P2 - Resistência dos Materiais 2 - 2024-1

11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 1 Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito devido à força cortante. EI = 2 x 10⁵ kNm² (constante) SOLUÇÃO: Δ = ∫_est N_u (N_L dx / EA) + ∫_est (M_u M_L dx / EI) + ∫_est V_u (χ V_L dx / GA) + ∫_est T_u (T_L dx / GJ) Δ_B = ∫_est (M_U M_L / EI) dx 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 1 SOLUÇÃO: Δ_B = ∫_est (M_U M_L / EI) dx FASE L – Estrutura com carregamento real M_A = 262.5 kN.m V_A = 125 kN x = 0 M_L(B) = 0 x = 3 M_L(A) = -262.5 kNm Adotou-se a convenção clássica de momentos fletores, considerando o momento que produz tração na fibra inferior (face de referência) como momento fletor positivo. Diagrama de momento fletor M_L = -50x - 12,5x² 11.3 Método da Carga Unitária O procedimento de cálculo do deslocamento pelo MCU pode ser sintetizado da seguinte maneira: i. Determina-se os esforços solicitantes N_L, M_L, V_L e T_L na estrutura, causadas pelas cargas reais (Fase L); ii. Aplica-se na estrutura uma carga unitária correspondente ao deslocamento, Δ, que deve ser determinado (Fase U); iii. Determina-se os esforços solicitantes N_U, M_U, V_U e T_U, causadas pela carga unitária (Fase U); iv. Combina-se os esforços solicitantes da Fase L e Fase U integrando para cada elemento da estrutura utilizando a equação fundamental do MCU, e logo após, soma-se os termos de todos os elementos para obter o Δ. Δ = ∫_est N_u (N_L dx / EA) + ∫_est (M_u M_L dx / EI) + ∫_est V_u (χ V_L dx / GA) + ∫_est T_u (T_L dx / GJ) Fase L Fase U C P = 1 1 - 2  Os conceitos relativos a deslocamentos virtuais e trabalho virtual são usualmente introduzidos durante o estudo da Estática, quando são usados para resolver problemas sobre equilíbrio estático.  A palavra virtual significa que as quantidades são imaginárias e que não existem no sentido real ou físico.  Logo, deslocamento virtual é imaginário e arbitrariamente imposto sobre o sistema estrutural.  Portanto, o trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é chamado de Trabalho Virtual. 1 - 3  Quando sobre uma partícula atua um conjunto de forças em equilíbrio estático, pode-se dar a ela um deslocamento virtual, que consiste na translação da partícula em qualquer direção.  Durante esse deslocamento virtual, o trabalho virtual realizado pelas forças deve ser nulo, porque as forças estão em equilíbrio.  Esta afirmação, aparentemente simples, chamamos de Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV). diagrama espacial x y  O PDV também é aplicado a corpos rígidos, mantidos em equilíbrio por um conjunto de cargas, que pode incluir forças concentradas, momentos e cargas distribuídas. 1 - 4  Usualmente, deve-se restringir o deslocamento virtual, fazendo-o muito pequeno (pequenas deformações), de maneira que as linhas de ação das forças não sejam alteradas.  Então, considerando uma estrutura deformável em equilíbrio sob carregamentos generalizados.  Em análise de estrutura, deve-se estender o PDV aos casos de estruturas deformáveis.  Para isto, deve-se levar em consideração o trabalho virtual das forças externas e internas (tensões resultantes ou esforços solicitantes).  Seccionando essa viga em um determinado ponto e considerando um elemento de comprimento dx, tem-se em uma face desse elemento os esforços solicitantes: N, V, M e T.  Enquanto na outra face, a uma distância dx tem-se: N+dN, V+dV, M+dM e T+dT. 1 - 5  Admitindo-se que a estrutura é submetida a uma deformação virtual que consiste em uma pequena mudança na sua forma fletida.  