Atividade Experimentação

Simular dados que não apresentem homogeneidade pelo teste de Bartlett Encontrar uma transformação eficiente Realizar a Análise de Variância Realizar o teste Tukey Concluir Lembrando que a transformação eficiente pelo mesmo teste de Bartlett OBS Passei para o excel o exemplo que o professor passou em sala as formulas já estão costuradas Pedir ao chat gbt fornecer dados que não vai da homogeneidade e ele me forneceu esses aqui Gostaria que os usasse Tratamento Repetições valores simulados T1 2 3 2 4 1 5 T2 10 15 13 12 14 17 T3 25 30 28 35 32 31 T4 80 100 90 95 105 110 OBS Estou fornecendo o passo a passo que o professor passou em pdf OBS Depois que fizer o excel com os testes gostaria que me fornecesse o excel e um documento em pdf ou word já no jeito de entregar o professor com as devidas conclusões Transformação de Dados Principais propósitos da análise de variância Estimar diferenças entre tratamentos Obter idéia da precisão das estimativas atribuindo a elas erro padrão e intervalo de confiança que sejam imparciais Fazer testes de significância poderosos capazes de identificar diferenças reais entre tratamentos com alta probabilidade Principais efeitos reconhecidos na Análise de Variância Efeitos de tratamentos introduzidos pelo experimentador Efeitos ambientais características do ambiente que a análise permite medir como efeito de blocos no DBC Erros experimentais podem resultar de variabilidade inerente ao material experimental ou falta de uniformidade na condução do experimento Pressuposições da Análise de Variância a Os parâmetros do modelo estatístico devem ser aditivos Referese à descrição do modelo propriamente ditoisto é a aditividade dos efeitos das fontes de variação da variável resposta Aditividade do modelo DIC DBC DQL ij j i ij e b t m y ij i ij e t m y ijk k j i ijk e c l t m y b O erros experimentais devem ser independentes ou seja a probabilidade de que o erro de uma observação qualquer tenha um determinado valor não deve depender dos valores dos erros de outras observações A independência dos erros é conseguida pela casualização Atenção quando a mesma unidade experimental é utilizada várias vezes para avaliar uma mesma característica unidades experimentais em contato físico direto observações são feitas por uma mesma pessoa durante determinado intervalo de tempo c Os erros experimentais devem ter uma variância comum o que torna possível usar um erro médio para todas as comparações A homogeneidade de variâncias homocedasticidade é a pressuposição que usualmente requer maior cuidado Em algumas situações é possível que uma transformação da variável possibilite que as pressuposições sejam mais aproximadamente satisfeitas para as variáveis transformadas d O erros experimentais devem ser normalmente distribuídos É a menos provável de ser válida Essencial para a validade de sentenças probabilísticas referentes às decisões baseadas em testes de hipóteses Quando as pressuposições são violadas o efeito maior geralmente é sobre a homogeneidade das variâncias as inferências sobre o experimento podem ser prejudicadas com modificação do nível de significância e da precisão causando perda de sensibilidade dos testes de hipóteses A técnica passa a ser considerada aproximada Fatores que causam mais distúrbios na Análise de Variância Assimetria extrema Erros grosseiros Comportamento anormal de certos tratamentos ou de parte do experimento As observações atípicas são causa de distorções na Análise de Variância Influenciam fortemente a média e variabilidade dos tratamentos Geralmente são causadas por a Leitura anotação ou transcrição incorreta b Erro na execução do experimento ou na avaliação c Mudanças não controláveis nas condições experimentais d Característica inerente à variável estudada Métodos para minimizar falhas Suprimir tratamentos observações ou repetições Estatística não paramétrica recurso complementar menos poderoso e com exigências mais simples Transformação de dados Algumas transformações Transformação Cálculo Destransformação Raiz quadrada Logarítmica Raiz quadrada recíproca Recíproca Arcoseno Quadrado Normalidade Teste de Lilliefors H0 os dados tem distribuição normal Ha os dados não tem distribuição normal Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 Passos para execução aOrdenar os dados em ordem crescente OBS NP 1 11 2 21 3 50 4 62 5 66 6 85 7 102 8 111 9 133 10 135 11 166 12 186 13 193 14 195 15 233 16 241 17 263 18 343 19 460 20 519 21 555 22 624 23 754 24 791 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral Passos