Analise Matricial de Porticos Planos - Metodos e Aplicacoes

Universidade Federal da Paraíba Laboratório de Modelos Físicos Qualitativos e Computacionais Análise Estrutural II Angelo Vieira Mendonça Análise Matricial de Pórticos Planos 1Definições e Ocorrências Típicas 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas 3Matriz de Rigidez Local 4Transformação de Sistemas de Coordenadas 5Matriz de Rigidez Global 6 Vetores de Força 7Matriz de Rigidez e Vetores da Estrutura 8Aplicação de cargas e prescrições em nós da Estrutura 9Resolução do Sistema Algébrico 10Determinação das Reações de Apoio 11Determinação dos Esforços nas Barras 12Aplicações Adicionais Definições Definições Pórticos planos fazem parte do conjunto de estruturas reticuladas que possuem características especiais onde as barras estão dispostas em um plano com cargas aplicadas nesse plano conforme indicado na Fig1 Ocorrências Típicas As aplicações de pórticos planos são amplas cobertas torres pontes etc 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas Se a barra for admitida a ser constituída de um material homogêneo isotrópico elastolinear b estar submetida a pequenos campos de deslocamentos e deformações c conservar a planicidade da seção transversal durante a deformação d Conservar a ortogonalidade entre a seção transversal e o eixo longitudinal durante a flexão e desprezar o efeito de Poisson f flexão desenvolvendo segundo um dos eixos principais de inércia e g barra prismática a energia de deformação da barra fica Princípio dos Trabalhos VirtuaisPTV Quando escrita apenas em termos de esforços o trabalho das forças internas fica escrita como Se o sistema A for a estrutura real M e o B for o virtual real o M A M B M trabalho das forças internas fica escrita como Se for a carga virtual aplicada em um determinado ponto da estrutura no P sistema B e for o deslocamento real neste mesmo ponto causado pela carga real no δ sistema A então o trabalho virtual externo fica Finalmente igualandose o trabalho das forças internas e externas tem se o deslocamento final Aplicações Aplicações Problema 1 E 108 A 001 I 0001 γ 0 α 105 Δθi 0 Δθs 50 kx 0 prop1 E E E E A A A A I I I I γ γ γ γ coord1 0 3 6 9 12 0 0 0 0 0 inc1 1 2 3 4 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ky 0 kθ 0 Forca1 0 0 0 0 0 0 40 0 40 0 0 0 0 0 0 Prescricao1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 kmola1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 06 ycg 03 u1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 003 0 0 0 0 0 temp1 α α α α Δθi Δθi Δθi Δθi Δθs Δθs Δθs Δθs ycg ycg ycg ycg h h h h Fx 0 Fy 0 fi 0 fj 0 M 0 a 3 gBarra1 fi 0 0 0 fj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LL LL LL LL fBarra1 Fx 0 0 0 Fy 0 0 0 M 0 0 0 a 0 0 0 LL LL LL LL fator 5 tipoEstrutura Portico2D dadosb1 tipoEstrutura inc1 prop1 gBarra1 temp1 fBarra1 dadosno1 coord1 u1 stack Prescricao1 kmola1 Forca1 Problema 2 Problema 2 E 108 A 015 03 I 015 033 12 γ 25 Δθi 0 Δθs 0 α 0 kx E I 001 prop2 E E A A I I 0 γ coord2 0 2 5 3 0 3 inc2 1 2 2 3 0 0 1 0 ky E I 001 kθ 0 Forca2 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Prescricao2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 kmola2 0 0 kx 0 ky ky 0 kθ kθ h 03 ycg 015 u2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 temp2 α α Δθi Δθi Δθs Δθs ycg ycg h h γ A 1125 ky 3375 Fx 0 Fy 0 fi 0 fj 0 pi 1 pj 3 M 0 a 0 gBarra2 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 LL LL fBarra2 Fx 0 Fy 0 M 0 a 0 LL LL fator 5 tipoEstrutura Portico2D dadosb2 tipoEstrutura inc2 prop2 gBarra2 temp2 fBarra2 dadosno2 coord2 u2 stack Prescricao2 kmola2 Forca2 3Matriz de Rigidez Local 3Matriz de Rigidez Local Conforme já foi visto em treliças a matriz de rigidez da barra pode ser obtida diretamente pelo aplicação do método dos deslocamento ou indiretamente pela inversão da matriz de flexibilidade usando o método das forças Seja uma barra em flexão submetida a forças e momentos Vi Mi Vj Mj conforme indicado no sistema local de coordenadas st Utilizando o método dos deslocamentos onde deslocamento é imposto no vi nó1 e reações em forças são computadas nos nós 1 e 2 Analogamente deslocamento é imposto no nó1 com as respectivas reações mobilizadas θi nos nós 1 e 2 Quando o deslocamento imposto no nó2 e reações em forças são vj computadas nos da barra Finalmente impondo o deslocamento as reações na barras θj ficam A matriz de rigidez local da flexão para as condições de articulações na extremidade da barra fica A matriz de rigidez local da flexão para as condições de articulações na extremidade da barra fica kL E L r1 r21 r1 r22 r21 r31 r2 r4 r1 r2 r1 r22 r22 r4 r22 r32 onde r1 r22 r32 r4 r21 r31 r2 0 0 0 0 0 0 0 barra biarticulada r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 I 12 L2 6 L 4 2 6 L 4 6 L barra nãoarticulada r1 r22 r32 r4 r21 r31 r2 3 I L 1 L 1 L 0 0 0 0 articulação à esquerda r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 3 I L 1 L 1 L 0 0 0 1 articulação à direita A matriz de rigidez local do pórtico plano pode ser obtida pela superposição do problema de extensão axial e o de flexão função de rigidez local função de rigidez local kL E A I L arti artj r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 0 0 0 0 0 0 0 if arti 0 artj 0 r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 I 12 L2 6 L 4 2 6 L 4 6 L if arti 1 artj 0 r1 r22 r32 r4 r21 r31 r2 3 I L 1 L 1 L 0 0 0 0 if arti 0 artj 1 r1 r21 r31 r4 r22 r32 r2 3 I L 1 L 1 L 0 0 0 1 kL E L A 0 0 A 0 0 0 r1 r21 0 r1 r22 0 r21 r31 0 r2 r4 A 0 0 A 0 0 0 r1 r2 0 r1 r22 0 r22 r4 0 r22 r32 kL A soma algébrica em problemas não colineares