Funções Trigonométricas e Exponencial - Exercícios e Resumo para o 4º Bimestre

0911 Avaliações 4º Bimestre TRABALHO 1 Apresentar as funções cotangente cossecante e secante comentar sobre o período e o gráfico 20 PONTOS TRABALHO 2 Elaborar um texto pelo menos 2 páginas sobre a função exponencial e o crescimento populacional 20 PONTOS TRABALHO 3 Lista de Exercícios 20 PONTOS Funções Cossecante Secante e Cotangente As funções cossecante secante e cotangente são de maneira simplificada os inversos multiplicativos das funções seno cosseno e tangente respectivamente Isto é cossecx 1 senx secx 1 cosx cotgx 1 tgx A função cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno cotgxcosx senx Como vale que 1cosx1 e também 1sen x1 as funções cossecante e secante são tais que cossecx1 ou cossecx1 secx1 ou secx1 Para a função cossecante veja que seu domínio é toda a reta real exceto os pontos da forma k π com k inteiro Analogamente para a função secante na qual seu domínio é a reta real com exceção dos pontos da forma π2k π com k inteiro O domínio da cotangente é o conjunto de pontos em que senx não se anula isto é a reta real exceto os pontos k π com k inteiro Para o período por senx ter período 2π o mesmo vale para cossecx Ou seja cossecx2πcossecx para todo x no domínio Vale o mesmo para a função secante secx2πsecx para todo x no domínio Já a função cotgx tem período π já que este é o período da função tangente cotgxπcotgx para todo x no domínio Os gráficos das funções Cossecante Secante Cotangente A função exponencial e o crescimento populacional Em busca de caracterizar populações para fins econômicos e sociais surgiram diversos métodos matemáticos de fazêlo dentre estes podemos citar o crescimento linear o exponencial a qual se refere este texto e o crescimento logístico No século XVIII o clérigo inglês Thomas Malthus dedicavase ao estudo demográfico e econômico sendo um dos pioneiros na área Malthus propôs o que hoje conhecemos como a Teoria Malthusiana Nela o inglês mostrou que o crescimento populacional pode ser dado por meio de uma função exponencial a qual podemos escrever como 𝑃𝑡 𝑃0 𝑒 𝑟𝑡 sendo Pt a função que estima uma determinada população em um tempo t e a 𝑃0 população inicial calculada em P0 Já a constante r 0 determina a taxa de crescimento como um ajuste ao tempo Por exemplo em uma população de coelhos que ao início conta com 4 indivíduos e cresce com taxa r 1 e o tempo é medido em meses 𝑃𝑡 4𝑒 𝑡 e dessa forma P0 4 P1 10 Dessa forma podese calcular a população em qualquer instante de tempo usualmente com t 0 Nos faz sentido comparar em particular o crescimento exponencial e o linear O linear de modo geral pode ser expresso como 𝐿𝑡 𝑎𝑡 𝑏 em que a é a taxa de crescimento e b é o termo constante calculado no tempo inicial t 0 Assim o crescimento linear se mostra inferior ao crescimento exponencial Isto é uma população que cresce exponencialmente será significativamente maior do que uma população que cresce linearmente a partir de um determinado tempo Por exemplo se P e L são populações que crescem da seguinte forma 𝑃𝑡 3𝑒 2𝑡 e 𝐿𝑡 2𝑡 3 temos no tempo t 0 P0 L0 3 mas P1 22 e L1 5 Este comportamento se mantém quando tomamos um tempo t muito grande Malthus em suas obras indicou que por esta diferença entre o crescimento exponencial e o linear o mundo sofreria uma grande fome Para ele a população teria um crescimento ilimitado de forma exponencial enquanto a produção de alimentos seria limitada crescendo linearmente gerando assim uma grande crise de alimentos Ainda segundo Malthus a população seria tal que dobraria aproximadamente a cada 25 anos Esta teoria estava errada pois o inglês não considerou um estudo geral e sim regional Isto é analisou apenas na situação em que se encontrava de população rural com áreas limitadas Ainda mais a Revolução Industrial se mostrou efetiva no aumento da produção de alimentos desconstruindo a teoria de Malthus A fim de explorar melhor essa diferença entre os crescimentos exponencial e linear podemos recorrer ao Cálculo I A derivada de uma função mostra a taxa de variação da mesma Isto é se uma função possui derivada que cresce rapidamente então a função também crescerá Veja para o caso da função exponencial 𝑑𝑃𝑡 𝑑𝑡 𝑟 𝑃0 𝑒 𝑟𝑡 ou seja a lei de crescimento exponencial não cresce com taxa constante enquanto a linear sim 𝑑𝐿𝑡 𝑑𝑡 𝑎 mostrando uma taxa de crescimento inferior à exponencial Apesar da Teoria Malthusiana não ter sido totalmente certa esta mostrouse de grande importância para estudos populacionais A partir da lei de crescimento exponencial governos e organizações podem estimar a população em um determinado tempo e assim saber a demanda de serviços por exemplo Pode também ser usada para estudar o crescimento de populações animais para o controle de espécies em risco de extinção ou até mesmo para evitar o crescimento de pragas como ratos e gafanhotos Em caso recente este tipo de lei de crescimento foi utilizado para fins do estudo de casos de Covid19 buscando estimar a quantidade de vítimas da doença e as taxas de transmissão Nos vale questionar sobre a lei de crescimento exponencial quando tomamos r 0 Neste caso tratase de um decrescimento populacional Ou seja uma população que decresce com o tempo vêse exemplos claros em determinadas populações como as populações em que a mortalidade é maior do que a de natalidade Também pode ser vista como um método para determinar o decaimento de uma substância Por exemplo podese estimar a radioatividade de um material em um determinado tempo a fim de saber quando será seguro entrar em contato com este material Referência Teoria de crescimento Malthusiana Wikiwand 2022 Disponível em httpswwwwikiwandcomenMalthusiangrowthmodel