver a Relatividade Especial e com ela revolucionar a fısica classica no inıcio do seculo XX 13 EQUAC AO DE ONDAS ELETROMAGNETICAS 11 Note que a Eq 111 e vetorial e portanto cada componente de E Ex Ey Ez satisfaz uma equacao de onda Idem para B Por exemplo se Ex Exz t e funcao apenas da coordenada z e do tempo t mas nao de y e z e Ey Ez 0 temos 2Ex z2 1 c2 2Ex t2 0 114 Solucao Podese verificar que Exz t Fz ct 115 onde F e uma funcao qualquer satisfaz a Eq de onda unidimensional acima Definindo δ zct temos Ex z Ex δ 2Ex z2 2Ex δ2 Ex t cEx δ 2Ex t2 c2 2Ex δ2 que portanto satisfaz a Eq de ondas Para encontrar B Bz t consideramos as Eqs de Maxwell e concluimos que a parte de solucoes constantes temos Bx Bz 0 Byz t Exz t c 116 ou seja Ez t Fz ctˆx 117 Bz t Fz ct c ˆy 1 c ˆz E c c2 E 118 Figura 12 Propagacao de ondas eletromagneticas Os campos E e B sao perpendiculares entre si e a direcao de propagacao Serway Os campos se propagam ortogonais entre si e com a direcao de propagacao E B c A solucao Fz ct representa uma onda progressiva ie se propagando para frente enquanto Fz ct representa uma onda regressiva 12 CAPITULO 1 ONDAS ELETROMAGNETICAS Ondas Planas As solucoes correspondendes a ondas planas monocromaticas sao dadas por uma forma especifica da funcao F dada em termos de senoscossenos Exz t A coskz ct A coskz ωt 119 onde ω kc Definindo k 2πλ e ω 2πT 2πν onde λ e o comprimento de onda T o perıodo e ν a frequˆencia da onda temos c λT ωk Luzes de diferentes cores correspondem a onda de diferentes frequˆencias formando um espectro eletromagnetico Fig 13 Figura 13 Espectro Eletromagnetico Serway Notação Complexa Frequentemente usase a notação complexa para representar ondas planas onde e Tomando a parte real imaginária da exponencial complexa obtémse novamente o cosseno seno Esta notação facilita alguns cálculos eg interferência em que se trabalha com a exponencial e ao final tomase a parte real A polarização é definida como o momento de dipolo elétrico por unidade de volume e se relaciona com as cargas de polarização QP via Com essas cargas livres e de polarização e correntes livres de polarização e de magnetização podemos obter as Eqs de Maxwell em meios materiais A Lei de Gauss fica ou definindo o vetor deslocamento temos cuja versão integral via Teorema de Gauss é Por outro lado a Lei de MaxwellAmpere fica ou definindo o vetor H temos As Equações de Maxwell sem fonte obviamente permanecem idênticas em meios materiais O que acontece com os campos eletromagnéticos quando passamos de um meio material para outro Considere dois meios 1 e 2 separados por uma interface e uma superfície gaussiana que atravessa ambos os meios como na Fig 14 A superfície tem tampa com área a e a altura h que faremos tender a 0 Aplicando a Lei de Gauss que dá a condição de contorno onde n denota a componente normal do campo à interface Fazendo o mesmo procedimento com ambos os meios Quando h 0 uma superfície lateral se anula e o fluxo por ela não contribui Griffiths Considere agora um circuito de largura l e altura h que também cruza os dois meios Fig 14 Aplicando a Lei de Faraday ao circuito temos que dá a condição de contorno onde t denota a componente tangente do campo à interface Repetindo o procedimento com a Lei de AmpereMaxwell obtemos Definindo a densidade superficial de corrente por unidade de largura temos 151 Meios Lineares Vamos considerar meios lineares para os quais valem as relações P ε0χe E e M χM H 140 e portando D ε E e H B μ 141 onde ε ε01 χe e μ μ01 χM Neste caso as 4 condições de contorno ficam ε1E1n ε2E2n σ1 142 E1t E2t 0 143 B1n B2n 0 144 B1t μ1 B2t μ2 KI n 145 Ausência de Cargas Livres No caso em que não há cargas nem correntes livres na interface ie σ1 KI 0 temos finalmente ε1E1n ε2E2n 0 142 E1t E2t 0 143 B1n B2n 0 144 B1t μ1 B2t μ2 0 145 Neste caso as Equações de Maxwell ficam E 0 146 B 0 147 E B t 148 B με E t 149 e a equação de ondas para eg E fica 2E 1 v2 2E t2 0 onde v 1 εμ no vácuo c 1 μ0ε0 150 Dada a velocidade de propagação no meio v podemos definir o índice de refração n n c v συμ ε0μ0 151 16 Reflexão e Refração Incidência Normal As relações vistas no vácuo continuam válidas trocando ε0 ε μ0 μ e c v u 1 2 E2 B2 μx2 152 B0 E0 v amplitudes de onda plana 153 S 1 μ E B 154 I S 1 2 εvE2 0 155 16 Reflexão e Refração Incidência Normal Como exemplo de aplicação das condições de contorno em meios lineares e na ausência de cargas livres na interface dos meios vamos considerar o caso de incidência normal à interface plano xy com z 0 ie a onda incidente no meio 1 tem o velocidade v1 na direção z perpendicular à interface como mostrado na Fig 16 Os campos incidentes meio 1 Eiz t E0i e ik1zωt x 156 Biz t E0i e ik1zωt ȳ 157 Figura 16 Reflexão e Refração de um raio de luz para incidência normal Griffiths que dão origem aos campos refletidos meio 1 Erz t E0r e ik1zωt x 158 Brz t E0r v1 e ik1zωt ȳ 159 e aos campos refratados ou transmitidos meio 2 Etz t E0t e ik2zωt x 160 Btz t E0t v2 e ik2zωt ȳ 161 Neste caso todos os campos são paralelos à interface Portanto usaremos as duas condições de contorno para campos paralelos na interface z 0 E1t E2t z 0 Eiz t Erz t Eiz t z 0 E0i e iωt E0r e iωt x E0i E0r E0t 162 Capıtulo 2 Reflexao Refracao e Polarizacao 21 Leis da Reflexao e da Refracao Figura 21 Reflexao e Refracao de um raio de luz para incidˆencia oblıqua Griffiths Vamos agora generalizar o resultado anterior considerando raios de luz com incidˆencia fazendo um ˆangulo θi com interface que separa os meios 1 e 2 que assumimos serem lineares Meio 1 onda incidente e a refletida E1r t Eieikirωt Ereikrrωt 21 B1r t Bieikirωt Breikrrωt 22 Meio 2 onda refratada transmitida E2r t Eteiktrωt 23 B2r t Bteikirωt 24 Os campos magneticos sao todos perpendiculares aos eletricos e a direcao de propagacao Birt 1 ω kirt Eirt 25 e como v1 ω v1ki v2kr temos ki kr Impondo por exemplo a continuidade de Bn temos a condicao Bn1r t Bn2r t na interface Bnieikirωt Bnreikrrωt Bnteikirωt em z 0 26 Como essa igualdade deve valer em qualquer ponto do plano de interface as exponenciais devem ser todas iguais Exercıcio Mostre o que implica ki r kr r kt r onde r x y 0 e um vetor no plano de interface 27 19 e 1 μ1 B1t 1 μ2 B2t z 0 1 μ1 Biz t Brz t 1 μ2 Btz t z 0 1 μ1 1 E0i v1 E0r v1 1 E0t μ2 v2 E0i E0r βE0t onde β μ1v1 μ2v2 163 E0i E0r βE0t 1 βE0t E0i 2 1 β E0i 164 e da primeira equação E0r E0t E0i 2 1 β 1 E0i E0r 1 β 1 β E0i 165 A intensidade pode ser definida para cada componente do campo elétrico Iir 1 2 ε1v1E2 0ir 166 I t 1 2 ε2v2E2 0t 167 e os coeficientes de reflexão R e transmissão T são dados por R Ir Ii E0r E0i 2 R 1 β 1 β 2 168 e T It Ii ε2v2 ε1v1 E0t E0i 2 ε2v2 ε1v1 2 1 β 2 e como v2 1 1μ1ε1 ε1v1 1μ1v1 temos ε2v2 ε1v1 β 169 Portanto T 4β 1 β2 170 Note que por conservação de energia do campo temos R T 1 β2 4β 1 β2 1 2β β2 4β 1 β2 1 2β β2 1 β2 1 171 20 CAPITULO 2 REFLEX AO REFRAC AO E POLARIZAC AO Esta condicao nos da 3 resultados importantes Primeiro podemos escrever essas equacoes ki kr r 0 kr kt r 0 e ki kt r 0 28 e como r ˆn segue que ki kr ˆn kr kt ˆn e ki kt ˆn 29 Primeira Lei ki kr e kt e ˆn formam um plano chamado plano de incidˆencia Como r esta no plano da interface e os ˆangulos θi r t sao definidos relativo a este plano a Eq 27 implica ki sin θi kr sin θr kt sin θt 210 Como ki kr temos entao Segunda Lei θi θr Lei da Reflexao Alem disso usando como n1 cv1 ckiω e n2 cktω temos Terceira Lei n1 sin θi n2 sin θt Lei de Snell que reconhecemos como leis basicas da otica geometrica e sao derivadas das Equacoes de Maxwell 211 Condicoes de Contorno Figura 22 Reflexao e Refracao para incidˆencia oblıqua Os campos tˆem componentes e ao plano de incidˆencia Os campos eletromagneticos incidentes podem ter uma direcao qualquer perpendicular ao vetor ki Vamos descrevˆelos com eixos paralelos e perpen diculares ao plano de incidˆencia paralelo ao plano de incidˆencia perpendicular ao plano de incidˆencia e ja vinhamos usando a convencao t tangente a interface dos meios n normal a interface dos meios Obviamente vetores sao t enquanto vetores tˆem ambas componentes t e n Usando as condicoes de contorno temos entao 21 LEIS DA REFLEX AO E DA REFRAC AO 21 ϵ1En1 ϵ2En2 Como En1 Ein Ern Ein Ern Ei sin θi Er sin θr En2 Etn Etn Ei sin θt onde nao escrevemos as exponencias temporais pois elas se cancelam por ser iguais como mostrado na secao anterior Portanto ϵ1Ei sin θi Er sin θr ϵ2Et sin θt Usando a Lei da Reflexao temos Ei Er ϵ2 ϵ1 Et sin θt sin θi e usando a Lei de Snell temos Ei Er n1ϵ2 n2ϵ1 Et 211 Et1 Et2 As duas componentes tangentes e geram duas condicoes Ei cos θi Er cos θr Et cos θt Ei Er Et ou usando a Lei da Reflexao Ei Er Et cos θt cos θi 212 Ei Er Et 213 Bn1 Bn2 Bi sin θi Br sin θr Bt sin θt ou Bi Br n1 n2 Bt 214 22 CAPITULO 2 REFLEX AO REFRAC AO E POLARIZAC AO e finalmente Bt1µ1 Bt2µ2 1 µ1 Bi cos θi Br cos θr 1 µ2 Bt cos θt 1 µ1 Bi Br 1 µ2 Bt ou Bi Br µ1 µ2 Bt cos θt cos θi 215 Bi Br µ1 µ2 Bt 216 Como B Ev e B E temos para cada umas das 3 ondas B n c E 217 B n c E 218 Portanto so precisamos resolver para eg E e E e B correspondentes estarao determinados Definimos usando ϵ1 1µ1v2 1 α cos θt cos θi β n1ϵ2 n2ϵ1 v2ϵ2 v1ϵ1 v2µ1v2 1 v1µ2v2 2 µ1v1 µ2v2 219 Para E temos αEt Er Ei βEt Er Ei que podemos resolver α βEt 2Ei Et 2 α β Ei 220 e Er αEt Ei 2α α β Ei Ei Er α β α β Ei 221 21 LEIS DA REFLEX AO E DA REFRAC AO 23 Ja para E temos Et Er Ei 222 e Bi Br µ1 µ2 Bt cos θt cos θi Ei v1 Er v1 µ1 µ2 Et v2 cos θt cos θi Ei Er µ1v1 µ2v2 Et cos θt cos θi 223 Temos entao o sistema Et Er Ei 224 αβ Et Er Ei 225 e portanto 1 αβEt 2Ei Et 2 1 αβ Ei 226 e Er 2 1 αβ Ei Ei Er 1 αβ 1 αβ Ei 227 212 Refletividade e Transmissividade Podemos definir amplitudes de reflexao r e transmissao t para as componentes e dos campos r Er Ei α β α β t Et Ei 2 α β 228 r Er Ei 1 αβ 1 αβ t Et Ei 2 1 αβ 229 A componente do fluxo normal a interface e S ˆn e a intensidade valor medio do fluxo fica Ii 1 2ϵ1v1E2 i cos θi 230 Ir 1 2ϵ1v1E2 r cos θr 231 It 1 2ϵ2v2E2 t cos θt 232 24 CAPITULO 2 REFLEX AO REFRAC AO E POLARIZAC AO A refletividade R e a transmissividade T sao definidas como R Ir Ii E2 r E2 i r2 233 T It Ii ϵ2v2 ϵ1v1 cos θt cos θi E2 t E2 i αβ t2 234 Note que temos R T α2 β2 2αβ α β2 αβ 4 α β2 α β2 α β2 1 235 R T 1 α2β2 2αβ 1 αβ2 αβ 4 1 αβ2 1 αβ2 1 αβ2 1 236 213 Reflexao Total Pela lei de Snell n1 sin θ1 n2 sin θ2 temos n1 n2 θ1 θ2 237 ie o ˆangulo feito com a normal e menor no meio de maiorındice de refracao e viceversa Considere a Fig 23 em que n1 n2 e o raio se propaga de 1 para 2 Figura 23 Reflexao total da luz ao passar de um meio com ındice de refracao n1 para um meio com ındice de refracao n2 n1 Quando θ1 θc sin1n2n1 a luz e totalmente refletida no meio n1 Serway Para θ1 0 a lei de Snell da sin θ2 0 θ2 0 ie incidˆencia normal produz refracao normal A medida que θ1 cresce θ2 cresce mais rapido e para algum valor de θ1 teremos θ2 π2 ie o raio refratado tangencia a interface Neste caso nao ha refracao ie o raio e todo refletido de volta ao meio 1 Pela lei de Snell temos n1 sin θ1 n2 sin θ2 n2 sin θ1 sin θc n2 n1 238 onde θc e um ˆangulo crıtico tal que para θ1 θc temos reflexao total Note que para θ1 θc temos θt π2 α 0 Portanto R R 1 e T T 0 como esperado Isso quer dizer que o campo transmitido é zero Não apenas que a energia média transmitida é nula Vamos ver o que acontece com o campo Para incidência acima do ângulo crítico temos θi θc sin θi sin θc n2n1 sin θi n2n1 Como ni cv1 ckiω temos ktl kil n1ωc sin θi Vamos decompor k em componentes paralela e normal à interface k ktt ktn Restam saber quem é ktn Usando a relação de dispersão n2 cv2 ckiω temos ktn2 n2ω2c2 ktt2 n2ω2c2 sin2 θi n2ω2c2 1 n2n1 sin2 θi Mas pela Eq 239 o termo entre parênteses é 0 Portanto ktn é imaginário ktn i n2ωc n1n22 sin2 θi 1 ikI imaginário ktt n1ωc sin θi kR real e k kRt ikIn Portanto decompondo o vetor posição r yt zn temos i k r ωt ikRy ikIz ωt kIz ikRy ωt e assim o campo elétrico no meio 2 fica E2 r t E1e i k r ωt E1e kIze i kRy ωt ie a onda se propaga na direção I mas a amplitude da onda decai exponencialmente à medida que nos afastamos da interface onda evanescente Na incidência oblíqua com campo incidente E i E E tendo componentes paralelas e perpendiculares ao plano de incidência encontramos que η α β α β e β μ1v1 μ2v2 tipicamente válida para a maioria dos meios Portanto α β η 0 ie não há luz refletida ao plano de incidência ou seja toda luz refletida é ao plano de incidência O ângulo de incidência em que isso ocorre é chamado ângulo de Brewster θi θB A condição de η 0 se traduz em α β cos θl sin θB cos θB sin θl sin θl cos θl sin θB cos θB sin 2θB sin 2θB mas θl θB Portanto o ray refratado é perpendicular ao raio refletido Outro maneira de expressar essa condição é escrever α cos θl cos θB 1 sin2 θl cos θB 1 n1n22 sin2 θB β 1 n1n22 sin2 θB β2 cos2 θB β21 sin2 θB sin2 θB β2 1 sin θB β1 β2n1n22 β2 Como β n2n1 temos sin2 θB 1 β21β2 β21 β2β2 β21 β2 sin θB β1 β2 tan θB β tan θB n2n1 Como consequência no ângulo de Brewster temos R 0 e T 1 R n21 n22n21 n222 e T 4n21n22n21 n222 Para n1 43n2 arágua R 7252 8 e T 24252 92 ou seja de qualquer forma pouca luz é refletida 22 PRINCIPIO DE HUYGENS 27 215 Dispersao O fenˆomeno de dispersao da luz resulta do fato de que luzes de diferentes frequˆencias tˆem ındices de refracao diferentes e portanto refratam de maneira distinta Se um raio de luz branca no vacuo n1 1 incide a uma ˆangulo θi em um prisma com n2 temos n1 sin θi nazul 2 sin θazul 2 nvermelho 2 sin θvermelho 2 256 Normalmente n cresce com a frequˆencia ν eg nazul nvermelho e portanto nazul nvermelho θazul 2 θvermelho 2 257 ie a luz azul refrata mais do que a vermelha fica mais proxima da normal Figura 24 Dispersao da luz em um prisma Ondas de diferentes comprimentos de onda refratam de forma diferente Como nazul nvermelho pela lei de Snell θazul t θvermelho t ie a luz azul refrata mais que a vermelha no mesmo meio Serway 22 Princıpio de Huygens Figura 25 Princıpio de Huygens Serway Uma frente de onda e a superficie de pontos com mesma fase da onda eg mesmo valor de E Ela e perpendicular aos raios de luz que apontam na direcao de propagacao da onda O Princıpio de Huygens diz que cada