Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração - 6ª Edição

Cálculo A Funções limite derivação e integração 6ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA Diva Marília Flemming Mirian Buss Gonçalves PEARSON Números Reais Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos Assim ao estudarmos limite continuidade derivadas e integrais dessas funções usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais Neste primeiro capítulo vamos fazer uma revisão no contexto do conjunto dos números reais Enunciaremos os axiomas básicos deduziremos propriedades e apresentaremos exemplos com estas propriedades 11 Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais Temos então o conjunto N 1 2 3 Os números 1 2 3 são chamados inteiros negativos A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero 0 define o conjunto dos números inteiros que denominamos por Z 0 1 2 3 Os números da forma mn n 0 m n Z são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais Denotamos Q xx mn m n Z n 0 Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mn n 0 m Z tais como 2 1414 π 314159 e e 271 Esses números formam o conjunto dos números irracionais que denominamos por Q Da união do conjunto dos números racionais com conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais que denominamos por R Q Q A seguir apresentaremos os axiomas definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais Cálculo A Funções limite derivação e integração 6ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA Com sua primeira edição publicada há quase vinte anos Cálculo A é uma obra de referência nos cursos de cálculo diferencial e integral Esta sexta edição completamente revista e atualizada pelas autoras mantém a estrutura das edições anteriores abordando os conteúdos de números reais funções limite e continuidade derivada aplicações de derivada introdução à integração métodos de integração e aplicações da integral definida Como novidades o leitor encontrará uma melhor apresentação das figuras que ilustram os problemas aplicações de funções em diversas áreas especialmente a de economia a inclusão do conteúdo de integrais impróprias e novas abordagens para conteúdos que contemplam o advento do uso de novas tecnologias Exercícios para serem resolvidos com recursos computacionais complementam a estrutura didática do livro Escrito para ser usado como livrotexto de cálculo nas disciplinas que abrangem as funções reais de uma variável tanto dos cursos de matemática física química e engenharia quanto dos cursos das áreas socioeconômica e de ciências biológicas wwwprenhallcomcalculobr Prentice Hall é um selo da PEARSON wwwpearsoncombr Limite e Continuidade Derivada Aplicações da Derivada Cálculo A Funções limite derivação e integração Métodos de Integração Aplicações da Integral Definida Apêndice A Tabelas Cálculo A Funções limite derivação e integração 111 Fechamento Se a b ℝ existe um e somente um número real denotado por a b chamado soma e existe um e somente um número real denotado por ab ou a b ou a b chamado produto 112 Comutatividade Se a b ℝ então a b b a e a b b a 113 Associatividade Se a b c ℝ então a b c a b c e a b c a b c 114 Distributividade Se a b c ℝ então a b c ab ac 115 Existência de Elementos Neutros Existem 0 e 1 ℝ tais que a 0 a e a 1 a para qualquer a ℝ 116 Existência de Simétricos Todo a ℝ tem um simétrico denotado por a tal que a a 0 117 Existência de Inversos Todo a ℝ a 0 tem um inverso denotado por 1a tal que a 1a 1 Usando 116 e 117 podemos definir a subtração e a divisão de números reais 118 Subtração Se a b ℝ a diferença entre a e b denotada por a b é definida por a b a b 119 Divisão Se a b ℝ e b 0 o quociente de a e b é definido por ab a 1b Apêndice B Respostas dos Exercícios Cálculo A Funções limite derivação e integração 12 Desigualdades Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem 121 Axioma de Ordem No conjunto de números reais existe um subconjunto denominado números positivos tal que i se a ℝ exatamente uma das três afirmações ocorre a 0 a é positivo a é positivo ii a soma de dois números positivos é positiva iii o produto de dois números positivos é positivo 122 Definição