Estes deslocamentos reais têm grandezas definidas, determinadas pela natureza das cargas e da estrutura.  Esta deformação virtual é imposta a estrutura de alguma maneira não especificada e será completamente independente do fato da estrutura já ter sido submetida a deslocamentos reais, causadas por cargas exercidas sobre ela.  A deformação virtual, entretanto, representa uma deformação adicional imposta à estrutura.  A única restrição na deformação virtual é que a mudança virtual na forma deve ser compatível com as condições de contorno (ou apoio) e deve manter a continuidade entre os elementos da estrutura (meio do contínuo). 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV Somando-se (integrando) os termos do trabalho virtual para todos os elementos da estrutura, tem-se: W_ext = ∫_estrutura dW_e = ∫_estrutura dW_d A integral do primeiro membro da equação é o trabalho virtual total, agindo nas faces de todos os elementos, dos quais o elemento dx é típico. Pode-se notar que os lados de cada elemento (dx) estarão em contato direto com os elementos adjacentes (equilíbrio dos elementos). Portanto, o trabalho virtual das tensões resultantes (ou forças internas) exercidas sobre um elemento cancelará, exatamente, o trabalho virtual das tensões resultantes, iguais e opostas exercidas sobre os elementos adjacentes. O único trabalho virtual remanescente é o das forças externas atuantes nos contornos externos dos elementos. Pode-se concluir que esta quantidade é conhecida como trabalho externo (W_ext). 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV A integral do segundo membro corresponde ao trabalho virtual associado à deformação do elemento. Este trabalho inclui os efeitos de todas as forças que atuam no elemento, tensões resultantes (ou forças internas) e forças externas. Entretanto, quando um elemento se deforma, somente as tensões resultantes (ou forças internas) realizam algum trabalho. Portanto, esse segundo membro da equação representa somente o trabalho virtual das tensões resultantes. Este trabalho virtual é igual ao realizado pelas tensões resultantes quando os elementos nos quais elas atuam são deformados virtualmente. A quantidade total deste trabalho virtual obtido pelo somatório de todos os elementos é chamada de trabalho interno (W_int). 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV Durante a deformação virtual, cada elemento (dx) da estrutura será deslocado para uma nova posição, acarretando a deformação da própria estrutura. Consequentemente, as forças exercidas num elemento (dx) (tensões resultantes e cargas externas) realizarão um diferencial de trabalho virtual. Esse diferencial do trabalho virtual total é dado por dW_e que pode ser subdividido em: - dW_r - trabalho causado pelo deslocamento do elemento como corpo rígido (translação e rotação); - dW_d - trabalho associado à deformação do elemento. Logo: dW_e = dW_r + dW_d Como o elemento está em equilíbrio estático, o trabalho realizado pelas forças externas e internas durante o deslocamento do corpo rígido deve ser nulo (dW_r = 0). Assim: dW_e = dW_d O trabalho virtual total é igual ao trabalho virtual realizado por forças durante a deformação virtual do elemento. 