para execução aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral m 11 21 791 24 2624583 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância 𝑆2 σ 𝑥𝑖 𝑚 2 𝑛 1 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão Passos para execução aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão S s² S 2315425 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi para cada observação 𝑍1 11 2624583 2315425 1086 𝑍1 11 2624583 2315425 1086 𝑍24 791 2624583 2315425 2283 OBS NP Zi 1 11 1086 2 21 1043 3 50 0918 4 62 0866 5 66 0848 6 85 0766 7 102 0693 8 111 0654 9 133 0559 10 135 0550 11 166 0417 12 186 0330 13 193 0300 14 195 0291 15 233 0127 16 241 0093 17 263 0002 18 343 0348 19 460 0853 20 519 1108 21 555 1263 22 624 1561 23 754 2123 24 791 2283 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi para cada observação fObter o valor tabelado 𝑓𝑍𝑖 para cada observação z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 34 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00002 33 00005 00005 00005 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00003 32 00007 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00005 00005 00005 31 00010 00009 00009 00008 00008 00008 00008 00007 00007 00007 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 00307 00301 00294 17 00446 00436 00427 00418 00409 00401 00392 00384 00375 00367 16 00548 00537 00526 00516 00505 00495 00485 00475 00465 00455 15 00668 00655 00643 00630 00618 00606 00594 00582 00571 00559 14 00808 00793 00778 00764 00749 00735 00721 00708 00694 00681 13 00968 00951 00934 00918 00901 00885 00869 00853 00838 00823 12 01151 01131 01112 01093 01075 01056 01038 01020 01003 00985 11 01357 01335 01314 01292 01271 01251 01230 01210 01190 01170 10 01587 01562 01539 01515 01492 01469 01446 01423 01401 01379 09 01841 01814 01788 01762 01736 01711 01685 01660 01635 01611 08 02119 02090 02061 02033 02005 01977 01949 01922 01894 01867 07 02420 02389 02358 02327 02296 02266 02236 02206 02177 02148 06 02743 02709 02676 02643 02611 02578 02546 02514 02483 02451 05 03085 03050 03015 02981 02946 02912 02877 02843 02810 02776 04 03446 03409 03372 03336 03300 03264 03228 03192 03156 03121 03 03821 03783 03745 03707 03669 03632 03594 03557 03520 03483 02 04207 04168 04129 04090 04052 04013 03974 03936 03897 03859 01 04602 04562 04522 04483 04443 04404 04364 04325 04286 04247 00 05000 04960 04920 04880 04840 04801 04761 04721 04681 04641 z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07793 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 OBS NP Zi fZi 1 11 1086 0139 2 21 1043 0149 3 50 0918 0179 4 62 0866 0193 5 66 0848 0198 6 85 0766 0222 7 102 0693 0244 8 111 0654 0257 9 133 0559 0288 10 135 0550 0291 11 166 0417 0338 12 186 0330 0371 13 193 0300 0382 14 195 0291 0385 15 233 0127 0449 16 241 0093 0463 17 263 0002 0501 18 343 0348 0636 19 460 0853 0803 20 519 1108 0866 21 555 1263 0897 22 624 1561 0941 23 754 2123 0983 24 791 2283 0989 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi fObter o valor tabelado gCalcular o SZi posicionamento 𝑠 𝑍1 1 24 00417 g Calcular o SZi Posicionamento 𝑆 𝑍𝑖 1 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠 𝑍1 1 24 00417 g Calcular o SZi Posicionamento 𝑆 𝑍𝑖 1 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠 𝑍24 24 24 10 OBS NP Zi fZi SZi 1 11 1086 0139 00417 2 21 1043 0149 00833 3 50 0918 0179 01250 4 62 0866 0193 01667 5 66 0848 0198 02083 6 85 0766 0222 02500 7 102 0693 0244 02917 8 111 0654 0257 03333 9 133 0559 0288 03750 10 135 0550 0291 04167 11 166 0417 0338 04583 12 186 0330 0371 05000 13 193 0300 0382 05417 14 195 0291 0385 05833 15 233 0127 0449 06250 16 241 0093 0463 06667 17 263 0002 0501 07083 18 343 0348 0636 07500 19 460 0853 0803 07917 20 519 1108 0866 08333 21 555 1263 0897 08750 22 624 1561 0941 09167 23 754 2123 0983 09583 24 791 2283 0989 10000 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi fObter o valor tabelado gCalcular o SZi hCalcular a diferença absoluta para cada ponto Passos para execução hCalcular a diferença absoluta para cada ponto subtraindose o valor tabelado fZi da posição empírica SZi OBS NP Zi fZi SZi fZiSZi 1 11 1086 0139 00417 00971 2 21 1043 0149 00833 00652 3 50 0918 0179 01250 00544 4 62 0866 0193 01667 00266 5 66 0848 0198 02083 00102 6 85 0766 0222 02500 00283 7 102 0693 0244 02917 00475 8 111 0654 0257 03333 00768 9 133 0559 0288 03750 00870 10 135 0550 0291 04167 01257 11 166 0417 0338 04583 01198 12 186 0330 0371 05000 01294 13 193 0300 0382 05417 01596 14 195 0291 0385 05833 01979 15 233 0127 0449 06250 01756 