Transformações Lineares e Matrizes: Questões e Respostas

Aluna Camila Bozada Moreas Matrícula 20200058741 Questões 1 a T R²R² Txyx2y 3xy Dados μxyxvxy α ℝ i σ0 T00 00 ii Tμv Tμ Tv Txxyy 3xxyy xx2yy 3xxyy x2yx2y 3xy3xy Txy Txy TμTv iii αTμ αx2y 3xy αxy α3xy Txy xy x2y 3xy Portanto é uma transformação linear b T R³R² Txyz2xyz y4z Dados μxyzxyzy α ℝ i σ0 T000 00 ii Tμv TμTv iii αTμ αTα y z Portanto é uma transformação linear T M₂₂M₃ β matriz fixa e TA AB Dados Matrizes A₁ matriz A₂ e α ℝ i T0 0 T0 000 ii TA₁A₂ TA₁TA₂ TA₁ A₂B A₁B A₂B TA₁ TA₂ iii αTA TαA cc TA₁ ccA₁B αA₁B TαA₁ Portanto é uma transformação linear β v₁ v₂ v₃ do R³ v₁ 111 v₂ 110 v₃ 100 T R³R² Tv₁a₁a₁ Tv₂100 Tv₃151 000a₁111b110c100 Txyza111b10 Txyz a b c0 c0 a b c0 c0 a0 a0qa0 a2 b2 Txyza b cxyz c2 T lxyz 2s₁s₂y2301xgxs1 P 22 3y 2 x g 2 5y g 12 y z xg D 7 4y x2 5x g32 x Fórmula da transformação T245116215452321591 Tv₁ 112 Tv₂ 032 Tv₃ 312 Encontraram T2v₁4v₂5v₃ no Tv Tv 210240325312 Tv 201521254810 Tv 136 Questões 5 Seja V um espaço vetorial formado por um conjunto finito de n elementos então qualquer conjunto L I em V possui no máximo n elementos T R4 R3 dada por Tx y z t 4x y 2 3t 2x y 2 4t 6x 9z 9t a ImT Tx y z t 4 1 2 3 2 1 1 α 6 0 9 9 0 0 6 Tv 3 2 T1 0 perp T0 1 R mathbbR3 o mathbbR2 Questão 12 Para uma matriz ser inversível o determinante dela deve ser diferente de 0 Dado na questão que λ 0 detA λI 0 λ0 detA 0I 0 detA 0 Ou seja a matriz não pode ser inversível Questão 13 Pela propriedade de polinômios uma matriz A e sua transposta AT têm os mesmos autovalores pois o det A det AT Dado que uma matriz triangular tem det os produtos dos termos da diagonal então se A é diagonal A λI também é Veja detA λI 0 a11 λa22 λann λ 0 seus valores próprios são λ a11 λ a22 Questão 14 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 detI λI 0 λ 1 então todos os vetores exceto o nulo são autovetores da matriz identidade α Тκv kTv kλv λκv b Seja Vλ v V Tv λV 0 x y Vλ limx0 ϕx 2y ϕx αTy λx αλy λx αy x αy Vλ α ℝ A λ 0 é autovalor de T então existe v V não nulo tal que ϕv 0 e v KerT Dai KerT 0 e portanto T não é injetora ρA det 1 λ a 0 0 1 λ 1 λ² λ 1 Para λ1 1 1 a x 0 ya x e y devem ser livres portanto para isso a 0 011 α₁₁100 α₂₁010 α₃₁001 α₁₁ 0 α₂₁ 1 e α₃₁ 1 011 α₁₂100 α₂₂010 α₃₂001 α₁₂ 0 α₂₂ 1 e α₃₂ 1 101 α₁₃100 α₂₃010 α₃₃001 α₁₃ 1 α₂₃ 0 e α₃₃ 1 I βα 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 12 12 12 12 12 12 0 0 1 2 0 1 0 3 1 1 1 1 0