pode ser feita utilizando dois sistemas distintos um local para cada elemento e um único sistema global associado à estrutura Os deslocamentos locais u1a u6 podem ser escritos em função dos deslocamentos globais da barra como ou matricialmente u1 u2 u3 u4 u5 u6 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 U1 U2 U3 U4 U5 U6 ou matricialmente sendo a matriz de incidência cinemática β Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 onde Cx Cy definidos como cossenos diretores As coordenadas dos Nos 1 e 2 dadas respectivamente por x1y1 x2y2 onde Cx Cy definidos como cossenos diretores As coordenadas dos Nos 1 e 2 dadas respectivamente por x1y1 x2y2 Função de cálculo de geometria e Matriz de Incidência cinemática geo noi noj coord Xi Xj Yi Yj coord 0 noi 1 coord 0 noj 1 coord 1 noi 1 coord 1 noj 1 Δx Δy Xj Xi Yj Yi L Δx2 Δy2 Cx Cy Δx L Δy L L Cx Cy β Cx Cy Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cx Cy 0 0 0 0 Cy Cx 0 0 0 0 0 0 1 5Matriz de Rigidez Global obtenção direta 2 EIL 6 EIL2 4 EIL 6 EIL2 U3 U3 1 deslocamento imposto K33 4 EIL K53 K23 K63 K332 K43 K13 K13 Cy 6 EIL2 K23 Cx 6 EIL 6 EIL2 EA δsL 6 EI δt 12 EI δt L3 U4 δt δs δs Cx U4 δt Cy U4 U4 1 deslocamento imposto K34 6 EI δt L2 K54 K24 K64 K34 K44 K14 K14 Cx EA δsL Cy 12 EI δt L3 K24 Cy EA δsL Cx 12 EI δt L3 12 EI δt L3 6 EI δsL 6 EI δt L2 12 EI δt L3 EA δsL π5 π5 CyU5 π t Cx U5 U5 1 deslocamento imposto K55 K25 K65 K35 K45 K15 K35 6 EI δt L2 K15 Cx EA δsL Cy 12 EI δt L3 K25 Cy EA δsL Cx 12 EI δt L3 6 EIL 2 6 EIL 2 EIL 6 EIL2 U6 U6 1 deslocamento imposto K56 K26 K66 2 K36 K46 K16 K36 2 EIL K16 Cy 6 EIL2 X K26 Cx 6 EIL2 Y X Y X Y Y X Então a matriz de rigidez global barra nãoarticulada kG k 1 k 2 T k 2 k 3 k 1 EL Cx² A Cy² 12 I L² Cx Cy EL A 12 I L² Cy 6 EL² I Cx Cy EL A 12 I L² EL Cx² A Cy² 12 I L² Cx 6 EL² I Cy 6 EL² I Cx 6 EL² I 4 EL I k 2 EL Cx² A Cy² 12 I L² Cx Cy EL A 12 I L² Cu 6 EL² I Cx Cy EL A 12 I L² EL Cx² A Cy² 12 I L² Cx 6 EL² I 6 EL² I Cy Cx 6 EL² I 4 EL I k 3 EL Cx² A Cy² 12 I L² Cx Cy EL A 12 I L² Cy 6 EL² I Cx Cy EL A 12 I L² EL Cy² A Cx² 12 I L² Cx 6 EL² I Cy 6 EL² I Cx 6 EL² I 4 EL I 5Matriz de Rigidez Global obtenção via energia Como a energia de deformação é escalar constitui um invariante de direção Isto implica que a energia calculada no sistema local é igual à energia computada no sistema global Assim a seguinte relação pode ser escrita πp uT k u UT k g U Veltores de deslocamento onde k u sistema local kgU sistema global Matrizes de rigidez Se u β U for substituído na energia de deformação fica πp UT βT k β U UT kg U Assim a matriz de rigidez global da barra pode ser escrita como kg βT k β Calcular as matriz de rigidez local incidência cinemática e matriz de rigidez global de todas as barras dos pórticos dos Exemplos 1 e 2 Exemplo1 barra 12 noi noj arti artj T inc1 0 E A I γ T prop1 0 noi 1 noj 2 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord1 L12 3 Cx12 1 Cy12 0 k12 kL E A I L12 arti artj β12 β Cx12 Cy12 kg12 β12T k12 β12 k12 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 10 5 β12 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 kg12 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 105 barra 23 noi noj arti artj T inc1 1 E A I γ T prop1 1 noi 2 noj 3 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord1 L23 3 Cx23 1 Cy23 0 k23 kL E A I L23 arti artj β23 β Cx23 Cy23 kg23 β23T k23 β23 k12 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 10 5 β23 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 kg23 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 105 barra 34 kg23 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 105 barra 34 noi noj arti artj T inc1 2 E A I γ T prop1 2 noi 3 noj 4 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 L34 3 Cx34 1 Cy34 0 k34 kL E A I L34 arti artj β34 β Cx34 Cy34 kg34 β34T k34 β34 k34 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 10 5 β34 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 kg34 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 105 barra 45 noi noj arti artj T inc1 3 E A I γ T prop1 3 noi 4 noj 5 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 L45 Cx45 Cy45 geo noi noj coord1 L45 3 Cx45 1 Cy45 0 k45 kL E A I L45 arti artj β45 β Cx45 Cy45 kg45 β45T k45 β45 k45 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 10 5 β45 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 kg45 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 1333 0 0667 0667 3333 0 0 3333 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0667 0667 0 0667 1333 105 Exemplo2 Exemplo2 barra 12 noi noj arti artj T inc2 0 E A I γ T prop2 0 noi 1 noj 2 arti 0 artj 1 E 1 108 A 0045 I 3375 104 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord2 L12 3606 Cx12 0555 Cy12 0832 k12 kL E A I L12 arti artj β12 β Cx12 Cy12 kg12 β12T k12 β12 k12 12481 0 0 12481 0 0 0 0022 0078 0 0022 0 0 0078 0281 0 0078 0 12481 0 0 12481 0 0 0 0022 0078 0 0022 0 0 0 0 0 0 0 10 5 β12 0555 0832 0 0 0 0 0832 0555 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0555 0832 0 0 0 0 0832 0555 0 0 0 0 0 0 1 kg12 3855 575 0065 3855 575 0 575 8647 0043 575 8647 0 0065 0043 0281 0065 0043 0 3855 575 0065 3855 575 0 575 8647 0043 575 8647 0 0 0 0 0 0 0 105 barra 23 noi noj arti artj T inc2 1 E A I γ T prop2 1 noi 2 noj 3 arti 0 artj 0 E 1 108 A 0045 I 3375 104 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord2 L23 4243 Cx23 0707 Cy23 0707 k23 kL E A I L23 arti artj β23 β Cx23 Cy23 kg23 β23T k23 β23 k23 10607 0 0 10607 0 0 0 0053 0113 0 0053 0113 0 0113 0318 0 0113 0159 10607 0 0 10607 0 0 0 0053 0113 0 0053 0113 0 0113 0159 0 0113 0318 10 5 β23 