ponto de uma frente de onda se comporta como uma fonte puntiforme gerando ondas esfericas secundarias com veloci dade da onda no meio A frente de onda em um instante posterior e a envoltoria obtida somando de todas estas ondas esfericas se cundarias Usando o Princıpio de Huygens podemos obter as Leis da Reflexao e de Snell 28 CAPITULO 2 REFLEX AO REFRAC AO E POLARIZAC AO 221 Reflexao e Refracao Figura 26 Lei da reflexao da luz θ1 θ 1 via o Princıpio de Huygens Nussenzveig No caso da reflexao considere a Fig 26 Seja QP1 a frente de onda incidente Note que θ1 e o ˆangulo entre QP1 e a interface e tambem o raio P1P e ˆn Quando P1 atinge a interface em P a onda secundaria de Q chega a a Q 1 portanto P1P Q 1Q d e PQ 1 e a frente de onda refletida Os triˆangulos QP1P e PQ 1Q sao retˆangulos e iguais Portanto θ1 θ 1 Figura 27 Lei de Snell n1 sin θ1 n2 sin θ2 via o Princıpio de Huygens Nussenzveig No caso da refracao considere a Fig 27 Novamente QP1 e a frente de onda incidente Quando P1 atinge a interface em P a onda se cundaria de Q chega a a Q2 portanto o tempo para que isso ocorra e t d1 v1 d2 v2 258 Mas pela figura d1 QP sin θ1 e d2 QP sin θ2 259 Portanto sin θ1 v1 sin θ2 v2 c 260 n1 sin θ1 n2 sin θ2 261 23 Princıpio de Fermat O Princıpio de Fermat diz que a luz sempre percorre o caminho que permite ir de um ponto a outro no tempo mınimo Essa ideia de minimizar algo neste caso o tempo de propagacao e recorrente na Fısica Esse princıpio tambem leva as leis de reflexao e refracao 231 Reflexao e Refracao No caso da reflexao considere a Fig 28 Partindo do ponto P1 qual deve ser o ponto P em que a luz deve refletir para atingir o ponto P 1 Basta considerar o ponto P simétrico de P1 com relação à interface Vemos que P1QP1 P1QP1 para um ponto de reflexão Q genérico Como a luz refletida está sempre no mesmo meio e com a mesma velocidade tempo mínimo implica distância mínima E como a distância mínima entre dois pontos é uma reta vemos que o caminho P1P1 deve ser o tom da pela luz Geometricamente isso implica que θr θi θ1 Reflexão em qualquer outro ponto eg Q toma um tempo maior 24 Polarização 241 Ondas Planas Monocromáticas Até agora consideramos quase sempre o caso em que um dos campos coincide com os eixos x e y eu extbfE Ezxhatx Mas extbfE se propagando na direção z pode ter componentes gerais no plano xy extbfE Exhatx Eyhaty E assim extbfB frac1vhatz imes extbfE frac1vhatz imes Exhatx Eyhaty frac1vEyhatx Exhaty Portanto Bx fracEyv e By fracExv Para uma onda plana monocromática mais geral temos Ex a eikz omega t vBy Ey b eiphi eikz omega t vBx Note que em princípio pode haver uma diferença de fase entre as componentes x e y dos campos Tomando a parte real temos Ex a cosPhi Ey b cosPhi delta Em geral extbfE faz uma curva no plano z 0 à medida que oscila e se propaga Para encontrar essa curva vamos definir uma relação entre Ex e Ey eliminando Phi ie a parte temporal fracEyb cosPhi delta cosPhi cosdelta sinPhi sindelta cosPhi rightarrow sinPhi sqrt1 cos2Phi rightarrow sinPhi sqrt1 left fracExa right2 Portando fracEyb cosdelta cosPhi cosdelta sinPhi sindelta cosPhi cosdelta sindelta Elevando ao quadrado left fracEyb right2 2 fracExa fracEyb cosdelta left fracExa right2 sin2 delta que implica left fracEyb right2 2 fracExa fracEyb cosdelta left fracExa right2 sin2 delta Esta é a equação geral de uma elipse no plano xy Portanto a onda monocromática mais geral tem polarização elíptica 32 CAPITULO 2 REFLEX AO REFRAC AO E POLARIZAC AO Figura 210 Lei de Malus Apos ser polarizada no polarizador a luz incide sobre o analisador fazendo um angulo θ com o eixo de transmissao Somente a componente E E0 cos θ atravessa o analisador e portanto a intensidade transmitida fica I E2 I2 0 cos2 θ Serway Lei de Malus Suponha que facamos luz naopolarizada incindir sobre um polarizador como na Fig 31 Somente a componente paralela ao polarizador consegue atravessalo e o campo transmitido E0 e portanto linearmente polarizado Se fizermos o campo polarizado incindir sobre um segundo polarizador analisador cujo eixo de transmissao faz um ˆangulo θ com o primeiro polarizador temos que somente a componente E E0 cos θ sera transmitida Desta forma como a intensidade e I E2 temos que a intensidade I transmitida pelo analisador sera dada em termos da intensidade I0 E2 0 que nele incide por I I0 cos2 θ Lei de Malus 281 242 Polarização Linear Para delta 0 cos delta 1 sin delta 0 ie os campos sem desfasagem temos left fracEyb right2 2 fracExa fracEyb left fracExa right2 0 rightarrow left fracExa fracEyb right2 0 rightarrow fracEyb fracExa Polarização Linear 243 Polarização circular Para a b e delta fracpi2 cos delta 0 sin delta 1 temos left fracEya right2 left fracExa right2 1 Polarização Circular 244 Polarização elíptica Para a eq b e delta eq fracpi2 os eixos da elipse coincidem com os eixos x e y left fracEyb right2 left fracExa right2 1 Polarização Elíptica 245 Luz nãopolarizada Em geral a luz resulta de um processo de emissão Normalmente esse processo é aleatório no espaço e no tempo e dá origem a uma onda em que os componentes dos campos não têm uma polarização definida Neste caso dizemos que a luz é nãopolarizada Como Polarizar Se temos luz nãopolarizada como podemos obter luz com uma certa polarização 1 Reflexão Lembre que para hetai hetar temos eta 0 Neste caso a luz refletida tem componente apenas na direção perp ao plano de incidência polarização linear 2 Polarizador Algumas substâncias têm moléculas alinhadas que absorvem a luz em uma direção permitindo passagem na direção perp Capıtulo 3 Imagens por Espelhos e Lentes 31 Objetos e Imagens Para verum objeto sua luz deve ser direcionada a retina onde se forma a imagem Figura 31 Podemos ver um objeto olhando para ele ou para a sua imagem refletidarefratada Young O processo e idˆentico mesmo se a luz nao vem de fato do objeto eg a luz refletida por um espelho ou a luz refratada por uma lente Uma imagem se forma quando raios de luz vem ou parecem virde algum ponto apos interagir com refletir em ou refratar de um sistema otico espelho ou lente Neste contexto podemos definir dois tipos de objeto e imagem Imagem real Formada em um anteparosuperfıcie Nao depende do observador para existir Os raios de luz convergem na imagem Imagem virtual Formada pela projecao de raios de luz Depende do observador para existir A imagem se localiza no ponto de onde os raios projetados parecem divergir Objeto real A luz do objeto incide sobre o sistema otico de forma divergente Esta e a situacao usual eg um objeto em frente a um espelho Objeto virtual A luz incide sobre o sistema otico de forma convergente O objeto se localiza no ponto onde os raios convergiriam se nao existisse o sistema otico Uma imagem real de um sistema pode servir de objeto virtual a um segundo sistema 33 34 CAPITULO 3 IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES 32 Espelho Plano Considere um objeto pontual O e sua imagem I formada por um espelho plano bem como um objeto extenso e sua imagem como mostrados na Fig 32 Figura 32 Espelho Plano Como consequˆencia da lei da reflexao a distˆancia do objeto ao espelho e igual a distˆancia da imagem ao espelho Halliday A imagem I e virtual pois e formada por projecao dos raios atras do espelho Uma convencao que sempre usaremos e de que quantidades reais sao positivas e quantidades virtuais sao negativas Portanto neste caso p 0 objeto real e q 0 imagem virtual A lei da reflexao entao implica p q A ampliacao M ou magnificacao e definida como M h h q p 31 onde a ultima igualdade decorre da semelhanca de triˆangulos 33 Espelho Esferico Considere um objeto O e sua imagem I formada por um espelho plano e espelhos esfericos como mostrados na Fig 33 Figura 33 Espelhos Esfericos Um espelho plano pode ser deformado tornandose um espelho cˆoncavo ou um espelho convexo As distˆancias e alturas das imagem nao mais sao iguais as do objeto Halliday Pensando no espelho esferico como uma deformacao do espelho plano temos que a medida que o espelho e deformado a posicao da imagem nao mais sera igual a do objeto p q e as alturas tambem nao serao iguais h h 33 ESPELHO ESFERICO 35 Temos que definir uma serie de quantidades C Centro de curvatura c Vertice R Raio de curvatura Cc F Foco f distˆancia focal R2 p distˆancia do objeto q distˆancia da imagem h altura do objeto h altura da imagem Tabela 31 Varias quantidades em espelhos planos e esfericos As distˆancias se referem ao vertice do espelho O foco F e definido como o ponto para onde raios paralelos ao eixo central convergem apos serem refletidos Veremos a seguir que de fato f R2 para espelhos esfericos Por simetria raios que incidem passando por F refletem paralelos ao eixo central Raios incidentes na direcao de C incidem normalmente ao espelho e pela lei da reflexao devem refletir normalmente Ou seja raios incidindo na direcao de C refletem na direcao de C Figura 34 Foco real espelho cˆoncavo e virtual espelho convexo definido como o ponto para onde raios incidentes paralelos convergem foco real ou de onde os raios paralelos parecem divergir apos a reflexao Para espelhos esfericos f R2 Halliday 331 Espelho Esferico Cˆoncavo Para o espelho esferico cˆoncavo a posicao e a altura da imagem relativa ao objeto depende da posicao do objeto Vamos considerar os varios casos mostrados na Fig 35 p f Neste caso a imagem e formada por projecao dos raios atras do espelho E portanto uma imagem virtual e q 0 Alem disso a imagem e direita tem a mesma orientacao do objeto e h h ie a imagem e maior e mais distante do vertice do que o objeto p f Neste caso os raios refletidos sao todos paralelos e nao ha formacao de imagem atras ou na frente do espelho Dizemos que e uma imagem impropria 36 CAPITULO 3 IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES Figura 35 Espelho Esferico Cˆoncavo A natureza posicao e altura da imagem dependem da posicao do objeto relativa ao foco F e ao centro C Halliday Serway f p R Neste caso os raios refletidos se encontram atras do centro de curvatura C formando ali uma imagem real e portanto q 0 Temos ainda que q p e que a imagem e invertida ie h e h tem sinais opostos p R Este caso e totalmente simetrico ao anterior trocando O I Ou seja agora a imagem real se forma entre C e F temos q 0 A imagem e novamente invertida Vamos analisar este ultimo caso Da geometria mostrada na figura temos tan θ h p h q note h 0 imagem invertida Portanto novamente a ampliacao e dada por M h h q p 32 expressao que tambem valia para uma espelho plano Temos ainda que tan α h p R h R q h h R q p R q p Portanto R q p R p R p R q 1 1 R p 33 ESPELHO ESFERICO 37 ou seja 1 p 1 q 2 R Eq dos espelhos 33 Quando p que corresponde a um objeto muito distante cujos raios indicem paralelamente ao eixo central do espelho temos 1p 0 e portanto q R2 Ou seja a imagem se forma em q R2 f definido como o foco do espelho Temos entao que de fato f R 2 34 e portanto 1 p 1 q 1 f Eq dos espelhos 35 Note que para R temos f e portanto 1f 0 Portanto p q como esperado para o caso de um espelho plano 332 Espelho Esferico Convexo Figura 36 Espelho Convexo Situacao simetrica a um espelho cˆoncavo em que p f invertendo o objeto O e imagem I Serway O caso de um espelho convexo e simetrico ao espelho cˆoncavo com p f trocando O I Vemos que a imagem virtual se forma entre o vertice e o foco e portanto q 0 Alem disso h h e portanto q p ie a imagem e menor e mais proxima do espelho do que o objeto Para espelhos esfericos em geral incluindo convexos sempre vale a equacao dos espelhos Eq 35 desde que satisfeitas as convencoes de sinais mostradas na Tab 32 Quantidade Sımbolo Sinal Posicao0 Natureza Distˆancia do objeto1 p 0 Em frente Objeto real Distˆancia do objeto p 0 Atras Objeto virtual Distˆancia da imagem1 q 0 Em frente Imagem real Distˆancia da imagem q 0 Atras Imagem virtual Distˆancia focal2 f 0 Em frente Foco real espelho cˆoncavo Distˆancia focal f 0 Atras Foco virtual espelho convexo Ampliacao da altura3 M 0 Imagem direita Ampliacao da altura M 0 Imagem invertida Tabela 32 Sinais de varias quantidades em espelhos planos e esfericos 0 Posicao relativa ao espelho 1 Distˆancia ao espelho 2 Similarmente raio de curvatura R 2f 3 Convencionando h 0 temos que h segue a mesma convencao de M hh 38 CAPITULO 3 IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES 333 Construindo diagramas Para construir diagramas e determinar graficamente a posicao e tamanho da imagem em qualquer caso basta usar 2 das 3 regras abaixo e encontrar a interseccao dos raios 1 Raios incidentes por C se refletem por C 2 Raios incidentes paralelos se refletem por F 3 Raios incidentes por F se refletem paralelos 34 Refracao em Superficies Esfericas Da mesma forma que consideramos a reflexao por superfıcies esfericas espelhos tambem podemos considerar o que ocorre com raios que sao refratados em tais superfıcies Considere a superfıcie convexa mostrada na Fig 37 em que um raio incide fazendo um ˆangulo θ1 com a normal e refrata sob um ˆangulo θ2 Figura 37 Refracao de um raio de luz em uma superfıcie esferica convexa com n2 n1 Serway Pela Lei de Snell temos n1 sin θ1 n2 sin θ2 Estaremos trabalhando na aproximacao de ˆangulos pequenos raios paraaxiais ao eixo central Portanto todos os ˆangulos α β γ θ1 e θ2 sao 0 e temos eg sin α tan α α Portanto n1θ1 n2θ2 36 Notando alguns ˆangulos externos em triˆangulos temos θ1 α β Triangulo OPC β θ2 γ Triangulo PCI e portanto n1α β n2β γ n1α n2γ n2 n1β 34 REFRAC AO EM SUPERFICIES ESFERICAS 39 Na aproximacao considerada tan α α dp tan β β dR e tan γ γ dq Portanto n1 d p n2 d q n2 n1 d R n1 p n2 q n2 n1 R 37 Para p raio incidente paralelo q f2 e temos n2f2 n2 n1R Por outro lado para q raio refratado paralelo p f1 e temos n1f1 n2 n1R Portanto f1 n1 n2 n1 R lado esquerdo f2 n2 n2 n1 R lado direito ie temos dois focos distintos e a posicao dos focos relativa ao centro depende dos ındices de refracao Como neste caso n2 n1 temos eg f2 R Figura 38 Refracao de um objeto extenso em uma superfıcie esferica convexa Nussenzveig Considere agora um objeto extenso sob refracao como na Fig 38 Da ge ometria temos h 0 M h h CI CO q R R p Mas da Eq 37 temos n1 p n2 q n2 n1 R qn1 pn2 pq n2 