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV Dessa forma, obtém-se que: W_{ext} = W_{int} Essa equação representa o Princípio do Trabalho Virtual (PTV) e pode ser definida da seguinte forma: quando uma estrutura deformável, em equilíbrio, sob a ação de um sistema de cargas, é dada uma pequena deformação virtual, o trabalho realizado pelas forças externas é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas. Observações: A deformação virtual ou o deslocamento virtual, deve ser compatível com os apoios da estrutura e manter sua continuidade(condições de contorno e continuidade devem ser atendidas). A mudança virtual na forma pode ser arbitrariamente imposta à estrutura e não deve ser confundida com as deformações causadas por cargas reais. Como as propriedades do material utilizado na estrutura não entraram na formulação mostrada, o PTV aplica-se a todas as estruturas, ainda que, o material se comporte linearmente ou não, elástica ou inelasticamente. 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV Então, o trabalho externo, W_{ext}, é o realizado pelas forças externas que atuam na estrutura durante o deslocamento virtual. Como essas cargas generalizadas (P) atuam com seus valores integrais quando o deslocamento virtual (Δ) é imposto, tem-se que: W_{ext} = PΔ O trabalho interno, W_{int}, é o realizado pelas tensões resultantes exercidas no elemento que depende da deformação desse elemento durante o deslocamento virtual. As deformações virtuais de um elemento dx podem ser dadas por: dλ – deformação por cisalhamento (translação lateral - distorção); δδ – deformação axial (alonga ou encurtar); dφ – deformação por torção (rotação relativa); dθ – deformação por flexão (rotação relativa); 11.2 Princípio do Trabalho Virtual - PTV O trabalho interno, W_{int}, resulta em: W_{int} = ∫_{est} (N + dN)δ + ∫_{est} (M + dM)dθ + ∫_{est} (V + dV)dλ + ∫_{est} (T + dT)dφ Essa expressão pode ser simplificada, desprezando-se o produto de dois diferenciais (dNdδ), em comparação com o produto do termo finito e do diferencial (Ndδ), assim tem-se: W_{int} = ∫_{est} Ndδ + ∫_{est} Mdθ + ∫_{est} Vdλ + ∫_{est} Tdφ Sendo que, N, M, V e T são as tensões resultantes ou esforços solicitantes reais na estrutura, causadas por cargas reais. e δ, dθ, dλ e dφ são as deformações fictícias associadas ao deslocamento virtual da estrutura. 1 - 12  O PTV pode ser usado na dedução do Método da Carga Unitária (MCU), que é de extrema importância para calcular deslocamentos generalizados (translações e rotações) em qualquer tipo de estrutura.  Esse método, teoricamente, pode ser usado tanto para estruturas estaticamente determinadas (isostática) quanto para estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas).  No MCU é necessário considerar dois sistemas de carregamento:  O primeiro sistema ou Fase L (Loading) consiste na estrutura submetida a cargas reais, mudanças de temperatura, recalques e outras causas responsáveis pela produção de deslocamentos.  O MCU, por ser deduzido do PTV, é às vezes chamado de Método do Trabalho Virtual ou Método da Carga Substituta ou Método Maxwell-Mohr.  O segundo sistema ou Fase U (Unitária) consiste na mesma estrutura submetida somente há uma carga unitária (carga fictícia ou substituta), para calcular o deslocamento generalizado ∆, causada por forças reais.  