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Engenharia de Materiais ·
Álgebra Linear
· 2022/2
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ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 5 – Máquina Litotrítor Figura 6 9. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos, equações das assíntotas e a excentricidade da hipérbole. Faça o gráfico da hipérbole marcando dos seus elementos. a) (y+6)²/7/9−(x−2)²/1/4=1 b) 4x²−y²+8x+2y−1=0 10. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da hipérbole com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Vértices (2, 3), (2, -3) e passa pelo ponto (0, 5). b) Focos (0, 8) e (0, -8) e assíntotas y=±4x. c) Focos (-1, -1) e (9, -1) e assíntotas y=3/4x−4 e y=−3/4x+2. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 2 4. O receptor de uma parabólica está no foco da parábola, como na Figura 3. Escreva uma equação para uma seção transversal da antena parabólica. Figura 3 5. A Lua viaja em torno da Terra em uma órbita elíptica com o centro da Terra em um dos focos. Os eixos maior e menor da órbita têm comprimentos de 768.800km e 767.641Km, respectivamente, como na Figura 4. Encontre a maior e a menor distância (apogeu e perigeu, respectivamente) do centro da Terra ao centro da Lua. Em seguida, faça um gráfico que representar graficamente a órbita da Lua em torno da Terra. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 4 - Moon = Lua, Earth = Terra, Perigee = Perigeu e Apogee = Apogeu 6. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) (x+5)²/9/4+(y−1)²=1 b) 12x²+20y²−12x+40y−37=0 7. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da elipse com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Centro (3, 2), a=3c, focos: (1, 2) e (5, 2). b) Vértices: (5, 0) e (5, 12), ponto final do eixo menor: (1, 6) e (9, 6). c) Vértices (5, 0) e (-5, 0) e excentricidade 4/5. 8. Uma máquina Litotrítor (Figura 5) usa um refletor elíptico para quebrar pedras nos rins sem cirurgias. Uma vela de ignição no refletor gera ondas de energia em foco de uma elipse. O refletor direciona essas ondas na direção das pedras nos rins, que estão posicionadas no outro foco da elipse, com bastante energia para quebrar as pedras, como mostra a Figura 6. Os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse são 280 mm e 160 mm, respectivamente. A que distância fica a vela de ignição da pedra dos rins? ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Lista de Exercícios Assunto: Cônicas Pontuação: Até 5 pontos da nota da P3 do 1º Bimestre. 1. Em cada caso, determine o vértice, foco e a diretriz da parábola. Faça o gráfico da parábola marcando todos seus elementos e pontos importantes. a) (x−1)²+8(y+2)=0 b) (y+7)²=4(x−3/2) c) y²+6y+8x+25=0 2. Os engenheiros de rodovias usam uma curva parabólica para projetar uma rampa de entrada de uma rua reta para uma rodovia interestadual como mostra a Figura 1. Encontra a equação da parábola que descreve esta rampa. (Figura 1) 3. A água está fluindo de um cano horizontal 48 pés acima do solo. A corrente de água que cai tem a forma de uma parábola cujo vértice (0, 48) está na extremidade do cano, veja a Figura 2. A corrente de água atinge o oceano no ponto (10√3,0). Escreva uma equação para a trajetória da água. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 11. A base de um relógio tem a forma de uma hipérbole, como mostra a Figura 7. Escreva a equação seção transversal da base. Cada unidade no plano de coordenadas representa ½ metro. Encontre a largura da base 4 polegadas da parte inferior. Figura 7 12. Dois microfones, separados por 1 km, gravam uma explosão. O microfone A recebe o som 2 segundos antes do microfone B. Onde ocorreu a explosão? Sabendo que a velocidade do som no ar é 1234,8 km/h ou 343 m/s. 1) a) (x-1)^2 - 8(y+2) = 0 \rightarrow P = 2 * Vertice (1 , -2) * Foco (1 , -4) * Diretriz: y = -2 + 2 \rightarrow y = 0 b) (y+7)^2 = 4(x - 3/2) \rightarrow P = 1 * Vertice (3/2 , -7) * Foco (2 , -7) * Diretriz: X = 1/2 c) y^2 + 6y + 8x + 25 = 0 \rightarrow P = 2 * Vertice (-3 , -2) * Foco (-5 , -2) * Diretriz: X = -1 2) Equaçao do tipo: y^2 = 4PX Vertice (0,0) \rightarrow passa no ponto (1000 , 800) => (800)^2 = 4p.1000 => 800 = 4p.1000 Logo, P = 160 Portanto, y^2 = 640X 3) Equaçao do tipo: (x-x0)^2 = -2p(y-y0) Vertice (x0, y0) Logo, x0 = 0 y0 = 48 => x^2 = -2p(y-48) \rightarrow passa em (105 , 0) \rightarrow (105)^2 = -2p(0-48) => 100.3 = 4p.48 => 4p = 6.25 Portanto, x^2 = -0,25(y-48) 4) Equaçao do tipo: x^2 = 4py * Foco (0 , 3,5) * Vertice (0,0) \rightarrow distancia Foco ao Vertice = P \rightarrow P = 3,5 Portanto, x^2 = 14y 5) * 2a = 768800 => a = 384400 * 2b = 767041 => b = 383820,5 a^2 = b^2 + c^2 => c = 21099 Apogeu: a + c \rightarrow 405499 km Perigeu: a - c \rightarrow 363301 km 6) a) \frac{{(x+5)^2}}{{9/4}} + \frac{{(y-1)^2}}{{1}} = 1 } a = 3/2 b = 1 \rightarrow c = \sqrt{5}/2 * Centro (-5 , 1) * Foco (-5 \pm \sqrt{5}/2 , 1) * e = c/a => e = \sqrt{5}/3 b) 12x^2 + 20y^2 - 12x + 40y - 37 = 0 \quad \rightarrow \frac{{(x-1/2)^2}}{5} + \frac{{(y+1)^2}}{3} = 1 } a = \sqrt{5} b = \sqrt{3} \rightarrow c = \sqrt{2} * Centro (-1/2 , -1) * Foco (-1/2 \pm \sqrt{2} , -1) * e = c/a => e = \sqrt{2}/\sqrt{5} 7) a) Centro (3 , 2) , Focos (1 , 2) , (5 , 2) => \quad c = 2 , a = 6 a^2 = b^2 + c^2 \quad => b^2 = 32 Logo,\quad \frac{{(x-3)^2}}{36} + \frac{{(y-2)^2}}{32} = 1 b) 2b = 8 -> b = 4 2a = 12 -> a = 6 36 = 16 + c^2 -> C = 2 \sqrt{5} Logo, \frac{(x-5)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{36} = 1 Centro: (5,6) F1, (5 + 2 \sqrt{5}, 6) F2, (5 - 2 \sqrt{5}, 6) c) e = \frac{c}{a} -> \frac{c}{a} = \frac{4}{5} Logo, a = 5 25 = 16 + b^2 -> Logo, b = 3 Logo, \frac{x^2}{25} + \frac{b^2}{9} = 1 F1, (4,0) F2, (-4,0) 8) Eixo maior: 2a = 280 -> a = 140 Eixo menor: 2b = 160 -> b = 80 Logo, C = 20 \sqrt{33} mm (140)^2 = (80)^2 + c^2 c^2 = 13200 distância de Vén otre ó perfo = 2c Logo, 2C = 40 \sqrt{33} mm 9) a) \frac{y^2}{\frac{4}{16}} - \frac{(x-2)^2}{4} = 1 Logo, c = \frac{\sqrt{13}}{6} a = 1/3, b = 1/2 c^2 = a^2 + b^2 