16 241 0093 0463 06667 02036 17 263 0002 0501 07083 02074 18 343 0348 0636 07500 01140 19 460 0853 0803 07917 00115 20 519 1108 0866 08333 00327 21 555 1263 0897 08750 00218 22 624 1561 0941 09167 00241 23 754 2123 0983 09583 00248 24 791 2283 0989 10000 00112 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi fObter o valor tabelado gCalcular o SZi hCalcular a diferença absoluta iEncontrar a maior diferença absoluta Passos para execução iEncontrar a maior diferença absoluta neste caso 02074 correspondente a Z17 OBS NP Zi fZi SZi FZiSZi 1 11 1086 0139 00417 00971 2 21 1043 0149 00833 00652 3 50 0918 0179 01250 00544 4 62 0866 0193 01667 00266 5 66 0848 0198 02083 00102 6 85 0766 0222 02500 00283 7 102 0693 0244 02917 00475 8 111 0654 0257 03333 00768 9 133 0559 0288 03750 00870 10 135 0550 0291 04167 01257 11 166 0417 0338 04583 01198 12 186 0330 0371 05000 01294 13 193 0300 0382 05417 01596 14 195 0291 0385 05833 01979 15 233 0127 0449 06250 01756 16 241 0093 0463 06667 02036 17 263 0002 0501 07083 02074 18 343 0348 0636 07500 01140 19 460 0853 0803 07917 00115 20 519 1108 0866 08333 00327 21 555 1263 0897 08750 00218 22 624 1561 0941 09167 00241 23 754 2123 0983 09583 00248 24 791 2283 0989 10000 00112 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi fObter o valor tabelado gCalcular o SZi hCalcular a diferença absoluta iEncontrar a maior diferença absoluta D jEncontrar o valor tabelado d 005 01766 24 Passos para execução jEncontrar o valor tabelado na tabela do teste de Lilliefors geralmente a 5 de probabilidade em função do número de observações Neste caso dtab524 01766 aOrdenar os dados em ordem crescente bCalcular a média geral cCalcular a variância dCalcular o desvio padrão eCalcular o Zi fObter o valor tabelado gCalcular o SZi hCalcular a diferença absoluta iEncontrar a maior diferença absoluta jEncontrar o valor tabelado kConcluir Passos para execução kConcluir comparando a maior diferença absoluta D com o valor tabelado d específico para o teste Passos para execução kConcluir comparando a maior diferença absoluta D com o valor tabelado d específico para o teste D 02074 dtab5 24 01766 𝑑𝑡𝑎𝑏 5 24 01766 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐷 𝑑 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 5218 2139 1695 2404 2 3585 2886 4605 2606 3 2940 1292 1442 1489 4 2620 3085 4271 853 5 4816 1863 2156 602 6 6280 2555 6027 1946 S2 20386 4515 34806 6724 OBS TRANSF GRAUS Zi 1 6020 1455 2 8332 1308 3 12921 1016 4 14418 0921 5 14886 0891 6 16951 0760 7 18625 0653 8 19461 0600 9 21389 0478 10 21557 0467 11 24044 0309 12 25549 0213 13 26060 0180 14 26205 0171 15 28862 0002 16 29401 0032 17 30853 0124 18 35850 0442 19 42706 0878 20 46089 1093 21 48158 1224 22 52180 1480 23 60265 1994 24 62796 2155 OBS TRANSF GRAUS Zi fZi 1 6020 1455 0073 2 8332 1308 0096 3 12921 1016 0155 4 14418 0921 0179 5 14886 0891 0186 6 16951 0760 0224 7 18625 0653 0257 8 19461 0600 0274 9 21389 0478 0317 10 21557 0467 0320 11 24044 0309 0379 12 25549 0213 0416 13 26060 0180 0428 14 26205 0171 0432 15 28862 0002 0499 16 29401 0032 0513 17 30853 0124 0549 18 35850 0442 0671 19 42706 0878 0810 20 46089 1093 0863 21 48158 1224 0890 22 52180 1480 0931 23 60265 1994 0977 24 62796 2155 0984 OBS TRANSF GRAUS Zi fZi SZi 1 6020 1455 0073 00417 2 8332 1308 0096 00833 3 12921 1016 0155 01250 4 14418 0921 0179 01667 5 14886 0891 0186 02083 6 16951 0760 0224 02500 7 18625 0653 0257 02917 8 19461 0600 0274 03333 9 21389 0478 0317 03750 10 21557 0467 0320 04167 11 24044 0309 0379 04583 12 25549 0213 0416 05000 13 26060 0180 0428 05417 14 26205 0171 0432 05833 15 28862 0002 0499 06250 16 29401 0032 0513 06667 17 30853 0124 0549 07083 18 35850 0442 0671 07500 19 42706 0878 0810 07917 20 46089 1093 0863 08333 21 48158 1224 0890 08750 22 52180 1480 0931 09167 23 60265 1994 0977 09583 24 62796 2155 0984 10000 OBS TRANSF GRAUS Zi fZi SZi FZiSZi 1 6020 1455 0073 00417 00312 2 8332 1308 0096 00833 00122 3 12921 1016 0155 01250 00298 4 14418 0921 0179 01667 00119 5 14886 0891 0186 02083 00218 6 16951 0760 0224 02500 00263 7 18625 0653 0257 02917 00349 8 19461 0600 0274 03333 00591 9 21389 0478 0317 03750 00585 10 21557 0467 0320 04167 00963 11 24044 0309 0379 04583 00796 12 25549 0213 0416 05000 00843 13 26060 0180 0428 05417 01133 14 26205 0171 0432 05833 01513 15 28862 0002 0499 06250 01259 16 29401 0032 0513 06667 01539 17 30853 0124 0549 07083 01589 18 35850 0442 0671 07500 00793 19 42706 0878 0810 07917 00183 20 46089 1093 0863 08333 00295 21 48158 1224 0890 08750 00146 22 52180 1480 0931 09167 00139 