n1 R R pqn2 n1 qn1 pn2 Eliminando o R temos q R R p q pqn2n1 qn1pn2 pqn2n1 qn1pn2 p q2n1 pqn2 pqn2 n1 pqn2 n1 pqn1 p2n2 q2n1 pqn1 pqn2 p2n2 qn1q p pn2q p n1 n2 q p Portanto M n1 n2 q p 38 40 CAPITULO 3 IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES 341 Refracao em Superficies Planas Figura 39 Refracao em uma superfıcie plana com q p para n2 n1 Serway Tomando R a superfıcie esferica se torna uma superfıcie plana e n1 p n2 q 0 q n2 n1 p 39 o que obviamente implica M 1 Para n1 n2 como numa interface aguaar temos q n2 n1 p p 310 Ou seja a imagem parece mais proxima que a posicao real do objeto como na Fig 39 342 Refracao em Superficies Convencoes Para refracao em uma superfıcie esferica convexa ou concava a Eq 37 vale desde que usemos a convencao de sinais da Tab 33 Quantidade Sımbolo Sinal Posicao0 Natureza Distˆancia do objeto1 p 0 Em frente Objeto real Distˆancia do objeto p 0 Atras Objeto virtual Distˆancia da imagem1 q 0 Atras Imagem real Distˆancia da imagem q 0 Em frente Imagem virtual Centro de Curvatura R 0 Atras centro real superfıcie convexa Centro de Curvatura R 0 Em frente centro virtual superfıcie cˆoncava Tabela 33 Sinais de varias quantidades para refracao em superfıcies esfericas 0 Posicao relativa a superfıcie 1 Distˆancia a superfıcie 35 Lentes Delgadas Uma lente e basicamente um sistema com duas superfıcies de refracao que produz um desvio total dos raios incidentes que sao refratados Um exemplo ja visto foi o prisma 35 LENTES DELGADAS 41 As lentes sao nomeadas de acordo com as 2 superfıcies que a compoem eg biconvexa para duas superfıcies convexas etc e classificadas em lentes convergentes e divergentes dependendo do desvio total ser no sentido de convergir ou divergir os raios refratados relativamente aos incidentes Vamos agora obter de duas formas distintas a Eq das lentes similar a Eq dos espelhos e das superfıcies esfericas refratoras 351 Derivacao 1 Duas superfıcies refratoras Ideia basica A lente e um sistema com 2 superfıcies esfericas com raios de curvatura R1 e R2 A imagem gerada pela superfıcie 1 serve de objeto para a superfıcie 2 que produz a imagem final Figura 310 Lente biconvexa delgada t 0 vista como duas superfıcies Serway Considere eg uma lente biconvexa com n2 n imersa em ar ie n1 1 o objeto O a esquerda da lente e sua imagem I a direita da lente como no painel esquerdo superior da Fig 310 O painel direito superior mostra as imagens intermediaria I1 e final I2 I Considerando primeiro somente o efeito da superfıcie 1 como no painel esquerdo inferior temos n1 p1 n2 q1 n2 n1 R1 1 p1 n q1 n 1 R1 311 onde q1 0 pois a imagem e virtual No painel direito inferior identificamos I1 O2 e temos p2 q1 t q1 lente delgada Portanto o efeito da superfıcie 2 fica n2 p2 n1 q2 n1 n2 R2 n q1 1 q2 1 n R2 312 Somando as duas equações anteriores e identificando p1 p e q2 q temos frac1p frac1q n 1 left frac1R1 frac1R2 right 352 Derivação 2 Princípio de Fermat Vamos obter agora esse mesmo resultado usando o Princípio de Fermat Considere um ponto objeto O que produz uma imagem I como na Fig 311 Pelo Princípio de Fermat o tempo para a luz percorrer o trajeto OAI e o trajeto OPI deve ser o mesmo ie igual ao tempo mínimo Ou seja embora o trecho OPI seja mais curto a luz tem menor velocidade no trecho V1V2 e acaba gastando o mesmo tempo que no trajeto OAI onde ela fica o tempo todo com velocidade maior como evitar a Rebouças para chegar na Paulista Portanto tOAI tOPI Decompondo esses tempos em pedaços e indicando o índice de refração percorrido t1OB t1BAD t1DI t1OW1 t2V1V2 t1V2 t1OW1 fract1OBv1 fract1V1v2 left fract1V2 t1V1v1 right t1V2 Como t1OB t1OP t1P1 após cancelamentos destes termos temos fract1BADd1 d2 fract2V2t1V1 fracd1 d2v1 fracv2v1 imes c 315 35 LENTES DELGADAS 44 CAPITULO 3 IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES Capıtulo 4 Interferˆencia e Difracao A natureza ondulatoria da luz se mostra nas propriedades de interfˆerencia e difracao que vamos considerar neste capıtulo 41 Interferˆencia por fenda dupla Figura 41 Aparato do experimento de Young Uma fonte de luz coerente incide sobre as fendas S1 e S2 e difratam ate a tela de observacao onde formam um padrao de interferˆencia Serway Em 1810 Young demonstrou experimentalmente que a luz e uma onda Note que isso ocorreu muito antes do estabelecimento das Eqs de Maxwell que prove ram argumentos teoricos para a natureza ondulatoria da luz O diagrama do aparato usado por Young e mos trado na Fig 41 Um feixe de luz coerente com mesma fase de onda proveniente de uma fenda S0 incide sobre duas fendas S1 e S2 atravessandoas di fratando e atingindo uma tela de observacao C As luzes proveniente de S1 e S2 se combinam formando um padrao de interferˆencia na tela com regioes cla ras e escuras intensidades maxima e mınima A explicacao ondulatoria e que as luzes proveni entes de S1 e S2 se somam na tela interferindo de forma construtiva ou destrutiva dependendo de suas diferencas de fase como mostrado na Fig 42 Figura 42 Interferˆencia construtiva e destrutiva das ondas que passam por cada fenda Serway 45 CAPÍTULO 4 INTERFERÊNICA E DIFRAÇÃO 42 MUDANÇA DE FASE NA REFLEXÃO Além disso cos θt cos θi α 1 415 sin θt sin θi β 1 416 e portanto 1 αβ 0 417 Desta forma Er terá sinal oposto a Ei tanto para a componente quanto para a Mas como e iπ cos π i sin π 1 418 esse sinal negativo implica uma mudança de fase de onda de π na onda refletida Isso ocorre sempre que a reflexão ocorre com incidência do meio menos para o mais refrativo Para uma mudança de fase de π usando k 2πλ temos Ex t E0e ikxωt E0e ikxλ2ωt E0e ikxλ2ωt E0e ikλ2 t ou seja a mudança de fase de π implica uma defasagem espacial de λ2 x x λ2 No caso contrário em que n2 n1 não há mudança de fase Já nos raios refletados E 2 α β E e E 2 1 αβ E 419 os coeficientes são sempre positivos e também não há mudança de fase 44 DIFRAC AO 49 onde λ2 λn2 Note que se tivessemos n3 n2 terıamos uma mudanca de fase tambem do raio 2 na sua reflexao em B Portanto neste caso as condicoes de interferˆencia construtivadestrutiva se inverteriam com relacao ao caso acima Exercıcio Considere o caso em que θ1 nao e pequeno e as diferencas de caminho ABC do raio 2 e AD do raio 1 devem ser consideradas na condicoes de interferˆencia Por que o filme deve ser fino A luz incidente usualmente vem em pulsos de ondas gerados por processos aleatorios emissao atˆomica etc Portanto para que haja interferˆencia e preciso que um unico pulso entre na pelıcula e retorne para interferir com ele mesmo ie o raio 1 e 2 devem ter o mesmo pulso de origem caso contrario nao havera coerˆencia dos raios E por isso que podemos ver maximos e mınimos em uma bolha de sabao mas nao em uma placa de vidro 44 Difracao Experimento de Young luz de 2 fendas pequenas interferem na tela de observacao produzindo um padrao de interferˆencia O que ocorre no caso de apenas uma fenda nao necessariamente pequena Figura 45 Formacao do 1o mınimo de di fracao no ponto P1 Halliday Princıpio de Huygens uma frente de onda e um con junto de fontes pontuais que se combinam para formar a frente de onda em um instante seguinte Difracao in terferˆencia da onda com ela mesma ie luzes de todos os pontos contınuo da fenda interferem na tela de ob servacao O caso de uma fenda dupla pequena corres ponde ao limite de apenas 2 pontos interferindo Aqui consideraremos apenas a difracao de Fraunhofer em que os raios saindo da fenda podem ser aproximados como paralelos eg se a distˆancia da fenda a tela de observacao D e grande O limite de pequenas distˆancias corresponderia a difracao de Fresnel Antes de achar o padrao de difracao e suas intensi dades podemos mais facilmente encontrar os pontos de mınimo Considere uma fenda simples de largura a como na Fig 45 Considere a interferˆencia de pares de raios eg raio 1 e raio 2 raio 3 e raio 4 etc Para todos estes pares de raios a diferenca de caminho entre eles e 1 2 3 4 a 2 sin θ 422 Se essa diferenca de caminho for igual a λ2 todos esses pares se cancelaram em P1 na tela de observacao e teremos interferˆencia destrutiva neste ponto Portanto a 2 sin θ λ 2 a sin θ λ 1o mınimo 423 50 CAPITULO 4 INTERFERˆENCIA E DIFRAC AO Figura 46 Formacao do 2o mınimo de di fracao no ponto P2 Halliday A condicao acima define o primeiro mınimo Mınimos sucessivos podem ser obtivos imaginando que exatamente o que aconteceu na fenda de largura a aconteca com cada uma de suas fracoes eg cada uma de suas metades se cancela independentemente etc Por exemplo se dividirmos a fenda em 2 partes cada uma de largura a2 e repetirmos a analise acima para cada parte os raios na primeira metade da fenda se cancelam e os raios na segunda metade de cancelam independente mente A Fig 46 mostra essa segunda maneira dos raios se cancelarem no ponto P2 da tela de observacao Vamos considerar novamente a interferˆencia de pares de raios eg raio 1 e raio 2 raio 2 e raio 3 etc Para estes pares a diferenca de caminho e 1 2 2 3 a 4 sin θ 424 Se essa diferenca de caminho for igual a λ2 todos os pares da primeira metade da fenda se cancelarao e todos os pares da segunda metade se cancelarao de forma independente Assim todos os pares da fenda como um todo se cancelam em P2 a 4 sin θ λ 2 a sin θ 2λ 2o mınimo 425 Prosseguindo neste racıocinio sucessivamente temos a sin θ mλ mth mınimo 426 Antes de calcular o padrao de difracao em um fenda simples vamos primeiro lembrar do caso da interferˆencia em fenda dupla de largura pequena como mostrado na Fig 47 Neste caso tınhamos EP E1 E2 onde E1 v1eiωt e v1 Aeikr1 Mostramos anteriormente que EP ve iωt onde v v e ik2d sin θ e ik2d sin θ e v Aei k R Definindo coordenadas x com centro entre as duas fendas e denotando a coordenada da fenda de cima x1 d2 e da fenda de baixo x2 d2 segue que x x1 kx1 cosπ2 θ k d2 sin θ k x2 kx2 cosπ2 θ k d2 sin θ Portanto podemos escrever a amplitude do campo no caso de uma fenda dupla como v ve ikx1 e ikx2 v 2 N j1 e ikxj 427 Para obter o padrão de difração precisamos generalizar essa expressão para infinitos pontos ao invés de apenas 2 Para N pontos na fenda igualmente espaçados Δx aN onde a é o tamanho da fenda teríamos vθ v N j1 e ikxj 428 Note que quanto θ 0 temos k xj k j sin 0 0 para todo j e a amplitude é máxima v0 v N j1 N v 429 Portanto relativamente a este valor máximo temos usando Δx aN vθ v0 1 N j1 e ikxj 1 a j1 e ikxj Δx 430 Tomando o limite N em que Δx 0 a soma se torna uma integral vθ v0 1 a a2 a2 e ikx dx 431 ou seja vθ v0 1 a a2 a2 e ik sin θ dx 1 a e ik sin θ a ik e ik sin θ a2 1 e ik sin θ ei k a2 sin θ e ik sin θ 2i sink a2 sin θ k a2 sin θ Portanto como Iθ E2 v2 temos Iθ I0 vθ2 v02 onde I0θ sinβ2 β22 onde β ka sin θ Difração Fenda Simples 432 44 DIFRAC AO 53 Neste caso temos mınimos de interferˆencia δ m 12π e mınimos de difracao β mπ que se superpoem Normalmente d a portanto o espacamento de mınimos de interferˆencia θint λd sao menores que o espacamento de mınimos de difracao θdif λa Assim o padrao de difracao acaba servindo como um envelope ao padrao de interferˆencia Este padrao resultante de interferˆenciadifracao esta mostrado na Fig 410 Figura 410 Padrao de Interferˆencia e Difracao das ondas que passam por duas fendas Serway Este padrão de interferência está mostrado na Fig 49 Note que os mínimos ocorrem quando sinβ2 0 ou seja para β 2 mπ m 1 2 2 a sin θ mλ k 2πλ 433 que é exatamente a condição que havíamos encontrado anteriormente A posição dos máximos pode ser bem aproximada como centrada entre dois mínimos sucessivos A região do máximo central contém mais de 90 da intensidade total Se considerarmos agora novamente uma fenda dupla mas com fendas de tamanho a não desprezível temos que o efeito de interferência das duas fendas se sobrepõe à difração de cada fenda individual Desta forma o padrão de interferênciadifração será dado por Iθ I0 cos2δ2 sinβ2 β2 2 onde δ kd sin θ e β ka sin θ Fenda Dupla 434 54 CAPITULO 4 INTERFERˆENCIA E DIFRAC AO Capıtulo 5 Mecˆanica Estatıstica O objetivo principal da mecˆanica estatıstica e relacionar as propriedades microscopicas de sistemas fısicos seus estados quˆanticos com suas propriedades macroscopicas ou termodinˆamicas tempe ratura pressao etc Neste capıtulo fazemos um estudo destes conceitos e conexoes derivamos a distribuicao de velocidades de MaxwellBoltzmann e consideramos o problema da radiacao termica de corpo negro do ponto de vista classico 51 Estados de Energia Considere um sistema qualquer de partıculas atomos moleculas gas osciladores harmˆonicos etc com energia total Er Suponha que existam varias maneiras de as partıculas do sistema terem essa energia total Er Chamamos cada uma dessas maneiras de um estado do sistema Podemos enumerar esses varios estados r 1 2 3 Os estados microscopicos sao ultimamente descritos pelas leis da mecˆanica quˆantica Eq de Schrodinger que rege o sistema Exemplo 3 eletrons cada um com spin na direcao z para cima ou para baixo e respectivo momento magnetico µ ou µ Na presenca de um campo magnetico B cada eletron tem energia E µB ou µB Se soubermos por hipotese que a energia E total do sistema e µB isso significa que dois eletrons tem spin e um deles Supondo que os eletrons sao distinguıveis os estados possıveis sao Qualquer um desses 3 estados tem a mesma energia µB Classicamente o estado de uma partıcula e descrito por sua posicao e seu momento linear De acordo com as leis da mecˆanica classica leis de Newton uma vez especificado este estado sabemos como ele evolui no tempo Exemplo Um oscilador harmoˆnico simples E p2 2m 1 2mω2x2 51 Para uma energia fixa todos os valores de x e p definidos na equacao acima formando uma elipse no plano x p sao possıveis estados do oscilador com energia E 55 56 CAPITULO 5 MEC ˆANICA ESTATISTICA Seja ΩE o numero total de estados de um sistema com energia E Postulado Estatıstico Basico Em um sistema isolado em equilıbrio e com energia E todos os estados acessıveis ie consistentes com a energia E sao igualmente provaveis Como consequˆencia a probabilidade PE de o sistema ter energia E e proporcional ao numero de estados ΩE com essa energia PE CΩE 52 Uma definicao importante e a entropia S de um sistema S kB ln ΩE 53 onde kB e a constante de