Analise Matricial de Grelhas - Definições Energia Deformação e Aplicações

Universidade Federal da Paraíba Laboratório de Modelos Físicos Qualitativos e Computacionais Análise Estrutural II Angelo Vieira Mendonça Análise Matricial de Grelhas 1Definições e Ocorrências Típicas 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas 3Matriz de Rigidez Local 4Transformação de Sistemas de Coordenadas 5Matriz de Rigidez Global 6 Vetores de Força 7Matriz de Rigidez e Vetores da Estrutura 8Aplicação de cargas e prescrições em nós da Estrutura 9Resolução do Sistema Algébrico 10Determinação das Reações de Apoio 11Determinação dos Esforços nas Barras 12Aplicações Adicionais Definições Definições Grelhas fazem parte do conjunto de estruturas reticuladas que possuem características especiais onde as barras estão dispostas em um plano com cargas aplicadas perpendiculares a esse plano conforme indicado na Fig1 Ocorrências Típicas As aplicações de grelhas edifícios pontes etc 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas Se a barra for admitida a ser constituída de um material homogêneo isotrópico elastolinear b estar submetida a pequenos campos de deslocamentos e deformações c Empenamento uniforme das seções devido à torção e desprezar o efeito de Poisson e d barra prismática A partir da hipótese de campos suaves pequenos deslocamentos e rotações os deslocamentos uvw de um ponto na seção transversal torção são dados por onde ângulo de torção função de empenamento devido à torção Já as deformações são dadas por Como o material é homogêneo isótropo e elastolinear temse que onde G módulo de elasticidade transversal A energia potencial da torção de Saint Venant fica Após substituição das tensões e deformações a energia potencial da torção de Saint Venant fica Após o cálculo da integração na área a energia de deformação de torção fica Após o cálculo da integração na área a energia de deformação de torção fica onde Para os casos tipicamente em seções circulares em que é ψ constante constante de torção de SaintVenant é dada pelo momento polar de inércia As seções que não possuem função de empenamento uniforme a constante de SaintVenant deve ser calculada usando a teoria de elasticidade analogia de membrana Sadd 2009 Seções Retangulares It 16 3 a3 b 1024 π5 a4 n 1 3 5 ntotal 1 π5 tanh n 2 a π b tanh é a tangente hiperbólica Seções de Paredes Finas Seções Elípticas It 16 3 i 1 ntotal ai3 bi It π a2 b2 a3 b3 Para casos mais genéricos o It pode ser calculado analiticamente numericamente resolvendo a equação governante da membrana Vide Saad 2009 e Sokolnikoff 1956 Sadd Martin H 2009 Elasticity Theory Applications and Numerics 2nd ed Amsterdam Boston ElsevierAcademic Press Sokolnikoff IS 1946 Mathematical Theory of Elasticity Dover Publications Princípio dos Trabalhos VirtuaisPTV Princípio dos Trabalhos VirtuaisPTV Quando escrita apenas em termos de esforços o trabalho das forças internas fica escrita como Se o sistema A for a estrutura real T e o B for o virtual real T A o trabalho das forças internas fica escrita como Se for a carga virtual aplicada em um determinado ponto da estrutura no P sistema B e for o deslocamento real neste mesmo ponto causado pela carga real no δ sistema A então o trabalho virtual externo fica Finalmente igualandose o trabalho das forças internas e externas temse o deslocamento final Aplicações Fonte Gomes e Albuquerque 2024 Gomes IFO Albuquerque AAA 2024Desenvolvimento de algoritmo em Python para análise de estruturas de grelha Revista Uniaraguaia online v 19n 3 5167 E 200 106 G 76 106 I 347 104 tipoEstrutura Grelha It 115 104 ky 0 prop1 E E E E It It It It I I I I G G G G coord1 0 8 0 8 0 0 6 6 inc1 1 2 3 4 4 4 kθx 0 kθz 0 Forca1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Prescricao1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 