0707 0707 0 0 0 0 0707 0707 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0707 0707 0 0 0 0 0707 0707 0 0 0 0 0 0 1 kg23 533 5277 008 533 5277 008 5277 533 008 5277 533 008 008 008 0318 008 008 0159 533 5277 008 533 5277 008 5277 533 008 5277 533 008 008 008 0159 008 008 0318 105 6Vetor de Carga local 6Vetor de Carga local fL2 pL212 0 pL2 3pL8 fL2 pL2 fL2 pL212 pL2 fL2 5pL8 pL28 3pL8 0 fL2 5pL8 pL28 fL2 f2 L3 f2 L3 f2 L3 f2 L3 7 p2 L20 3 p2 L20 7 p2 L2120 33 p2 L120 48p2 L120 8p2 L120 27 p2 L120 12p2 L120 0 0 0 EAα Δθcg Δθcg Δθi ycg Δθi Δθs h h ycg Δθi Δθs E I α Δθi Δθs h EAα Δθcg EAα Δθcg EAα Δθcg E I α Δθi Δθs h 0 3 EI α Δθi Δθs 2 h 3 EI α Δθi Δθs 2 h 0 3 EI α Δθi Δθs 2 h 3 EI α Δθi Δθs 2 h 0 3 EI α Δθi Δθs 2 h 3 EI α Δθi Δθs 2 h 0 3 EI α Δθi Δθs 2 h 3 EI α Δθi Δθs 2 h 0 3 EI α Δθi Δθs 2 h 3 EI α Δθi Δθs 2 h f2 f1 fi f fj f2 f a11 pi a12 p j pi f11 β2 pi p pj p2 p a 13 pi L a 14 p j pi L f11 β1 1 f1 E A α Δθcg f2 f 2 20 2 fi fj a21 pi a22 p j pi f11 β4 a23 pi L a24 p j pi L f 11 β3 f11 E I αh Δθi Δθs a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 60 18 10 4 60 42 10 6 1 0 1 0 Barra nãoarticulada a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 45 12 0 0 75 48 15 8 0 3 3 32L Articulação à esquerda a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 75 27 15 7 45 33 0 0 32 32L 0 32 Articulação à direita Função de cálculo de das forças equivalentes nodais locais pLocal prop gb temp L arti artj fi fj pi pj tipog gb α Δθi Δθs ycg h temp E A I γ prop b L a Δθcg Δθi ycg Δθi Δθs h f1 E A α Δθcg f2 20 2 fi fj f11 E I α h Δθi Δθs a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 if arti 0 artj 0 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 60 18 10 4 60 42 10 6 1 0 1 0 if arti 1 artj 0 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 45 12 0 0 75 48 15 8 0 3 2 L 3 2 L 3 2 if arti 0 artj 1 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 β1 β2 β3 β4 75 27 15 7 45 33 0 0 3 2 3 2 L 0 3 2 fatg if tipog LL 1 0 pL fatg L 120 f2 a11 pi a12 pj pi a13 pi L a14 pj pi L f2 a21 pi a22 pj pi a23 pi L a24 pj pi L pL pL f1 f11 β2 f11 β1 f1 f11 β4 f11 β3 pL 6Vetor de Carga Global obtenção via energia 6Vetor de Carga Global obtenção via energia Como o trabalho das cargas é escalar constitui um invariante de direção w uT p UT P Vetores de deslocamento onde p u sistema local P U sistema global Vetores de carga Se u β U for substituído no trabalho das cargas fica w UT βT p UT P Assim o vetor nodal equivalente em coordenadas globais da barra fica P βT p 6Vetor de Carga Global obtenção direta Em muitas situações pode ser conveniente aplicar cargas distribuídas uniformes diretamente nas direções globais pX pY Nestes casos os vetores de cargas globais ficam pG β1 p1 β2 p2 β3 p3 β4 p1 β5 p2 β6 p3T p1 p2 p3 12 pX Ly pY Lx pY Lx² pX Ly²6 Barra NãoArticulada β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 1 1 1 1 1 Articulação à esquerda Articulação à direita β1 β2 β3 β4 β5 β6 14 3 3 0 5 5 6 β1 β2 β3 β4 β5 β6 14 5 5 6 3 3 0 6Vetor de Carga Global Se a ação da gravidade estiver na direção y ou na direção x o vetor de carga pode ser reduzido a pG γx2 A L β1 0 γx A L² Cy12 β3 γx2 A L β4 0 γx A L² Cy12 β6T ou pG 0 γy2 A L β2 γy A L² Cx12 β3 0 γy2 A L β5 γy A L² Cx12 β6T Barra NãoArticulada Barra biArticulada β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 1 1 1 1 1 β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 1 0 1 1 0 Articulação à esquerda Articulação à direita β1 β2 β3 β4 β5 β6 14 3 3 0 5 5 6 β1 β2 β3 β4 β5 β6 14 5 5 6 3 3 0 pGlobal gb prop L Cx Cy dirgrav ai aj pX fj pY pj tipog gb E A I γ prop β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 1 0 1 1 0 p1 p2 p3 0 0 0 Lx Ly L Cx Cy if tipog GG p1 p2 p3 1 2 pX Ly pY Lx pY Lx2 pX Ly2 6 if ai 0 aj 0 β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 1 1 1 1 1 if ai 1 aj 0 β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 4 3 3 0 5 5 6 if ai 0 aj 1 β1 β2 β3 β4 β5 β6 1 4 5 5 6 3 3 0 fatg if tipog GG 1 0 γγ T 0 0 γγ dirgrav 1 1 γx γy γγ 0 γγ 1 γ pp1 pp2 pp3 A L 2 γx γy L 6 γy Cx γx Cy p1 p2 p3 fatg p1 p2 p3 pp1 pp2 pp3 pG β1 p1 β2 p2 β3 p3 β4 p1 β5 p2 β6 p3 pG Determinar os vetores de carga local e global das barras dos exemplos 1 e 2 Exemplo1 Barra 12 noi noj arti artj T inc1 0 E A I γ T prop1 0 dirgrav 2 gravidade em y noi 1 noj 2 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 γ 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord1 L12 3 Cx12 1 Cy12 0 α Δθi Δθs ycg h T temp1 0 α 1 105 Δθi 0 Δθs 50 ycg 03 h 06 fi fg pi pj tipo T gBarra1 0 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 tipo LL β12 β Cx12 Cy12 pL12 pLocal T prop1 0 T gBarra1 0 T temp1 0 L12 arti artj pg12 β12T pL12 vetores local pL e global pg devido a cargas aplicadas localmente vetores local pL e global pg devido a cargas aplicadas localmente pL12 250 0 83333 250 0 83333 β12 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg12 250 0 83333 250 0 83333 pG12 pGlobal T gBarra1 0 T prop1 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj vetor global pG devido à cargas globais pG12T 0 0 0 0 0 0 vetor resultante T pg12 pG12 250 0 83333 250 0 83333 Barra 23 noi noj arti artj T inc1 1 E A I γ T prop1 1 dirgrav 2 gravidade em y noi 2 noj 3 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 γ 0 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord1 L23 3 Cx23 1 Cy23 0 α Δθi Δθs ycg h T temp1 1 α 1 105 Δθi 0 Δθs 50 ycg 03 h 06 fi fg pi pj tipo T gBarra1 1 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 tipo LL β23 β Cx23 Cy23 pL23 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 T temp1 1 L23 arti artj pg23 β23T pL23 