c^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} Centro: (2,-4) Focos: (2, -6 \frac{11}{6}) or (2, -6 \frac{12}{6}) Asintotas: y - 4c = ± \frac{2}{3} (x - 2) b) 4x^2 - y^2 + 8x + 2y - 1 = 0 -> (x + 1)^2 - \frac{(y - 1)^2}{4} = 1 Logo, c = \sqrt{5} a = 1, b = 2 Centro: (-1, 1) Focos: (1 ± \sqrt{5}, 1), (-1 ± \sqrt{5}, 1) Asintotas: y - 1 = ± 2(x + 1) 10) a) 2a = 6 -> a = 3 Logo, \frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-2)^2}{b^2} = 1 b = 3/2 Centro: (2, 0) Focos: (2, \frac{\pm 3 \sqrt{5}}{5}) or (2, \frac{-3 \sqrt{5}}{2}) Logo, y^2 - (\frac{x-2}{3})^2 = 1 Logo, y = ± 2 (x–2) b) C = 8 -> c = 4 Centro: (0,0) Logo, \frac{x^2}{256/17} Focos: (0,8), (1,6,0) Asintotas: y = ± 2x c) 2C = 10 -> c = 5 Centro: (4,-1) Focos: (-1,1),(8,9,1) Asintotas: y = \frac{3}{4} x - 4 Y = -\frac{3}{4}x + 2 Logo, \frac{(x - 4)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 11) x centro (0,0)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 percorre por (1,0) , (2,0) \frac{1}{a^2} = 1 Logo, a = 1 Portanto, \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{27} = 1 Largo : 2 metros Assim como cada unidade representa 1/2 metro 12) Explosión 171.5 * X B ( -500 , 0 ) C( 0 , 0 ) A ( 500 , 0 ) dA = \frac{343}{2} = 171.5 m \text{La} | PF1 - PF2 | = 171.5 m \text{2a} = 171.5 a = 85.75 \quad c = 500 \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 250000 = 7359.0625 + b^2 \quad \therefore b^2 = 242640.6 Lugar geométrico de explosión: \frac{x^2}{7353} - \frac{y^2}{242640.6} = 1 \quad (\text{en metros}) Hipérbola de focos A,B \ (\text{micrófonos})
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ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 5 – Máquina Litotrítor Figura 6 9. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos, equações das assíntotas e a excentricidade da hipérbole. Faça o gráfico da hipérbole marcando dos seus elementos. a) (y+6)²/7/9−(x−2)²/1/4=1 b) 4x²−y²+8x+2y−1=0 10. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da hipérbole com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Vértices (2, 3), (2, -3) e passa pelo ponto (0, 5). b) Focos (0, 8) e (0, -8) e assíntotas y=±4x. c) Focos (-1, -1) e (9, -1) e assíntotas y=3/4x−4 e y=−3/4x+2. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 2 4. O receptor de uma parabólica está no foco da parábola, como na Figura 3. Escreva uma equação para uma seção transversal da antena parabólica. Figura 3 5. A Lua viaja em torno da Terra em uma órbita elíptica com o centro da Terra em um dos focos. Os eixos maior e menor da órbita têm comprimentos de 768.800km e 767.641Km, respectivamente, como na Figura 4. Encontre a maior e a menor distância (apogeu e perigeu, respectivamente) do centro da Terra ao centro da Lua. Em seguida, faça um gráfico que representar graficamente a órbita da Lua em torno da Terra. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 4 - Moon = Lua, Earth = Terra, Perigee = Perigeu e Apogee = Apogeu 6. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) (x+5)²/9/4+(y−1)²=1 b) 12x²+20y²−12x+40y−37=0 7. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da elipse com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Centro (3, 2), a=3c, focos: (1, 2) e (5, 2). b) Vértices: (5, 0) e (5, 12), ponto final do eixo menor: (1, 6) e (9, 6). c) Vértices (5, 0) e (-5, 0) e excentricidade 4/5. 8. Uma máquina Litotrítor (Figura 5) usa um refletor elíptico para quebrar pedras nos rins sem cirurgias. Uma vela de ignição no refletor gera ondas de energia em foco de uma elipse. O refletor direciona essas ondas na direção das pedras nos rins, que estão posicionadas no outro foco da elipse, com bastante energia para quebrar as pedras, como mostra a Figura 6. Os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse são 280 mm e 160 mm, respectivamente. A que distância fica a vela de ignição da pedra dos rins? ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Lista de Exercícios Assunto: Cônicas Pontuação: Até 5 pontos da nota da P3 do 1º Bimestre. 1. Em cada caso, determine o vértice, foco e a diretriz da parábola. Faça o gráfico da parábola marcando todos seus elementos e pontos importantes. a) (x−1)²+8(y+2)=0 b) (y+7)²=4(x−3/2) c) y²+6y+8x+25=0 2. Os engenheiros de rodovias usam uma curva parabólica para projetar uma rampa de entrada de uma rua reta para uma rodovia interestadual como mostra a Figura 1. Encontra a equação da parábola que descreve esta rampa. (Figura 1) 3. A água está fluindo de um cano horizontal 48 pés acima do solo. A corrente de água que cai tem a forma de uma parábola cujo vértice (0, 48) está na extremidade do cano, veja a Figura 2. A corrente de água atinge o oceano no ponto (10√3,0). Escreva uma equação para a trajetória da água. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 11. A base de um relógio tem a forma de uma hipérbole, como mostra a Figura 7. Escreva a equação seção transversal da base. Cada unidade no plano de coordenadas representa ½ metro. Encontre a largura da base 4 polegadas da parte inferior. Figura 7 12. Dois microfones, separados por 1 km, gravam uma explosão. O microfone A recebe o som 2 segundos antes do microfone B. Onde ocorreu a explosão? Sabendo que a velocidade do som no ar é 1234,8 km/h ou 343 m/s. 1) a) (x-1)^2 - 8(y+2) = 0 \rightarrow P = 2 * Vertice (1 , -2) * Foco (1 , -4) * Diretriz: y = -2 + 2 \rightarrow y = 0 b) (y+7)^2 = 4(x - 3/2) \rightarrow P = 1 * Vertice (3/2 , -7) * Foco (2 , -7) * Diretriz: X = 1/2 c) y^2 + 6y + 8x + 25 = 0 \rightarrow P = 2 * Vertice (-3 , -2) * Foco (-5 , -2) * Diretriz: X = -1 2) Equaçao do tipo: y^2 = 4PX Vertice (0,0) \rightarrow passa no ponto (1000 , 800) => (800)^2 = 4p.1000 => 800 = 4p.1000 Logo, P = 160 Portanto, y^2 = 640X 3) Equaçao do tipo: (x-x0)^2 = -2p(y-y0) Vertice (x0, y0) Logo, x0 = 0 y0 = 48 => x^2 = -2p(y-48) \rightarrow passa em (105 , 0) \rightarrow (105)^2 = -2p(0-48) => 100.3 = 4p.48 => 4p = 6.25 Portanto, x^2 = -0,25(y-48) 4) Equaçao do tipo: x^2 = 4py * Foco (0 , 3,5) * Vertice (0,0) \rightarrow distancia Foco ao Vertice = P \rightarrow