Acesso em 29 de novembro de 2022 A função exponencial e o crescimento populacional Em busca de caracterizar populações para fins econômicos e sociais surgiram diversos métodos matemáticos de fazêlo dentre estes podemos citar o crescimento linear o exponencial a qual se refere este texto e o crescimento logístico No século XVIII o clérigo inglês Thomas Malthus dedicavase ao estudo demográfico e econômico sendo um dos pioneiros na área Malthus propôs o que hoje conhecemos como a Teoria Malthusiana Nela o inglês mostrou que o crescimento populacional pode ser dado por meio de uma função exponencial a qual podemos escrever como Pt P0e rt sendo Pt a função que estima uma determinada população em um tempo t e P0 a população inicial calculada em P0 Já a constante r 0 determina a taxa de crescimento como um ajuste ao tempo Por exemplo em uma população de coelhos que ao início conta com 4 indivíduos e cresce com taxa r 1 e o tempo é medido em meses Pt 4 e t e dessa forma P0 4 P1 10 Dessa forma podese calcular a população em qualquer instante de tempo usualmente com t 0 Nos faz sentido comparar em particular o crescimento exponencial e o linear O linear de modo geral pode ser expresso como Ltatb em que a é a taxa de crescimento e b é o termo constante calculado no tempo inicial t 0 Assim o crescimento linear se mostra inferior ao crescimento exponencial Isto é uma população que cresce exponencialmente será significativamente maior do que uma população que cresce linearmente a partir de um determinado tempo Por exemplo se P e L são populações que crescem da seguinte forma Pt 3e 2t e Lt2t 3 temos no tempo t 0 P0 L0 3 mas P1 22 e L1 5 Este comportamento se mantém quando tomamos um tempo t muito grande Malthus em suas obras indicou que por esta diferença entre o crescimento exponencial e o linear o mundo sofreria uma grande fome Para ele a população teria um crescimento ilimitado de forma exponencial enquanto a produção de alimentos seria limitada crescendo linearmente gerando assim uma grande crise de alimentos Ainda segundo Malthus a população seria tal que dobraria aproximadamente a cada 25 anos Esta teoria estava errada pois o inglês não considerou um estudo geral e sim regional Isto é analisou apenas na situação em que se encontrava de população rural com áreas limitadas Ainda mais a Revolução Industrial se mostrou efetiva no aumento da produção de alimentos desconstruindo a teoria de Malthus A fim de explorar melhor essa diferença entre os crescimentos exponencial e linear podemos recorrer ao Cálculo I A derivada de uma função mostra a taxa de variação da mesma Isto é se uma função possui derivada que cresce rapidamente então a função também crescerá Veja para o caso da função exponencial dPt dt r P0e rt ou seja a lei de crescimento exponencial não cresce com taxa constante enquanto a linear sim dLt dt a mostrando uma taxa de crescimento inferior à exponencial Apesar da Teoria Malthusiana não ter sido totalmente certa esta mostrouse de grande importância para estudos populacionais A partir da lei de crescimento exponencial governos e organizações podem estimar a população em um determinado tempo e assim saber a demanda de serviços por exemplo Pode também ser usada para estudar o crescimento de populações animais para o controle de espécies em risco de extinção ou até mesmo para evitar o crescimento de pragas como ratos e gafanhotos Em caso recente este tipo de lei de crescimento foi utilizado para fins do estudo de casos de Covid19 buscando estimar a quantidade de vítimas da doença e as taxas de transmissão Nos vale questionar sobre a lei de crescimento exponencial quando tomamos r 0 Neste caso tratase de um decrescimento populacional Ou seja uma população que decresce com o tempo vêse exemplos claros em determinadas populações como as populações em que a mortalidade é maior do que a de natalidade Também pode ser vista como um método para determinar o decaimento de uma substância Por exemplo podese estimar a radioatividade de um material em um determinado tempo a fim de saber quando será seguro entrar em contato com este material Referência Teoria de crescimento Malthusiana Wikiwand 2022 Disponível em httpswwwwikiwandcomenMalthusiangrowthmodel Acesso em 29 de novembro de 2022 Funções Cossecante Secante e Cotangente As funções cossecante secante e cotangente são de maneira simplificada os inversos multiplicativos das funções seno cosseno e tangente respectivamente Isto é 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 1 𝑡𝑔𝑥 A função cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Como vale que e também as funções 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 cossecante e secante são tais que ou 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 1 ou 𝑠𝑒𝑐𝑥 1 𝑠𝑒𝑐𝑥 1 Para a função cossecante veja que seu domínio é toda a reta real exceto os pontos da forma com inteiro Analogamente para a função secante na qual seu 𝑘π 𝑘 domínio é a reta real com exceção dos pontos da forma com inteiro π2 𝑘π 𝑘 O domínio da cotangente é o conjunto de pontos em que senx não se anula isto é a reta real exceto os pontos com k inteiro 𝑘π Para o período por senx ter período o mesmo vale para cossecx Ou seja 2π para todo x no domínio 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 2π 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 Vale o mesmo para a função secante para todo x no domínio 𝑠𝑒𝑐𝑥 2π 𝑠𝑒𝑐𝑥 Já a função cotgx tem período π já que este é o período da função tangente para todo x no domínio 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 π 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Os gráficos das funções Cossecante Secante Cotangente y COTGx π π x