Vetores local pL e global pg devido a cargas aplicadas localmente pL23 250 0 83333 250 0 83333 β23 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg23 250 0 83333 250 0 83333 pG23 pGlobal T gBarra1 1 T prop1 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj vetor global pG devido à cargas globais pG23T 0 0 0 0 0 0 vetor resultante T pg23 pG23 250 0 83333 250 0 83333 Barra 34 Barra 34 noi noj arti artj T inc1 2 E A I γ T prop1 2 dirgrav 2 gravidade em y noi 3 noj 4 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 γ 0 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 L34 3 Cx34 1 Cy34 0 α Δθi Δθs ycg h T temp1 2 α 1 105 Δθi 0 Δθs 50 ycg 03 h 06 fi fg pi pj tipo T gBarra1 2 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 tipo LL β23 β Cx34 Cy34 pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 T temp1 2 L34 arti artj pg34 β34T pL34 vetores local pL e global pg devido a cargas locais pL34T 250 0 83333 250 0 83333 β34 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg34T 250 0 83333 250 0 83333 pG34 pGlobal T gBarra1 2 T prop1 2 L34 Cx34 Cy34 dirgrav arti artj vetor global pG devido à cargas globais pG34T 0 0 0 0 0 0 vetor resultante T pg34 pG34 250 0 83333 250 0 83333 Barra 45 noi noj arti artj T inc1 3 E A I γ T prop1 3 dirgrav 2 gravidade em y noi 4 noj 5 arti 0 artj 0 E 1 108 A 001 I 0001 γ 0 L45 Cx45 Cy45 geo noi noj coord1 L45 3 Cx45 1 Cy45 0 α Δθi Δθs ycg h T temp1 3 α 1 105 Δθi 0 Δθs 50 ycg 03 h 06 fi fg pi pj tipo T gBarra1 3 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 tipo LL β45 β Cx45 Cy45 pL45 pLocal T prop1 3 T gBarra1 3 T temp1 3 L45 arti artj pg45 β45T pL45 vetores local pL e global pg devido a cargas locais pL45T 250 0 83333 250 0 83333 β45 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg45T 250 0 83333 250 0 83333 pG45 pGlobal T gBarra1 3 T prop1 3 L45 Cx45 Cy45 dirgrav arti artj vetor global pG devido à cargas globais pG45T 0 0 0 0 0 0 vetor resultante T pg45 pG45 250 0 83333 250 0 83333 Exercício 2 Exercício 2 Barra 12 noi noj arti artj T inc2 0 E A I γ T prop2 0 dirgrav 2 gravidade em y noi 1 noj 2 arti 0 artj 1 E 1 108 I 3375 104 A 0045 γ 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord2 L12 3606 Cx12 0555 Cy12 0832 α Δθi Δθs ycg h T temp2 1 α 0 Δθi 0 Δθs 0 ycg 015 h 03 fi fg pi pj tipo T gBarra2 0 fi 0 fj 0 pi 1 pj 3 tipo LL β12 β Cx12 Cy12 pL12 pLocal T prop2 0 T gBarra2 0 T temp2 0 L12 arti artj pg12 β12T pL12 vetores local pL e global pg devido a cargas locais pL12T 0 3876 3142 0 3335 0 β12 0555 0832 0 0 0 0 0832 0555 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0555 0832 0 0 0 0 0832 0555 0 0 0 0 0 0 1 pg12T 3225 215 3142 2775 185 0 pG12 pGlobal T gBarra2 0 T prop2 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj vetor global pG devido a cargas globais pG12T 0 0 0 0 0 0 vetor resultante T pg12 pG12 3225 215 3142 2775 185 0 Barra 23 noi noj arti artj T inc2 1 E A I γ T prop2 1 dirgrav 2 gravidade em y noi 2 noj 3 arti 0 artj 0 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord2 E 1 108 A 0045 I 3375 104 γ 25 L23 4243 Cx23 0707 Cy23 0707 β23 β Cx23 Cy23 α Δθi Δθs ycg h T temp2 1 α 0 Δθi 0 Δθs 0 ycg 015 h 03 fi fg pi pj tipo T gBarra2 1 fi 0 fj 0 pi 0 pj 0 tipo LL pL23 pLocal T prop2 1 T gBarra2 1 T temp2 1 L23 arti artj pg23 β23T pL23 vetores local pL e global pg devido a cargas locais pL23T 0 0 0 0 0 0 β45 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 pg23T 0 0 0 0 0 0 pG23 pGlobal T gBarra2 1 T prop2 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj vetor global pG devido à cargas globais pG23T 0 2386 1193 0 2386 1193 vetor resultante T pg23 pG23 0 2386 1193 0 2386 1193 7Matriz de Rigidez e Vetor de Carga da Estrutura 7Matriz de Rigidez e Vetor de Carga da Estrutura O posicionamento dos elementos da matriz de rigidez global kg de uma barra de pórtico plano orientada de i para j na matriz de rigidez da estrutura Kest e no vetor de carga da estrutura Fest segue uma transformação indicada na Figura 12 Quando cada nó da barra tiver um número genérico de graus de liberdade nvar o posicionamento da contribuição elemental na estrutura pode ser feita como as funções indicadas a seguir Montagem Kest I J kg nvar for i 0 nvar 1 for j 0 nvar 1 Kest I i I j Kest I i I j kg i j Kest I i J j Kest I i J j kg i j nvar Kest J i I j Kest J i I j kg i nvar j Kest J i J j Kest J i J j kg i nvar j nvar Kest MontagemForca Fest I J pG nvar for i 0 nvar 1 Fest I i Fest I i pG i Fest J i Fest J i pG i nvar Fest onde I nvar i1 e J nvar j1 é a matriz de rigidez da estrutura e Kest é a matriz de rigidez global da barra é o vetor da estrutura enquanto kg Fest pG é o vetor de carga global da barra ZerarMatrix presc for i 0 rows presc cols presc 1 for j 0 rows presc cols presc 1 valor i j 0 valor ZerarVetor presc uni for i 0 rows presc cols presc 1 valor i 0 uni valor Montar a matriz de rigidez e Vetor da estrutura do exemplo 1 ZerarVetor presc uni for i 0 rows presc cols presc 1 valor i 0 uni valor Montar a matriz de rigidez e Vetor da estrutura do exemplo 1 Kest1 ZerarMatrix Prescricao1 Fest1 ZerarVetor Prescricao1 1 nvar rows Prescricao1 barra 12 noi noj arti artj T inc1 0 E A I γ T prop1 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord1 β12 β Cx12 Cy12 k12 kL E A I L12 arti artj kg12 β12T k12 β12 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T k12 β12 nvar pL12 pLocal T prop1 0 T gBarra1 0 T temp1 0 L12 arti artj pG12 pGlobal T gBarra1 0 T prop1 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T pL12 pG12 nvar barra 23 noi noj arti artj T inc1 1 E A I γ T prop1 1 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord1 