23 60265 1994 0977 09583 00186 24 62796 2155 0984 10000 00156 𝐷 01589 𝑑𝑡𝑎𝑏 5 24 01766 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐷 𝑑 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Homogeneidade de variâncias Teste de Bartllet Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 Passos para execução a Encontrar os graus de liberdade de cada grupo variância n1 5 5 5 5 Passos para execução a Encontrar os graus de liberdade de cada grupo variância b Calcular as variâncias dos tratamentos Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 n1 S2 5 5546737 5 6559767 5 8041337 5 5654667 Passos para execução a Encontrar os graus de liberdade de cada grupo variância b Calcular as variâncias dos tratamentos c Calcular o log de cada variância n1 S2 log S2 5 5546737 274404 5 6559767 181689 5 8041337 290533 5 5654667 175241 Passos para execução a Encontrar os graus de liberdade de cada grupo variância b Calcular as variâncias dos tratamentos c Calcular o log de cada variância d Multiplicar o grau de liberdade de cada variância pelo seu log n1 S2 log S2 n1 log S2 5 5546737 274404 1372019 5 6559767 181689 9084442 5 8041337 290533 1452664 5 5654667 175241 8762035 Passos para execução a Encontrar os graus de liberdade de cada grupo variância b Calcular as variâncias dos tratamentos c Calcular o log de cada variância d Multiplicar o grau de liberdade de cada variância pelo seu log e Calcular o fator 1n1 para cada variância f Totalizar n1 S2 log S2 n1 log S2 1n1 5 5546737 274404 1372019 02 5 6559767 181689 9084442 02 5 8041337 290533 1452664 02 5 5654667 175241 8762035 02 n1 S2 log S2 n1 log S2 1n1 5 5546737 274404 1372019 02 5 6559767 181689 9084442 02 5 8041337 290533 1452664 02 5 5654667 175241 8762035 02 20 1480952 921866 4609331 08 Passos para execução g Calcular a variância média S² 5546737 655977 8041337 565467 4 Passos para execução g Calcular a variância média S² 5546737 655977 8041337 565467 4 S² 3702379 Passos para execução g Calcular a variância média h Determinar o Log da variância média log 3702379 25684 Passos para execução i Calcular o fator de correção que reduz o valor de X 2 Geralmente é usado quando o valor sem correção é significativo mas próximo do valor crítico tabelado Passos para execução C113K1 Σ 1n1 1Σn1 onde K número de variâncias C11341 08 120 C10833 Passos para execução k Determinar o valor do X² calculado X² 23026n 1log S² n 1log S² Passos para execução k Determinar o valor do X² calculado X² 23026n 1log S² n 1log S² X² 230262025685 460933 Passos para execução Valor calculado anteriormente Passos para execução k Determinar o valor do X² calculado X² 23026n 1log S² n 1log S² X² 230262025685 460933 X² 121492 Passos para execução l corrigir o valor de X 2 Passos para execução 1 corrigir o valor de X² X² corrigido x² calculado Correção Passos para execução 1 corrigir o valor de X² X² corrigido 121492 10833 Passos para execução 1 corrigir o valor de X² X² corrigido 112147 Passos para execução m concluir pela comparação do valor de X² corrigido com o valor de X² tabelado obtido geralmente a 5 com n1 graus de liberdade número de variâncias 1 X² corrigido 112147 Passos para execução m concluir pela comparação do valor de X² corrigido com o valor de X² tabelado obtido geralmente a 5 com n1 graus de liberdade número de variâncias 1 X² tabelado 5 3gl 78147 X² corrigido 112147 Percentage Points of the ChiSquare Distribution Degrees of Freedom Probability of a larger value of x² 099 095 090 075 050 025 010 005 001 3 0115 0352 0584 1212 2366 411 625 781 1134 Passos para execução m concluir pela comparação do valor de X² corrigido com o valor de X² tabelado obtido geralmente a 5 com n1 graus de liberdade número de variâncias 1 como X² corrigido X² tab rejeita se H₀ Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 5218 2139 1695 2404 2 3585 2886 4605 2606 3 2940 1292 1442 1489 4 2620 3085 4271 853 5 4816 1863 2156 602 6 6280 2555 6027 1946 S2 20386 4515 34806 6724 n1 S2 log S2 n1 logS2 1n1 5 20386 2309332 1154666 02 5 4515 1654658 8273289 02 5 34806 2541654 1270827 02 5 6724 1827628 9138139 02 20 66431 8333272 4166636 08 𝐶 1 1 3𝐾1 σ 1 𝑛1 1 σ𝑛1 𝐶 1 1 341 08 1 20 10833 𝑋2𝑐𝑎𝑙𝑐 23026 σ𝑛 1 𝑙𝑜𝑔 ҧ𝑆2 σ 𝑛 1 𝑙𝑜𝑔𝑆2 𝑋2𝑐𝑎𝑙𝑐 23026 20 222036 416662 6306148 𝑋2𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 6306148 1083333 5821059 𝑋2𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 6306148 1083333 5821059 𝑋2 𝑡𝑎𝑏 5 𝑔𝑙 78147 𝑋2𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 6306148 1083333 5821059 𝑋2 𝑡𝑎𝑏 5 𝑔𝑙 78147 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋2 