kmola1 kθx kθx kθx 0 kθz kθz kθz 0 ky ky ky 0 ti 0 tj 0 pi 0 pj 0 u1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 gBarra1 ti 0 0 tj 0 0 pi 20 20 pj 20 20 fator 5 dadosb1 tipoEstrutura inc1 prop1 gBarra1 dadosno1 coord1 u1 stack Prescricao1 kmola1 Forca1 3Matriz de Rigidez LocalGlobal A matriz de rigidez da barra pode ser obtida diretamente pelo aplicação do método dos deslocamento ou indiretamente pela inversão da matriz de flexibilidade usando o método das forças Seja uma barra em flexão submetida a forças e momentos Vi Mi Vj Mj conforme indicado no sistema local de coordenadas st Utilizando o método dos deslocamentos onde deslocamento é imposto no vi nó1 e reações em forças são computadas nos nós 1 e 2 Analogamente deslocamento é imposto no nó1 com as respectivas reações mobilizadas θi nos nós 1 e 2 Quando o deslocamento imposto no nó2 e reações em forças são vj computadas nos da barra Finalmente impondo o deslocamento as reações na barras θj ficam Utilizando o método dos deslocamentos onde deslocamento é imposto no vi nó1 e reações em forças são computadas nos nós 1 e 2 Analogamente deslocamento é imposto no nó1 com as respectivas reações mobilizadas θi nos nós 1 e 2 Quando o deslocamento imposto no nó2 e reações em forças são vj computadas nos da barra Finalmente impondo o deslocamento as reações na barras θj ficam A matriz de rigidez local da flexão para as condições de articulações na extremidade da barra fica kL r1 r21 r1 r22 r21 r31 r2 r4 r1 r2 r1 r22 r22 r4 r22 r32 r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 E I L 12 L2 6 L 4 2 6 L 4 6 L Torção Uniforme A matriz de rigidez local da torção de SaintVenant fica kL G It L 1 1 1 1 A matriz de rigidez local da grelha pode ser obtida pela superposição do problema de torção uniforme e o de flexão função de rigidez local kL E G It I L r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 E I L 12 L2 6 L 4 2 6 L 4 6 L kL G It L 0 0 G It L 0 0 0 r31 r21 0 r4 r2 0 r21 r1 0 r22 r1 G It L 0 0 G It L 0 0 0 r4 r22 0 r32 r22 0 r2 r1 0 r22 r1 kL A soma algébrica em problemas não colineares pode ser feita utilizando dois sistemas distintos um local para cada elemento e um único sistema global associado à estrutura Os deslocamentos locais u1a u6 podem ser escritos em função dos deslocamentos globais da barra como ou matricialmente u1 u2 u3 u4 u5 u6 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 U1 U2 U3 U4 U5 U6 ou matricialmente sendo a matriz de incidência cinemática β Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 onde Cx Cy definidos como cossenos diretores As coordenadas dos Nos 1 e 2 dadas respectivamente por x1y1 x2y2 Função de cálculo de geometria e Matriz de Incidência cinemática geo noi noj coord Xi Xj Yi Yj coord 0 noi 1 coord 0 noj 1 coord 1 noi 1 coord 1 noj 1 Δx Δy Xj Xi Yj Yi L Δx2 Δy2 Cx Cy Δx L Δy L L Cx Cy β Cx Cy Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 Como a energia de deformação é escalar constitui um invariante de direção Isto implica que a energia calculada no sistema local é igual à energia computada no sistema global Assim a seguinte relação pode ser escrita πp uT k u UT kg U onde Se u β U for substituído na energia de deformação fica πp UT βT k β U UT kg U Assim a matriz de rigidez global da barra pode ser escrita como kg βT k β Calcular as matriz de rigidez local incidência cinemática e matriz de rigidez global de todas as barras da grelha do Exemplo 1 barra 14 noi noj inc10T E It I G prop10T noi 1 noj 4 E 2 108 G 76 107 It 115 104 I 347 104 L12 Cx12 Cy12 geonoi noj coord1 L12 10 Cx12 08 Cy12 06 k12 kL E G It I L12 β12 β Cx12 Cy12 kg12 β12T k12 β12 k12 0009 0 0 0009 0 0 0 0278 0042 0 0139 0042 0 0042 0008 0 0042 0008 0009 0 0009 0 0 0 0 0139 0042 0 0278 0042 0 0042 0008 0 0042 0008 105 β12 