Boltzmann A entropia e uma medida do numero de estados acessıveis de um sistema 52 Temperatura Pressao Trabalho e Calor Acima o numero de estados pode depender do volume V e do numero de partıculas N de forma que S SE V N Podemos entao tomar E como funcao de S V e N E ES V N 54 Uma maneira de alterar a energia de um sistema eg no caso em que E EV e realizando trabalho dW sobre ele Em termos da pressao P feita pelo sistema quando ele vai de um volume V a outro V dV temos que o trabalho realizado pelo sistema e dW Fds P Ads PA dS PdV 55 Ao fazer esse trabalho a energia do sistema varia de dE dW PdV e temos P E V 56 No caso em que nao ha mudanca no numero de partıculas de um sistema dN 0 a unica outra forma de alterar a energia do sistema e quando ele absorveda calor dQ doao meio O calor dQ e entao definido como a variacao na energia que nao seja devida ao trabalho dE dW dQ dQ dE dW 57 Por outro lado o elemento diferencial dE e dado por dE E S dS E V dV E N dN 58 52 TEMPERATURA PRESS AO TRABALHO E CALOR 57 Definimos T E S Temperatura 59 P E V Pressao 510 µ E N Potencial Quımico 511 em termos dos quais o elemento dE fica dE TdS PdV µdN 512 No caso em que dN 0 temos entao dE TdS dW 513 e comparando com a Eq 57 temos que o calor e dado por dQ TdS 514 Note que 1 T S E kB ln ΩE E 515 e podemos definir a grandeza β que aparecera em calculos posteriores β 1 kBT ln ΩE E 516 Como E ES V N podemos inverter essa relacao em termos da entropia S SE V N Para essa funcao temos dS S E dE S V dV S N dN 517 E definimos 1 T S E Temperatura 518 P T S V Pressao 519 µ T S N Potencial Quımico 520 que usando S kB ln ΩE V N e β kBT1 sao equivalentes a β ln ΩE V N E 521 βP ln ΩE V N V 522 βµ ln ΩE V N N 523 58 CAPITULO 5 MEC ˆANICA ESTATISTICA Em termos destas o elemento dS fica dS dE T P T dV µ T dN 524 ou equivalentemente como antes TdS dE PdV µdN 525 53 Equilıbrio Termodinˆamico No equilıbrio as propriedades macroscopicas de um sistema nao mudam Isso quer dizer que embora possam haver transicoes nos estados microscopicos estes nao alteram o estado macroscopico do sistema Este estado e atingido quando a probabilidade PE V N atinge seu maximo Considere um sistema A com energia E volume V e N partıculas em contato termico com outro sistema A com energia E volume V e N partıculas O sistema combinado A0 AA tem energia E0 volume V 0 e numero de partıculas N0 conservados E0 E E constante 526 V 0 V V constante 527 N0 N N constante 528 Se A tem energia E a energia de A esta determinada a ser E E0 E Similarmente para o volume e numero de partıculas Denote por Ω0E V N o numero de estados do sistema combinado A0 quando A tem energia E volume V e N partıculas A probabilidade de ter A0 tal que A tem essas caracterısticas e PE V N CΩ0E V N 529 Seja ΩE V N o numero de estados de A com energia E e similarmente ΩE V N ΩE0 E V 0 V N 0 N o numero de estados de A com energia E Temos entao que Ω0E V N ΩE V NΩE V N 530 e portanto PE V N CΩE V NΩE V N 531 No equilıbrio PE V N e maxima bem como seu logaritmo ln PE V N ln C ln ΩE V N ln ΩE V N 532 Portanto d ln P ln P E dE ln P V dV ln P N dN 0 533 Como as variações de dE dV e dN são independentes cada derivada parcial deve ser nula separadamente ln P E ln Ω E ln Ω E ln P V ln Ω V ln Ω V ln P N ln Ω N ln Ω N ou seja os dois sistemas têm a mesma temperatura pressão e potencial químico no equilíbrio Note que kB ln PE kB ln C kB ln Ω0E kB ln C S0 ou seja maximizar PE é equivalente a maximar a entropia total S0 que satisfaz S0 kB ln Ω0EE kB ln ΩE kB ln ΩE S S Portanto no equilíbrio PE é máxima S0 S S é máxima T T p p e μ μ O termo eβErμNr chamase fator de Gibbs No caso em que não há troca de partículas entre A e o reservatório o número de estados não depende do número de partículas e temos apenas PEr CeβEr O termo eβEr chamase fator de Boltzmann Para determinar a constante C impomos a normalização de PEr r PEr Cr eβEr 1 C r eβEr1 Portanto a probabilidade normalizada fica PEr eβEr r eβEr Essa distribuição também é conhecida como Distribuição de MaxwellBoltzmann Ela diz que valores de Er kBT são exponencialmente suprimidosimprováveis A somatória nos estados do fator de Boltzmann é chamada função de partição Z Z r eβEr ou seja PEr eβEr Z O fator de Boltzmann dá a probabilidade de um estado específico r Se quisermos saber a probabilidade de termos uma energia qualquer entre E e E δE devemos considerar todos os estados entre esses limites PE r PEr r tal que E Er E δE Para δE pequeno todos os estados têm basicamente a mesma exponencial eβEr eβE e essa soma dá simplesmente o número de estados ΩE que satisfazem a condição acima vezes a exponencial PE ΩEeβE As distribuições canônica e grandcanônica podem facilitar o cálculo de médias termodinâmicas quando temos vínculos na energia eou número de partículas do sistema Por exemplo se sabemos que a energia total E eou o número total de partículas é constante Essas distribuições podem ser usadas mesmo em sistemas isolados que não estão em contato com um reservatório térmico pois ao retirarmos o sistema em equilíbrio do contato com o reservatório ele permanecerá em equilíbrio e com os mesmos valores médios das grandezas macroscópicas Por exemplo suponha que saibamos que a energia do sistema está entre E e E δE e o número de partículas do sistema está entre N e N δN e que existem ΩEN estados microcanônica y r yr eβEr r eβEr Note que temos que impor ambas as condições de energia e número de partículas na contagem de estados o que pode ser complicado Similarmente o valor médio pode ser obtido com a distribuição canônica y r yr eβEr r eβEr Nesse caso só existe a restrição no número de partículas Finalmente o valor médio pode ser obtido com a distribuição grandcanônica y r yr eβErμNr r eβErμNr No caso da distribuição canônica temos para a energia E r Er eβEr r eβEr e como r EreβEr r eβEr β eβZ β Z temos E 1 Z Z β ln Z β extTemos também para a pressão barp fracsum pr e beta Ersum e beta Er exte como sumr fracpartial Erpartial V e beta Er frac1beta fracpartialpartial V left sumr e beta Er right frac1beta fracpartialpartial V Z extPara fim usando a distribuição grandcanônica temos o número médio Usando o formalismo desenvolvido até agora podemos demonstrar um resultado muito importante da termodinâmica o teorema da equipartição de energia barN fracsum Ncr ebeta Ersum ebeta Er O valor médio de εi fica alpha beta mu A velocidade média v é dada por v 4mβ2 π232 emβv²2 dv quad fracpartial ln Zgpartial alpha quad Zg sum ebeta Er alpha Nr alpha beta mu Já o valor médio da velocidade ao quadrado fica barv2 frac1n int v2 fv d3v frac1n int v Fv dv 4pi left fracmbeta2pi right32 int v4 em beta v22 dv ext e como int x4 eax2 dx left fracpartialpartial a right int x2 eax2 dx left fracpartialpartial a right int0infty eax2 dx frac12 sqrtfracpia sqrtfracpia frac38 sqrtpi a52 ext temos com a mbeta2 barv2 frac4sqrtpi left fracmbeta2 right32 left frac2mbeta right52 frac32 left frac2mbeta right52 frac3kBTm ext Raiz da Velocidade quadrática média 59 RADIAC AO TERMICA CL ASSICA E ESPECTRO DE CORPO NEGRO 69 Podemos entao estudar o problema da radiacao termica resultante de qualquer processo fısico que leve a um equilıbrio t ermico considerando a radiacao emitida por um corpo negro em contato com essa radiacao Considere um corpo negro como sendo uma caixa fechada de comprimento L e volume V L3 contendo radiacao eletromagnetica em seu interior Podemos pensar que a radiacao termica ambiente entra por um pequeno buraco na caixa sendo prontamente absorvida No equilıbrio a radiacao e reemitida pelos atomos na parede da caixa Sabemos que cargas oscilando eg aceleradas emitem radiacao portanto como modelo classico do corpo negro tomaremos os atomos de suas paredes como osciladores harmˆonicos em equilıbrio com a radiac ao Classicamente a energia da radiacao depende de sua amplitude E0 e a energia media de cada oscilador E mv22 mωx22 pela equiparticao e kBT Como sabemos classicamente o campo eletromagnetico no vacuo dentro da caixa satisfaz a equacao de ondas 2E 1 c2 E t2 0 590 cuja solucao e dada por Ex y z E0eikrωt E0eikxxkyykzzeiωt 591 onde k2 k2 x k2 y k2 z ω2 c2 592 Como o campo esta dentro da caixa seu valor deve se anular nas bordas superficiais ie quando x ou y ou z forem iguais a 0 ou L Ou seja a solucao de ondas se propagando acima na verdade deve se reduzir a uma solucao de onda estacionaria Como eikxx coskxx i sinkxx 593 devemos tomar somente a parte sinkxx que se anula apropriadamente quando x 0 O mesmo vale para y e z Portanto E E0 sinkxx sinkyy sinkzzeiωt 594 Alem disso a solucao deve se anular para eg x L o que implica kxL nxπ nx 1 2 3 595 e o mesmo para y L e z L Portanto e preciso que kx nx π L ky ny π L kz nz π L 596 e portanto o numero de estados ie o numero de maneiras das ondas existirem e enumerado pelos inteiros nx ny e nz Note que tomamos nx ny nz 0 e portanto kx ky kz 0 pois mudando de sinal kx kx temos sin kxx sin kxx que corresponde ao mesmo estado ja que basta fazer E0 E0 extonde R NA kB 602 imes 1023 cdot 138 imes 1023 831 extJK ext é a constante dos gases extNote que N kB T frac23 barE ext e portanto barp frac23barEV ext Denotando a densidade de energia u barEV ext temos barp frac23 baru A pergunta que gostaríamos de responder é qual a energia média dessas ondas em um intervalo de frequência dν A ideia é contar o número de estados possíveis dentro de dν e então multiplicar esse número pela energia média de cada estado Precisamos saber então qual o número de estados possíveis dentro do intervalo de frequência dν E como kx 2πλ 2πνc temos dk 2πdνc Portanto precisamos saber o número de estados em cada dkx etc Como nx ny e nz contam os estados quando variamos nx de Δnx produzimos uma variação de kz dada por dkx ΔnxπL Portanto dentro de um intervalo dkx cabem Δnx fracdkxpi L ext estados e semelhantemente para y e z Portanto denotando o número total de estados no intervalo d3k dkxdydzdkz ext por Omegakd temos Omegakd Delta x Delta y Delta z fracdkxpi fracdkypi fracdkzpi L fracL3pi3 d3k fracVpi3 d3k extPosteriormente consideraremos o gás ideal quântico tanto para a estatística de Boltzmann quanto para gases de bósons ex fótons e férmions ex elétrons Finalmente notamos que para uma direção de propagação definida por vecE0 temos 2 polarizações possíveis para os campos eletromagnéticos que formam dois possíveis conjuntos de estados da radiação Para exemplo se a radiação se propaga na direção z podemos ter E na direção x e na direção y ou equivalente E na direção y e B na direção x Devemos então multiplicar o número de estados anteriores por 2 para considerar essas duas possibilidades de polarização obtendo finalmente Omega u d u fracV 8pic3 u2 d u ext Número de estados em d u ou em termos do comprimento de onda usando u clambda e d u clambda2 dlambda Omegalambda d lambda fracV 8pic3 fraclambda2lambda4 dlambda ext Número de estados em dlambda 72 CAPITULO 5 MEC ˆANICA ESTATISTICA Capítulo 6 Mecânica Quântica Neste capítulo introduzimos os problemas e as primeiras ideias inovadoras que conduziram aos primórdios da Física Quântica e permitiram seu posterior desenvolvimento formal 61 Modelo de Planck Em 1900 Max Planck encontrou a solução para o problema da catástrofe do ultravioleta da radiação térmica Para isso Planck propôs a hipótese de que a energia é da radiação emitida pelos átomos oscilantes era dada de forma discretizada quantizada em pacotes de energia os fótons que dependem da frequência ν da onda eletromagnética ε εnν nhν 61 onde n é um número inteiro e h 6 10³⁴ Js é a chamada constante de Planck uma nova constante universal da natureza que terá grande importância na Física Quântica Com esta hipótese não vale mais o resultado de que a energia média de cada oscilador é kBT já que este resultado foi obtido no espaço de fase contínuo assumindo que a energia podia ter qualquer valor Precisamos então recalcular essa energia média Agora temos energia discretas vamos retomar as expressões para valores médios da distribuição canônica usando somatórios ao invés de integrais Temos ḗν ₀ εnνeβεnν hν ₀ nenβhν ₀ enβhν 62 Usando x βhν temos n1 nenβhν n1 nenx x n1 enx 63 ḗν hν x n1 enx hν S S x S n1 enx 64 Precisamos calcular o somatório S S 1 ex ex² exS ex ex² 74 CAPITULO 6 MEC ˆANICA QU ˆANTICA Subtraindo um resultado do outro S exS 1 S 1 1 ex 65 Portanto ϵν hν 1 S S x hν1 ex ex 1 ex2 hν ex 1 ex hν ex 1 66 ou finalmente ϵν hν eβhν 1 67 Essa e a energia media que deve entrar na densidade de energia da radiacao ou seja uνdν ϵν 8π c3 ν2dν 68 8π c3 ν2 hν eβhν 1dν 69 ou uνdν 8πhν3 c3 1 e hν kBT 1 dν Radiacao Termica Quˆantica 610 Definindo η hνkBT 611 de forma que ν kBThη e hν3 η3k3 BT 3h2 e dν kBThdη temos uνdν 8πhν3 c3 dν eη 1 8πk4 BT 4 h3c3 η3 eη 1 612 e definimos uηdη h3c3 8πk4 BT 4 uνdν η3 eη 1dη 613 Lembre que no caso classico tinhamos uνdν 8πkBTν2 c3 dν 8πk4 BT 4 h3c3 η2dη 614 e portanto uηdη h3c3 8πk4 BT 4 uνdν η2dη 615 61 MODELO DE PLANCK Na Fig 61 mostramos a distribuição de radiação térmica quântica e clássica Note que a versão quântica elimina a catástrofe do ultravioleta e concorda perfeitamente com as observações Inicialmente não se compreendeu a razão da hipótese inicial de Planck para a quantização da energia dos osciladores O próprio Planck não gostava deste argumento e acreditava que era apenas um artifício matemático para chegar a resposta correta Eventualmente com o desenvolvimento da Mecânica Quântica ficou claro que essa quantização era fenômeno recorrente e inerente a sistemas quânticos O nascimento da física quântica se deu portanto com a quantização da luz que até então era tida como uma onda eletromagnética Esse fenômeno mostrou que a luz também tem características corpusculares ie pode se comportar como pacotes de energia que nada lembram ondas senoidais O espectro de radiação térmica aparece em vários sistemas físicos eg o espectro da radiação cósmica de fundo RCF que foi liberada 300000 anos após o Big Bang e pode ser detectada hoje em todas as direções do Universo Esse espectro corresponde a uma radiação com T 3K em pico na região de microondas e é umas das observações mais importantes em Cosmologia A detecção dessa radiação em 1964 deu a Penzias e