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑋2 𝑡𝑎𝑏 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Homogeneidade de variâncias Teste de Cochran Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 𝐶𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 σ 𝑆2 𝐶𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 σ 𝑆2 𝐶𝑐 8041336 55467366559768041336565466 𝐶𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 σ 𝑆2 𝐶𝑐 8041336 55467366559768041336565466 𝐶𝑐 05430 𝐶𝑡𝑎𝑏 5 𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑔𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 Level of significance α 005 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 36 144 2 09985 09750 09392 09057 08772 08534 08332 08159 08010 07880 07341 06802 05813 05000 3 09689 08709 07977 07457 07071 06771 06530 06333 06167 06025 05468 04748 04031 03333 4 09065 07879 06841 06287 05895 05598 05385 05175 05017 04894 04368 03720 03093 02500 5 08412 08838 05981 05441 05065 04783 04564 04387 04241 04118 03845 03068 02513 02000 6 07808 06161 05321 04803 04447 04184 03980 03817 03682 03568 03135 02612 02119 01667 7 07271 05812 04800 04307 03974 03726 03535 03384 03259 03154 02758 02278 01833 01429 8 06798 05157 04377 03910 03595 03362 03185 03043 02926 02829 02462 02022 01616 01250 9 06385 04775 04027 03584 03286 03067 02901 02768 02659 02568 02226 01820 01446 01111 10 06020 04450 03733 03311 03029 02823 02686 02541 02439 02353 02032 01655 01308 01000 12 05410 03924 03284 02880 02624 02439 02299 02187 02098 02020 01737 01403 01100 00833 15 04709 03346 02758 02419 02195 02034 01911 01815 01736 01671 01429 01144 00889 00667 20 03894 02705 02205 01921 01735 01602 01501 01422 01357 01303 01108 00879 00875 00500 24 03434 02354 01907 01656 01493 01374 01286 01216 01160 01113 00942 00743 00567 00417 30 02929 01980 01593 01377 01237 01137 01061 01002 00958 00921 00771 00604 00457 00333 40 02370 01576 01259 01082 00968 00887 00827 00780 00745 00713 00595 00462 00347 00250 60 01737 01131 00895 00765 00682 00623 00583 00552 00520 00497 00411 00316 00234 00167 120 00998 00632 00495 00419 00371 00337 00312 00292 00279 00266 00218 00165 00120 00083 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kanji Gopal K 100 Statistical Tests London SAGE Publication Ltd 1993 𝐶𝑡𝑎𝑏 5 𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑔𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐶𝑡𝑎𝑏 5 45 05895 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐶𝑐 05430 𝐶𝑡𝑎𝑏 05895 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Homogeneidade de variâncias Teste de Hartley Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 𝐻𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑆2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝐻𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑆2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝐻𝑐 8041336 565466 𝐻𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑆2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝐻𝑐 8041336 565466 𝐻𝑐 147421 𝐻𝑡𝑎𝑏 5 𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑔𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 Tabela A1 Valores de F máximo de Hartley onde GL número de graus de liberdade e α nível de significância GL α K Número de Estimativas de Variâncias 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 005 960 1550 2060 2520 2950 3360 3750 4140 4460 4800 5140 001 2320 3700 4900 5900 6900 7900 8900 9700 10600 11300 12000 5 005 715 1080 1370 1630 1870 2080 2290 2470 2650 2820 2900 001 1490 2200 2800 3300 3800 4200 4600 5000 5400 5700 6000 6 005 582 838 1040 1210 1370 1500 1630 1750 1860 1970 2070 001 1110 1550 1910 2200 2500 2700 3000 3200 3400 3600 3700 7 005 499 694 844 970 1080 1180 1270 1350 1430 1510 1580 001 889 1210 1450 1650 1840 2000 2200 2300 2400 2600 2700 8 005 443 600 718 812 903 978 1050 1110 1170 1220 1270 001 750 990 1170 1320 1450 1580 1690 1790 1890 1980 2100 9 005 403 534 631 711 780 841 895 945 991 1030 1070 001 654 850 990 1110 1210 1310 1390 1470 1530 1600 1660 10 005 372 485 567 634 692 742 787 828 866 901 934 001 585 740 860 960 1040 1110 1180 1240 1290 1340 1390 12 005 328 416 479 530 572 609 642 672 700 725 748 001 491 610 690 760 820 870 910 950 990 1020 1060 15 005 286 354 401 437 468 495 519 540 559 577 593 001 407 490 550 600 640 670 710 730 750 780 800 20 005 246 295 329 354 376 394 410 424 437 449 459 001 332 380 430 460 490 510 530 550 560 580 590 30 005 207 240 261 278 291 302 312 321 329 336 339 001 263 300 330 340 360 370 380 390 400 410 420 60 005 167 