β23 β Cx23 Cy23 k23 kL E A I L23 arti artj kg23 β23T k23 β23 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T k23 β23 nvar pL23 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 T temp1 1 L23 arti artj pG23 pGlobal T gBarra1 1 T prop1 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T pL23 pG23 nvar barra 34 noi noj arti artj T inc1 2 E A I γ T prop1 2 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 β34 β Cx34 Cy34 k34 kL E A I L34 arti artj kg34 β34T k34 β34 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β34T k34 β34 nvar pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 T temp1 2 L34 arti artj pG34 pGlobal T gBarra1 2 T prop1 2 L34 Cx34 Cy34 dirgrav arti artj Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β34T pL34 pG34 nvar noi noj arti artj T inc1 3 E A I γ T prop1 3 barra 45 barra 45 noi noj arti artj T inc1 3 E A I γ T prop1 3 L45 Cx45 Cy45 geo noi noj coord1 β45 β Cx45 Cy45 k45 kL E A I L45 arti artj kg45 β45T k45 β45 Kest1 Montagem Kest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β45T k45 β45 nvar pL45 pLocal T prop1 3 T gBarra1 3 T temp1 3 L45 arti artj pG45 pGlobal T gBarra1 3 T prop1 2 L45 Cx45 Cy45 dirgrav arti artj Fest1 MontagemForca Fest1 nvar noi 1 nvar noj 1 β45T pL45 pG45 nvar Kest1 3333 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0667 1333 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 6667 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0667 0 0889 0 0 0444 0667 0 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 0 2667 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 6667 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0667 0 0889 0 0 0444 0667 0 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 0 2667 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 6667 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0667 0 0889 0 0 0444 0667 0 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 0 2667 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0667 0 0444 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 0667 1333 10 5 Fest1T 250 0 83333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 250 0 83333 Montar a matriz de rigidez e Vetor da estrutura do exemplo 2 Kest2 ZerarMatrix Prescricao2 Fest2 ZerarVetor Prescricao2 1 nvar rowsPrescricao2 barra 12 noi noj arti artj T inc2 0 E A I γ T prop2 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord2 β12 β Cx12 Cy12 k12 kL E A I L12 arti artj kg12 β12T k12 β12 Kest2 Montagem Kest2 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T k12 β12 nvar pL12 pLocal T prop2 0 T gBarra2 0 T temp2 0 L12 arti artj pG12 pGlobal T gBarra2 0 T prop2 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj Fest2 MontagemForca Fest2 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T pL12 pG12 nvar barra 23 barra 23 noi noj arti artj T inc2 1 E A I γ T prop2 1 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord2 β23 β Cx23 Cy23 k23 kL E A I L23 arti artj kg23 β23T k23 β23 Kest2 Montagem Kest2 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T k23 β23 nvar pL23 pLocal T prop2 1 T gBarra2 1 T temp2 1 L23 arti artj pG23 pGlobal T gBarra2 1 T prop2 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj Fest2 MontagemForca Fest2 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T pL23 pG23 nvar Kest2 3855 575 0065 3855 575 0 0 0 0 575 8647 0043 575 8647 0 0 0 0 0065 0043 0281 0065 0043 0 0 0 0 3855 575 0065 9185 0474 008 533 5277 008 575 8647 0043 0474 13977 008 5277 533 008 0 0 0 008 008 0318 008 008 0159 0 0 0 533 5277 008 533 5277 008 0 0 0 5277 533 008 5277 533 008 0 0 0 008 008 0159 008 008 0318 105 Fest2 3225 215 3142 2775 0536 1193 0 2386 1193 8Aplicação de Prescrições em nós da Estrutura Na figura a seguir várias naturezas de prescrições de nós no pórtico plano e também está mostrada uma configuração deformada da estrutura O nó i está verticalmente restringido por um vínculo rígido enquanto na horizontal está elasticamente vinculado O nó j está submetido a prescrições em força associadas a cargas concentradas em Força F1F2 e Momento M O nó p está submetido a um recalque vertical de Δ Algumas matrizes auxiliares podem ser criadas para armazenar as informações dos nós A matriz presc guarda valores 1 ou 0 para casos de ativaçãodesativação dos graus de liberdade em deslocamento nos nós Já a matriz d armazena os valores dos deslocamentos impostos nos graus de liberdade e a matriz f guarda os valores das forças impostas As matrizes de informações dos nós são formadas de modo que a primeira linha está associada à direção global x e a segunda linha à direção y Já as colunas estão associadas à numeração dos nós na estrutura No caso específico da estrutura da as matrizes ficam presc 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ 0 0 0 0 0 f 0 F2 0 0 0 0 F1 0 0 0 0 0 0 0 0 Convém notar que as matrizes presc d f devem ser transformadas respectivamente em vetores da estrutura cond Uest e Fest para possibilitar operações no sistema algébrico da estrutura cond T 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 Uest T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ 0 Fest T 0 0 0 F2 F1 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A ideia de montagem do pórtico plano que possui três graus de liberdade por nó pode ser extendido para problema que tenha um número genérico de graus de liberdade nvar por nó que no caso de pórtico plano nvar3 Uma função para fazer esta montagem pode ser expressa por MontagemVetor Fest no f nvar I nvar no nvar for i 0 nvar 1 Fest I i Fest I i f i no 1 Fest Quando os vínculos elásticos são submetidos a