O número real a é negativo e se somente se a é positivo 123 Os símbolos menor que e maior que são definidos i a b b a é positivo ii a b a b é positivo 124 Os símbolos menor ou igual que e maior ou igual que são definidos i a b a b ou a b ii a b a b ou a b Expressões que envolvem os símbolos definidos acima são chamados de DESIGUALDADES a b e a b são desigualdades estritas enquanto a b e a b são desigualdades não estritas Cálculo A Funções limite derivação e integração Vamos provar algumas das propriedades citadas Prova da Propriedade i x a a x a onde a 0 Provaremos por partes Parte 1 a x a com a 0 x a Se x 0 x x Como por hipótese x a vem que x a Se x 0 x x Como x a aplicando a propriedade 125 iii concluímos que x a Assim x x a ou seja x a Parte 2 x a onde a 0 a x a Se x 0 então x a concluímos que x a Como a 0 segue que a 0 e então a 0 x ou seja a x a Se x 0 x x Como por hipótese x a temos que x a Como x 0 segue que x 0 Portanto a 0 x ou de forma equivalente a x a Prova da Propriedade iii Se a b ℝ então a b a b Usando 132 vem ab ab² a² b² b² a ab Prova da Propriedade iv Se a b ℝ e b 0 então ab ab Usando 132 vem ab a²b² a²b² ab b 0 Prova da Propriedade v Se a b ℝ então a b a b Como a b ℝ de 121 i vem que ab é positivo negativo ou zero Em qualquer caso vale 2ab ab Da igualdade a b² a² 2ab b² e vem que a b² a² 2ab b² a b² a b² Tomamos a raiz quadrada de 3 e obtemos a b a b Prova da Propriedade vi Se a b IR então a b a b Basta escrever a b a b e aplicar a propriedade v a b a b a b a b Prova da Propriedade vii Se a b IR então a b a b Vamos fazer a b c Aplicando a propriedade v vem a c b c b a b c a b a b 14 Intervals Intervals são conjuntos infinitos de números reais como segue 141 Intervalo Aberto x a x b denotase a b ou a b 142 Intervalo Fechado x a x b denotase a b 143 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda x a x b denotase a b 144 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda x a x b denotase a b ou a b 145 Intervals Infinitos i x x a denotase a ou a ii x x a denotase a ou a iii x x b denotase b ou b iv x x b denotase b iii fracxx 7 5 x 7 Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x 7 Devemos então considerar dois casos Caso 1 x 7 0 ou x 7 Então x 5x 7 propriedade 125 iv x 5x 35 propriedade 125 ii 5x 35 5x propriedade 125 iv 4x 35 x 354 propriedade 125 iii Portanto x x 6 x x 354 7 é a solução do caso 1 Caso 2 x 7 0 ou x 7 Então x 5x 7 x 5x 35 x 354 Portanto x x 7 x x 354 354 é a solução do caso 2 Cálculo A Funções limite derivação e integração Geometricamente 2 Resolve as equações i 5x 3 7 Esta equação é verdadeira quando 5x 3 7 ou 5x 3 7 ou seja x 2 ou x 45 Portanto as duas soluções da equação dada são x 2 e x 45 ii 7x 1 2x 5 Esta equação será satisfeita se Caso 1 7x 1 2x 5 7x 2x 5 1 5x 6 x 65 Caso 2 7x 1 2x 5 7x 1 2x 5 7x 2x 5 1 9x 4 x 49 Portanto a solução final é x 65 e x 49 iii 9x 7 7 Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo 3 Encontre os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades 7x 2 4 Aplicando a propriedade 133 i 4 7x 2 4 4 2x 2 2 4 2 2 7x 67 Portanto x 27 67 Aplicando a propriedade 133 iv 7 2x 2 4 x 2 7 2x 24 x Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado vem 49 28x 4x² 416 8x x² 49 28x 4x² 64 32x 4x² 49 28x 64 32x 4x² 0 60x 15 0 60x 15 60x 15 x 1560 x 14 ou x 14 iii 3 2x 4 x 2 13 2x 4 12 x 9 12x 4x² 164 4x x² 9 12x 4x² 64 64x 16x² 12x² 76x 55 0 12x² 76x 55 0 12x 56x 112 0 x 56x 112 0 Procedendo como no exemplo 1 iv concluímos que a solução final será a união de 112 e 56 Cálculo A Funções limite derivação e integração Caso 1 x a 0 e x b 0 ou x a e x b A solução deste caso será x b Caso 2 x a 0 e x b 0 ou x a e x b A solução deste caso será x a ou a Portanto a solução final é a união entre a e b ou seja x a b De maneira análoga podemse provar as demais relações 16 Exercícios 1 Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo Fazer a representação gráfica a 3 x 5 3x b 2x 5 13 3x4 1 x3 c 2 3 3x 7 d 5x 34 e x² 9 f x² 3x 2 0 g 1 x 2x² 0 h x 12 x2 x 3 x i x² 1x 4 0 j x⁴ x² k 12x 34 x 1 l x³ x² x 2 0 m 3 x 2 n x³ 3x 2 0 o 8x³ 4x² 2x 1 0 2 Resolver as equações em IR a 15x 3 12 b 1 4 12x 7 c x 2x 2 5 d f 3x 2 5 x Funções 