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 0 0 0 0 1 kg12 0106 0129 0025 0044 0071 0025 0129 0181 0033 0071 0086 0033 0025 0033 0008 0025 0033 0008 0044 0071 0025 0106 0129 0025 0071 0086 0033 0129 0181 0033 0025 0033 0008 0025 0033 0008 105 kg12 0106 0129 0025 0044 0071 0025 0129 0181 0033 0071 0086 0033 0025 0033 0008 0025 0033 0008 0044 0071 0025 0106 0129 0025 0071 0086 0033 0129 0181 0033 0025 0033 0008 0025 0033 0008 105 barra 24 noi noj T inc1 1 E It I G T prop1 1 noi 2 noj 4 E 2 108 G 76 107 It 115 104 I 347 104 L24 Cx24 Cy24 geo noi noj coord1 L24 6 Cx24 0 Cy24 1 k24 kL E G It I L24 β24 β Cx24 Cy24 A 3 kg24 β24T k24 β24 k24 0015 0 0 0015 0 0 0 0463 0116 0 0231 0116 0 0116 0039 0 0116 0039 0015 0 0 0015 0 0 0 0231 0116 0 0463 0116 0 0116 0039 0 0116 0039 10 5 β24 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 kg24 0463 0 0116 0231 0 0116 0 0015 0 0 0015 0 0116 0 0039 0116 0 0039 0231 0 0116 0463 0 0116 0 0015 0 0 0015 0 0116 0 0039 0116 0 0039 105 barra 34 noi noj T inc1 2 E It I G T prop1 2 noi 3 noj 4 E 2 108 G 76 107 It 115 104 I 347 104 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 L34 8 Cx34 1 Cy34 0 k34 kL E G It I L34 β34 β Cx34 Cy34 kg34 β34T k34 β34 k34 0011 0 0 0011 0 0 0 0347 0065 0 0174 0065 0 0065 0016 0 0065 0016 0011 0 0 0011 0 0 0 0174 0065 0 0347 0065 0 0065 0016 0 0065 0016 10 5 β34 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 kg34 0011 0 0 0011 0 0 0 0347 0065 0 0174 0065 0 0065 0016 0 0065 0016 0011 0 0 0011 0 0 0 0174 0065 0 0347 0065 0 0065 0016 0 0065 0016 105 5Vetor de Carga local global 5Vetor de Carga local global fi f fj f2 f pi p pj p2 p f2 20 2 fi fj pL L 120 f2 a13 pi L a14 pj pi L a11 pi a12 pj pi f2 a23 pi L a24 pj pi L a21 pi a22 pj pi onde a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 60 18 10 4 60 42 10 6 1 0 1 0 Função de cálculo de das forças equivalentes nodais locais pLocal prop gb L fi fj pi pj gb E It I G prop b L f2 20 2 fi fj a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 60 18 10 4 60 42 10 6 1 0 1 0 pL L 120 f2 a13 pi L a14 pj pi L a11 pi a12 pj pi f2 a23 pi L a24 pj pi L a21 pi a22 pj pi pL Determinar os vetores de carga local e global das barras da grelha Barra2 noi noj T inc1 1 E It I G T prop1 1 noi 2 noj 4 E 2 108 G 76 107 It 115 104 I 347 104 L24 Cx24 Cy24 geo noi noj coord1 β24 β Cx24 Cy24 fi fgj pi pj T gBarra1 1 fi 0 fgj 0 pi 20 pj 20 pL24 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 L24 pg24 β24T pL24 pL24 0 60 60 0 60 60 β24 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 pg24 60 0 60 60 0 60 Barra3 noi noj T inc1 2 E It I G T prop1 2 noi 3 noj 4 E 2 108 G 76 107 It 115 104 I 347 104 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 β34 β Cx34 Cy34 fi fgj pi pj T gBarra1 2 fi 0 fgj 0 pi 20 pj 20 pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 L34 pg34 β34T pL34 pL34 0 106667 80 0 106667 80 β34 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg34 0 106667 80 0 106667 80 7Matriz de Rigidez e Vetor de Carga da Estrutura 7Matriz de Rigidez e Vetor de Carga da Estrutura O posicionamento dos elementos da matriz de rigidez global kg de uma barra de grelha orientada de i para j na matriz de rigidez da estrutura Kest e no vetor de carga da estrutura Fest segue uma transformação indicada na Figura Quando cada nó da barra tiver um número genérico de graus de liberdade nvar o posicionamento da contribuição elemental na estrutura pode ser feita como as funções indicadas a seguir Montagem Kest I J kg nvar for i 0 nvar 1 for j 0 nvar 1 Kest I i I j Kest I i I j kg i j Kest I i J j Kest I i J j kg i j nvar Kest J i I j Kest J i I j kg i nvar j Kest J i J j Kest J i J j kg i nvar j nvar Kest MontagemForca Fest I J pG nvar for i 0 nvar 1 Fest I i Fest I i pG i Fest J i Fest J i pG i nvar Fest onde I nvar i1 e