Wilson o prêmio Nobel de Física em 1978 Essa medida indicou que de fato o Universo foi muito quente no passado e ao se esfriar essa radiação se desacolou da matéria A detecção de flutuações de temperatura da ordem de uma parte em 10⁵ nesta radiação feita em 1992 pelo satélite COBE deu a Smoot e Mather o prêmio Nobel em 2006 Este feito iniciou a era da cosmologia de precisão 611 Lei de Deslocamento de Wien Como uη tem pico sempre em ηmax const 28 temos ηmax βhνmax hνmaxkBT νmaxT const 616 Portanto νmax₁ T₁ νmax₂ T₂ 617 Ou seja a posição do pico νmax é proporcional à temperatura T Podemos calcular a posição do pico mais explicitamente derivando uν duνdν 8πhc³ 3ν² eβhνeβhν 1² 0 3 βhν eβhνeβhν 1² 618 Esta condição pode ser expressa como 3eβhνmax 3 βhνmax eβhν 3 3eβhνmax βhνmax ou eηmax 1 ηmax3 onde ηmax βhνmax 619 A solução desta equação dá ηmax 282 νmaxT ηmaxkBh 588 10¹⁰ s¹K¹ 620 612 Lei de StefanBoltzmann Considera a radiação emitida por um corpo negro com vetor de onda na direção k fazendo ângulo θ com a normal n ao corpo negro e dentro de um ângulo sólido dΩ Pelas Eqs 599 e 5100 o número de estados neste ângulo sólido agora sem integrar em dΩ Ωk d³k Vπ³ 8 d³k Ωk dkdΩ Vπ³ 3 k²dk V3 2πνc Vc³ ν²dνdΩ e a densidade de energia da radiação nesta direção fica uνdνdΩ 2hν³c³ 1 eβhν 1 dνdΩ 621 A intensidade da radiação energia emitida por unidade de tempo por unidade de área do corpo negro ou fluxo de energia na frequência ν e ângulo sólido dΩ fica então IνdνdΩ Šν k n dνdσ uν cos θ dνdΩ 622 Integrando em todas as direções temos Iνdν uνc dν cos θ dθ e como cos θ dΩ φ π θ π2 0 cos θ sin θ dθ 2π ₀¹₂ du π π 625 62 EFEITO FOTOELÉTRICO temos Iνdν πuνc dν Iνdν 2πhν3 c2 1 e hν kBT 1 dν 626 E a intensidade total em todas as frequências fica I Iνdν 2πhν3 c2 1 e hν kBT 1 dν 627 Mudando x βhν ie ν xhβ e dν dxhβ temos I 2πhxhβ3 c2 1 dx ex 1 hβ 2π c2h3β4 x3 ex 1 dx 628 Como x3 ex 1 dx π4 15 630 I 2πk4BT 4 c2h3 π4 15 2π5k4B 15c2h3 T 4 I σT 4 631 onde σ 2π5k4B 15c2h3 567 108 Kg s3K4 Constante de StefanBoltzmann 632 62 Efeito Fotoelétrico Em 1905 Einstein propôs a mesma quantização da energia da radiação eletromagnética para explicar o chamado efeito fotoelétrico Para esse feito Einstein ganharia o prêmio Nobel em 1921 No efeito fotoelétrico luz de intensidade I e frequência ν incide em uma superfície metálica E interagindo com elétrons dos átomos da superfície Os elétrons podem ser ejetados da superfície emissora E e coletados na superfície coletra C Fechamos um circuito em E e C e estabelecese uma diferença de potencial ΔV variável entre E e C com uma fonte variável de forma a direcionar os elétrons de E a C e estabelecer um corrente i no circuito Figura 63 Efeito Fotoelétrico Radiação de intensidade I e frequência ν incide sobre placa de metal E liberando elétrons coletados na placa C e fazendo uma corrente i O potencial de aceleração ΔV pode ser invertido para frear os fotoelétrons e fazer i 0 quando ΔV VF Nussenzveig 78 CAPITULO 6 MEC ˆANICA QU ˆANTICA Figura 64 Corrente i em funcao do potencial de aceleracao V no efeito fotoeletrico O va lor de saturacao de i depende da intensidade I da luz Quando i 0 quando V VF e esse potencial de freamento nao depende da intensidade da luz Young Empiricamente uma serie de fatos sao observados em um experimento como esse A Fig 64 mostra a corrente do circuito i em funcao do potencial V para luzes de intensidades I1 e I2 2I1 e mesma frequencia ν1 ν2 Para V muito grande todos os eletrons libe rados dos atomos em E sao direcionados a C e obtemse uma corrente maxima de saturacao Ja quando V fica menor a corrente observada diminui Mudando o sinal de V o potencial passa a frear os eletrons no cami nho de E a C e para um valor V VF potencial de freamento os eletrons sao todos freados inclusive os mais energeticos e a corrente observada e nula i 0 Observase que utilizando uma radiacao de intensidade diferente apenas o valor da corrente de saturacao muda mas o valor de VF permanece o mesmo Por outro lado utilizando radiacoes de frequˆencia diferente eg ν2 ν1 mas mesma intensidade I1 I2 como mostrado na Fig 65 observase que a corrente de saturacao e a mesma enquanto o valor de VF muda com a frequˆencia e VF2 VF1 ie VF diminui com ν Existe um valor mınimo que ν deve ter para que exista corrente naonula Este valor mınimo e definido como ν0 tal que VF 0 Para radiacao com ν ν0 i 0 mesmo se a intensidade da radiacao for muito alta infinita Figura 65 Corrente i em funcao do poten cial de aceleracao V no efeito fotoeletrico para radiacoes de mesma intensidade I e va lores diferentes de frequˆencia ν Vemos que VF depende de ν Young Figura 66 Potencial de freamento VF em funcao da frequencia ν da radiacao para dois metais de materiais diferentes Serway Podemos entao fazer o grafico de VF em funcao de ν para 2 diferentes materiais da superfıcie metalica como na Fig 66 Notase que VF muda linearmente com a frequˆencia e tambem depende do tipo de material da superfıcie Os valores mınimos de frequˆencia ν0 1 e ν0 2 tambem dependem do material Podemos tentar entender esses fatos com o balanco energetico de um eletron assim que ele sae de E mo mento 1 e assim que ele chega em C momento 2 62 EFEITO FOTOELETRICO 79 E1 E2 K1 U1 K2 U2 K1 K2 U2 U1 633 Mas a diferenca de energia potencial do eletron e simplesmente U2 U1 eV portanto K1 K2 eV 634 Vamos agora considerar a situacao limite em que o eletron tem energia cinetica maxima em 1 ie velocidade totalmente horizontal ou seja K1 Kmax Vamos supor tambem que o eletron chega em C com energia cinetica nula ie K2 0 Como o eletron mais energetico acaba nao chegando em C nenhum outro eletron chega e portanto i 0 ou seja V VF Assim temos Kmax eVF 635 Por outro lado a energia da radiacao Erad e usada para i liberar o eletron do atomo e ii dar essa energia cinetica Kmax ao eletron A energia necessaria para quebrar a ligacao do eletron ao atomo e denotada W e chamase funcao trabalho Portanto temos Erad W Kmax ou seja Kmax Erad W 636 Combinando essas equacoes temos eVF Erad W 637 Podemos entao confrontar as espectativas baseadas na teoria classica da radiacao com o que se observa de fato Classicamente como Erad cresce com I esperase que VF tambem cresca com I Alem disso como Erad depende apenas de I mudando a frequˆencia ν nada deveria ocorrer com VF Ademais qualquer que fosse a frequˆencia aumentando I eventualmente Erad W e haveria corrente Entretanto como vimos o que se observa e que VF nao depende de I e depende de ν E existe um valor mınimo ν0 tal que para haver corrente e preciso que ν ν0 Para explicar os fatos observados Einstein retomou a hipotese de Planck da quantizacao da radiacao supondo que ela e formada por fotons ie pacotes de luz A energia de cada foton da radiacao e dada por Erad hν 638 e uma radiacao com maior intensidade tem maior numero de fotons Assim a equacao fica eVF hν W 639 Esta equacao explica todos os fatos observados Primeiramente aumentando a intensidade estamos aumentando o numero de fotons da radiação e portanto mais eletrons serao liberados dos atomos da superficie e farão parte da corrente de saturacao que aumenta Entretanto a energia de cada foton individual nao muda e a condicao para o eletron parar continua a mesma ie VF é o mesmo A equação indica ainda que VF cresce linearmente com ν E para que haja corrente VF 0 o que implica hν W ou seja é preciso que ν ν0 Wh Cada eletron precisa ganhar energia suficiente do foton para sair do material Nao adiante mandar muitos fotons pouco energeticos pois somente um foton interage com o eletron de cada vez Temos que VF h e ν W e 640 Portanto identificase VF em funcao de ν e pode ser usada para medir a constante de Planck Por outro lado a intersecao com o eixo x ocorre em VF 0 ie em ν0 Wh e pode ser usada para medir a função trabalho W do material Alem disso a projeção da reta ocorre em VF We e também dá a função trabalho 63 Átomo de Bohr Em 1913 Bohr propôs um modelo para o átomo de Hidrogênio que explicava porque os átomos emitem e absorvem radiação de forma quantizada ie por fótons O modelo de Bohr tinha os seguintes postulados 1 O elétron não atinge radiação quando permanece em órbitas estacionárias com energia E e nessas órbitas não emite radiação 2 O átomo so irradia ie o eletrons emite radiação quando transita de uma orbita com energia Ei para outra orbita menos energetica com energia Ef Ei emitindo um foton de energia Eγ hν EiEf O elétron também pode absorver um foton de energia Eγ hν indo de Ei para Ef tal que hν Ef Ei 4 As orbitas estacionarias possíveis sao determinadas pela quantizacao do momento angular do eletron que deve satisfazer L mvr n h 2π n 1 2 3 641 onde h é a constante de Planck Lembrese que h de fato tem unidade de momento angular Com esse modelo podemos calcular as orbitas possíveis do eletron bem como as energias nessas orbitas como faremos a seguir Bohr também ganharia o prêmio Nobel em 1922 por esse modelo atômico Portanto a energia total fica En Kn Un En me4 8n2h2c2 0 Níveis Energéticos 652 Podemos então calcular a diferença de energia entre estados energéticos n i e n j ΔEij Ei Ej me4 8c2h2 1 i2 1 j2 653 Como essa energia deve corresponder à energia do fóton emitidoabsorvido temos ΔEij hν hc λ e portanto podemos obter os possíveis comprimentos de onda dos fótons emitidosabsorvidos 1 λij me4 8c2h3c 1 i2 1 j2 654 Definimos a constante de Rydberg R me4 8c2h3c 1097 107 m1 655 em termos qual temos 1 λij R 1 i2 1 j2 656 64 Efeito Compton Em 1923 Compton usou novamente a quantização da luz para explicar a mudança no comprimento de onda de raios X ao serem espalhados por elétrons livres em grafita Compton ganharia o prêmio Nobel em 1927 por esse trabalho Nesta época a relatividade especial já havia se desenvolvido segundo a qual a energia de uma partícula é dada por E2 m2c4 p2c2 657 onde m é a massa e p é o momento Para uma partícula parada p 0 e a energia é simplesmente a energia de repouso dada pela fórmula de Einstein E mc2 Para a radiação fótons mγ 0 e portanto Eγ pγc Assumindo a energia de fótons dada por Eγ hν temos pγc hνc ou ainda pγ h λ fóton 658 Considere a Fig68 onde o efeito Compton é ilustrado Um fóton de comprimento de onda λ0 e momento pγ0 colide com um elétron inicialmente em repouso Após a colisão ambos se espalham fazendo ângulos θ e φ com a direção de colisão original Figura 68 Efeito Compton Um fóton de comprimento de onda λ0 se espalha ao colidir com um eletrônico transmitindo a este parte de sua energia e passando a ter um comprimento de onda λ Halliday Vamos primeiro assumir que o elétron está livre o que é aproximadamente válido para os elétrons em camadas superficiais do átomo Usamos então as leis de conservação para o sistema isolado fótonelétron Conservação do momento direção vertical 0 pγ sin θ pe sin φ 0 Eγ c sin θ pe sin φ sin φ Eγ pγc sin θ 659 Conservação do momento direção horizontal pγ0 pγ cos θ pe cos φ Eγ0 Eγ cos θ pe 1 sin2 φ Eγ0 Eγ cos θ pγc 1 Eγ2 p2 ec2 sin2 θ E2 γ0 2Eγ0Eγ cos θ E2 γ E2 γ0 2Eγ0Eγ cos θ mec2 660 Conservação da energia Eγ0 E0 Eγ Ee Eγ0 mec2 Eγ m2c4 p2 ec2 Eγ0 mec2 Eγ2 m2c4 p2 ec2 E2 γ0 m2c4 E2 γ 2Eγ0Eγ 2Eγ0Eγ 2mec2Eγ 2Eγ0Eγ cos θ Eγ0mec2 Eγ E01 cos θ mec2 Eγ Eγ0 mec2 Eγ01 cos θ mec2 Eγ 1 1 cos θmec2 1Eγ0 661 ou ainda 1 Eγ 1 Eγ0 1 mec2 1 cos θ 662 Finalmente usando Eγ hν hc λ temos Δλ λ λ0 h mec 1 cos θ Efeito Compton 663 Por outro lado se o elétron estiver preso ao átomo o fóton terá que transmitir seu momento a todo o átomo não apenas ao elétron Desta forma a massa do elétron acima me deve ser substituída pela massa do átomo ma que é muito maior do que a massa de um único elétron Mesmo para o átomo de hidrogênio com apenas um próton no núcleo temos ma 1800me Portanto quando o espalhamento acontece nesses elétrons temos uma variação Δλ muito menor do que no caso de elétron livre De fato podemos aproximar Δλ 0 λ λ0 Elétron preso ao átomo 664 Portanto ao observar os fótons espalhados esperamos alguns deles com o mesmo comprimento de onda incidente e outros com o comprimento diferindo do incidente pela Eq663 Foi exatamente isso que Compton observou comprimento de onda que depende de seu momento linear com exatamente a mesma relação que relaciona momento e comprimento de onda da radiação λ h p Partículas 666 86 CAPITULO 6 MEC ˆANICA QU ˆANTICA das quais temos p 2mK 680 Portanto para o eletron temos p 382 1024kg ms 681 λ 663 1034Js 382 1024kg ms 168 1010m 0168nm 682 Exemplo 4 Considere agora uma pessoa de massa 70 kg andando a 10 ms Temos p mv 700 kg ms 683 λ 663 1034Js 700kg ms 95 1037m 684 651 Atomo de Bohr Revisitado Com o comprimento de onda de de Broglie associado a partıculas podemos reinterpretar a condicao de quantizacao do atomo de Bohr Tınhamos visto que a quantizacao das energias no atomo resultava da quantizacao do momento angular do eletron em orbita L mvr nℏ Mas se o eletron tem um comprimento de onda associado λ hp hmv por consistˆencia suas orbitas devem ter uma circunferˆencia que contenha um numero inteiro de comprimentos de onda do eletron ou seja 2πr nλ onde n e um inteiro n h mv mvr n h 2π L nℏ 685 ou seja a interpretacao de de Broglie de que podemos associar ondas a partıculas leva a condicao de quantizacao do momento angular que Bohr precisou impor para deduzir as orbitas e energias dos estados estacionarios 66 Interferˆencia de Eletrons 661 Experimento de DavissonGermer Se eletrons tˆem propriedades ondulatorias e um comprimento de onda associado eles devem sofrer efeitos de interferˆencia e difracao em fendas similares a radiacao No caso da luz o espacamento entre os mınimos de difracao por uma fenda de tamanho a era dado por θ λ a 686 e portanto os efeitos de difracao so sao observados quando λ a ou seja quando a largura da fenda e da ordem do comprimento de onda da luz Para luz vermelha temos λ 700nm 7 107m 66 INTERFERˆENCIA DE ELETRONS 87 Por outro lado para eletrons de energia 54 eV temos λe 17 1010m ou seja proximo ao tamanho do atomo lembre raio de Bohr a0 051010m Portanto precisamos de uma fendade largura proxima ao tamanho do atomo para medirmos efeitos de interferˆencia significativos nestes eletrons Qualquer fenda usual sera muito maior do que isso o que torna essa experiˆencia