185 196 204 211 217 222 226 230 233 236 001 196 220 230 240 240 250 250 260 260 270 270 005 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 001 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Fonte ALBUQUERQUE J J L Estatística experimental Fortaleza Universidade Federal do Ceará 1979 𝐻𝑡𝑎𝑏 5 𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑔𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐻𝑡𝑎𝑏 5 45 1370 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻𝑐 147421 𝐻𝑡𝑎𝑏 1370 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 5218 2139 1695 2404 2 3585 2886 4605 2606 3 2940 1292 1442 1489 4 2620 3085 4271 853 5 4816 1863 2156 602 6 6280 2555 6027 1946 S2 20386 4515 34806 6724 𝐻𝑐 𝑆2 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑆2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝐻𝑐 34806 4515 𝐻𝑐 771 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻𝑐 771 𝐻𝑡𝑎𝑏 1370 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝐻0 Transformação Box e Cox uma alternativa Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 Transformação Box e Cox a Calcular as variâncias e as médias dos tratamentos Transformação Box e Cox a Calcular as variâncias e as médias dos tratamentos Tratamentos 𝑺𝟐 ഥ𝑿 1 5546736 4582 2 655976 1612 3 8041336 3358 4 565466 947 Transformação Box e Cox b Calcular o log das variâncias e das médias dos tratamentos Tratamentos log 𝑺𝟐 log ഥ𝑿 1 27440 16611 2 18169 12074 3 29053 15261 4 17524 09764 Transformação Box e Cox c Estabelecer uma regressão linear entre o log das variâncias e o log das médias dos tratamentos considerando o log das variâncias como variável dependente Y e o log das médias como variável independente X Transformação Box e Cox c Estabelecer uma regressão linear entre o log das variâncias e o log das médias dos tratamentos considerando o log das variâncias como variável dependente e o log das médias como variável independente 𝑌 01162 18029𝑋 Transformação Box e Cox d Encontrar 𝑏 coeficiente de regressão e usar para o cálculo de 𝜆 pela expressão 𝜆 1 𝑏 2 Transformação Box e Cox d Encontrar 𝑏 coeficiente de regressão e usar para o cálculo de 𝜆 pela expressão 𝜆 1 18029 2 Transformação Box e Cox d Encontrar 𝑏 coeficiente de regressão e usar para o cálculo de 𝜆 pela expressão 𝜆 1 18029 2 𝜆 009855 Transformação Box e Cox e O valor de 𝜆 será usado como expoente na transformação da variável Transformação Box e Cox e O valor de 𝜆 será usado como expoente na transformação da variável Se 𝜆 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 log 𝑌 Transformação Box e Cox e O valor de 𝜆 será usado como expoente na transformação da variável Se 𝜆 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 log 𝑌 Se 𝜆 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 𝑌𝜆 Transformação Box e Cox e O valor de 𝜆 será usado como expoente na transformação da variável Se 𝜆 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 log 𝑌 Se 𝜆 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 𝑌𝜆 Neste caso 𝑌 𝑌009855 Transformação Box e Cox 𝑌 𝑌009855 Geralmente é possível aproximar o que resultaria em 𝑌 𝑌01 A transformação deve ser feita em todos os valores Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de normalidade pelo teste de Lilliefors Calculado Tabelado Dados originais 02074 0176 Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de normalidade pelo teste de Lilliefors Calculado Tabelado Dados originais 02074 0176 Transformação 01 00623 0176 Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de normalidade pelo teste de Lilliefors Calculado Tabelado Dados originais 02074 01766 Transformação 01 00623 01766 Transformação 009855 00625 01766 Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de homogeneidade de variâncias pelo teste de Bartlett Calculado Tabelado Dados originais 112147 7815 Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de homogeneidade de variâncias pelo teste de Bartlett Calculado Tabelado Dados originais 112147 7815 Transformação 01 27806 7815 Transformação Box e Cox Aplicando a transformação para os dados em estudo temos para a verificação de homogeneidade de variâncias pelo teste de Bartlett Calculado Tabelado Dados originais 112147 7815 Transformação 01 27806 7815 Transformação 009855 27884 7815 Transformação Box e Cox Resumo das possibilidades de transformação dos dados segundo os valores de 𝑏 𝑒 𝜆 Transformação Box e Cox 𝑏 𝜆 Transformação 0 1 nenhuma 1 12 𝑌 2 0 log Y 3 12 1 𝑌 4 1 1 𝑌 Transformação Box e Cox Sempre preferir usar na transformação um valor compreensível como log Y 𝑌 Transformação Box e