Lista de Integrais e Derivadas

Lista Integrais Exercícios 1 Calcule as integrais indefinidas abaixo a x2 x3 dx b x 1x2 dx c 2x dx d x cos x dx e 7 cos x dx 2 Determine a única função y yx tal que a dydx 2x 3 e y0 2 b dydt t2 1 e y0 1 c d2ydx2 3 y0 1 e y0 1 3 Determine a solução do PVI y 2t t3 y1 2 4 Uma espécie de ave da família Phasianidae é introduzida num nicho ecológico e cresce na razão dPdt 4 2t por mês sendo t o tempo em meses Calcule Pt sabendo que P0 12 Ilustre a situação desenhando os gráficos de P e de dPdt 5 Resolva pelo método da substituição a x 25 dx b x ex2 dx 6 Resolva por integração por partes a x ex dx b x2 ex dx 7 Explique uma partição P de Riemann de um intervalo real a b 8 Explicar a soma de Riemann relativa a uma partição P de a b 9 Calcule as integrais definidas abaixo a 01 3x2 dx b 01 x dx c 01 2 ex dx d 0π4 senx dx e 12 x 23 dx f 11 x32 1x2 1 dx 10 Calcule a área delimitada por x 0 x 1 y 0 e pelo gráfico de y x2 11 Calcule a área delimitada por x 1 x 1 y 0 e pelo gráfico de y x3 12 Calcule a área da região delimitada entre os gráficos de y x2 e y 2x 13 Desenhe e calcule a área da região R dada por 0 y 4 x2 14 Seja A a região delimitada por fx 2x com 0 x 2 Calcule a áreaA a pela aplicação da integral definida isto é áreaA ab fx dx b Desenhe a região delimitada A 15 Esboce e calcule a área da região A delimitada por fx x3 com 1 x 3 pela definição b x2 ex dx 7 Explique uma partição P de Riemann de um intervalo real a b 8 Explicar a soma de Riemann relativa a uma partição P de a b 9 Calcule as integrais definidas abaixo a 01 3x2 dx b 01 x dx c 01 2 ex dx d 0π4 senx dx e 12 x 23 dx f 11 x32 1x2 1 dx 10 Calcule a área delimitada por x 0 x 1 y 0 e pelo gráfico de y x2 11 Calcule a área delimitada por x 1 x 1 y 0 e pelo gráfico de y x3 12 Calcule a área da região delimitada entre os gráficos de y x2 e y 2x 13 Desenhe e calcule a área da região R dada por 0 y 4 x2 14 Seja A a região delimitada por fx 2x com 0 x 2 Calcule a áreaA a pela aplicação da integral definida isto é áreaA ab fx dx b Desenhe a região delimitada A 15 Esboce e calcule a área da região A delimitada por fx x3 com 1 x 3 pela definição LISTA Derivadas e Aplicacoes Exercıcios 1 Calcule a derivada das funcoes abaixo a fx 3x28x1 x35x20 b y x1 xlnx c fx 002x2 01x d fx xsen3x e fx cosx2 3 2 Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de fx no ponto p fp a fx 2x2 3x p 1 b fx 1 x2 x p 3 3 Seja f R R uma funcao trˆes vezes diferenciavel tal que f0 2 e f x x2 fx 3x2 x R Calcule α 5 f 0 4 Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso no tempo t e pt 01t sendo t e medido em semanas Qual a taxa de crescimento do tumor em gramas por semana quando t 15 5 A posicao de uma partıcula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equacao xt t3 3t2 t 0 Estude o sinal de vt e at Calcule lim txt Esboce o grafico de x 6 Seja y e2x Verifique que d2y dx2 4y 0 7 Encontre as assıntotas de fx x2 x1 8 Determine os pontos crıticos de fx x3 6x2 9x e classifiqueos em maximo local mınimo local ou ponto de inflexao 9 De acordo com um modelo desenvolvido por um grupo de saude publica o numero de pessoas Nt em milhares que estarao doentes devido uma gripe no tempo t em meses no proximo inverno e descrito por Nt 100 30t 10t2 sendo t 0 o inıcio de junho Quando a gripe atingira seu pico Quantas pessoas estarao afetadas Esboce o grafico de N e destaque o ponto extremo 10 Um certo tipo de passaro foi introduzido numa ilha norte americana e o numero de indivıduos e dado por Pt 10 100t t2 9t 0 a Calcular Pt b Inicialmente a populacao cresce ou decresce c Calcule a assıntota vertical de P e especule o que ocorre com o tamanho da populacao d Esboce o grafico de P 11 Estude a variacao da funcao fx ex2 em relacao aos intervalos de crescimentodecrescimento concavidades e pontos de inflexao maximos e mınimos locais caso exsitam limites no infinito Em seguida reunindo todas estas informacoes esboce o grafico de f 12 A quantidade de uma droga na corrente sanguınea depois de t horas tomada oralmente e dada por qt 120e02t et Determine em que tempo t ocorre o maximo Aqui vamos lembrar de 3 regras de derivação 1 Derivar um cara do tipo sempre dará 2 Derivar a divisão de duas funções Regra do Quociente 3 Derivada de Constantes números 0 A partir daqui é basicamente conta ok Se você sentir dificul dade em manejos algébricos não sei se seu professor é chato mas eu pararia aqui Caso não Aqui além da regra do quociente já apresentada faremos uso da regra do produto basicamente para derivarmos funções que são o produto de duas funções Além disso usaremos que a derivada