nao tao facil de se fazer como para a luz Uma possibilidade e usar cristais em que os atomos se arranjam de maneira ordenada e a luz pode difratarpelo espaco entre os atomos que e da ordem de 1010m Em 1927 Davisson e Germer fizeram uma experiˆencia que comprovou o carater ondulatorio de eletrons usando cristais de nıquel Por esse feito Davisson ganhou o prˆemio Nobel em 1937 O aparatus experimental usado e mostrado na Fig 69 Figura 69 Aparato do experimento de DavissonGermer feito em 1927 Young Figura 610 Experimento de Davisson Germer em 1927 Eletrons incidem so bre atomos de cristal de nıquel e sao es palhados em todas as direcoes No ˆangulo θ 50o os eletrons interferem construtiva mente Young Um fio de tungstˆenio aquecido fornece eletrons que sao acelerados em um potencial V Portanto os eletrons tˆem energia cinetica e momento naorelativistico K eV 687 p 2mK 2meV 688 De acordo com de Broglie eles tˆem comprimento de onda λ h 2meV 689 Para V 54V o eletron tem energia K eV 54eV e comprimento de onda predito λ 168 1010m 690 Esse eletrons colidem com os atomos do cristal de nıquel sendo espalhados em todas as direcoes Na Fig 71 mostrase eletrons espalhados fazendo ˆangulo de θ 50o com a direcao de incidˆencia Como o cristal tem estrutura relativamente rıgida o eletron incide e se es palha com a mesma energia e mesmo comprimento de onda 88 CAPITULO 6 MEC ˆANICA QU ˆANTICA Figura 611 Intensidade de eletrons no ex perimento de DavissonGermer O pico em θ 50o e explicado pela interferˆencia cons trutiva dos eletrons nesse ˆangulo e demons tra a sua natureza ondulatoria Young Os atomos funcionam como uma rede de difracao Ex perimentos anteriores de difracao de raios X neste mesmo cristal haviam indicado que o espacamento entre seus atomos era dado por d 215 1010m Davisson e Germer fizeram entao um grafico da in tensidade espalhada dos eletrons numero de eletrons espalhados em funcao do ˆangulo de espalhamento θ ob tendo um pico em θ 50o quando V 54V Se os eletrons sao de fato ondas que interferem deve ocorrer um maximo no ˆangulo θ tal que d sin θ λ 691 ou seja quando a diferenca de caminho entre dois raios espalhados de atomos adjacentes do cristal e igual a um comprimento de onda do eletron Para d 215 1010m e θ 50o eles obtiveram λ 168 1010m 692 em excelente acordo com o valor predito e mostrando portanto que o pico observado era devido a natureza ondulatoria do eletron 662 Fenda Dupla com Eletrons Como os eletrons tˆem propriedades ondulatorias o experimento de fenda dupla com incidˆencia de eletrons ao inves de radiacao deve gerar um padrao de interferˆencia similar Figura 612 Padrao de interferˆencia de uma onda classica esquerda e de uma partıcula classica direita Para a onda classica existe um padrao de interferˆencia na intensidade resultante quando ambas as fendas estao abertas Ja no caso da partıcula classica a distribuicao de partıculas e a superposicao dos casos de cada fenda individual nao havendo intereferˆencia Nussenzveig Na Fig 612 mostramos a intensidade de ondas classicas apos passarem por uma fenda dupla e a densidade de probabilidade de partıculas classicas ao serem ejetadas sobre a mesma fenda No caso de ondas classicas quando fechamos eg a fenda 2 obtemos um padrao de intensidade concentrado na regiao da fenda 1 e viceversa Mas quando abrimos ambas as fendas o padrao 66 INTERFERˆENCIA DE ELETRONS 89 resultante e de intereferencia I1 E2 1 e I2 E2 2 693 I12 E1 E22 I1 I2 2I1I2 cos 694 E interessante notar que isso acontece mesmo se jogarmos um foton da radiacao por vez Ou seja cada foton interfere consigo mesmo nao necessariamente com outros Assim devemos concluir que cada foton passa por ambas as fendas ao mesmo tempo Ja no caso de partıculas classicas podemos falar da distribuicao de partıculas ou da probabili dade de elas estarem em certa posicao na tela de observacao Neste caso temos as probabilidades P1 e P2 para as fendas individuais No caso de as duas fendas abertas a probabilidade resultante e a soma dos padroes de cada fenda P12 P1 P2 695 Figura 613 Padrao de interferˆencia de um eletron quando ele so e detectado na tela de observacao esquerda e quando ele e detectado nas fendas para verificar por qual delas ele passou No primeiro caso o eletron sofre interferˆencia passando por ambas as fendas exatamente como a radiacao Ja no segundo o eletron age como uma partıcula classica ja que a observacao o forca a passarpor apenas uma das fendas Nussenzveig Na Fig 613 mostramos o experimento de fenda fupla mas injetando eletrons produzidos por um fio aquecido No primeiro caso esquerda os eletrons sao detectados apenas na tela de observacao e o resultado para suas probabilidades sao idˆenticos as intensidades de ondas classicas Ou seja com cada uma das fendas abertas tˆemse as probabilidades individuais P1 e P2 enquanto no caso de as duas fendas abertas ocorre interferˆencia dos eletrons gerando o padrao de interferˆencia Novamente isso acontece mesmo que enviemos um eletron de cada vez Isso implica que o eletron de fato passa por ambas as fendas pois so assim ele sofreria interferˆencia consigo proprio Portanto deve existir uma funcao ψx cujo quadrado da a probabilidade Px ie que faca o papel do campo eletrico das onda eletromagnetica ou seja P1 ψ12 e P2 ψ22 696 P12 ψ1 ψ22 P1 P2 697 Essa funcao de onda de fato e o principal objeto de estudo na mecˆanica quˆantica Vamos voltar a ela no proximo capıtulo quando iremos introduzir a equacao que descreve essa funcao Ja no segundo caso direita os eletrons sao detectados na propria fenda para sabermos por qual delas ele passouantes de que ele chegue a tela de observacao final Neste caso o que se 90 CAPITULO 6 MEC ˆANICA QU ˆANTICA verifica e que o padrao de interferˆencia observado anteriormente desaparece e o que se observa e o padrao de probabilidades de particulas classicas ie P12 P1 P2 698 A explicacao para isso e o chamado colapso da funcao de onda No momento em que observamos algo com carater ondulatorio radiacao eletrons nos forcamos essa entidade a mostrar o seu carater corpuscular Em termos da funcao de onda dizemos que a funcao de onda que era algo espalhado no espaco colapsou para a posicao de detecao algo localizado Na mecˆanica quˆantica a propria observacao afetao resultado do que esta sendo observado As naturezas ondulatorias e corpusculares tanto de eletrons ou de fotons se mostram em diferentes situacoes mas nao ao mesmo tempo 67 Princıpio de Incerteza de Heisenberg A interferˆencia de eletrons em fenda dupla mostra claramente que a observacao de partıculas quˆanticas afeta suas propriedades ie a observacao interfere no observado A incapacidade de medir sem interferir e um ponto fundamental da teoria quˆantica que indica que em escalas atˆomicas dominadas pela Fısica Quˆantica so poderemos fazer uma descricao estatıstica ou probabilıstica das propriedades de uma partıcula ou de um sistema Enquanto na mecˆanica classica podemos sempre encontrar a posicao e a velocidade de uma partıcula com precisao infinita na fısica quˆantica veremos que isso nao e possivel Um exemplo simples dessa limitacao e imaginar que temos um eletron paradoo qual desejamos medir sua posicao e velocidade Para fazer essa medida devemos jogar um foton no eletron para veronde ele esta Mas assim que fazemos isso ou mais geralmente medimos o eletron de qualquer outra forma sempre interagindo com ele de alguma forma mudamos a velocidade do eletron e tambem sua posicao 671 Difracao de Eletrons Figura 614 Difracao de um eletron por uma fenda de largura a Nussenzveig Vamos considerar a difracao de eletrons por uma fenda de largura a para ter uma estimativa mais quantitativa desta limitacao Pela Eq 432 tambem valida para eletrons o primeiro mınimo acontece quando 2π 2λa sin θ π θ sin θ λ a 699 Por outro lado tan θ py px py px tan θ pxθ px λ a py pxλ a 6100 So podemos ter o padrao de difracao se nao medirmos a posicao por onde eletron passa na fenda Assim mesmo que o eletron tenha inicialmente momento apenas na direcao x ao passar 67 PRINCIPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG 91 pela fenda nao sabemos sob qual angulo θ ele ira parar na tela ou seja nao sabemos o valor de py adquirido ao difratar Como 90 dos eletrons estao dentro do primeiro maximo a incerteza em py e pelo menos py py pxλ a 6101 Mas por de Broglie λ hpx e portanto py pxh pxa pya h 6102 Por fim como a incerteza na coordenada y e a largura da fenda y a temos pyy h 6103 672 Incerteza PosicaoMomento O princıpio de incerteza de Heisenberg generaliza o resultado anterior para qualquer situacao e diz que xp ℏ 2 ℏ h 2π 6104 ou seja em qualquer experimento as incertezas na posicao e no momento linear de uma partıculasistema so podem ter incertezas tais que a desigualdade acima seja valida Em particular se medimos a posicao com precisao infinita x 0 isso implica total desconhecimento do momento p e viceversa 673 Incerteza EnergiaTempo Existe tambem um principio de incerteza associada a energia de um sistema e o tempo em que o sistema existe nesta energia Podemos derivar esta relacao de modo euristico considerando uma particula livre para a qual a energia e igual a energia cinetica E K mv2 2 p mv 6105 Temos do principio de incerteza de Heisenberg p ℏ 2x ℏ 2vt 6106 Por outro lado E mvv vp v ℏ 2vt ℏ 2t 6107 portanto Et ℏ 2 6108 Interpretacao Nao e possıvel saber a energia de um sistema com precisao E maior do que ℏ2t onde t e o tempo de existˆencia do sistema 674 Função de Onda A natureza ondulatória que gera efeitos de interferência e o princípio de incerteza nos dizem que existem incertezas intrínsecas na natureza Portanto na descrição fundamental feita pela mecânica quântica não podemos esperar descrever os fenômenos com precisão absoluta mas apenas de forma estatística Como vimos na interferência por fenda dupla de elétrons a probabilidade Px de o elétron estar em certa posição x é análogo da intensidade Ix na interferência de radiação Como I E2 e isso gera interferência deve haver uma função ψ que faz o papel de campo elétrico ie uma amplitude de probabilidade tal que Px ψx2 Esta função ψx é chamada função de onda e é ela que caracteriza o estado dos sistemas físicos quânticos Podemos também ter uma função de onda φp associada a probabilidades do momento linear Temos portanto ψx amplitude de probabilidade de encontrar uma partículasistema na posição x φp amplitude de probabilidade de encontrar uma partículasistema no momento p Como p h λ h λ 2π 2π λ hk 6109 67 PRINCÍPIO DE INDETERMINAÇÃO DE HEISENBERG ie o momento é bem localizado mas temos incerteza infinita na posição da partícula já que ψx oscila em todo o espaço Exemplo Onda localizada com posição x0 bem determinada ψx δx x0 6115 ϕp frac1sqrt2pihbar frac1sqrt4piDelta x2 efracp2hDelta x2 leftfrac4Delta x22pihbarright14 efracp24hDelta x2 6122 que é uma distribuição normal com incerteza Delta p dada por Delta p frachbar2Delta x 6123 ou seja Delta xDelta p frachbar2 6124 Ou seja o pacote Gaussiano satura a desigualdade do principio de incerteza Qualquer outra distribuição terá Delta xDelta p necessariamente maior do que hbar2 Essa é uma propriedade geral de Transformadas de Fourier de funções ie a transformada de uma função bem localizada é deslocalizada e viceversa Esse fato permite entender o princípio de incerteza de um ponto de vista mais matemático Capıtulo 7 A Equacao de Schrodinger 71 Funcoes de Onda Na mecˆanica quˆantica a natureza ondulatoria dos fenˆomenos faz que tenhamos que descrevˆelos por meio de uma funcao de onda Ψx t Mas o que e exatamente a funcao de onda A interpretacao correta da funcao de onda foi dada por Max Born de que ela e uma amplitude de densidade de probabilidade ou seja Px t Ψx t2 Ψx tΨx t 71 e a probabilidade de encontrar a partıcula na posicao x no tempo t Max Born ganhou o prˆemio Nobel de 1954 por esta interpretacao Mas como podemos encontrar a funcao de onda de um sistema Ela e descrita pela Eq de Schrodinger que veremos a seguir 72 Operadores Posicao Momento e Energia Na mecˆanica quˆantica a posicao x e momento p sao promovidas a operadores X P X x 72 P iℏ d dx 73 que atuam em uma funcao de onda XΨ xΨ 74 PΨ iℏdΨ dx 75 A energia E tambem e promovida a um operador H No caso comum em que a energia e dada pela energia cinetica mais uma energia potencial o operador H e dado pela mesma funcao classica mas promovendo x e p a operadores como acima H HX P P 2 2m UX 76 95 H frac12mleftihbarfracddxright2 Ux frachbar22mfracd2dx2 Ux 77 Se a função de onda Psi é um autoestado autovetor do operador H com autovalor E temos HPsi EPsi 78 721 Valores Médios Com a interpretação de que Px psi2 psipsi podemos calcular valores medios de grandezas posição momento etc no estado descrito por psi Por exemplo os valores médios de x e x2 são dados por langle x rangle int x Pxdx int x psixpsixdx 79 langle x2 rangle int x2 Pxdx int x2 psixpsixdx 710 73 Equação de Schrödinger Em 1926 Schrödinger propôs uma equação que descreve a evolução temporal da função de onda de um sistema com operador energia H definido Por esse feito Schrödinger ganharia o prêmio Nobel em 1933 A equação de Schrödinger é dada por ihbarfracpartial Psixtpartial t HPsixt Eq Schrödinger 711 Essa equação é a lei fundamental da mecânica quântica Ela é equivalente à 2a Lei de Newton F ma que descreve a evolução temporal da posição de um sistema Aqui a descrição é feita para a função de onda que dá a amplitude de probabilidade do sistema Vamos assumir casos estacionários em que H não depende do tempo Podemos assumir que a função de onda se separa Psixt psixphit 712 a equação acima fica ihbarfracpartialpartial tpsixphit Hpsixphit rightarrow ihbarpsixfracdphitdt psitleftfrachbar22mfracd2psixdx2 Uxpsixright 713 Dividindo esta equação por psixphit obtemos ihbarfrac1phitfracdphitdt frac1psixleftfrachbar22mfracd2psixdx2 Uxpsixright 714 73 EQUAC AO DE SCHR ODINGER 97 Como o lado esquerdo depende apenas do tempo t enquanto o lado direito depende apenas da posi cao x a unica maneira de serem iguais e que sejam ambos iguais a uma constante que identificamos com a energia E As equacoes ficam iℏdψtt dt Eψtt Eq Schrodinger dependente do tempo 715 ℏ2 2m d2ψx