Cox Sempre preferir usar na transformação um valor compreensível como log Y 𝑌 Método mais eficiente para a normalidade Transformação Box e Cox Sempre preferir usar na transformação um valor compreensível como log Y 𝑌 Método mais eficiente para a normalidade Deve ser usado quando os valores a serem transformados são positivos e diferentes de zero É possível somar uma constante Transformação Box e Cox Para reconverter as médias Transformação Valor original Valor transformado Operação inversa Valor reconvertido 𝑌01 6240 151188 01 151188 623983 Plantas de papoula entre aveias Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 6240 1330 850 1660 2 3430 2330 5190 1930 3 2410 500 620 660 4 1950 2630 4600 210 5 5550 1020 1350 110 6 7910 1860 7540 1110 S2 5546736 655976 8041336 565466 Tratamentos Repetições T1 T2 T3 T4 1 5218 2139 1695 2404 2 3585 2886 4605 2606 3 2940 1292 1442 1489 4 2620 3085 4271 853 5 4816 1863 2156 602 6 6280 2555 6027 1946 S2 20386 4515 34806 6724 Análise de variância com dados transformados FV GL SQ QM F Tratamentos 3 23689959 7896653 475 Resíduo 20 33215584 1660779 Total 23 Médias de tratamentos Com dados transformados Destransformadas ou reconvertidas 1 4243 a 4552 3 3367 ab 3072 2 2303 ab 1530 4 1647 b 802 Análise Estatística de Tratamentos Homogeneidade ANOVA e Teste de Tukey 3 de maio de 2025 Resumo Este relatório apresenta a análise estatística realizada sobre quatro tratamen tos T1 T2 T3 e T4 para avaliar a homogeneidade de variâncias pelo teste de Bartlett encontrar transformação eficiente BoxCox executar ANOVA e teste de comparações múltiplas de Tukey Inclui o código em R utilizado fórmulas manuais explicação das técnicas análise e discussão dos resultados 1 Introdução A análise comparativa de tratamentos experimentais constitui etapa fundamental em es tudos que visam avaliar o efeito de diferentes condições ou intervenções sobre uma variável de resposta Antes de aplicar a análise de variância ANOVA clássica fazse necessário verificar a suposição de homogeneidade de variâncias ou seja que os grupos apresen tam variâncias semelhantes A violação dessa suposição pode comprometer a validade dos resultados aumentando o risco de cometer erros do Tipo I falsos positivos ou do Tipo II falsos negativos pois o teste F da ANOVA assume variâncias iguais nos diferentes tra tamentos O teste de Bartlett é um procedimento estatístico amplamente utilizado para verificar a igualdade de variâncias entre k grupos Sua estatística baseiase na razão entre a variância agrupada e as variâncias individuais ajustada por um fator corretivo que leva em conta o número de grupos e tamanhos de amostra Entretanto esse teste é sensível a desvios da normalidade da distribuição dos dados em situações de distribuição não normal ou com valores extremos seus resultados podem ser distorcidos levando a conclusões equivocadas Para contornar essa limitação e tornar os dados mais adequados às premissas da ANOVA utilizase a transformação de BoxCox que busca um parâmetro λ ótimo para estabilizar variâncias e aproximar a normalidade A transformação é definida por yλ yλ 1 λ λ 0 lny λ 0 e é escolhida de modo a maximizar a logverossimilhança dos dados transformados sob o modelo linear Este relatório apresenta primeiramente a aplicação do teste de Bartlett aos dados originais dos quatro tratamentos T1 T2 T3 e T4 seguida da determinação da trans formação de BoxCox mais eficiente Em seguida realizase a ANOVA sobre os dados 1 transformados e finalmente aplicamse comparações múltiplas pelo método de Tukey para identificar quais pares de tratamentos diferem significativamente Os resultados são discutidos à luz das técnicas empregadas e das suposições estatísticas envolvidas 2 Materiais e Métodos 21 Dados Os valores simulados por tratamento são T1 2 3 2 4 1 5 T2 10 15 13 12 14 17 T3 25 30 28 35 32 31 T4 80 100 90 95 105 110 22 Teste de Bartlett O teste verifica H0 σ12 σ22 σk2 contra Ha nem todas iguais A estatística é B N k lnSp2 i1k ni 1 lnSi2 1 1 3k1 i1k 1ni1 1Nk onde Si2 e ni são variância e tamanho do iésimo grupo N ni e Sp2 a variância pool 23 Transformação BoxCox Busca λ que estabiliza variâncias maximizando a logverossimilhança yλ yλ 1λ λ 0 lny λ 0 24 ANOVA e Teste de Tukey Após transformação aplicase ANOVA F MStrat MSres Se p α rejeitase igualdade de médias Em seguida Tukey HSD HSD qαkNk MSres n 25 Código em R Listing 1 Script em R para análise completa Pacotes library MASS library ggplot2 Dados dados data frame tratamento repc T1 T2 T3 T4 each 6 valor c 2 3 2 4 1 5 10 15 13 12 14 17 25 30 28 35 32 