J nvar j1 é a matriz de rigidez da estrutura e Kest é a matriz de rigidez global da barra é o vetor da estrutura enquanto kg Fest pG é o vetor de carga global da barra ZerarMatrix presc for i 0 rows presc cols presc 1 for j 0 rows presc cols presc 1 valor i j 0 valor ZerarVetor presc uni for i 0 rows presc cols presc 1 valor i 0 uni valor Montar a matriz de rigidez e Vetor da estrutura do exemplo 1 Kest1 ZerarMatrix Prescricao1 Fest1 ZerarVetor Prescricao1 1 nvar rows Prescricao1 barra 14 noi noj T inc1 0 E It I G T prop1 0 L14 Cx14 Cy14 geo noi noj coord1 noi 1 noj 4 β14 β Cx14 Cy14 k14 kL E G It I L14 kg14 β14T k14 β14 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β14T k14 β14 nvar pL14 pLocal T prop1 0 T gBarra1 0 L14 Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β14T pL14 nvar barra 24 noi noj T inc1 1 E It I G T prop1 1 L24 Cx24 Cy24 geo noi noj coord1 noi 2 noj 4 β24 β Cx24 Cy24 k24 kL E G It I L24 kg24 β24T k24 β24 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β24T k24 β24 nvar pL24 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 L24 Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β24T pL24 nvar barra 34 noi noj T inc1 2 E It I G T prop1 2 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 noi 3 noj 4 β34 β Cx34 Cy34 k34 kL E G It I L34 kg34 β34T k34 β34 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β34T k34 β34 nvar pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 L34 Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β34T pL34 nvar Kest1 0106 0129 0025 0 0 0 0 0 0 0044 0071 0025 0129 0181 0033 0 0 0 0 0 0 0071 0086 0033 0025 0033 0008 0 0 0 0 0 0 0025 0033 0008 0 0 0 0463 0 0116 0 0 0 0231 0 0116 0 0 0 0 0015 0 0 0 0 0 0015 0 0 0 0 0116 0 0039 0 0 0 0116 0 0039 0 0 0 0 0 0 0011 0 0 0011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0347 0065 0 0174 0065 0 0 0 0 0 0 0 0065 0016 0 0065 0016 0044 0071 0025 0231 0 0116 0011 0 0 0579 0129 0141 0071 0086 0033 0 0015 0 0 0174 0065 0129 0542 0098 0025 0033 0008 0116 0 0039 0 0065 0016 0141 0098 0063 10 5 Fest1T 0 0 0 60 0 60 0 106667 80 60 106667 140 8Aplicação de Prescrições em nós da Estrutura Na figura a seguir várias naturezas de prescrições de nós na grelha e também está mostrada uma configuração deformada da estrutura Algumas matrizes auxiliares podem ser criadas para armazenar as informações dos nós A matriz presc guarda valores 1 ou 0 para casos de ativaçãodesativação dos graus de liberdade em deslocamento nos nós Já a matriz d armazena os valores dos deslocamentos impostos nos graus de liberdade e a matriz f guarda os valores das forças impostas As matrizes de informações dos nós são formadas de modo que a primeira linha está associada à direção global x e a segunda linha à direção y Já as colunas estão associadas à numeração dos nós na estrutura No caso específico da estrutura as matrizes ficam No caso específico da estrutura as matrizes ficam presc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ f 0 0 0 F2 0 0 0 0 0 F1 0 0 0 0 0 F3 0 0 Convém notar que as matrizes presc d f devem ser transformadas respectivamente em vetores da estrutura cond Uest e Fest para possibilitar operações no sistema algébrico da estrutura cond T 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Uest T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ Fest T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F2 F1 F3 0 0 0 0 0 0 A ideia de montagem da grelha que possui três graus de liberdade por nó pode ser extendido para problema que tenha um número genérico de graus de liberdade nvar por nó que no caso de pórtico plano nvar3 Uma função para fazer esta montagem pode ser expressa por MontagemVetor Fest no f nvar I nvar no nvar for i 0 nvar 1 Fest I i Fest I i f i no 1 Fest Quando os vínculos elásticos são submetidos a deslocamentos