Lista - Álgebra Linear 2021 2

1. (2 pontos) Considere o sistema linear S: x +2y - z = 7 x + y +2z = 3 nas incógnitas x, y e z. 2x +3y + z = k a) Determine um sistema escalonado equivalente ao sistema S. A seguir, classifique o sistema S a partir dos possíveis valores de k ∈ R. Justifique sua resposta. b) Substitua o valor de k que torna o sistema S possível indeterminado (com infinitas soluções). A seguir, resolva-o, apresentando o conjunto solução. 2. (2 pontos) Uma matriz quadrada A é chamada matriz ortogonal se for inversível e se A−1 = Aᵗ. Determine os possíveis valores de x, y e z, caso existam, de modo que a matriz A = ( 1 0 0 x y z 0 1/√2 1/√2 ) seja ortogonal. 3. (2 pontos) Mostrar, usando a definição, que o conjunto de pontos do R² que pertencem a uma reta que passa pela origem (0,0) é um subespaço vetorial do R². W = {(x,y) ∈ R² |y = ax, com a ∈ R e a ≠ 0} 4. (2 pontos) Determine uma base e a dimensão do subespaço do R⁴: W = {(x, y, z, t) ∈ R⁴ | x − y = 0 e x + 2y + t = 0} 5. (2,0 pontos) Sejam os seguintes subespaços de P₃(R): U = {p(x) ∈ P₃(R) tal que p(0) = p(1) = 0} e V = {p(x) ∈ P₃(R) tal que p(−1) = 0}. a) Determine um conjunto de geradores e uma base para cada um dos subespaços U,V,U ∩ V e U + V. b) Determine as coordenadas do polinômio p(x) = 10 + x² + 2x³ em relação à base que você encontrou para o subespaço U + V no item (a).