da função lnx Log de x na base natural e é Mais uma vez a partir daqui é algebrismo beleza Vou fazer Não se assuste com números feios Eles tem o seu valor E melhor as regras continuam valendo Vou usar a mesma do item a Obs Já dando uma dica a derivada de número x é sempre número Ex Derivada de 2x é 2 derivada de 4x é 4 etc Aqui além da regra do produto precisamos saber algumas coisas a mais 1 Derivada da função senx Seno de x é cosx cosseno de x 2 Regra da cadeia É a regra mais chata de derivação aconselho você dar uma estudada sobre ela pois é bem chatinha de notar quando deve ser feita mas basicamente uma dica é Quero derivar algo se tivesse um x aqui eu saberia a derivada mas não tem x Aí você aplica ela Um exemplo Quero derivar sen3x se esse 3x fosse um x eu saberia que a de rivada é cosseno Mas não é x o que faço Basicamente aconselho pensar Na hora de derivar sen3x deriva a função de fora seno e multiplica pela derivada que está dentro 3x Aqui precisamos saber que a derivada da função cosx cosseno de x é senx seno de x Além disso temos Mais uma vez aparecerá essa regra chata chamada regra da cadeia por que Pensa só se fosse Derivada de cosx sabe ríamos que ia dar senx mas dentro do cosseno tem outra coi sa O que vai nos obrigar a multiplicar pela derivada dessa coisa O que estou falando é Já adianto que isso é um dos conceitos mais importantes de cál culo A coisa mais importante daqui é O coeficiente angular da reta tangente à uma função num ponto é a derivada dessa fun ção naquele ponto Antes de tudo vamos achar o ponto Agora acharemos o coeficiente angular da reta derivada da f no ponto Agora vamos usar um fato importante Uma reta que tem coefi ciente angular m e passa pelo ponto x0 y0 tem a equação Nesse caso estamos no ponto 11 logo x0 1 y01 O coefici ente angular é 1 pois é a derivada no ponto logo m 1 Então a equação será Aqui a ideia é exatamente a mesma O que muda é a função Achando o ponto Agora vamos calcular a derivada no ponto e vou usar uma pro priedade que ajuda bastante na hora de derivar funções do tipo Isso para usarmos a regra que já conhe cemos Nesse caso m 2527 x0 3 y0 289 Aqui para calcular f0 usaremos o que ele deu para calcular primeiro fx Primeira coisa daqui é taxa de crescimento taxa decresci mento são sinônimos para derivada que é o número que diz o quão a função está variando de acordo com uma variável Nesse caso ele está pedindo em outras palavras Me diga qual a derivada da função quando t 15 Para isso calcularemos pt E usaremos uma transformação algébrica bem útil Aqui usaremos algumas noções de físicas que são usadas em cál culo Se temos uma função posição no tempo a primeira deriva da dela será a velocidade no tempo e a segunda derivada será a aceleração No caso Agora vamos calcular esse limite Para isso uma dica O infinito não é um número em si mas funciona como um número muito grande e há infinitos maiores que os outros Agora pra falar graficamente usaremos uma coisa importante Se f0 a função cresce se f0 a função decresce Se f0 a função é côncava para cima se f0 a função é cônca va para baixo Juntando todas essas informações teremos o gráfico Segunda derivada de y em relação a x Primeira derivada de y em relação a x Aqui usaremos também que a derivada da exponencial de base natural e é ela mesma Vou colocar a definição de assíntota horizontal e vertical jájá mas a noção geral de assíntota é Reta a qual uma função vai tender a ter o mesmo comportamento seja no infinito ou próxi mo a um número Ou seja se indo pra infinito ou infinito a função tende a um número y esse número é uma uma assíntota horizontal Ou seja se tendendo a um número pela esquerda ou direita a função vai para infinito x esse número é uma assíntota vertical Dica Para achar candidatos a serem esse número da assínto ta vertical veja aonde a função tem furos no domínio onde ela dá ruim Ponto crítico Ponto onde a função tem derivada igual a zero Ponto de máximo local Primeira derivada é zero e a segunda é negativa Ponto de mínimo local Primeira derivada é zero e a segunda é positiva Ponto de inflexão Onde a segunda derivada muda de sinal Antes de sair fazendo derivadas e coisas do tipo perceba que isso é uma função do segundo grau então sabemos o gráfico é uma parábola e nesse caso uma parábola com concavidade para baixo pois temos a 10 negativo Alem disso o ponto que a parábola atinge o pico é o famoso vértice da parábola que aprendemos também a fórmula do x do vértice e y do vértice Claro que falamos x do vértice mas no caso seria um t do vér tice Logo seria quando a função vai atingir o ápice Assim como y do