deslocamentos eles trabalham Assim as rigidezes pontuais dos vínculos elásticos podem ser guardados em uma matriz kbase e superposta diretamente na diagonal principal da matriz de rigidez da estrutura na posição correspondente do nó i e direção j em que o vinculo elástico definido Kest I j I j Kest I j I j kbase j i onde i 1 nnos j 1 nvar I nvar i 1 Aplicar as condições de carga rigidez e prescrições nos nós dos exemplos 1 e 2 Exemplo1 kmola1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 unidade 1 Forca1 0 0 0 0 0 0 40 0 40 0 0 0 0 0 0 Prescricao1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 003 0 0 0 0 0 cond1 ZerarVetor Prescricao1 unidade Uest1 ZerarVetor Prescricao1 unidade cond1 MontagemVetor cond1 1 Prescricao1 nvar cond1 MontagemVetor cond1 3 Prescricao1 nvar cond1 MontagemVetor cond1 5 Prescricao1 nvar Uest1 MontagemVetor Uest1 5 u1 nvar Fest1 MontagemVetor Fest1 2 Forca1 nvar Fest1 MontagemVetor Fest1 4 Forca1 nvar cond1T 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Uest1T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 003 0 Fest1T 250 0 83333 0 40 0 0 0 0 0 40 0 250 0 83333 Exemplo2 Exemplo2 Forca2 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Prescricao2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 E A I γ T prop2 0 kx 3375 kθ 0 ky 3375 kmola2 0 0 3375 0 3375 3375 0 0 0 u2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 unidade 1 cond2 ZerarVetor Prescricao2 unidade Uest2 ZerarVetor Prescricao2 unidade nvar rows Prescricao2 cond2 MontagemVetor cond2 1 Prescricao2 nvar cond2 MontagemVetor cond2 3 Prescricao2 nvar Fest2 MontagemVetor Fest2 2 Forca2 nvar Acréscimo das rigidezes das molas na matriz de rigidez da estrutura no 2 no2 3 I nvar no 1 J nvar no2 1 Kest2 I 0 I 0 Kest2 I 0 I 0 kmola2 0 no 1 Kest2 J 0 J 0 Kest2 J 0 J 0 kmola2 0 no2 1 Kest2 I 1 I 1 Kest2 I 1 I 1 kmola2 1 no 1 Kest2 J 1 J 1 Kest2 J 1 J 1 kmola2 1 no2 1 Kest2 I 2 I 2 Kest2 I 2 I 2 kmola2 2 no 1 Kest2 J 2 J 2 Kest2 J 2 J 2 kmola2 2 no2 1 cond2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Uest2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Fest2 3225 215 3142 12775 0536 1193 0 2386 1193 Kest2 3855 575 0065 3855 575 0 0 0 0 575 8647 0043 575 8647 0 0 0 0 0065 0043 0281 0065 0043 0 0 0 0 3855 575 0065 9185 0474 008 533 5277 008 575 8647 0043 0474 1398 008 5277 533 008 0 0 0 008 008 0318 008 008 0159 0 0 0 533 5277 008 5333 5277 008 0 0 0 5277 533 008 5277 5333 008 0 0 0 008 008 0159 008 008 0318 105 Kest2 3855 575 0065 3855 575 0 0 0 0 575 8647 0043 575 8647 0 0 0 0 0065 0043 0281 0065 0043 0 0 0 0 3855 575 0065 9185 0474 008 533 5277 008 575 8647 0043 0474 1398 008 5277 533 008 0 0 0 008 008 0318 008 008 0159 0 0 0 533 5277 008 5333 5277 008 0 0 0 5277 533 008 5277 5333 008 0 0 0 008 008 0159 008 008 0318 105 9Resolução do Sistema Algébrico e Reações de Apoio Desde que prescrições com vínculos rígidos ou elásticos ainda não tenham sido inseridos no sistema algébrico da estrutura ele pode ser escrito por Kest Uest Fest Convém notar que apesar de se ter Kest e Fest já formados a determinação do Uest não pode ainda ser determinada devido a algumas propriedades da matriz de rigidez da estrutura Fisicamente esse efeito singular decorre do fato de que todos os movimentos de corpo rígido do problema ainda não foram eliminados caracterizando um problema estático Conforme descrito em treliças as prescrições em deslocamentos pode ser inseridas no sistema basicamente de três maneiras a depender da natureza dos vínculos e valores impostos aos deslocamentos recalques Seja um sistema dado por k11 k12 k13 k12 k22 k23 k13 k23 k33 u1 u2 u3 f1 f2 f3 Se u2 é um valor prescrito com valor nulo ou outro qualquer implica que ele é um campo conhecido Se for utilizado o método 3 condensação estática então é necessário que se faça um agrupamento de valores conhecidos e incógnitos de tal forma que o sistema deve ser alterado para k22 k12 k23 k12 k11 k13 k23 k13 k33 u2 u1 u3 f2 f1 f3 O sistema reagrupado pode ser reescrito como KRR KRL KLR KLL UR UL FR FL onde KRR k22 KRL k12 k23 UR u2 FR f2 KLL k11 k13 k13 k33 KLR k12 k23 UL u1 u3 FL f1 f3 Uma função para fazer o agrupamento de valores conhecidos e incógnitos Uma função para fazer o agrupamento de valores conhecidos e incógnitos particao condcontorno A f u ntotal rows condcontorno npres 0 for i 0 ntotal 1 npres if condcontorno i 1 npres 1 npres j 1 k ntotal npres 1 for i 0 ntotal 1 if else condcontorno i 1 j j 1 col j i k k 1 col k i for i 0 ntotal 1 F i U i f col i u col i for j 0 ntotal 1 B i j A col i col j F B U npres col Uma função para identificação das submatrizes e subvetores envolvidos Subestrut Kest Fest desl cc F K Desl n col particao cc Kest Fest desl ntotal rows Kest n1 n2 n3 ntotal n 1 ntotal n ntotal 1 KLL KLR submatrix K 0 n1 0 n1 submatrix K 0 n1 n2 n3 KRL KRR submatrix K n2 n3 0 n1 submatrix K n2 n3 n2 n3 FL UR submatrix F 0 n1 0 0 submatrix Desl n2 n3 0 0 KLL KLR FL col KRL KRR UR n Agora é fazer a condensação estática KLL UL FL KLR UR Finalmente as incógnitas são determinadas UL KLL1 FL KLR UR Além disso também pode ser determinada por FR FR KRR UR KRL UL Aplicação o Método da Condensação Estática no Exemplo 1 Fase 1 Reorientação da matriz e vetores para separar os valores conhecidos R dos incógnitosL Fase 2 Extração das submatrizes KLL1 KLR1 FL1 col1 KRL1 KRR1 UR1 n1 Subestrut Kest1 Fest1 Uest1 cond1 KLL1 KLR1 FL1 col1 KRL1 KRR1 UR1 n1 Subestrut Kest1 Fest1 Uest1 cond1 KLL1 1333 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 6667 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0667 0 0889 0 0 0667 0 0 0 0 0 0667 0 0 2667 0 