A carga unitária deverá ser aplicada onde se quer calcular o deslocamento. P = 1 Fase L Fase U 11.3 Método da Carga Unitária ❑ Quando a carga unitária atua na estrutura, ela produz reações nos apoios e esforços solicitantes (N_U, M_U, V_U, T_U) nos elementos que, combinadas com a carga unitária e as reações, formam um sistema de forças em equilíbrio. ❑ De acordo com o PTV, ao impor uma pequena deformação virtual, tem-se: W_ext = W_int ❑ O MCU correlaciona-se com o PTV na medida em que é preciso escolher adequadamente a deformação virtual. ❑ Neste caso, tomam-se as deformações reais da estrutura causada pela Fase L, como deformações virtuais a serem impostas sobre a Fase U. ❑ O W_ext que ocorre durante essa deformação virtual, é realizado pela carga unitária, pois está é a única carga externa atuando na estrutura na Fase U. ❑ Portanto, tem-se: W_ext = PΔ W_ext = 1 × Δ ▪ onde Δ representa o deslocamento generalizado desejado da estrutura causado por cargas reais. 11.3 Método da Carga Unitária ❑ O W_int é realizado pelos esforços solicitantes (N_U, M_U, V_U, T_U), quando os elementos da estrutura são deformados virtualmente. ❑ Entretanto, as deformações virtuais são escolhidas para serem as mesmas das deformações reais (dδ, dθ, dλ e dφ) que ocorrem na estrutura que suporta às cargas reais: ❑ Portanto, tem-se: W_int = ∫_est N_udu + ∫_est M_udθ + ∫_est V_udλ + ∫_est T_udφ ❑ Como W_ext = W_int, obtém-se a equação fundamental do MCU, dada por: W_ext = 1 × Δ = W_int Δ = ∫_est N_udu + ∫_est M_udθ + ∫_est V_udλ + ∫_est T_udφ ▪ onde Δ representa os deslocamentos generalizados (translação, rotação e deslocamentos relativos) a serem calculados; ▪ Os esforços solicitantes (N_U, M_U, V_U, T_U - unidades de força ou momento por unidade de carga unitária), representam a força axial, o momento fletor, a força cortante e o momento de torção causados pela carga unitária correspondente ao deslocamento Δ; ▪ dδ, dθ, dλ e dφ representam deformações causadas pelas cargas generalizadas reais. 11.3 Método da Carga Unitária ❑ A equação fundamental do MCU é bastante geral, não estando sujeita a nenhuma restrição relativa ao comportamento linear do material ou da estrutura, ou seja, não é necessário que o princípio da superposição seja válido. ❑ A situação mais comum, no entanto, ocorre quando o material segue a Lei de Hooke e a estrutura tem comportamento linear elástico. ❑ Neste caso, é possível obter expressões para as deformações dδ, dθ, dλ e dφ causadas pelas cargas reais, dada por: dδ = \frac{N_Ldx}{EA} dθ = \frac{M_Ldx}{EI} dλ = \frac{χV_Ldx}{GA} dφ = \frac{T_Ldx}{GJ} ❑ Onde N_L, M_L, V_L, T_L representam os esforços solicitantes (tensões resultantes) na estrutura causadas por cargas reais (Fase L). Dessa forma, a equação do MCU passa a ser: Δ = ∫_est \frac{N_uldx}{EA} + ∫_est \frac{M_uldx}{EI} + ∫_est \frac{χV_uldx}{GA} + ∫_est \frac{T_uldx}{GJ} ❑ Essa equação pode ser usada na determinação do deslocamento, Δ, em qualquer ponto da estrutura, quando o material é linearmente elástico e o princípio da superposição for válido. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 1 SOLUÇÃO: Δ_B = \int_{est} \frac{M_U M_L}{EI} dx FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais: Aplicando-se à estrutura uma força unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado (Δ_B): M_U(BA) = -1x \left\{ \begin{align*} & x = 0 & M_U(B) = 0 \\ & x = 3 & M_U(A) = -3 kNm \end{align*} \right. Observar que a carga vertical unitária foi aplicada para baixo conforme sentido positivo assumido para a flecha em B e que a convenção de sinais de M_U é a mesma utilizada na Fase L. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 1 SOLUÇÃO: Δ_B = \int_{est} \frac{M_U M_L}{EI} dx M_L(BA) = -50x - 12,5x^2 M_U(BA) = -1x Δ_B = \int_0^3 \frac{(-1x) \times (-50x - 12,5x^2)}{2 \times 10^5} dx Δ_B = 3,516 \times 10^{-3}m O sinal positivo de Δ_B indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga unitária, isto é, para baixo. Se a carga unitária tivesse sido arbitrada para cima, Δ_B resultaria com sinal negativo o que indicaria, também, o sentido correto para baixo da flecha. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 2 Calcular a rotação do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito devida à força cortante. EI = 2 \times 10^5 kNm² (constante) SOLUÇÃO: θ_B = \int_{est} \frac{M_U M_L}{EI} dx FASE L – Estrutura com carregamento real M_L(BA) = -50x - 12,5x^2 \left\{ \begin{align*} & x = 0 & M_L(B) = 0 \\ & x = 3 & M_L(A) = -262,5 kNm \end{align*} \right. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 2 SOLUÇÃO: θ_B = ∫_est (M_U M_L)/(EI) dx M_L(BA) = -50x - 12,5x^2 M_U(BA) = -1 θ_B = ∫_0^3 (-1)×(-50x - 12,5x^2)/(2×10^5) dx θ_B = 1,688×10^-3 rad Como foi arbitrado o sentido horário para a carga unitária e θ_B obtido foi positivo, isto significa que a rotação em B é horária, ou seja, o sentido de θ_B concorda com o sentido do momento unitário. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 2 SOLUÇÃO: FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais: Como o deslocamento procurado é a rotação em B, a carga unitária correspondente a ser adotada é um momento unitário em B. Adotar-se-á o momento unitário no sentido horário: M (U(BA) = -1) Nota-se que na Fase U a convenção de sinais de momento fletor usada foi a mesma do exemplo anterior. 11.3 Método da Carga Unitária Pode-se também utilizar tabelas de integrais de produto de duas funções, ou seja, combinar os diagramas dos esforços solicitantes dos casos envolvidos. TABELA 1: I = ∫f(s)g(s)ds (f(s)) | 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 (1) a ¦ ¦ ¦ |2 laa (...) \ (...) 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 3 Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo, desprezando-se as influências das deformações devidas à força cortante. EI = 2,0 x 10^5 kNm² 1º) Reações de apoio: ΣF_x = 0 F_Ax = 0 ΣF_y = 0 F_Ay + F_By − 20 x 5 = 0 F_Ay = 50 kN ΣM_A^Z = 0 F_By x 5 − 20 x 5 x 5/2 = 0 F_By = 50 kN 2º) Diagrama Momento Fletor. Trecho AB: 0 ≤ x ≤ 5 m M_L(AB) = 50x − 20.x.x/2 M_L(AB) = 50x − 10x² { x = 0 M_L(A) = 0 x = 5 M_L(B) = 0 M_máx = qL²/8 = 62,5 kNm M_máx = 62,5 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 3 1º) Reações de apoio: ΣF_x = 0 F_Ax = 0 ΣF_y = 0 F_Ay + F_By − 1 = 0 F_Ay = 0,7 kN ΣM_A^Z = 0 F_By x 5 − 1 x 1,5 = 0 F_By = 0,3 kN 2º) Diagrama Momento Fletor. Trecho AC: 0 ≤ x ≤ 1,5 m M_U(AC) = 0,7x { M_A = 0 M_C = 1,05 Trecho CB: 1,5 ≤ x ≤ 5 m M_U(CB) = 0,7x − 1(x − 1,5) { M_C = 1,05 M_B = 0 Δ_C = ∫_est (M_U M_L)/(EI) dx Aplicando-se a equação fundamental deslocamento Δ do MCU, tem-se: Δ_C = ∫_0^1,5 (0,7x) x (50x − 10x²)/2 x 10^5 dx + ∫_1,5^5 (0,7x − 1(x − 1,5)) x (50x − 10x²)/2 x 10^5 dx O sinal positivo indica que o deslocamento tem o mesmo sentido ao arbitrado para a carga unitária, isto é, para baixo. Δ_C = 6,617 x 10^−4 m 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 4 Determine o deslocamento vertical da articulação (nó) C da treliça de aço mostrada na Figura. A área de seção transversal de cada elemento é A = 400 mm² e E = 200 GPa. Solução: Δ_C(v) = ∫_est (N_U N_L)/(EA) dx FASE L – Estrutura com carregamento real Cálculo das forças normais que atuam em cada barra da treliça utilizando o método dos nós ou método das seções. Barra N_L AB -100 BC 141,4 AC -141,4 CD 200 1 - 28 Solução: Cálculo das forças normais em cada barra, devido a carga unitária aplicada onde se quer calcular o deslocamento, utilizando