Álgebra 1 - Atividades

Questão 1 a Prove que se 3 divide a e 3 divide b então 9 divide 6ba13 1 b Prove por contrapositiva que se a ab b é par então a é par e b é par c Prove por contradição que não existem inteiros m e n tais que 30m 20n 7 d Prove por contraexemplo que não é verdade que se a e b são números inteiros tais que a b 3 então a1b2a2 é um inteiro Questão 2 Prove por indução as seguintes afirmações a Para todo inteiro positivo n k1nk2k 2 n12n1 b Para todo inteiro positivo n 4 divide 32n 7 Questão 3 Seja Z uma estrutura dos números inteiros Prove cuidadosamente justificando cada passo com os axiomas usados que x0 0 Você pode precisar usar os seguintes axiomas nessa demonstração A1 Para todo x y z Z x y z x y z A4 Existe um único elemento 0 Z tal que 0 x x 0 x x Z A5 Para todo x Z existe um único elemento x Z tal que x x 0 DL Para todo x y z Z xy z xy xz Questão 4 a Sejam a b d Z Prove que se d a b e d a2 b2 então d 2a2 e d 2b2 Conclua que se mdca b 1 então mdcab a2b2 1 ou mdcab a2b2 2 b Usano o algoritmo de Euclide encontre x e y inteiros tais que mdc29495 16983 29495x 16983y 1 Técnicas de demonstração matemática a Demonstração direta b Demonstração por contrapositiva c Demonstração por contradição ou por absurdo d Demonstração por contraexemplo e Demonstração por indução matemática 2 Números inteiros Definição axiomática e aplicações 3 Divisibilidade em Z 4 Máximo Divisor Comum MDC b 1 1 2 1 3 1 25 2 29495 16983 12512 4471 3570 901 867 34 17 12512 4471 3570 901 867 34 17 0 mdc 16983 29495 17 c 17 867 25 34 17 867 25 901 867 c 17 26 867 25 901 26 3570 3 901 25 901 c 17 26 3570 103 901 26 3570 103 4471 3570 c 17 129 3570 103 4471 129 12512 2 4471 103 4471 c 17 129 12512 361 4471 129 12512 361 16983 12512 c 17 490 12512 361 16983 490 29495 16983 361 16983 c 17 490 29495 851 16983 29495 x 16983 y 17 x y 490 16983 t 851 29495 t t Z 2 a i CASO INICIAL j 21 2 1 1 22 2 2 ii HIPÓTESE CONSIDERE QUE PARA UM m k 1 to m k2k 2 m 1 22 m 2 iii PASSO INDUTIVO PROVAREMOS QUE k 1 to m1 k2k 2 m2m 2 De ii 121 m2m 2 m 1 2m1 ADICIONANDO O FATOR m 1 2m1 k 1 to m1 k2k 2 m 1 2m1 m 1 2m1 2 2m1 m 1 m 1 2 2m1 2 m 2 m2m 2 cqd RESULTADO SEGUE POR INDUÇÃO mdcab1 mdcaba²b² 1 ω Z dab e da²b² da² e db² mdcab1 mdca²b²1 1asbt 1³ a³s³ 3a²sb²t 3asb⁴ b⁷ st Z 1 a²as³ 3s²bt b²3aslt² b³ d não é fator não unitário comum de a² ou b² por tal razão ele só pode ser 1 ou Z 2 b i Caso inicial pm1 4 3²17 4 16 ii Hipótese Assumimos que p um m 4 3²m 7 m2 iii Passo indutivo Provaremos que p m1 4 3²m1 7 De ii 4k 3²m 7 3²4k7 3²m 3² 94k7 3²m2 3²m1 36k 97 3²m1 36k 817 3²m1 36k 56 3²m1 7 436k e 456 436k56 4 3²m1 7 cqd Resulta do segue por indução