0667 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 6667 0 3333 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 2667 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 3333 0 6667 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0667 0 0889 0 0 0667 0 0 0 0 0 0667 0 0 2667 0 0667 0 0 0 0 0 0 3333 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0667 0667 0 1333 105 KRR1 3333 0 0 0 0 0444 0 0 0 0 0889 0 0 0 0 0444 105 UR1 0 0 0 003 KLR1 0 0667 0 0 3333 0 0 0 0 0444 0444 0 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0444 0444 0 0 0667 0667 0 0 0 0 0 0 0 0667 105 FL1 83333 0 40 0 0 0 0 40 0 250 83333 Determinação dos deslocamentos incógnitos UL1 KLL11 FL1 KLR1 UR1 UL1T 205 075 2963 0113 15 25 225 12038 5113 3 705 103 Determinação das reações de apoio FR FR1 KRR1 UR1 KRL1 UL1 FR1T 250 125 55 125 Empilhando os vetores de deslocamento e forca da estrutura Up1 stack UL1 UR1 Fp1 stack FL1 FR1 Retornando os vetores da estrutura à ordenação original do problema Reordena x col ntotal rows col for k 0 ntotal 1 valor col k x k valor Fbase u kb nvar for i 1 cols kb I nvar i 1 for j 0 nvar 1 v I j kb j i 1 u I j v Uest1 Reordena Up1 col1 Fbase u kb nvar for i 1 cols kb I nvar i 1 for j 0 nvar 1 v I j kb j i 1 u I j v Uest1 Reordena Up1 col1 Fest1r Reordena Fp1 col1 Fmola1 Fbase Uest1 kmola1 nvar Uest1T 0 0 205 75 29625 1125 15 0 25 225 120375 51125 30 300 705 104 Fest1rT 025 0013 0083 0 004 0 0 0055 0 0 004 0 025 0012 0083 103 Fmola1T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 função retorna resultados por No VetorRes Uest presc for k 1 cols presc for j 0 rows presc 1 VetorDesl j k 1 Uest nvar k nvar j VetorDesl VetorDesl1 VetorRes Uest1 Prescricao1 VetorDesl1 0 75 104 0002 0002 0003 0 0003 0 0012 003 0002 1125 104 0003 0005 0007 Desenho da Estrutura e Deformada EstrPlana inc coord for i 0 cols inc 1 k1 inc 0 i k2 inc 1 i Cx 0 i coord 0 k1 1 Cx 1 i coord 0 k2 1 Cy 0 i coord 1 k1 1 Cy 1 i coord 1 k2 1 Cx Cy deformada u inc for i 0 cols inc 1 k1 inc 0 i k2 inc 1 i dx 0 i u 0 k1 1 dx 1 i u 0 k2 1 dy 0 i u 1 k1 1 dy 1 i u 1 k2 1 dx dy Deslplot1 stack VetorDesl1 0 VetorDesl1 1 Cx Cy EstrPlana inc1 coord1 dx dy deformada fator Deslplot1 coord1 inc1 Aplicação o Método da Condensação Estática no Exemplo 2 Aplicação o Método da Condensação Estática no Exemplo 2 KLL2 KLR2 FL2 col2 KRL2 KRR2 UR2 n2 Subestrut Kest2 Fest2 Uest2 cond2 KLL2 9185 0474 008 533 5277 008 0474 1398 008 5277 533 008 008 008 0318 008 008 0159 533 5277 008 5333 5277 008 5277 533 008 5277 5333 008 008 008 0159 008 008 0318 105 KRR2 3855 575 0065 575 8647 0043 0065 0043 0281 105 KLR2 3855 575 0065 575 8647 0043 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 105 FL2 12775 0536 1193 0 2386 1193 UR2 0 0 0 Determinação dos deslocamentos incógnitos UL2 KLL21 FL2 KLR2 UR2 UL2T 27938 18542 10969 58577 12134 9469 104 Determinação das reações de apoio FR FR2 KRR2 UR2 KRL2 UL2 FR2T 10798 3139 26116 Empilhando os vetores de deslocamento e forca da estrutura Up2 stack UL2 UR2 Fp2 stack FL2 FR2 Retornando os vetores da estrutura à ordenação original do problema Uest2 Reordena Up2 col2 Fest2r Reordena Fp2 col2 Fmola2 Fbase Uest2 kmola2 nvar Uest2 0 0 0 27938 18542 10969 58577 12134 9469 104 Fest2r 10798 3139 26116 12775 0536 1193 0 2386 1193 Fmola2 0 0 0 0 0626 0 1977 041 0 VetorDesl2 VetorRes Uest2 Prescricao2 VetorDesl2 0 0003 0006 0 0002 0001 0 0001 9469 104 VetorDesl2 0 0003 0006 0 0002 0001 0 0001 9469 104 Deslplot2 stack VetorDesl2 0 VetorDesl2 1 fator 100 Cx Cy EstrPlana inc2 coord2 dx dy deformada fator Deslplot2 coord2 inc2 deformada Ftool 10 Cálculo das Reações de Apoio As reações podem ser determinadas pelo produto da matriz de rigidez original Kest sem a inserção das condições de contorno pelo vetor de deslocamento calculado Uest subtraindose a soma do vetor de carga original da estrutura Fest com o vetor das forças das mola isto é Reacao1 Kest1 Uest1 Fest1 Fmola1 VetorReacao1 VetorRes Reacao1 Prescricao1 VetorReacao1 0 0 1137 1013 1137 1013 8527 1014 125 5684 1014 55 108 1012 125 8527 1014 5684 1014 9095 1013 1705 1013 8811 1013 VetorReacao1 0 0 1137 1013 1137 1013 8527 1014 125 5684 1014 55 108 1012 125 8527 1014 5684 1014 9095 1013 1705 1013 8811 1013 Reacao2 Kest2 Uest2 Fest2 Fmola2 VetorReacao2 VetorRes Reacao2 Prescricao2 VetorReacao2 14023 373 1014 1977 0989 0626 041 29257 4441 1015 4441 1015 ftool 11Determinação dos Esforços nas Barras A determinação dos esforços em cada barra é feita pelo produto da matriz de rigidez local pelo deslocamento local subtraído do vetor nodal equivalente local fL kL uL pL O deslocamento local uL é obtido a partir da transformação do deslocamento global uG da barra uL β uG Se ij forem os nós inicial e final da barra o deslocamento global da barra de pórtico plano pode ser obtido do vetor de deslocamentos da estrutura Uest como mostrado Se ij forem os nós inicial e final da barra o deslocamento global da barra de pórtico plano pode ser obtido do vetor de deslocamentos da estrutura Uest como mostrado I 3 i 3 uG Uest I 2 Uest I 1 Uest I Uest J 2 Uest J 1 Uest J com J 3 j 3 Esforços nas Barras do Exemplo 1 Uest Uest1 Barra 12 noi noj arti artj T inc1 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord1 E A I γ T prop1 0 β12 β Cx12 Cy12 uG12 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k12 kL E A I L12 arti artj pL12 pLocal T prop1 0 T gBarra1 0 T temp1 0 L12 arti artj pG12 pGlobal T gBarra1 0 T prop1 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj pG12total β12T pL12 pG12 Reações na barra fL12 k12 β12 uG12 β12 pG12total fL12 0 00125 85265 1017 0 00125 00375 103 noi 1 noj 