o método dos nós ou ou método das seções. FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais: NU Barra 2 2 2 @ 2 @ 2 @ 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 4 Solução: Arranjando os dados em uma tabela, tem-se: Barra N_U N_L L N_UN_LL AB 0 -100 4 0 BC 0 141,4 2,828 0 AC -1,414 -141,4 2,828 565,7 CD 1 200 2 400 Σ 965,7 kN²·m Δ_C(v) = ∫_est (N_UN_L)/(EA) dx Δ_C(v) = Σ_nº barras [N_UN_LL)/(EA)_barra Δ_Cv = 965,7 kN²·m/[400(10⁻⁶) m²] 200(10⁶) kN/m² Δ_Cv = 0,01207 m = 12,1 mm 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 5 Calcular o deslocamento horizontal do nó D do pórtico abaixo, desprezando-se as influências das deformações axiais e da força cortante. EI = 2,0 x 10⁵ kNm² (constante). SOLUÇÃO: Δ_h(D) = ∫_est (M_UM_L)/(EI) dx Σ_H = 0 -H_A + 50 = 0 H_A = 50 kN Σ_V = 0 V_A + V_D = 0 V_A = -30 kN Σ_M_A = 0 V_D x 5 - 50 x 3 = 0 V_D = 30 kN 1 - 31 FASE L – Estrutura com carregamento real VD=30 kN VA=30 kN M+ 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 5 SOLUÇÃO: Δ_h(D) = ∫_est (M_UM_L)/(EI) dx FASE L – Estrutura com carregamento real H_A = 50 kN V_A=30 kN V_D=30 kN M_L(AB) = 50x { x = 0 M_L(A) = 0 x = 3 M_(L)B = 150 kNm M_L(BC) = 150 - 30x { x = 0 M_L(B) = 150 kNm x = 5 M_L(C) = 0 M_L(DC) = 0 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 5 FASE U - Estrutura com carregamento unitário Deslocamento procurado: Δh(D) horizontal ↔ força unitária horizontal em D (arbitrada para a esquerda) ΣH = 0 -HA - 1 = 0 HA = -1 kN ΣV = 0 VA + VD = 0 VA = 0 ΣMA = 0 VD × 5 = 0 VD = 0 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 5 SOLUÇÃO: Δh(D) = ∫ MUML / EI dx FASE U - Estrutura com carregamento unitário Deslocamento procurado: Δh(D) horizontal ↔ força unitária horizontal em D (arbitrada para a esquerda) ΣH = 0 -HA - 1 = 0 HA = -1 kN ΣV = 0 VA + VD = 0 VA = 0 ΣMA = 0 VD × 5 = 0 VD = 0 M MU(AB) = -1x { x = 0 MU(A) = 0 x = 3 MU(B) = -3 kNm MU(BC) = -3 kNm MU(DC) = -1x { x = 0 MU(D) = 0 x = 3 MU(C) = -3 kNm 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 5 SOLUÇÃO: Δh(D) = ∫ MUML / EI dx Observar que foi adotada uma coordenada x acompanhando o eixo de cada barra, com os respectivos sentidos indicados no início da solução para formular as expressões de momento fletor na Fase L e na Fase U. ML(AB) = 50x ML(BC) = 150 - 30x ML(DC) = 0 MU(AB) = -1x MU(BC) = -3 kNm MU(DC) = -1x Δh(D)= ∫0 3 (−1x) × (50x) / 2 × 105 dx + ∫0 5 (−3) × (150 − 30x) / 2 × 105 dx + ∫0 3 (−1x) × (0) / 2 × 105 dx Δh(D) = -7,875 × 10−3 m O sinal negativo de Δh(D) indica que o deslocamento tem o sentido contrário da carga unitária, isto é, para direita. 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 6 1 Fase (L) 1.1 Barra CB: 0 ≤ x ≤ 2 m N: N^{L}_{CB} = -4 kN V \uparrow: V^{L}_{CB} = 2x \quad x = 0 \quad V^{L}_{C} = 0 \quad x = 2 m \quad V^{L}_{B} = 4 kN M: M^{L}_{CB} = \frac{-2x^{2}}{2} \quad x = 0 \quad M^{L}_{C} = 0 \quad x = 2 m \quad M^{L}_{B} = -4 kNm 1.2 Barra BA: 0 ≤ x ≤ 4 m N: N^{L}_{BA} = -4 kN V: V^{L}_{BA} = -4 kN M: M^{L}_{BA} = -4 + 4x \quad x = 0 \quad M^{L}_{B} = -4 kNm \quad x = 4 m \quad M^{L}_{A} = 12 kNm 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 6 2 Fase (U) - Deslocamento vertical em C 2.1 Barra CB: 0 ≤ x ≤ 2 m N: N^{U}_{CB} = 0 V \uparrow: V^{U}_{CB} = 1 kN M: M^{U}_{CB} = -1x \quad x = 0 \quad M^{U}_{C} = 0 \quad x = 2 m \quad M^{U}_{B} = -2 kNm 1.2 Barra BA: 0 ≤ x ≤ 4 m N: N^{U}_{BA} = -1 kN V \uparrow: V^{U}_{BA} = 0 M: M^{U}_{BA} = -2 kNm 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 6 2 Fase (U) - Rotação em C 2.1 Barra CB: 0 ≤ x ≤ 2 m N_U_CB = 0 V_U_CB = 0 M_U_CB = -1kNm 1.2 Barra BA: 0 ≤ x ≤ 4 m N_U_BA = 0 V_U_BA = 0 M_U_BA = -1kNm 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 6 3.1 Equação MCU (flecha em C) M^L_CB = -x^2 M^L_BA = -4 + 4x M^U_CB = -x M^U_BA = -2 kNm δ_v(C) = ∫[0 to 2] (-(x).