31 80 100 90 95 105 110 BoxCox bc boxcox valor tratamento data dados lambda bcx which max bcy T r a n s f o r m a o dadosy dadosvalorlambda ANOVA mod aovy tratamento data dados summarymod Tukey tuk TukeyHSDmod tratamento print tuk Boxplot ggplot dados aes tratamento valor geomboxplot labs t i t l e Boxplotdos Valores porTratamento x Tratamento y Valor 3 3 Resultados 31 Teste de Bartlett O teste de Bartlett foi aplicado aos dados originais para avaliar a suposição de homoge neidade de variâncias entre os quatro tratamentos Obtivemos B 20065 df 3 p 0000165 005 Como o valor de p é muito menor que o nível de significância α 005 rejeitase a hipótese nula de variâncias iguais Em outras palavras existe forte evidência de heterocedastici dade o que impede a aplicação direta da ANOVA clássica sem transformação prévia dos dados 32 Transformação BoxCox A análise de BoxCox indicou um parâmetro ótimo de λ 04646 Foi então utilizada a transformação y valor04646 a qual atendeu ao propósito de reduzir a variabilidade desigual entre grupos e aproximar a distribuição dos resíduos de normalidade 33 ANOVA Com os dados transformados conduziuse a ANOVA de uma via F3 20 3957 p 2 1016 O valor de F muito elevado associado a p praticamente zero indica que as médias de pelo menos dois tratamentos diferem de forma estatisticamente significativa após a trans formação 34 Tukey HSD O procedimento de comparações múltiplas pelo método de Tukey forneceu as seguintes diferenças entre pares de médias transformadas com padj em todos os casos muito abaixo de 005 T2 T1 1766 IC 95 1193 a 2339 padj 2 107 T3 T1 3289 IC 95 2716 a 3862 padj 00001 T4 T1 6780 IC 95 6207 a 7353 padj 00001 T3 T2 1523 IC 95 0950 a 2096 padj 2 106 T4 T2 5014 IC 95 4441 a 5587 padj 00001 T4 T3 3491 IC 95 2918 a 4064 padj 00001 Todos os intervalos de confiança não incluem zero confirmando que cada par de trata mentos difere significativamente 4 35 Boxplot Para ilustrar a distribuição dos valores brutos por tratamento antes da transformação segue o boxplot correspondente Figura 1 Boxplot dos valores originais por tratamento Notese maior amplitude de T4 e presença de assimetria nos grupos 4 Discussão Os resultados obtidos demonstram que os dados originais apresentavam variâncias hetero gêneas conforme evidenciado pelo teste de Bartlett A transformação de BoxCox com λ 04646 revelouse eficiente para estabilizar as variâncias e aproximar a normalidade dos resíduos condição essencial para a validade da ANOVA clássica A ANOVA aplicada aos dados transformados mostrou diferença global altamente sig nificativa entre os tratamentos F3 20 3957 p 2 1016 O teste de Tukey HSD detalhou que todos os pares de tratamentos diferem entre si de forma estatisticamente significativa e em ordem crescente de média T1 T2 T3 T4 O boxplot dos dados originais destaca a grande variação em T4 e indica leve assimetria em T3 reforçando a necessidade de transformação para uma análise confiável Em traba lhos futuros recomendase também verificar graficamente os resíduos QQplot e resíduos versus ajustados para assegurar a normalidade e a ausência de padrões sistemáticos 5 Em suma a combinação das técnicas utilizadas teste de Bartlett transformação de BoxCox ANOVA e comparações múltiplas de Tukey constitui um fluxo robusto para análise de experimentos com múltiplos tratamentos especialmente quando as variâncias não são inicialmente homogêneas 5 Conclusão A análise conduzida demonstrou que os quatro tratamentos T1 T2 T3 e T4 diferem significativamente em suas médias após aplicação da transformação de BoxCox con forme evidenciado pelo resultado da ANOVA F3 20 3957 p 2 1016 e pelas comparações múltiplas de Tukey nas quais todos os pares apresentaram padj 005 O teste de Bartlett inicial apontou heterocedasticidade nos dados brutos B 20065 p 0000165 justificando a necessidade da transformação para estabilização de variân cias e conformidade com as suposições do modelo linear A eficiência da transformação com λ 04646 foi confirmada pela distribuição mais equilibrada dos resíduos e pela clareza das diferenças de média entre tratamentos A ordenação crescente das médias T1 T2 T3 T4 reflete um efeito sistemático do fator experimental Em termos práticos esses resultados indicam que cada nível de tratamento provoca mudanças distintas na variável de resposta o que pode orientar decisões em processos onde esses tratamentos representam diferentes intensidades ou dosagens Referências 1 Box G E P Cox D R 1964 An analysis of transformations Journal of the Royal Statistical Society Series B 262 211243 6