dx2 Uxψx Eψx Eq Schrodinger independente do tempo 716 A solucao da primeira equacao e dada trivialmente por ψtt eiEtℏ 717 Para encontrar ψx bem como os nıveis de energia E precisamos resolver a equacao HΨ EΨ ℏ2 2m d2ψ dx2 Ux E ψ 0 718 que pode ser escrita como d2ψ dx2 2m ℏ2 E Ux ψ 0 719 Portanto so precisamos especificar a energia potencial Ux do sistema para encontrar seus estados possıveis resolvendo a equacao acima As solucoes sao portanto da forma Ψx t ψxeiEℏ 720 Ψx t ψxeiEℏ 721 e tem probabilidade Px t Ψx tΨx t ψxψx ψx2 722 ou seja independente do tempo Portanto no caso em que a energia H e a probabilidade P nao dependem do tempo as solucoes sao chamadas de estados estacionarios 731 Condicoes de Contorno Sendo ψ relacionada com a probabilidade em certo ponto do espaco ela deve obviamente ser uma funcao contınua e definida em todos os pontos do espaco Pela Eq de Schrodinger podemos concluir o comportamento das derivadas de ψ Temos entao que 1 ψ deve ser sempre contınua e finita em todos os pontos 2 Se Ux e finita no ponto x entao d2ψdx2 deve ser finita o que implica que dψdx deve ser contınua em x 3 Se Ux e infinita no ponto x entao d2ψdx2 tambem sera infinita neste ponto e dψdx podera ser descontınua em x Para o que nos interessa nos problemas a seguir temos entao que φ e dφdx sao sempre contınuas exceto quando Ux for infinita e neste caso dφdx podera ser descontınua 74 Partícula Livre O caso mais simples é o de uma partícula livre ie com energia potencial nula Ux 0 fracd2psidx2 frac2mEhbar2psi 0 723 cuja solução fica psix phieikx phieikx onde k fracphbar fracsqrt2mEhbar 724 e phi e phi são constantes que dão pesos às soluções com momento p e p respectivamente para uma dada energia E Juntamente com a parte temporal a solução completa fica Psixt phieikxomega t phieikxomega t 725 k fracphbar frachp exatamente como sugerido por de Broglie Além disso E hbaromega h u similar à hipótese de PlanckEinstein Outra forma de expressar a solução em ondas planas seria em termos de senos e cossenos ie psix Asinkx Bsinkx 727 741 Pacote de Ondas Combinações lineares destas soluções também são soluções e podem ser usadas para obter pacotes de ondas com localização no espaço ou no momento linear De fato senos cossenos ou eikx formam uma base completa que pode ser usada para expressar qualquer solução eg séries e transformadas de Fourier Por exemplo podemos obter uma função de onda periódica em x L como psix sumninftyinftyphikneiknx sumn0inftyphikneiknx sumninftyinftyphikneiknx 728 onde phikn phi para n 0 e phi para n 0 é o coeficiente de Fourier de psi A periodicidade implica phi0 phik n2piL Portanto eikmx sumninftyinftyphikneiknkmx sumninftyinftyphikmei2pinmxL 729 sum0Lpsix sumninftyinftyphikn int0L dx ei2pinmxL sumninftyinftyphikn Ldeltamn 730 Ou seja phikm frac1L int0L dx eikmxpsix 731 Para uma função não periódica basta tomar o limite L Como n é inteiro Δn 1 e o espaçamento Δkn Δn2πL 2πL 0 e kn k fica contínua Com solução dada em termos de eikx ou similarmente seno e cosseno Assim temos que 102 CAPITULO 7 A EQUAC AO DE SCHR ODINGER Entretanto como veremos na mecˆanica quˆantica existe uma probabilidade nao nula de a particula nao apenas passar para a regiao II mas ate mesmo chegar a regiao III Quando isso ocorre dizemos que a particula sofreu tunelamento A ideia e que ela fez um tunel secretoe passou para uma regiao classicamente proibida Jogando um numero grande de partıculas eventualmente uma delas vai tunelar pela lei da probabilidade A Eq de Schrodinger e dada por d2ψ dx2 2m ℏ2 E Ux ψ 0 757 e aqui vamos impor a continuidade tanto de ψ quanto de dψdx em x a Para as regioes I e III a partıcula e livre temos d2ψ dx2 k2ψ Solucoes eikx eikx com k2 2mE ℏ2 Regioes I e III 758 E para a regiao II temos um potencial constante Como U0 E 0 temos d2ψ dx2 k02ψ Solucoes ekx ek0x com k2 0 2mU0 E ℏ2 Regiao II 759 Note que k2 k2 0 2mU0ℏ2 A solucao completa fica ψx Aeikx Beikx x a Regiao I Cek0x Dek0x a x a Regiao II Eeikx Feikx x a Regiao III 760 e sua derivada e dψx dx ikAeikx ikBeikx x a Regiao I k0Cek0x k0Dek0x a x a Regiao II ikEeikx ikFeikx x a Regiao III 761 Condicoes de contorno em x a ψIa ψIIa Aeika Beika Cek0a Dek0a ik ikAeika Beika ikCek0a Dek0a 762 e dψI dx a dψII dx a ikAeika Beika k0Cek0a Dek0a 763 Considera agora uma partícula em uma barreira de potencial Neste caso 76 BARREIRA DE POTENCIAL E TUNELAMENTO Somando a Eq 762 com a Eq 763 temos 2ikAeika ik k0Cekoa ik k0Eekoa A frac12 left 1 frack0ik right ekoaikaC frac12 left 1 frack0ik rightekoaikaD Da Eq 762 temos Beika Cekoa Dekoa Aeika Cekoa Dekoa frac12 left 1 frack0ik rightekoaC frac12 left 1 frack0ik rightekoaD B frac12 left 1 frack0ik rightekoaikaC frac12 left 1 frack0ik rightekoaikaD Em forma matricial temos left beginarrayc A B endarray right frac12 left beginarraycc 1 fracikk0 ekoaika 1 fracikk0 ekoaika endarray right left beginarrayc C D endarray right M1 left beginarrayc C D endarray right 766 Similarmente as condições de contorno em x a dão left beginarrayc C D endarray right frac12 left beginarraycc left 1 fracikk0 rightekoaika left 1 fracikk0 rightekoaika left 1 fracikk0 rightekoaika left 1 fracikk0 rightekoaika endarray right left beginarrayc E F endarray right M2 left beginarrayc E F endarray right 767 Portanto combinando os resultados temos left beginarrayc A B endarray right M1M2 left beginarrayc E F endarray right 768 onde M1M2 left beginarraycc cosh2k0a fracic2 sinh2k0a ei2ka fracin2 sinh2k0a fracin2 sinh2k0a left cosh2k0a fracic2 sinh2k0a right ei2ka endarray right 769 onde epsilon frack0k frackk0 η frack0k frackk0 770 Note que η² ε² 4 771 CAPÍTULO 7 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER Vamos assumir que G 0 caso que representa uma onda incidente da esquerda para a direita e transmitida à região II e III onde se move apenas para a direita Neste caso A left cosh2k0a fracic2 sinh2k0a right ei2kaF e temos fracFA frace2ikacosh2k0a fracic2 sinh2k0a 773 Podemos calcular então o coeficiente de transmissão T FA² T frac1cosh²2k0a fracic²4 sinh²2k0a left left 1 sinh²2k0a right fracc²4 sinh²2k0a right1 left 1 left 1 fracc²4 right sinh²2k0a right1 774 Mas 4 fracc²4 frac14 left frack²0 k²k0 right² frac14 frac2mU0hbar²sqrt2mEhbar² sqrt2mU0 Ehbar²² fracU²04EU0 E 775 Portanto T left 1 fracU²04EU0 E right1 776 Para uma barreira muito alta U0 E temos k0a² 2mU0 Ehbar² gg 1 e temos sinh2k0a approx frace2k0a2 gg 1 777 Portanto T approx fracU²04EU0 E e4k0a 778 T approx 16fracEU0 EU²0 e4k0a que indica que quando a barreira é muito alta a transmissão é exponencialmente suprimida Mas ela ainda acontece e com um número grande de partículas eventualmente uma chegará à região I à III o que classicamente seria sempre impossível 77 OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES No caso do Oscilador Harmônico Simples OHS unidimensional a energia potencial é Ux frac12mω²x² 779 e a Eq de Schrödinger fica fracd²ψdx² frac2mhbar² left E fracmω²2x² rightψ 0 780 ou fracd²ψdx² left frac2mEhbar² fracmω²hbar²x² rightψ 0 781 Para simplificar a equação vamos propor uma mudança de variável y bx com b sem unidades Como ddx 1bddy e d²dx² 1b²d²dy² a equação fica fracd²ψdy² left 2c y²ψ right 0 782 Portanto escolhemos b² frachbarmω ε fracmEhbar² 783 e temos fracd²ψdy² 2c y²ψ 0 785 Examinamos agora a equação e sua solução em casos limite No limite y temos fracd²ψdy² y²ψ 0 786 cuja solução neste limite y é ψ Ay²mey²2 787 como podemos checar fracdψdy Aym1ey²2 Aym1ey²2 788 fracd²ψdy² Amm 1ym2ey²2 Aymm 1ey²2 Am 1ym2ey²2 Aymm 2ey²2 Aym2y²2 left 1 frac2m 1y² fracmm 1y² right y 789 Aym2y²2 y²ψ Obviamente devemos descartar a exponencial positiva já que ela não permite que a integral de ψ² seja finita Portanto ψx Aym ey²2 y 790 No limite y 0 temos d²ψ dy² 2cψ 0 791 cuja solução é ψ A cos2ey B sin2ey 792 que consistentemente no limite y 0 fica ψ A cy Oy² 793 Portanto podemos propor uma solução geral da forma ψ uyey²2 794 onde uy ym y A cy y 0 795 Note que a proposta ψ uyey²2 permite que em princípio tenhamos uy ym ey²2 para y pois isso leva a ψ ym ey²2 que também é solução formal da equação Mas sabemos que essa solução não é fisicamente aceitável e estamos descartando essa possibilidade Incluindo esse anzatz obtemos uma equação para uy d²u dy² 2y du dy 2ε 1u 0 796 Assumindo para uy uma solução em série de potências temos uy n0 Cn yn 797 du dy n1 nCn yn1 798 d²u dy² n2 nn 1Cn yn2 k0 k 2k 1Ck yk k n 2 799 e substituindo essa expansão na equação obtemos n0 Cn2n 2n 1 n0 Cn 2n yn n0 Cn 2ε 1 yn 0 7100 n0 Cn2n 2n 1 Cn2n 2ε 1 yn 0 7101 A igualdade implica que o termo entre colchetes deve ser identicamente nulo para qualquer n o que dá uma relação de recorrência para os coeficientes Cn Cn2 frac2n 2ε 1n 2n 1 Cn 7102 Como a equação é de segunda ordem temos duas constantes arbitrárias C0 e C1 Umas vez especificadas essas constantes todas as outras são determinadas pela relação de recorrência Eq 7102 Portanto uy C0 C1y C2y² C3y³ C0 C2y² C4y⁴ C1y C3y³ C5y⁵ C0 1 fracC2y²C0 fracC4C2C0² C1 y fracC3y³ C5C3y⁵ C1 7103 Quando n temos Cn2 frac2n Cn n 7104 Mas a série de ym ey² dá ym ey² ym k0 fracy2kk k0 fracy2kmn m n frac1n m2 yn 7105 onde mudamos n 2k m Portanto Cn frac1n m2 7106 e temos Cn2 Cn fracn m2n 2 m2 fracn 2 m2n 2 m2n 2 m2 1 frac1n m2 o frac2n n 7107 Portanto a série de uy cresce da mesma forma que ym ey²2 ym ey²2 que é exatamente a solução que havíamos descartado anteriormente por ψ² não integrar a valor finito Mais uma vez precisamos descartar essa solução de alguma forma A única alternativa para que o comportamento no infinito não seja a de u ym ey² mas sim de u ym é que a série acima seja truncada em algum valor de n m ie Cn 0 para algum n m Se isso ocorrer pela Eq 7102 Cn2 0 e todos os coeficientes se anulam para n m ou seja é exigida a ser um polinômio de ordem m e não uma exponencial Isso ocorre se 2n 2ε 1 0 ε frac12 n 7108 ou seja como ε Eħω temos que a energia é quantizada En leftfrac12 nright ħω 7109 Já para as funções de onda temos que uy será um polinômio de ordem m Podemos dividir as soluções em 1 C0 0 uy C1y C3y³ Cnyⁿ n ímpar e uy 0 0 ie ψx 0 0 2 C1 0 uy C0 C₂y² Cnyⁿ n par e dudyy 0 0 ie dydxx 0 0 Para n par tomamos C₁ 0 e para n ímpar C₀ 0 Usando a relação Cj2 2j 1 2ε Cj j 2j 1 Cj 2j 1 2n 1 j 2j 1 Cj frac2j nj 2j 1 Cj 7110 obtemos os seguintes polinômios n 0 uy C₀ n 1 uy C₁y n 2 uy C₀ C₂y² C₀1 2y² n 3 uy C₁y C₃y³ C₁y1 frac32y² Essas soluções são proporcionais aos chamados dos polinômios de Hermite Hny H₀y 1 7111 H₁y 2y 7112 H₂y 21 2y² 7113 H₃y 12y frac23y³ 7114 H₄y 121 4y² frac43y⁴ 7115 cujas propriedades matemáticas são bem conhecidas Por exemplo elas satisfazem a relação de recorrência Hn1y 2yHn 2nHn1 7116 Portanto as soluções ficam ψny AnHnyey²2 y x leftfracmωhbarright12 x expleftfracmωx²2hbarright 7117 77 OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES 771 Estado Fundamental O caso n 0 é possível e corresponde ao estado fundamental de mais baixa energia no oscilador E₀ 12 ħω ψ₀x mωπħ¹⁴ exp mωx²2ħ 7119 Ou seja a energia mínima não é nula diferentemente do caso clássico Além disso a função de onda é um pacote gaussiano com Δx ħ2mω 772 Função de onda dos momentos A função de onda dos momentos φp pode ser obtida pelas ψx via transformada de Fourier como mostrado anteriormente Mas no caso do oscilador existe uma maneira mais simples de obter o resultado A energia do oscilador é E p²2m mω²x²2 7120 Mas se mudamos X Pmω e equivalente P mωX temos P²2m mωX²2 2mω²X²2 2 mω²Pmω²2 P²2m 7123 ou seja o problema é totalmente equivalente ao original nessas novas variáveis Assim podemos obter a função de onda simplesmente mudando x pmω e normalizando apropriadamente Por exemplo para o estado fundamental temos φ₀p 1πħω¹⁴ exp p²2ħmω 7124 ou seja Δp ħmω Portanto ΔxΔp ħ2mω ħmω ħ2 7125 como esperado para o pacote gaussiano Capítulo 8 Física Atômica 81 Equação de Schrödinger em 3 Dimensões Generalizando a representação do operador momento do caso unidimensional temos Px iħ ddx 1D p iħ x y z iħ 3D e a Eq de Schrödinger independente do tempo em 3 dimensões fica ²ψx 2mh² E Uxψx 0 83 onde a função de onda ψx ψx y z 82 Potencial Central Vamos agora considerar a Eq de Schrödinger quando a energia potencial depende apenas de uma coordenada radial r e em coordenadas esféricas Ux Ur θ φ Ur No caso específico do átomo de Hidrogênio temos Ur e²4πε₀r mas grande parte da discussão a seguir vale para qualquer sistema com um potencial central Dada a simetria esférica do problema é conveniente trabalhar em coordenadas esféricas x r θ φ nas quais o laplaciano é dado por ² 1r² r r² r 1r² sin θ θ sin θ θ 1r² sin² θ ²φ² 86 Vamos assumir que a função de onda ψr θ φ em coordenadas esféricas pode ser escrita como o produto de funções de cada variável ψr θ φ RrΘθΦφ 87 Substituindo essa forma funcional na Eq de Schrödinger temos 1 r2 r r2 Φ r 1 r2 θ sin θ Φ θ 1 r2 sin2 θ 2Φ ϕ2 2m h2 E UrΦ 0 onde as derivadas parciais se tornaram derivadas totais pois atuam em funções abertas das variáveis correspondentes Multiplicando esta equação por r2 sin2 θRϕ temos sin2 θ R r2 dR dr sin θ Θ d dθ sin θ dΘ dθ 1 Φ d2Φ dϕ2 2m h2 r2 sin2 θE Ur 0 88 ou sin2 θ R d dr r2 dR dr sin θ Θ d dθ sin θ dΘ dθ 2m h2 r2 sin2 θE Ur 1 Φ d2Φ dϕ2 89 O lado direito é função apenas de ϕ enquanto o lado esquerdo é função apenas de r e θ A única maneira desta igualdade ser verdadeira é que ambos os lados sejam iguais a uma constante comum que designaremos m2 e então 1 Φ d2Φ dϕ2 m2 810 e sin2 θ R d dr r2 dR dr sin θ Θ d dθ sin θ dΘ dθ 2m h2 r2 sin2 θE Ur m2 811 ou 1 R d dr r2 dR dr 2m h2 E Ur ll 1 812 Agora o lado esquerdo depende apenas de r enquanto o lado direito depende apenas de φ e portanto ambos os lados devem ser iguais a uma nova constante Por conveniência e por já saber o que há por vir a seguir vamos chamar essa constante de ll 1 e assim m2 sin2 θ 1 Θ sin θ d dθ sin θ dΘ dθ ll 1 813 ou 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ m2 sin2 θ ll 1Θ 814 83 SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES ANGULARES Vamos começar com a primeira equação d2Φφ dφ2 m2Φφ 817 cuja solução é Φφ eimφ 818 Como os ângulos φ 0 e φ 2π são os mesmos devemos ter Φ0 Φ2π 819 ou seja eim0 eim2π 1 cosm2π i sinm2π 