(-x^2)/4x10^3) dx + ∫[0 to 4] (-2).(-4+4x)/4x10^3 dx δ_v(C) = -7,0x10^-3 m δ_v(C) = 7,0x10^-3 m (↑) 3.2 Equação do MCU (rotação em C) M^L_CB = -x^2 M^L_BA = -4 + 4x M^U_CB = -1kNm M^U_BA = -1 kNm θ_c = ∫[0 to 2] (-(1).(-x^2)/4x10^3) dx + ∫[0 to 4] (-(1).(-4+4x)/4x10^3) dx θ_c = -3,33x10^-3 rad θ_c = 3,33x10^-3 rad (↺) 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicação 7 Determine o deslocamento horizontal do nó C do pórtico abaixo, desprezando-se as influências das deformações axiais e da força cortante pelo MCU, sendo EI constante. Indique direção correta do deslocamento. PΔ = ∫_est (N_uN_L dx/EA) + ∫_est (M_uM_L dx/EI) + ∫_est (V_uχV_L dx/GA) + ∫_est (T_uT_L dx/GJ) Exemplo de aplicação 8 Determine o deslocamento vertical do ponto E da viga ilustrada na figura, situado a 1,5 m do apoio A, considerando a influência da deformação por flexão utilizando o MCU. Indique o sentido correto do deslocamento vertical desse ponto E. Dados: EI = 20400 kNm²; δv(E) = ∫est (MuMl / EI) dx δv(E) = -0,0331 m δv(E) = 0,0331 m(↑) 1 - 43  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Carga Unitária - MCU Pág. 556 e 557 - Prob. 14.103, 14.110; 14.114; 14.115. Pág. 555 - Prob. 14.87; 14.88; 14.89; 14.93; 14.94. 11.3 Método da Carga Unitária – Efeito Térmico Quando um elemento de barra de comprimento dx e de altura h está sujeita somente a uma variação de temperatura uniforme (constante ao longo da altura), o acréscimo dessa temperatura faz com o que, o deslocamento dessa barra seja dada por: Δ = ∫est (Nu dδ) Δ = ∫est (Nu α ΔTCG dx) Nu – esforços solicitantes devido a força unitária; α – coeficiente de dilatação térmica (°C⁻¹); ΔTCG – variação de temperatura no CG da seção transversal (°C); ΔTCG = (T1 + T2) / 2 Para treliças a variação de temperatura é uniforme, assim o deslocamento Δ é dado por: Δ = ∫est (Nu α ΔTCG dx) = Σbarra [Nu α ΔTCG L]barra T1 = T2 1 - 1 Métodos de Energia Conservação de Energia Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas  Dentro desta definição, também é importante compreender os conceitos de trabalho e energia, para que, então, o estudo possa ser aprofundado através da utilização:  do trabalho virtual;  da energia de deformação;  da energia potencial;  da energia complementar. 1 - 2  A análise estrutural se reveste de fundamental importância na engenharia, uma vez que compreende a idealização do comportamento das estruturas que é definida em função de diversos parâmetros.  Em geral, o objetivo da análise estrutural é determinar esforços internos e externos (esforços solicitantes e reações de apoio) e as correspondentes tensões resultantes, bem como a determinação dos deslocamentos e deformações da estrutura.  Com isso, o desenvolvimento de métodos derivados de teoremas como: 1 - 3  Além disso, com a criação e desenvolvimento de software, a análise estrutural passou a ser vista de forma mais amigável, sendo que esses programas são ótimas ferramentas para simular o comportamento das estruturas.  Todos esses conceitos permitem que o comportamento das estruturas seja melhor compreendido.  Passaram a se mostrarem eficientes, permitindo a obtenção de resultados mais precisos no estudo de estruturas lineares e não-lineares, com efeitos de instabilidade.  