Lista de Exercícios 6 - Análise na Reta I - Continuidade e Limites

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Uesb Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET Disciplina Análise na Reta I Professor Genilson S Santana genilsonsantanauesbedubr Monitor Daniel Silva Lista de Exercícios 6 Exercício 1 Mostre que f R R fx x³ não é uniformemente contínua Exercício 2 Seja f01 R uma função contínua Suponha que fx Q para qualquer x 01 e que f0 1 Demonstre que fx 1 para todo x 01 Exercício 3 A equação 1x 1x² x x x possui solução real Exercício 4 Demonstre que a função fx x²⁰²⁵ x²⁰²⁴ x²⁰²³ x²⁰²² x²⁰²¹ 2020 possui pelo menos uma raiz real Exercício 5 Existe uma função f 22 R contínua de modo que lim x2 fx Exercício 6 Considere f 1 1 fx x x 1 x² 1 x 1 a Demonstre que f é contínua b Note que f0 32 f2 mas não existe c no domínio da f tal que fc 32 Por que esse exemplo não contraria o TVI Exercício 7 Seja f R R uma função contínua a Seja A R um subconjunto aberto Demonstre que B x R fx A é um subconjunto aberto b C x R fx 0 é aberto Exercício 8 Seja f R R uma função contínua tal que lim x fx lim x fx Demonstre que x₀ R tal que fx₀ fx para todo x R Exercício 9 Seja f ab R uma função contínua tal que fa 0 e fb 0 e seja A x ab fx 0 Demonstre que existe sup A e seja c sup A mostre também que fc 0 Exercício 10 Seja f A R uma função uniformemente contínua e existe K 0 tal que fx K x A R Demonstre que a função g A R definida por gx 1fx também é uniformemente contínua