21 Definição 3 Resolver as inequações em IR Cálculo A Funções limite derivação e integração 282 Exemplos i O gráfico da função fx x² consiste em todos os pares x y ℝ² tais que y x² Em outras palavras é a coleção de todos os pares x x² do plano xy A Figura 21 nos mostra o gráfico desta função onde saímos alguns pontos de acordo com a tabela iv Seja fx x Quando x 0 sabemos que fx x Quando x 0 fx x O gráfico de x pode ser visto na Figura 24 A partir de n2 o acréscimo no número de operários implicará uma diminuição na produtividade 29 Operações Assim como podemos adicionar subtrair multiplicar e dividir números também podemos produzir novas funções através de operações Essas operações são definidas como segue Sejam fx 2x 3 e gx x Encontrar a gf b fg c ff e d gg Cálculo A Funções limite derivação e integração 210 Exercícios 1 Se fx x² 4x 1 achar a f0 b f2 c f12 d fx 2 e f12 f fr² Cálculo A Funções limite derivação e integração CAPÍTULO 2 Funções Cálculo A Funções limite derivação e integração Exemplos i A função fx x 1x 1 é função racional de domínio Df IR 1 Figura 219 ii A função fx x² 3x 4x² 9x² x 12x 3 é racional de domínio Df IR 4 3 3 Figura 220 O número T é chamado período da função fx O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T Exemplos i Mais adiante mostraremos que as funções trigonométricas fx sen x e fx cos x são periódicas de período T 2π ii A função constante é periódica e tem como período qualquer número T 0 iii A Figura 221 mostra gráficos de outras funções periódicas Seja y fx uma função de A em B ou f A B Se para cada y B existir exatamente um valor x A tal que y fx então podemos definir uma função g B A tal que x gy A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f¹ Exemplos i A função f R R definida por y 2x 5 tem como função inversa f¹ R R definida por x 12y 5 ii A função f R 3 R f¹ definida por y x 13 x admite a função inversa f1 R 1 R 3 definida por x 11 3y y 1 Cálculo A Funções limite derivação e integração 2152 Função Logarítmica Dado um número real a 0 a 1 chamamos função logarítmica de base a a função de R em R que se associa a cada x o número loga x isto é f R R x y loga x As funções f de R em R definida por fx loga x e g de R em R definida por gx ax 0 a 1 são inversas uma da outra Temos Df R e Imf R Com relação ao gráfico da função fx loga x 0 a 1 Figura 226 podemos afirmar 1 está toda à direita do eixo y 2 corta o eixo das abscissas no ponto 1 0 3 fx loga x é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 4 é simétrico ao gráfico da função gx ax em relação à reta y x Figura 226 2153 Funções Trigonométricas FUNÇÃO SENO Seja x um número real Marcamos um ângulo com medida x radianos na circunferência unitária com centro na origem ver Figura 227 Seja P o ponto de interseção do lado terminal do ângulo x com essa circunferência CAPÍTULO 2 Funções Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada x R faz corresponder o número real y sen x isto é f R R x y sen x O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo 1 1 A função y sen x é periódica e seu período é 2π já que sen x 2π sen x Em alguns intervalos a função sen x é crescente e em outros é decrescente Por exemplo nos intervalos 0 π2 e 3π2 2π sen x é crescente Já no intervalo π2 3π2 ela é decrescente O gráfico da função fx sen x denominado senóide pode ser visto na Figura 228 FUNÇÃO COSSENO Seja x um número real Denominamos cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P em relação ao sistema U 0 V Figura 227 Definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada x R faz corresponder o número real y cos x isto é f R R x y cos x O domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo 1 1 Para todo y R temos cos x 2π cos x Portanto a função cosseno é periódica e seu período é 2π Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente Por exemplo no intervalo 0 π a função fx cos x é decrescente Já no intervalo π 2π ela é crescente O gráfico da função fx cos x denominado cossenoide pode ser visto na Figura 229 FUNÇÃO TANGENTE COTANGENTE SECANTE E COSSECANTE Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno As funções tangente e secante são respectivamente denotadas pelos