1º e 2º Teoremas de Castigliano;  Teorema de Crotti-Engesser;  Teorema Recíproco de Maxwell. 1 - 24 Solução: Determine o deslocamento vertical (∆v(c) = vc) no ponto C , utilizando o método da conservação de energia. Fx 1 - 26  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Energia de Deformação Pág. 529 - Prob. 14.9; 14.16; 14.17 e 14.21. Pág. 528 - Prob. 14.2; 14.3; 14.4; 14.6.  Conservação de Energia Pág. 534 - Prob. 14.26; 14.27; 14.28; 14.29; 14.31; 14.32; 14.33; 14.34. 1 - 1 Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas “Deflexão” (Flecha) em Vigas e Eixos Parte 1 - Isostática 12 - 2 Capítulo 12- “Deflexão” (Flecha) em Vigas e Eixos 12.1 Equação diferencial da Linha Elástica 12.2 Exemplo de Aplicação 12.3 Funcão de singularidade ou descontinuidade R. C. Hibbeler Pearson Education do Brasil 12 - 12  Convenções de sinal da equação da LE 12 - 13  Convenções de sinal da equação da LE Variação de x da esquerda para direita Variação de x da direita para esquerda 12 - 27 Pág. 431 - Prob. 12.2; 12.11; 12.12; 12.14; 12.15; 12.22. Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler): 12 - 40 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler): Utilizando o processo da integração direta com a equação geral, de forma a minimizar a quantidade de constantes a serem determinadas (Funções de descontinuidade): Pág. 440 - Prob. 12.39; 12.41; 12.42; 12.43; 12.45; 12.47. Pág. 455 - Prob. 12.89; 12.90; 12.94; 12.97; 12.102. 1 - 1 “Deflexão” (Flecha) em Vigas e Eixos Parte 2 - Hiperestática Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas 12 - 17 = (c1 ) (c2 ) Sistema 1 Sistema 2 Sistema original 12 - 31 Pág. 460 - Prob. 12.104; 12.105; 12.106; 12.108; 12.109 e 12.110.  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Superposição Pág. 472 e 473 - Prob. 12.123; 12.124; 12.127 e 12.129.  Método da Integração - Estruturas hiperestáticas  Estruturas Isostáticas  Estruturas Hiperestáticas Pág. 455 e 456 - Prob. 12.89; 12.90; 12.91; 12.92 e 12.95. 12 - 37 Determine o deslocamento vertical na extremindade B da tira de aço A-36 e as expressões da rotação e da flecha utilizando a equação diferencial da LE. A rigidez da mola é k = 2N/mm e a rigidez à flexão EI = 83,33 x 106 Nmm² Ay B MA Ax 12 - 41 Pág. 460 - Prob. 12.104; 12.105; 12.106; 12.108; 12.109 e 12.110.  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Integração ou utilizando a Equação diferencial da Linha Elástica - Estruturas hiperestáticas 1 - 1 Métodos de Energia Segundo Teorema de Castigliano Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas 1 - 10  O resultado mostrará que o deslocamento é expresso em relação às cargas reais e fictícias.  Por fim, igualando-se a carga fictícia a zero na expressão final, obtém-se o deslocamento desejado devido às cargas reais.  OBSERVAÇÕES:  O Segundo Teorema de Castigliano só pode ser aplicado no cálculo de deslocamentos que correspondam às cargas atuantes na estrutura.  Dessa forma, consegue-se fazer o cálculo do deslocamento usando o Segundo Teorema de Castigliano.  OBSERVAÇÕES:  Para calcular o deslocamento em uma região sem aplicação de carga, será necessário colocar uma carga fictícia na estrutura, equivalente ao deslocamento desejado. A B 1 - 21  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Segundo Teorema de Castigliano Pág. 565 - Prob. 14.133; 14.134; 14.135; 14.139; 14.147; 14.155; 14.158. 1 - 26 Determine os diagramas dos esforços solicitantes do pórtico da figura abaixo.