Lista - Cônicas - Álgebra Linear 2022-2

ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Lista de Exercícios Assunto: Cônicas Pontuação: Até 5 pontos da nota da P3 do 1º Bimestre. 1. Em cada caso, determine o vértice, foco e a diretriz da parábola. Faça o gráfico da parábola marcando todos seus elementos e pontos importantes. a) (x - 1)^2 + 8(y + 2) = 0 b) (y + 7)^2 = 4(x - 3/2) c) y^2 + 6y + 8x + 25 = 0 2. Os engenheiros de rodovias usam uma curva parabólica para projetar uma rampa de entrada de uma rua reta para uma rodovia interestadual como mostra a Figura 1. Encontra a equação da parábola que descreve esta rampa. Figura 1 3. A água está fluindo de um cano horizontal 48 pés acima do solo. A corrente de água que cai tem a forma de uma parábola cujo vértice (0, 48) está na extremidade do cano, veja a Figura 2. A corrente de água atinge o oceano no ponto (10√3, 0). Escreva uma equação para a trajetória da água. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 4 - Moon = Lua, Earth = Terra, Perigee = Perigeu e Apogee = Apogeu 6. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) (x+5)^2/9 + (y-1)^2/4 = 1 b) 12x^2 + 20y^2 - 12x + 40y - 37 = 0 7. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da elipse com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Centro (3, 2), a = 3c, focos: (1, 2) e (5, 2). b) Vértices: (5, 0) e (5, 12), ponto final do eixo menor: (1, 6) e (9, 6). c) Vértices (5, 0) e (-5, 0) e excentricidade 4/5. 8. Uma máquina Litotritor (Figura 5) usa um refletor elíptico para quebrar pedras nos rins sem cirurgias. Uma vela de ignição no refletor gera ondas de energia em foco de uma elipse. O refletor direciona essas ondas na direção das pedras nos rins, que estão posicionadas no outro foco da elipse, com bastante energia para quebrar as pedras, como mostra a Figura 6. Os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse são 280 mm e 160 mm, respectivamente. A que distância fica a vela de ignição da pedra dos rins? ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 Figura 5 – Máquina Litotritor Figura 6 9. Em cada caso, determine o centro, os vértices, os focos, equações das assíntotas e a excentricidade da hipérbole. Faça o gráfico da hipérbole marcando dos seus elementos. a) (y+6)^2/9 - (x-2)^2/4 = 1 b) 4x^2 - y^2 + 8x + 2y - 1 = 0 10. Em cada caso, encontre a forma canônica (ou padrão) da equação da hipérbole com as características dadas. Faça o gráfico da elipse marcando dos seus elementos. a) Vértices (2, 3), (2, -3) e passa pelo ponto (0, 5). b) Focos (0, 8) e (0, -8) e assíntotas y = ±4x. c) Focos (-1, -1) e (9, -1) e assíntotas y = 3/4 x - 4 e y = -3/4 x + 2. ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO VETORIAL – PROFª ANA PAULA CHIARADIA - TURMAS 152 E 154 11. A base de um relógio tem a forma de uma hipérbole, como mostra a Figura 7. Escreva a equação seção transversal da base. Cada unidade no plano de coordenadas representa ½ metro. Encontre a largura da base 4 polegadas da parte inferior. Figura 7 12. Dois microfones, separados por 1 km, gravam uma explosão. O microfone A recebe o som 2 segundos antes do microfone B. Onde ocorreu a explosão? Sabendo que a velocidade do som no ar é 1234,8 km/h ou 343 m/s. 1) a) (x-1)^2 - 8(y+2) = 0 La P=2 Vértice = (1,-2) Foco = (1,-4) Directriz: y = -2 + 2 La y = 0 b) (y+7)^2 = 4(x-3/2) La P=1 Vértice = (3/2,-7) Foco = (2,-7) Directriz: x = 1/2 c) y^2 + 6y + 8x + 25 = 0 La P=2 Vértice = (-3,-2) Foco = (-5,-2) Directriz: x = -1 2) Equação da elipse: y^2 = 4Px Vértice (0,0) La passa no ponto (1000,800) 800^2 = 4P.1000 Logo, P = 160 Portanto, y^2 = 640x 3) Equação da elipse: (x-x_0)^2 = -2P(y-y_0) Vértice (x_0, y_0) La passa em (10/3,0) Logo, x_0 = 0 y_0 = 48 \therefore (10/3)^2 = -4P.48 100/9 = 4P.48 Portanto, x^2 = -0.25(y-48) 4) Equação da elipse: x^2 = 4Py Foco (0,3.5) Vértice (0,0) La distância Foco ao Vértice = P P = 3.5 Portanto, x^2 = 14y 5) 2a = 768800 2b = 767041 a = 384400 b = 383820.5 a^2 = b^2 + c^2 \therefore c = 21099 Apogeu: a+c 405499 km Perigeu: a-c 363301 km 6) a) \(x+5\)^2/9 + \(y-1\)^2/1 = 1 a = 3/2 b = 1 c = \sqrt{5}/2 Centro = (-5,1) Foco = (-5+\frac{\sqrt{5}}{2},1), (-5-\frac{\sqrt{5}}{2},1) e = c/a = \sqrt{5}/3 b) 12x^2 + 20y^2 - 12x + 40y - 37 = 0 \rightarrow (x-\frac{1}{2})^2/5 + (y+1)^2/3 = 1 a = \sqrt{5} b = \sqrt{3} c = \sqrt{2} Centro = (\frac{1}{2},-1) Foco = (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},-1), (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2},-1) e = c/a = \sqrt{10}/5 7) a) Centro = (3,2), Focos = (1,2), (5,2) c = 2 a = 6 a^2 = b^2 + c^2 36 - 4 = b^2 b^2 = 32 log_0, ((x-3)^2/36) + ((y-2)^2/32) = 1 b) 2b = 8 -> b = 4 2a = 12 -> a = 6 c) e = c/a -> c/a = 4/5 8) Eixo maior: 2a = 280 -> a = 140 Eixo menor: 2b = 160 -> b = 80 Logo, C = 20√33 mm distância de V do outro foco = 2c Logo, 2C = 40√33 mm a) (y/4)² - (x-2)² --------- = 1 9 4 Logo, c = √13/6 b) 4(x² - y²) + 8x + 2y - 1 = 0 (x+1)² (y-1)² ------ + ----- = 1 2 4 a = 1 b = 2 a) 2a = 6 -> a = 3 b) C = 8 -> 4² = 1 c) 2c = 10 -> c = 5 e) (x-4)² (y+1)² ------ - ------ 16 9 11) x²/1 - y²/27 = 1 12) Explosión x X \/ 171.5 -x Y (500,0) K C(0,0) d = 343 = 171.5 m dA = \ 2 FP1 - FP2 \ 1 = 171.5 m 2a = 171.5 a = 85.75 B (-500,0) C = 500 => c² = a² + b² => 250000 = 7359.0625 + b² b² = 242640.46 Lugor geométrico de explosor: X² - Y² = 1 7353 242640.46 (mm metros) Hipérbole de Focus A,B (microfonos)