símbolos tg e sec e definidas por tg x sen x cos x sec x 1 cos x para todos os números reais x tais que cos x 0 Cálculo A Funções limite derivação e integração As funções cotangente e cosecante são respectivamente denotadas por cotg e cosec e definidas por cotg x cos x sen x cosec x 1 sen x para todos os números reais x tais que sen x 0 O domínio das funções tg e sec é o conjunto de todos os números reais x para os quais cos x 0 Comocos x 0 quando x π2 3π2 5π2 isto é quando x π2 nπ n Z temos Dtg Dsec x R x π2 nπ n Z Analogamente o domínio das funções cotangente e cosecante é o conjunto de todos os números reais x para os quais sen x 0 Como sen x 0 para x nπ n Z temos Dcotg Dcosec x R x nπ n Z Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 230 Podemos observar que as funções tangente e cotangente são periódicas de período π e que as funções secante e cosecante são periódicas de período 2π Figura 230 2154 Funções Trigonométricas Inversas Conforme definição da seção 214 sabemos que é impossível definir uma função inversa para a função y sen x porque a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores x Portanto para definirmos a função inversa de y sen x precisamos restringir o domínio Esse fato ocorre com todas as demais funções trigonométricas FUNÇÃO ARCO SENO Seja f π2 π2 1 1 a função definida por fx sen x A função inversa da fx será chamada arco seno e denotada por f1 1 1 π2 π2 onde f1x arc sen x Simbolicamente para π2 y π2 escrevemos a equivalência y arc sen x sen y x O gráfico desta função nos mostra uma função crescente Figura 231 Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio y sen x a qualquer dos seguintes intervalos π2 3π2 3π2 5π2 5π2 7π2 ou 3π2 π2 5π2 3π2 7π2 5π2 FUNÇÃO ARCO COSSENO Seja f 0 π 1 1 a função definida por fx cos x A função inversa de f será chamada arco cosseno e denotada por f1 1 1 0 π onde f1x arc cos x Simbolicamente para 0 y π escrevemos y arc cos x x cos y O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente Figura 232 Cálculo A Funções limite derivação e integração De fato utilizando o triângulo retângulo Figura 233 temos α β π2 e x sen α cos β Portanto α sen x e β arc sen x arc cos x Concluímos que arc cos x π2 arc sen x FUNÇÃO ARCO TANGENTE A função inversa da tangente é definida para todo número real Seja f π2 π2 R a função definida por fx tg x A função inversa de f será chamada função arco tangente e denotada por f1 π2 π2 onde f1x arc tg x Simbolicamente para π2 y π2 escrevemos y arc tg x x tg y O gráfico nos mostra que quando x se torna muito grande arc tg x aproximase de π2 Quando x se torna muito pequeno arc tg x se aproxima de π2 É uma função crescente ver Figura 234 CAPÍTULO 2 Funções 2155 Funções Hiperbólicas As expressões exponenciais ex ex 2 e ex ex 2 ocorrem frequentemente na Matemática Aplicada Estas expressões definem respectivamente as funções seno hiperbólico de x e cosseno hiperbólico de x O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO A função seno hiperbólico denotada por senh e a função cosseno hiperbólico denotada por cosh são definidas respectivamente por senh x ex ex 2 cosh x ex ex 2 O domínio e a imagem das funções senh e cosh são D senh D cosh 1 O gráfico da função sinh é dado na Figura 236 a Pode ser obtido pelo método chamado adição de ordenadas Para usar essa técnica esboçamos os gráficos das funções 12 ex 12 ex tracejados e somamos as respectivas ordenadas Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh Figura 236 b A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível uniforme cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura Na Figura 237 desenhamos um fio de telefone ou de luz Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola No entanto é possível mostrar que a equação correspondente é y cosh xa a IR Esta curva recebe a denominação catenária cosech x 1sinh x 2ex ex Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 238 Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas Por exemplo podese verificar que cosh² u sinh² u 1 Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos² u sen² u 1 e pode ser usada para justificar o adjetivo hiperbólico nas definições De fato a identidade