eles trabalham Assim as rigidezes pontuais dos vínculos elásticos podem ser guardados em uma matriz kbase e superposta diretamente na diagonal principal da matriz de rigidez da estrutura na posição correspondente do nó i e direção j em que o vinculo elástico definido Kest I j I j Kest I j I j kbase j i onde i 1 nnos j 1 nvar I nvar i 1 u1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Prescricao1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Forca1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kmola1 kθx kθx kθx 0 kθz kθz kθz 0 ky ky ky 0 unidade 1 cond1 ZerarVetor Prescricao1 unidade Uest1 ZerarVetor Prescricao1 unidade cond1 MontagemVetor cond1 1 Prescricao1 nvar cond1 MontagemVetor cond1 2 Prescricao1 nvar cond1 MontagemVetor cond1 3 Prescricao1 nvar Uest1 MontagemVetor Uest1 4 u1 nvar Fest1 MontagemVetor Fest1 4 Forca1 nvar cond1T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 Uest1T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Fest1T 0 0 0 60 0 60 0 106667 80 60 106667 140 9Resolução do Sistema Algébrico e Reações de Apoio Desde que prescrições com vínculos rígidos ou elásticos ainda não tenham sido inseridos no sistema algébrico da estrutura ele pode ser escrito por Kest Uest Fest Convém notar que apesar de se ter Kest e Fest já formados a determinação do Uest não pode ainda ser determinada devido a algumas propriedades da matriz de rigidez da estrutura Fisicamente esse efeito singular decorre do fato de que todos os movimentos de corpo rígido do problema ainda não foram eliminados caracterizando um problema estático Conforme descrito em treliças as prescrições em deslocamentos pode ser inseridas no sistema basicamente de três maneiras a depender da natureza dos vínculos e valores impostos aos deslocamentos recalques Seja um sistema dado por k11 k12 k13 k12 k22 k23 k13 k23 k33 u1 u2 u3 f1 f2 f3 Se u2 é um valor prescrito com valor nulo ou outro qualquer implica que ele é um campo conhecido Se for utilizado o método 3 condensação estática então é necessário que se faça um agrupamento de valores conhecidos e incógnitos de tal forma que o sistema deve ser alterado para Se u2 é um valor prescrito com valor nulo ou outro qualquer implica que ele é um campo conhecido Se for utilizado o método 3 condensação estática então é necessário que se faça um agrupamento de valores conhecidos e incógnitos de tal forma que o sistema deve ser alterado para k22 k12 k23 k12 k11 k13 k23 k13 k33 u2 u1 u3 f2 f1 f3 O sistema reagrupado pode ser reescrito como KRR KRL KLR KLL UR UL FR FL onde KRR k22 KRL k12 k23 UR u2 FR f2 KLL k11 k13 k13 k33 KLR k12 k23 UL u1 u3 FL f1 f3 Uma função para fazer o agrupamento de valores conhecidos e incógnitos particao condcontorno A f u ntotal rows condcontorno npres 0 for i 0 ntotal 1 npres if condcontorno i 1 npres 1 npres j 1 k ntotal npres 1 for i 0 ntotal 1 if else condcontorno i 1 j j 1 col j i k k 1 col k i for i 0 ntotal 1 F i U i f col i u col i for j 0 ntotal 1 B i j A col i col j F B U npres col Uma função para identificação das submatrizes e subvetores envolvidos Subestrut Kest Fest desl cc F K Desl n col particao cc Kest Fest desl ntotal rows Kest n1 n2 n3 ntotal n 1 ntotal n ntotal 1 KLL KLR submatrix K 0 n1 0 n1 submatrix K 0 n1 n2 n3 KRL KRR submatrix K n2 n3 0 n1 submatrix K n2 n3 n2 n3 FL UR submatrix F 0 n1 0 0 submatrix Desl n2 n3 0 0 KLL KLR FL col KRL KRR UR n Agora é fazer a condensação estática Agora é fazer a condensação estática KLL UL FL KLR UR Finalmente as incógnitas são determinadas UL KLL1 FL KLR UR Além disso também pode ser determinada por FR FR KRR UR KRL UL Aplicação o Método da Condensação Estática no Exemplo 1 Fase 1 Reorientação da matriz e vetores para separar os valores conhecidos R dos incógnitosL Fase 2 Extração das submatrizes KLL1 KLR1 FL1 