Slide - Deflexão e Momento - 2024-1

Deflexão, Inclinação e Momento – Relações Diferenciais Alberto B. Vieira Jr. UFBA – Escola Politécnica Depto. de Construção e Estruturas ENG301 Já que é importante considerar os deslocamentos na análise e no projeto das estruturas, em que se baseia a teoria que permite prever a magnitude e o sentido desses deslocamentos ? DESLOCAMENTOS SOLICITAÇÕES Esforços solicitantes (N, V, M, T) PROPRIEDADES DO MATERIAL E, n, G, fy, fu GEOMETRIA DA ESTRUTURA Comprimento, forma, seção transversal, etc. APOIOS OU VÍNCULOS Apoios fixos, apoios móveis, engastes (*)Obs.: Já vimos quais são os fatores que influem sobre os deslocamentos: R.: Pode-se chegar a uma função que descreve o comportamento da deflexão (deslocamento) ao longo de uma barra, usando a relação diferencial que existe entre a deflexão e o momento em cada ponto da barra. Leonhard Paul Euler (1707-1783) Matemático e físico suiço (Fonte: Commons Wikimedia) Daniel Bernoulli (1700-1782) Matemático e físico holandês (Fonte: Commons Wikimedia) Teoria de Euler-Bernoulli Jakob Bernoulli (1654-1705) Matemático e físico suiço (Fonte: Commons Wikimedia) C. L. M. H. Navier (1785-1836) Engenheiro e matemático francês (Fonte: Commons Wikimedia) Relação diferencial v × M Bases para a obtenção da relação diferencial entre Deslocamento na direção y e Momento Fletor Relação curvatura × deflexão k × v Relação tensão × curvatura s × k Relação curvatura × momento k × M E×I M k = d2v k = d_x2 sx =-.E×k×y Relação curvatura × deflexão k × v d2v k = d_x2 dx ds 1 k × dq dv dx q dq x 1 k q q +.dq dx dv ds y dq = dx k → d2v dq = d_x2 dx → r r a b Lei de Hooke : Relação tensão × curvatura s × k sx = E×ex Lab = × dx - .y 1 k 1 k Lab = dx-.k×y×dx L = L0.+.e×L0 ex =-.k×y K.(+) y (+) → ex.(-) dx 1 k y 1 k-.y sx = -.E×k×y → (*)Obs.: M = Mz I = Iz Relação curvatura × momento k × M Mz =.- (sx×dA)×y A Mz =.- (-E×k×y)×y×dA A Mz =.E×k× y2 ×dA A Mz =.E×k×Iz Mz = E×Iz k → E×I M k = x y z LN y dA sX×dA Mz sx.(-) → Mz.(+) A partir da função Momento Fletor M, da rigidez à flexão EI, e das condições de contorno da viga, pode-se obter, por integração, a função Deslocamento v (na direção y) ao longo da viga. Relação diferencial Deflexão × Momento v × M E×I M k = d2v k = d_x2 d2v = d_x2 E×I M Relações Diferenciais para Vigas Prismáticas v(x) dM dx = V dV dx =-q dq dx = M E×I dv dx = q d2v d.x.2 = M E×I d4v d.x.4 = -q E×I d3v d.x.3 = V E×I dv dx = q v(x) Eq. Dif. da Linha Elástica para maiores deflexões – Uso da expressão exata da curvatura Equações diferenciais para o caso de vigas não prismáticas: Derivando os dois lados em relação a x → Derivando novamente → (*)Obs.: A resolução normalmente ocorre através de métodos numéricos = M E×I d2v d.x.2 d2v d.x.2 1.+ 2 3 2 k = d2v d.x.2 E×I(x)× = M d2v d.x.2 E×I(x)× = -q d2 d.x2 d2v d.x.2 E×I(x)× = V d dx Exemplo: Determine a Equação do Momento Fletor da viga, a partir da Equação da Linha Elástica e das características da viga v = 0,003472 x.3 – 0,0001157 x.5 – 0,02185 x (m) -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 v (m) -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 v (m) 1,558 -0,0220 Exemplo (cont.) v = 0,003472 x.3 – 0,0001157 x.5 – 0,02185 x (m) d2v d.x.2 = M E×I → M = E×I × d2v d.x.2 M = E×I × d d.x. ( 0,010416 x.2 – 0,0005785 x.4 – 0,02185 ) M = E×I × ( 0,020832 x – 0,002314 x.3 ) M = 86,4 × ( 0,020832 x – 0,002314 x.3 ) → M = 1,8 x – 0,2 x.3 ou M = 1,8 x – 1,2 x.3 6 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 M (kNm) 2,078 1,732 (*)Obs.: Neste exemplo, obteve-se, por derivação, a Eq. de Mom. Fletor a partir da Eq. da Linha Elástica e do conhecimento da rigidez à flexão (Produto EI). O usual, no entanto, é o oposto, ou seja, determinar, por integração, a Eq. da Linha Elástica a partir da Eq. de Mom. Fletor e do conhecimento do Produto EI e das condições de contorno. Exemplo (cont.) -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 v (m) 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 M (kNm) 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 M (kNm) -4,000 -3,000 -2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000 3,000 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 V (kN) -0,03000 -0,02000 -0,01000 0,00000 0,01000 0,02000 0,03000 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 q (rad) 0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0 q (kN/m)