cosh² u sinh² u 1 mostra que o ponto P de coordenadas cosh u sinh u está sobre a hipérbole unitária x² y² 1 Fazendo u variar no conjunto dos reais o ponto P descreve o ramo direito da hipérbole Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo como ocorre nas funções trigonométricas Na Figura 239 a representamos o círculo unitário onde demarcamos um ponto P cos t sen t A área Ac do setor circular QOP é dada por Ac 12 t 1² 12 t e portanto t 2Ah Uma relação análoga a esta é válida para as funções hiperbólicas De fato é possível mostrar que a área Ah do setor hiperbólico QOP da Figura 239 b é dada por Ah 12 u e dessa forma u 2Ah Relacionamos abaixo outras identidades que podem facilmente ser verificadas tgh u 1coth u 1 tgh² u sech² u e 1 coth² u cosech² u Funções Hiperbólicas Inversas Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas Para isso devemos nos lembrar das definições da seção 2155 e observar os gráficos das Figuras 236a e b e 238 FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO Analisando o gráfico da função y sinh x Figura 236a vemos que a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio Assim podemos definir a função inversa A função inversa do seno hiperbólico chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg sinh é definida como segue y arg sinh x x sinh y Temos D arg sinh x Im arg sinh x IR O gráfico da função arg sinh pode ser visto na Figura 240 Ele é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função seno sobre a reta y x FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir o seu domínio pois como podemos ver no seu gráfico Figura 236b a cada valor de y na imagem exceto y 1 correspondem dois valores de x no domínio Seja f 0 1 a função dada por fx cosh x A sua função inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh Simbolicamente para y 0 escrevemos y arg cosh x x cosh y INVERSE OF THE HYPERBOLIC SECANT FUNCTION Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico para definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio Seja f 0 0 1 a função dada por fx sech x A sua função inversa é denotada por arg sech Para y 0 temos y arg sech x x sech y Na Figura 243 podemos ver o esboço do gráfico da função arg sech Resolvendo esta equação para ey pela fórmula quadrática obtemos ey 2x 4x² 4 2 x x² 1 Como ey 0 para qualquer y a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada Portanto ey x x² 1 Tomando o logaritmo natural temos y ln x x² 1 ou seja arg senh x ln x x² 1 Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão A companhia exige de cada passageiro R 90000 mais uma taxa de R 1000 para cada lugar vago Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia Qual a leitura prática que pode ser feita do gráfico da Figura 244 a A leitura prática que se faz da reta de restrição orçamentária é que o aumento dos gastos de um setor acarretará a diminuição dos gastos com o outro Solução a Observando a terceira coluna da tabela dada apesar da variação poderíamos supor que a taxa é razoavelmente constante e aproximala de 13 O ano 1940 corresponde a observação no instante t 0 Nossa unidade de tempo intervalo entre observações é de dez anos Dessa forma t 1 corresponde a 1950 t 2 a 1960 e assim sucessivamente Temos então as seguintes estimativas para a população Ano Valor de t Valor de P 1940 0 41165289 130 1950 1 41165289 131 1960 2 41165289 132 1970 3 41165289 133 1980 4 41165289 134 Extrapolando para um tempo qualquer t vem Pt 41165289 13t Esse modelo é conhecido como modelo de crescimento exponencial Usando esse modelo podemos prever a população para o ano 2000 O ano 2000 corresponde a t 6 Portanto a população prevista para o ano 2000 é dada por P6 41165289 136 198696000 pessoas b Como a população brasileira era de 169799170 no ano 2000 segue que a previsão obtida apresenta um erro para mais de aproximadamente 17 em relação à população observada 6 Decaimento Radioativo A massa de materiais radioativos tais como o rádio o urânio ou o carbono14 se desintegra com o passar do tempo Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meiavida desses materiais A meiavida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade Denotando por