820 Esta condição implica que m deve ser um número inteiro cosm2π 1 e sinm2π 0 ou seja m 0 1 2 3 821 Já para a segunda equação temos 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ m2Θ sin2 θ ll 1Θ 822 e 1 R d dr r2 dR dr 2m h2 E Ur ll 1 815 ou 1 r2 d dr r2 dR dr 2m h2 E Ur h2ll 1 2mr2 R 0 816 Com a separação de variáveis transformamos uma equação com 3 derivadas parciais em 3 equações ordinárias de uma variável cada 83 Soluções das Equações Angulares Podemos começar com a primeira equação d2Φφ dφ2 m2Φφ 817 cuja solução é Φφ eimφ 818 Como os ângulos φ 0 e φ 2π são os mesmos devemos ter Φ0 Φ2π 819 ou seja eim0 eim2π 1 cosm2π i sinm2π 820 Esta condição implica que m deve ser um número inteiro cosm2π 1 e sinm2π 0 ou seja m 0 1 2 3 821 Já para a segunda equação temos 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ m2Θ sin2 θ ll 1Θ 822 84 MOMENTO ANGULAR ou m l l 1 l 2 0 836 Por exemplo se l 3 temos que os valores possíveis de m são m 0 1 2 3 Os polinômios de Legendre Associados ficam P0 1 837 P1 z P1 1 z²12 838 P2 1 3z² P21 1 z²12 P22 1 z² 839 A parte angular total da função de onda é proporcional aos chamados Harmônicos Esféricos Ylmθ φ ΘθΦφ eimφPlmcos θ 841 Portanto para especificar a parte angular da função de onda precisamos especificar dois números quânticos l e m sendo que m se relaciona com l pela equação acima Mas qual o significado físico desses números 84 Momento Angular Com as definições dos operadores posição e momento X x Y y Z z 842 Px ih x Py ih y Pz ih z 843 podemos definir operadores momento angular mathbfL Lx Ly Lz da maneira usual e mudar para coordenadas esféricas Lx YPz ZPy ih y z z y ih sin θ φ cos φ cot θ θ 844 Ly ZPx XPz ih z x x z ih cos φ φ sin φ cot θ θ 845 Lz XPy YPx ih x y y x ih φ 846 Podese mostrar ainda que L² Lx² Ly² Lz² acaba em coordenadas esféricas L² ħ² frac1sin θ frac θ sin θ frac θ frac1sin² θ frac² φ² L²A 847 Lz ħ² frac² φ² 848 Vamos supor que existem funções Aθ φ ΘθΦφ que sejam autovetores de L² e Lz ou seja ħ² frac² A φ² L²A A ΘΦ 849 Essa é exatamente a equação que resolvemos na seção anterior com m Lzhbar ou Lz mh 850 Portanto o número quântico m representa a componente z do momento angular em unidades de ħ ie Lz é quantizado como um número inteiro m vezes ħ Por outro lado ħ² frac1sin θ frac A θ sin θ frac A θ frac1sin² θ frac² A φ² L²A 851 que é idêntica à equação da seção anterior com ll 1 L²h² ou L² ll 1ħ² 852 L ll 1ħ 853 Portanto o número quântico l é tal que o momento angular total é quantizado em unidades de ħ como acima Isso quase corresponde à quantização imposta por Bohr mas não exatamente Note que como m l temos que necessariamente L Lz já que ll 1 l² m²max Qualitativamente isso ocorre porque não podemos saber as três componentes Lx Ly Lz simultaneamente Caso L Lz fosse possível saberíamos que Lx Ly 0 exatamente As relações de incerteza de L são consequência de sua dependência em x e p e das relações de incerteza destas 85 Solução da Equação Radial Só falta agora resolver a equação radial para o potencial específico do átomo de Hidrogênio Ur frace²4pivarepsilon0 r 854 ou seja frac1r² fracddr rho² dRdρ frac2meħ² E frace²4pivarepsilon0 r fracħ² ll 12 me r² R 0 855 Iniciamos com as mudanças de variáveis ρ 2βr 856 β² frac2me Eħ² 857 n fracme e²4pivarepsilon0 k²β 858 Em termos das quais a equação fica frac1ρ² fracddρ left ρ² dRdρ right left frac14 ll 1 fracnρ right R 0 859 Quando ρ temos frac1ρ² fracddρ left ρ² dRdρ right fracR4 ρ 860 cuja solução neste limite é Rρ eρ²2 ρ 861 Portanto propomos uma solução geral como Rρ eρ²2Fρ 862 Substituindo na equação obtemos uma equação para Fρ fracd²Fdρ² left frac2ρ 1 right fracdFdρ left fracn 1ρ ll 1 right F 0 863 Propomos uma solução em séries Fρ ρs j0 aj ρj s 0 864 onde o termo ρs garante que F0 é finita já que os próprios coeficientes da equação diferencial parecem divergir em ρ 0 Substituindo na equação obtemos ss 1 ll 1 a0 ρs2 j0 s j 1s j 2 ll 1 aj1 s j 1 naj ρsj1 0 e para que a igualdade valha todo valor de ρ devemos ter ss 1 ll 1 0 865 aj1 fracs j 1 ns j 1s j 2 ll 1 aj 866 A primeira condição implica s l ou s l 1 Mas como s 0 tomamos s l Assim aj1 fracl j 1 nj 1j 2 ll 1 aj 867 Novamente para j temos aj1 ajj que é o mesmo comportamento de eρ Fρ eρ2 Portanto a série deve ser truncada tornando Fρ um polinômio Isso ocorre desde que eρ2 Sabendo que n é um número inteiro temos então para a energia E E fracbeta2 h22m fracme44piepsilon02 22 n2 ou seja com h frach2pi En fracme48 n2 h2 epsilon02 que é exatamente o espectro de energias obtido por Bohr Portanto as energias do elétron no átomo dependem apenas do número quântico n Já os números quânticos l e m caracterizam o estado do elétron determinando seu momento angular total e a componente z do momento angular Denominamos o polinômio da série de Lnl já que eles dependem de n e l e são chamados polinômios de Laguerre associados A solução radial fica então Rnlρ erho2 rhol Lnlρ Por fim temos ρ frac2 ra0 Rightarrow r 2 leftfrac2mEhbar2right12 ρ 2 leftfrac2mhbar2 fracme48n2 h2 epsilon02right12 r fracm2hbar nr 872 ou com a definição do raio de Bohr a0 frach2 epsilon0pi m e2 e ρ frac2rna0 Rnlr erna0 left frac2rna0rightl Lnlleft frac2rna0 right 86 Solução final Por fim a solução final das autofunções do átomo de Hidrogênio fica ψnlmr θ φ Rnlr Ylmθ φ onde portanto os números quânticos n l e m caracterizam o estado função de onda do elétron no átomo de hidrogênio Eles são dados por n 1 2 3 Para cada valor de n temos l 0 1 2 n 2 n 1 E para cada valor de l temos m 0 1 2 l Portanto para cada valor de n temos n valores para l E para cada valor de l temos 2l 1 valores de m 861 Estado Fundamental O estado mais simples corresponde a n 1 em cujo caso l 0 e m 0 Neste caso a energia é E0 fracme48epsilon02 h2 136 eV E para n lm 100 temos R10 ern0 e Y00 const Assim normalizando temos ψ100 frac1sqrtpi a03 era0 e a densidade de probabilidade de encontrar o elétron em um volume dV é P100 ψ1002 r2 sin θ dθ dφ dr Portanto a probabilidade de encontrar o elétron em um raio r em torno de r é P100 ψ1002 4π r2 dr frac4a03 ρ e2ra0 dr Podemos encontrar o ponto rmax onde P100 é máxima ie fracdP100dr frac4a03 e3ra02r frac2r2a0 0 rightarrow r a0 Ou seja quando o elétron está no estado fundamental o raio mais provável de encontrálo é de fato o raio de Bohr A probabilidade P100 está mostrada na Fig 81 Capıtulo 9 Estatıstica Quˆantica 91 Partıculas Idˆenticas Classicamente 2 partıculas sao sempre distinguıveis podemos seguir suas trajetorias e sempre dizer qual e qual Quanticamente duas partıculas idˆenticas eg dois eletrons sao indistinguıveis se trocarmos dois eletrons de posicao o sistema continua idˆentico a antes da troca Suponha que a partıcula 1 esta no estado ψax1 e a partıcula 2 no estado ψbx2 ψax1 partıcula com numero quˆantico a na posicao x1 91 ψbx2 partıcula com numero quˆantico b na posicao x2 92 Se essas 2 partıculas nao interagem classicamente o estado do sistema de 2 partıculas seria ψx1 x2 ψax1ψbx2 Partıculas Distinguıveis 93 Neste caso quando trocamos as partıculas de posicao ie x1 x2 obtemos um novo estado distinguıvel do anterior ψx2 x1 ψax2ψbx1 ψx1 x2 94 Mas como as partıculas sao idˆenticas a mudanca x1 x2 deve produzir um estado indistinguıvel do estado inicial ψx1 x2 ou seja o novo estado ψx2 x1 e dado por ψx2 x1 c ψx1 x2 c const 95 pois a constante muda apenas a fase ou a normalizacao da funcao de onda Por outro lado se mudarmos as posicoes novamente x2 x1 obtemos ψx1 x2 c ψx2 x1 c2ψx1 x2 96 ou seja c 1 97 Portanto quando mudamos as partıculas de posicao a funcao de onda tem apenas duas opcoes 1 permanecer exatamente igual ou 2 mudar de sinal 121 122 CAPITULO 9 ESTATISTICA QU ˆANTICA Obviamente a funcao de onda expressa na Eq 93 nao se encaixa em nenhum desses casos ja que la a troca de partıculas produz um novo estado distinguıvel daquele antes da troca Portanto para partıculas idˆenticas a funcao de onda do sistema de 2 partıculas deve ter uma das duas formas ψSx1 x2 1 2 ψax1ψbx2 ψax2ψbx1 Simetrica 98 ψAx1 x2 1 2 ψax1ψbx2 ψax2ψbx1 Antisimetrica 99 Essas duas possibilidades tem as propriedades de que ψSx2 x1 ψSx1 x2 910 ψAx2 x1 ψAx1 x2 911 Uma partıcula deve escolher de uma vez por todas se tera funcao de onda simetrica ou anti simetrica Suponha que uma dada partıcula eg um eletron tivesse funcoes de onda tanto ψS como ψA Neste caso ela teria tambem combinacoes lineares αψSβψA que nao sao nem simetricas nem antisimetricas gerando uma contradicao Portanto se medirmos que uma partıcula tem funcao de onda simetrica sabemos que esta e uma propriedade intrınsica dela 911 Estatıstica de Spin Bosons e Fermions As partıculas elementares possuem propriedades intrınsecas eg massa carga Uma dessas pro priedades e o spin que e uma especie de momento angular intrınseco Verificase na natureza que as partıculas possuem sempre spin inteiro 01 ou semiinteiro 12 32 em unidades de ℏ Por outro lado partıculas com funcoes de onda simetricas ψS sao chamadas bosons e partıculas com funcoes de onda antisimetricas ψA sao chamadas fermions Exemplos de bosons incluem o foton spin 0 os mesons spin 0 1 e os gluons spin 1 Exemplos de fermions incluem barions como protons e nˆeutrons e tambem eletrons spin 12 Um fato da natureza e que todos os bosons tem spin inteiro enquanto todos os fermions tem spin semiinteiro Esse fato pode ser demonstrado no contexto da Teoria Quˆantica de Campos que unifica a Teoria Quˆantica e a Relatividade Especial Portanto Fermions Funcao de onda antisimetrica ψA spin semiinteiro nℏ2 eg eletron 912 Bosons Funcao de onda simetrica ψS spin inteiro nℏ eg foton 913 912 Princıpio de Exclusao de Pauli Suponha que temos 2 fermions eg dois eletrons com uma funcao de onda antisimetrica ψAx1 x2 ψax1ψbx2 ψax2ψbx1 914 Suponha agora que os 2 fermions estao no mesmo estado quˆantico ie a b Neste caso terıamos ψAx1 x2 ψax1ψax2 ψax2ψax1 0 915 ou seja e impossıvel ter dois fermions com o mesmo estado quˆantico Similarmente suponha que os 2 fermions tem estados quˆanticos diferentes mas ocupam posicoes espaciais muito proximas ie x1 x2 Neste caso ψAx1 x2 ψax1ψbx1 ψax1ψbx1 0 916 ou seja dois fermions nao podem ocupar o mesmo lugar no espaco Isso determina a posicoes e os estados de eletrons nos atomos ja que eles nao podem ter o mesmo estado quˆantico 91 PARTICULAS IDˆENTICAS 123 913 Spin e Tabela Periodica A funcao de onda total e a funcao de onda espacial vezes a funcao de onda do spin da partıcula Portanto se 2 eletrons tˆem os mesmos numeros quˆanticos n l e m eles necessariamente devem ter spins diferentes eg ℏ2 ou ℏ2 A tabela periodica de elementos quımicos e explicada com eletrons ocupando os nıveis energeticos disponıveis respeitando o Princıpio de Pauli 914 Partıculas Classicas e Quˆanticas Considere um gas com apenas 2 partıculas A e B que podem existir em 3 estados 123 Estatıstica Classica Neste caso temos particulas sao distinguıveis e qualquer numero de partıculas pode estar em qualquer estado As 9 configuracoes possıveis sao mostradas na Tab 91 As partıculas satisfazem a Estatıstica de MaxwellBoltzmann MB 1 2 3 AB AB AB A B B A A B B A A B B A Tabela 91 Configuracoes de 2 partıculas AB em 3 estados na estatıstica classica de MaxwellBoltzmann Estatıstica de Bosons Neste caso as partıculas so idˆenticas AB e qualquer numero de partıculas pode estar em qualquer estado As 6 configuracoes possıveis sao mostradas na Tab 92 As partıculas satisfazem a Estatıstitica de BoseEinstein BE 1 2 3 AA AA AA A A A A A A Tabela 92 Configuracoes de 2 partıculas idˆenticas em 3 estados na estatıstica de BoseEinstein Estatıstica de Fermions Neste caso as partıculas sao idˆenticas AB e pode haver no maximo 1 partıcula em cada estado Princıpio de Exclusao As 3 configuracoes possıveis sao mostradas na Tab 93 As partıculas satisfazem a Estatıstitica de FermiDirac FD 124 CAPITULO 9 ESTATISTICA QU ˆANTICA 1 2 3 A A A A A A Tabela 93 Configuracoes de 2 partıculas idˆenticas em 3 estados na estatıstica de FermiDirac Para cada uma destas estatısticas podemos calcular a razao P definida P Numero de configuracoes com 2 partıculas no mesmo estado Numero de configuracoes com 2 partıculas em estados diferentes 917 Temos PMB 3 6 1 2 918 PBE 3 3 1 919 PFD 0 3 0 920 Portanto relativamente a estatıstica classica de MaxwellBoltzmann podemos concluir BoseEinstein Tendˆencia das partıculas se aglomerarem no mesmo estado eg condensado de BoseEinstein a baixas temperaturas FermiDirac Tendˆencia das partıculas se repeliremno mesmo estado ou ocuparem estados diferentes princıpio de exclusao eg atomos anas brancas 92 Estatıstica Quˆantica Ensemble GrandCanˆonico No caso quˆantico uma configuracao pode ser representada por N1 N2 Nr configuracao 921 onde temos Nr partıculas no estado r com energia ϵr cada uma Gostarıamos de saber o numero medio Nr de partıculas no estado r No caso classico de um gas ideal os estados eram contınuos e vimos que Nv eβmv22 ou NE eβE 922 No caso quˆantico precisamos retornar as medias calculadas usando a distribuicao grandcanˆonica PEr Nr CeβErµNr 923 Com Nr partıculas no estado r cada uma com energia ϵr temos que a energia total Er no estado r e dada por Er Nrϵr 924 92 ESTATÍSTICA QUÂNTICA ENSEMBLE GRANDCANÔNICO Assim PEr Nr CeβcrµNr CeβcrNr 925 er cr µ 926 e o número médio no estado r fica Nr sNeβcsNs s eβcsNs 927 onde a soma é feita sobre todas as configurações possíveis do sistema Temos então Nr 1 β cr s1 eβcsNs s1 eβcsNs 1 β Zg er cr 1 β lnZg er 928 onde a função de grandpartição Zg é Zg s1 eβcsNs 929 Com as energias cs fixadas pelos estados quânticos as diferentes configurações são obtidas variando os números N1 N2 Nr de 0 a e temos equivalentemente Nr N1N2Nr eβc1N1c2N2crNr N1N2Nr eβc1N1c2N2crNr NreβcsNr N1 N2 Nr1 eβc1N1c2N2crNr Nr N1N2Nr eβc1N1c2N2crNr N1 eβc1N1 Nr eβcrNrNr N1N2Nr eβc1N1c2N2crNr N1 eβc1N1 Ns Nr eβc1N1c2N2crNr 930 O somatório em Ns Nr se cancela e obtemos Nr N11 Neβc1Nr 1 β cr N11 eβc1Nr Ns1 eβcsNs 1 β lnSr 931 onde a soma Sr é feita apenas no estado r Sr Nr1 eβcr Nr 932 enquanto a função de partição é feita em todas as configurações Zg N1N2Nr eβc1N1c2N2crNr 933 921 Distribuição de FermiDirac No caso de férmions Nr 0 1 apenas e Sr Nr01 eβcr Nr 1 eβcr 934