Lista de Exercícios 7 - Análise na Reta I - Derivabilidade e Continuidade

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Uesb Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET Disciplina Análise na Reta I Professor Genilson S Santana genilsonsantanauesbedubr Monitor Daniel Silva Lista de Exercícios 7 Exercício 1 Usando a definição vista na aula demonstre que a f ℝ ℝ fx x² 2x é derivável em a ℝ b f 0 ℝ fx x é derivável em 12 c f ℝ ℝ fx cosx é derivável em π d f 0 ℝ fx x é não derivável em 0 Exercício 2 Note que f 0 ℝ fx x é diferenciável em 1 então sabemos que f1h f1h f1 rh usar esta expressão para encontrar uma aproximação para 101 Daí 101 12 001 1 r001 0005 1 r001 1005 r001 então 101 1005 com um erro r001 Ache uma aproximação para a 2024 b ³2024 Exercício 3 Seja f 01 ℝ uma função contínua em 01 e que tenha derivada contínua em 01 Mostre que f é Lipschitziana em 01 Exercício 4 Uma função f ℝ ℝ é dita Höldercontínua se existem α 0 e M 0 tal que xy ℝ fx fy Mx yα a Demonstre que f Höldercontínua é uma função contínua b Se α 1 mostre que f é diferenciável em a ℝ e fa 0 Exercício 5 Seja f ℝ ℝ é derivável em todo a ℝ tal que ftx t fx para quaisquer tx ℝ Mostre que fx f0x qualquer que seja x ℝ Exercício 6 Seja p ℝ ℝ um polinômio de grau ímpar Mostre que existe c ℝ tal que pc 0 Exercício 7 Considere f ℝ ℝ considere a função fx x² cos 1x x 0 0 x0 Mostre que f é diferenciável em 0 e f0 0 Exercício 8 Seja f ℝ ℝ uma função contínua tal que fx x² para todo x ℝ a Faça um possível esboço para o gráfico da f b Mostre que f é derivável em 0 e f0 0 c Se trocássemos a condição para fx x para todo x ℝ a função f ainda seria diferenciável em 0 Dê exemplos caso a sua resposta seja NÃO