M0 a massa inicial correspondendo ao instante t 0 e por M a massa presente num instante qualquer t podemos estimar M pela função exponencial dada por M M0 eKt 1 sendo K 0 uma constante A equação 1 é conhecida como modelo de decaimento exponencial A constante K depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meiavida dele Sabendo que a meiavida do carbono14 é de aproximadamente 5730 anos determinar a a constante K do modelo de decaimento exponencial para esse material b a quantidade de massa presente após dois períodos de meiavida no instante t 0 a massa era M0 c a idade estimada de um organismo morto sabendo que a presença do carbono14 neste é 80 da quantidade original Solução a A meiavida do carbono14 é de aproximadamente 5730 anos Assim supondo a massa inicial M0 devemos determinar o valor de K tal que M02 M0 eK cdot 5730 Resolvendo esta equação exponencial com o auxílio de logaritmos vem 12 e5730K ln12 5730K K ln25730 00001209 Logo o modelo de decaimento exponencial para o carbono14 é dado por M M0 e00001209t 2 b Para um material radioativo qualquer após dois períodos de meiavida a massa presente será M 1212 M0 14 M0 Usando o modelo de decaimento exponencial do carbono14 podemos comprovar empiricamente este resultado Temos M M0 e00001209t Para t 11460 vem M M0 e00001209 cdot 11460 025 M0 c Temos M 08 M0 Usando a equação 2 vem 08 M0 M0 e00001209t ln08 00001209t ln0800001209 1846 anos O custo total CT teoricamente é a soma dos custos variáveis com os custos fixos CT CF CV Como o domínio da função custo é dado por q 1 segue que o domínio da função inversa é dado por C 54 Inicialmente vamos escrever a função lucro total Lq Rq Cq 120q q² 20q 475 q² 100q 475 fT a T b 0 Assim temos que b I a I T e ft I T I que é uma função do primeiro grau decrescente Quando o valor residual é r 0 podemos escrever f0 a 0 b I e fT a T b r Dessa forma b I a r I T e ft r I T I que é uma função do primeiro grau decrescente muito usada para analisar a depreciação de equipamentos Observamos que esta função só tem significado para o domínio t 0 T Para exemplificar vamos supor que um notebook foi comprado por R 420000 e a estimativa de vida útil é de 5 anos Supondo um valor residual de R 80000 qual é o valor contábil ao término de 3 anos Para este exemplo temos f0 4200 e f5 800 Assim ft 680t 4200 Logo o valor contábil ao término de 3 anos é f3 2160 ou seja R 216000 6 Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares a fx 3x4 2x2 1 b fx 5x3 2x c fs s2 2s 2 d ft t6 4 e fy y3 y f fx x g fx x 1 x 1 h fx 1 1 x i fx lnx 1 x2 j fx x 1 x2 7 Demonstre que se f e g são funções ímpares então f g e f g são também funções ímpares 8 Demonstre que se f e g são funções ímpares então f g e fg são funções pares 9 Mostre que a função 12 fx fx é par e que a função 12 fx fx é ímpar 10 Demonstre que qualquer função f ℝ ℝ pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar 11 Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar a fx x2 2 b fx x3 1 c fx x 1 x 1 d fx x x 1 Cálculo A Funções limite derivação e integração Capítulo 2 Funções Cálculo A Funções limite derivação e integração A locadora A aluga um carro popular ao preço de R 3000 a diária mais R 020 por quilômetro rodado A locadora B faz por R 4000 a diária mais R 010 por quilômetro rodado Qual a locadora você escolheria se você pretendesse alugar um carro por um dia e pagar o menos possível Justifique algebricamente e graficamente O objetivo deste capítulo é discutir a definição de limite de diferentes formas Inicialmente apresentase a noção intuitiva usando exemplos de sucessões numéricas Em seguida apresentamos tabelas e gráficos que auxiliam na visualização do limite da função A definição formal é apresentada propiciando a demonstração de propriedades que serão usadas no cálculo de limites e finalmente é apresentado o conceito de continuidade das funções Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que y 1 quando x Denotase lim 1 1x 1 Observando a Figura 33 e a Tabela 33 ainda podemos dizer que y quando x 1 através de valores maiores do que 1 e y quando x 1 através de valores menores do que 1 Nesse caso estamos nos referindo aos limites laterais denotados por