col1 KRL1 KRR1 UR1 n1 Subestrut Kest1 Fest1 Uest1 cond1 KLL1 0579 0129 0141 0129 0542 0098 0141 0098 0063 105 KRR1 0106 0129 0025 0 0 0 0 0 0 0129 0181 0033 0 0 0 0 0 0 0025 0033 0008 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0463 0 0116 0 0 0 0 0 0 0 0015 0 0 0 0 0 0 0 0116 0 0039 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0347 0065 0 0 0 0 0 0 0 0065 0016 105 UR1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 KLR1 0044 0071 0025 0231 0 0116 0011 0 0 0071 0086 0033 0 0015 0 0 0174 0065 0025 0033 0008 0116 0 0039 0 0065 0016 105 FL1 60 106667 140 Determinação dos deslocamentos incógnitos UL1 KLL11 FL1 KLR1 UR1 UL1T 1133 5486 55951 103 Determinação das reações de apoio FR FR1 KRR1 UR1 KRL1 UL1 FR1T 50662 5914 0015 385059 7991 84668 12378 268855 55317 Empilhando os vetores de deslocamento e forca da estrutura Empilhando os vetores de deslocamento e forca da estrutura Up1 stack UL1 UR1 Fp1 stack FL1 FR1 Retornando os vetores da estrutura à ordenação original do problema Reordena x col ntotal rows col for k 0 ntotal 1 valor col k x k valor Fbase u kb nvar for i 1 cols kb I nvar i 1 for j 0 nvar 1 v I j kb j i 1 u I j v Uest1 Reordena Up1 col1 Fest1r Reordena Fp1 col1 Fmola1 Fbase Uest1 kmola1 nvar Uest1T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 113303 54856 559509 104 Fest1rT 0051 0059 1469 105 0385 0008 0085 0012 0269 0055 006 0107 014 103 Fmola1T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 função retorna resultados por No VetorRes Uest presc for k 1 cols presc for j 0 rows presc 1 VetorDesl j k 1 Uest nvar k nvar j VetorDesl VetorDesl1 VetorRes Uest1 Prescricao1 10 Cálculo das Reações de Apoio As reações podem ser determinadas pelo produto da matriz de rigidez original Kest sem a inserção das condições de contorno pelo vetor de deslocamento calculado Uest subtraindose a soma do vetor de carga original da estrutura Fest com o vetor das forças das molas isto é Reacao1 Kest1 Uest1 Fest1 Fmola1 VetorReacao1 VetorRes Reacao1 Prescricao1 VetorReacao1 506617 4450588 123783 11369 1013 591398 79907 3755219 71054 1014 00147 1446685 1353169 56843 1014 11Determinação dos Esforços nas Barras A determinação dos esforços em cada barra é feita pelo produto da matriz de rigidez local pelo deslocamento local subtraído do vetor nodal equivalente local fL kL uL pL O deslocamento local uL é obtido a partir da transformação do deslocamento global uG da barra uL β uG Se ij forem os nós inicial e final da barra o deslocamento global da barra de grelha pode ser obtido do vetor de deslocamentos da estrutura Uest como mostrado I 3 i 3 uG Uest I 2 Uest I 1 Uest I Uest J 2 Uest J 1 Uest J com J 3 j 3 Esforços nas Barras do Exemplo 1 Esforços nas Barras do Exemplo 1 Uest Uest1 Barra 12 noi noj T inc1 0 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 geo noi noj coord1 E It I G T prop1 0 β14 β Cx14 Cy14 uG14 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k14 kL E G It I L14 pL14 pLocal T prop1 0 T gBarra1 0 L14 Reações na barra fL14 k14 β14 uG14 pL14 fL14 50455 777088 00147 50455 77562 00147 Barra 24 noi noj T inc1 1 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 geo noi noj coord1 uG24 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 E It I G T prop1 1 β24 β Cx24 Cy24 k24 kL E G It I L24 pL24 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 L24 Reações na barra fL24 k24 β24 uG24 pL24 fL24 7991 445059 144668 7991 62952 24668 noi 2 noj 4 Barra 34 noi noj T inc1 2 noi 3 noj 4 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 E It I G T prop1 2 β34 β Cx34 Cy34 uG34 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k34 kL E G It I L34 pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 L34 Reações na barra fL34 k34 β34 uG34 pL34 fL34 123783 3755219 1353169 123783 67013 246831 Kest3