P = 3,5 Portanto, x^2 = 14y 5) * 2a = 768800 => a = 384400 * 2b = 767041 => b = 383820,5 a^2 = b^2 + c^2 => c = 21099 Apogeu: a + c \rightarrow 405499 km Perigeu: a - c \rightarrow 363301 km 6) a) \frac{{(x+5)^2}}{{9/4}} + \frac{{(y-1)^2}}{{1}} = 1 } a = 3/2 b = 1 \rightarrow c = \sqrt{5}/2 * Centro (-5 , 1) * Foco (-5 \pm \sqrt{5}/2 , 1) * e = c/a => e = \sqrt{5}/3 b) 12x^2 + 20y^2 - 12x + 40y - 37 = 0 \quad \rightarrow \frac{{(x-1/2)^2}}{5} + \frac{{(y+1)^2}}{3} = 1 } a = \sqrt{5} b = \sqrt{3} \rightarrow c = \sqrt{2} * Centro (-1/2 , -1) * Foco (-1/2 \pm \sqrt{2} , -1) * e = c/a => e = \sqrt{2}/\sqrt{5} 7) a) Centro (3 , 2) , Focos (1 , 2) , (5 , 2) => \quad c = 2 , a = 6 a^2 = b^2 + c^2 \quad => b^2 = 32 Logo,\quad \frac{{(x-3)^2}}{36} + \frac{{(y-2)^2}}{32} = 1 b) 2b = 8 -> b = 4 2a = 12 -> a = 6 36 = 16 + c^2 -> C = 2 \sqrt{5} Logo, \frac{(x-5)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{36} = 1 Centro: (5,6) F1, (5 + 2 \sqrt{5}, 6) F2, (5 - 2 \sqrt{5}, 6) c) e = \frac{c}{a} -> \frac{c}{a} = \frac{4}{5} Logo, a = 5 25 = 16 + b^2 -> Logo, b = 3 Logo, \frac{x^2}{25} + \frac{b^2}{9} = 1 F1, (4,0) F2, (-4,0) 8) Eixo maior: 2a = 280 -> a = 140 Eixo menor: 2b = 160 -> b = 80 Logo, C = 20 \sqrt{33} mm (140)^2 = (80)^2 + c^2 c^2 = 13200 distância de Vén otre ó perfo = 2c Logo, 2C = 40 \sqrt{33} mm 9) a) \frac{y^2}{\frac{4}{16}} - \frac{(x-2)^2}{4} = 1 Logo, c = \frac{\sqrt{13}}{6} a = 1/3, b = 1/2 c^2 = a^2 + b^2 c^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} Centro: (2,-4) Focos: (2, -6 \frac{11}{6}) or (2, -6 \frac{12}{6}) Asintotas: y - 4c = ± \frac{2}{3} (x - 2) b) 4x^2 - y^2 + 8x + 2y - 1 = 0 -> (x + 1)^2 - \frac{(y - 1)^2}{4} = 1 Logo, c = \sqrt{5} a = 1, b = 2 Centro: (-1, 1) Focos: (1 ± \sqrt{5}, 1), (-1 ± \sqrt{5}, 1) Asintotas: y - 1 = ± 2(x + 1) 10) a) 2a = 6 -> a = 3 Logo, \frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-2)^2}{b^2} = 1 b = 3/2 Centro: (2, 0) Focos: (2, \frac{\pm 3 \sqrt{5}}{5}) or (2, \frac{-3 \sqrt{5}}{2}) Logo, y^2 - (\frac{x-2}{3})^2 = 1 Logo, y = ± 2 (x–2) b) C = 8 -> c = 4 Centro: (0,0) Logo, \frac{x^2}{256/17} Focos: (0,8), (1,6,0) Asintotas: y = ± 2x c) 2C = 10 -> c = 5 Centro: (4,-1) Focos: (-1,1),(8,9,1) Asintotas: y = \frac{3}{4} x - 4 Y = -\frac{3}{4}x + 2 Logo, \frac{(x - 4)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 11) x centro (0,0)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 percorre por (1,0) , (2,0) \frac{1}{a^2} = 1 Logo, a = 1 Portanto, \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{27} = 1 Largo : 2 metros Assim como cada unidade representa 1/2 metro 12) Explosión 171.5 * X B ( -500 , 0 ) C( 0 , 0 ) A ( 500 , 0 ) dA = \frac{343}{2} = 171.5 m \text{La} | PF1 - PF2 | = 171.5 m \text{2a} = 171.5 a = 85.75 \quad c = 500 \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 250000 = 7359.0625 + b^2 \quad \therefore b^2 = 242640.6 Lugar geométrico de explosión: \frac{x^2}{7353} - \frac{y^2}{242640.6} = 1 \quad (\text{en metros}) Hipérbola de focos A,B \ (\text{micrófonos})