vértice é o N do vértice ou seja o N máximo Aqui eu tenho quase certeza que ele está pedindo a horizontal não a vertical pois essa função não possui assíntota vertical Para achar a horizontal como t é positivo faremos apenas o limi te quando t vai para infinito Isso basicamente quer dizer que a medida que o tempo cresce cada vez mais a quantidade da população tende a ser 10 Intervalos de crescimentodecrescimento Ligado a derivada Concavidade Ligada a segunda derivada Usaremos muito do fato da exponencial ser sempre positiva logo ignoramos ela na inequação PS Essa questão é bem difícil envolve várias propriedades de função inversa e inequações com exponenciais Se você entender a ideia do que eu fiz ao menos com a derivada por mim ok Aqui usaremos o fato de que Integral de é sempre Além disso usaremos que a integral da soma é a soma das inte grais Além do mais sempre que for calcular uma integral indefinida se soma uma constante real geralmente chamada de C Aqui usaremos 2 propriedades algébricas que vi mos na outra lista Sugiro dar uma olhada qual quer coisa Aqui usaremos 2 fatos 1 Se dentro de uma integral há uma constante número mul tiplicando ela pode sair da integral 2 A integral de é lnx log na base natural e Aqui usaremos que a integral da função cosseno é a função seno Nessa questão ele quer que usemos o Teorema Fundamental do Cálculo que rudemente diz O inverso de derivar é integrar e o inverso de integrar é derivar Ou seja se ele diz A derivada de alguém dá fulano ele quer que pensemos Alguém integral de fulano Por exemplo nesse item Faremos a mesma coisa só que 2 vezes PVI Problema de Valor Inicial queremos achar o y sabendo um valor dele Vamos fazer o mesmo de antes agora nomeando A ideia em integrais por substituição é achar um termo que a de rivada esteja aparecendo para substituirmos a integral para esse termo para ficar uma integral mais simples Integral por partes é basicamente uma regra que precisamos ver quem é u e quem é dv o nosso u tem que ser alguém que seja bom de derivar além de sabermos derivar que a derivada seja algo mais simples por exemplo o Lnx o dv deve ser algo bom de integrar além de sabermos integrar que a integral prefe rencialmente seja mais simples Aqui a ideia basicamente é dividir o intervalo em n partes iguais e olhar para cada extremo desses pequenos intervalos formados Por exemplo vamos dividir em 2 partes iguais inicialmente Agora faremos isso para uma quantidade n de intervalos Agora além de particionar o intervalo vamos tentar estimar a área de uma função positiva nesse intervalo usando retângulos e as bases vão ser esses pequenos intervalos que criamos Por exemplo tentando estimar a área de fx x² em 01 com 2 partições Pela direita Pela esquerda PS Isso de esquerda e direita é basicamente a partir de que ponto criamos a altura do nosso retângulo por pontos à esquerda ou direita Agora para 5 partições Pela esquerda Pela direita Percebe que quanto mais partições mais a área dos retângulos se aproxima da área abaixo da função Claro que sempre vai ter um erro mas ele vai diminuindo a medida que eu aumento as partições Para 100 partições Estamos cada vez mais perto da área sob a curva O que a soma de Riemann diz é para pegarmos o limite para n tendendo a infi nito Seriam infinitos retângulos para achar a área sob a cur va que é a definição da integral definida em ab da função Aqui usaremos do Teorema fundamental do cálculo que basica mente diz pra gente A integral definida de uma função em ab é a primitiva em B a primitiva em A Sendo que a primitiva é a integral vinda da integral indefinida Aqui faremos uma substituição uma coisa importante é mudar os limites de integração ao fazermos a substituição pois não mais integraremos em x mas sim em u Sempre que quisermos calcular a área entre 2 curvas basta fazer a integral definida no intervalo de x da função de cima menos a função debaixo y de cima y debaixo Aqui a função de cima e debaixo mudam de acordo com onde eu estou Nesse caso separamos como a soma de duas integrais Para achar o ponto de interseção basta igualar os dois y das diferentes funções Quando ele escreve usando essa inequação basicamente quer dizer o y está entre 0 e 4x² y0 é o eixo x y4x² é uma parábo la Aqui ele quer basicamente que você lembre que a integral defini da é uma área e lembrese você já aprendeu na vida a calcular área de algumas figuras por exemplo dessa que está aí em cima um triângulo de base 2 e altura 4 15 Esboce e calcule a área da região A delimitada por fx x3 com 1 x 3 pela definição y x3 x 1 x 3 A 13 x3 0 dx 13 x3 dx x4413 344 144 814 14 804 20