2 Barra 23 noi noj arti artj T inc1 1 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord1 uG23 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 E A I γ T prop1 1 β12 β Cx23 Cy23 k23 kL E A I L23 arti artj pL23 pLocal T prop1 1 T gBarra1 1 T temp1 1 L23 arti artj Reações na barra pG23 pGlobal T gBarra1 1 T prop1 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj pG23total β23T pL23 pG23 fL23 07715 00425 006 07715 00425 00675 103 Reações na barra pG23total β23T pL23 pG23 fL23 k23 β23 uG23 β23 pG23total fL23 07715 00425 006 07715 00425 00675 103 noi 2 noj 3 Barra 34 noi noj arti artj T inc1 2 L34 Cx34 Cy34 geo noi noj coord1 E A I γ T prop1 2 β34 β Cx34 Cy34 uG34 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k34 kL E A I L34 arti artj pL34 pLocal T prop1 2 T gBarra1 2 T temp1 2 L34 arti artj pG34 pGlobal T gBarra1 2 T prop1 2 L34 Cx34 Cy34 dirgrav arti artj pG34total β34T pL34 pG34 Reações na barra fL34 k34 β34 uG34 β34 pG34total fL34 85265 1017 00275 0045 85265 1017 00275 00375 103 noi 3 noj 4 Barra 45 noi noj arti artj T inc1 3 L45 Cx45 Cy45 geo noi noj coord1 E A I γ T prop1 3 β12 β Cx45 Cy45 uG45 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k45 kL E A I L45 arti artj pL45 pLocal T prop1 3 T gBarra1 3 T temp1 3 L45 arti artj pG45 pGlobal T gBarra1 3 T prop1 3 L45 Cx45 Cy45 dirgrav arti artj pG45total β45T pL45 pG45 Reações na barra fL45 k45 β45 uG45 β45 pG45total fL45 85265 1017 00125 00375 85265 1017 00125 88107 1016 103 noi 4 noj 5 Esforços nas Barras do Exemplo 2 Uest Uest2 Barra 12 noi noj arti artj T inc2 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord2 E A I γ T prop2 0 β12 β Cx12 Cy12 uG12 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k12 kL E A I L12 arti artj pL12 pLocal T prop2 0 T gBarra2 0 T temp2 0 L12 arti artj pG12 pGlobal T gBarra2 0 T prop2 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj pG12total β12T pL12 pG12 Reações na barra fL12 k12 β12 uG12 β12 pG12total noi 1 noj 2 fL12 86017 111191 292573 86017 3908 0 uG23 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 Barra 23 noi noj arti artj T inc2 1 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord2 E A I γ T prop2 1 β12 β Cx23 Cy23 E A I γ T prop2 1 β12 β Cx23 Cy23 uG23 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 k23 kL E A I L23 arti artj pL23 pLocal T prop2 1 T gBarra2 1 T temp2 1 L23 arti artj pG23 pGlobal T gBarra2 1 T prop2 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj pG23total β23T pL23 pG23 Reações na barra fL23 k23 β23 uG23 β23 pG23total fL23 44834 16875 44409 1015 11084 16875 44409 1015 ftool E 106 A 0010 I 00001 γ 0 Δθs 0 α 0 Δθi 0 Δθi 0 E 106 A 0010 I 00001 γ 0 Δθs 0 α 0 kx E I 0 prop3 E E A A I I γ 0 coord3 4 0 4 0 3 3 inc3 1 2 2 3 0 0 1 0 ky E I 0 kθ 0 Forca3 0 0 0 0 0 0 0 30 0 Prescricao3 1 0 1 1 0 1 1 0 1 kmola3 0 0 kx 0 ky ky 0 kθ kθ h 03 ycg 015 u3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 temp3 α α Δθi Δθi Δθs Δθs ycg ycg h h γ A 0 ky 0 Fx 0 Fy 0 fxi 10 fxj 10 pyi 0 pyj 0 M 0 a 0 gBarra3 fxi 5 fxj 5 pyi 0 pyj 0 GG LL fBarra3 Fx 0 Fy 0 M 0 a 0 LL LL fator 5 tipoEstrutura Portico2D dadosb3 tipoEstrutura inc3 prop3 gBarra3 temp3 fBarra3 dadosno3 coord3 u3 stack Prescricao3 kmola3 Forca3 Kest3 ZerarMatrix Prescricao3 Fest3 ZerarVetor Prescricao3 1 nvar rowsPrescricao3 noi noj arti artj T inc3 0 E A I γ T prop3 0 L12 Cx12 Cy12 geo noi noj coord3 β12 β Cx12 Cy12 k12 kL E A I L12 arti artj kg12 β12T k12 β12 Kest3 Montagem Kest3 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T k12 β12 nvar pL12 pLocal T prop3 0 T gBarra3 0 T temp3 0 L12 arti artj pG12 pGlobal T gBarra3 0 T prop3 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj Fest3 MontagemForca Fest3 nvar noi 1 nvar noj 1 β12T pL12 pG12 nvar noi noj arti artj T inc3 1 E A I γ T prop3 1 noi noj arti artj T inc3 1 E A I γ T prop3 1 L23 Cx23 Cy23 geo noi noj coord3 noi 2 noj 3 β23 β Cx23 Cy23 k23 kL E A I L23 arti artj kg23 β23T k23 β23 Kest3 Montagem Kest3 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T k23 β23 nvar pL23 pLocal T prop3 1 T gBarra3 1 T temp3 1 L23 arti artj pG23 pGlobal T gBarra3 1 T prop3 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj Fest3 MontagemForca Fest3 nvar noi 1 nvar noj 1 β23T pL23 pG23 nvar unidade 1 cond3 ZerarVetor Prescricao3 unidade Uest3 ZerarVetor Prescricao3 unidade cond3 MontagemVetor cond3 1 Prescricao3 nvar cond3 MontagemVetor cond3 3 Prescricao3 nvar Fest3 MontagemVetor Fest3 2 Forca3 nvar KLL2 KLR2 FL2 col3 KRL2 KRR2 UR2 n3 Subestrut Kest3 Fest3 Uest3 cond3 UL2 KLL21 FL2 KLR2 UR2 UL2T 64033 239456 309 103 104 FR2 KRR2 UR2 KRL2 UL2 Up3 stack UL2 UR2 Fp3 stack FL2 FR2 Uest3 Reordena Up3 col3 Fest3r Reordena Fp3 col3 Fmola3 Fbase Uest3 kmola3 nvar VetorDesl3 VetorRes Uest3 Prescricao3 VetorDesl3 0 0006 0 0 0024 0 0 0309 0 fator 5 Deslplot3 stack VetorDesl3 0 VetorDesl3 1 Cx Cy EstrPlana inc3 coord3 dx dy deformada fator Deslplot3 coord3 inc3 Reacao3 Kest3 Uest3 Fest3 Fmola3 VetorReacao3 VetorRes Reacao3 Prescricao3 VetorReacao3 3992 3553 1015 6008 11138 0 11138 11526 0 14551 Uest Uest3 noi noj arti artj T inc3 0 pL12 pLocal T prop3 0 T gBarra3 0 T temp3 0 L12 arti artj uG12 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 pG12 pGlobal T gBarra3 0 T prop3 0 L12 Cx12 Cy12 dirgrav arti artj pG12total β12T pL12 pG12 fL12 k12 β12 uG12 β12 pG12total Reações na barra 1 noi 1 noj 2 fL12 3489 11305 11526 27489 6695 0 fL12 3489 11305 11526 27489 6695 0 noi noj arti artj T inc3 1 uG23 Uest 3 noi 1 Uest 3 noi 1 1 Uest 3 noi 1 2 Uest 3 noj 1 Uest 3 noj 1 1 Uest 3 noj 1 2 pL23 pLocal T prop3 1 T gBarra3 1 T temp3 1 L23 arti artj pG23 pGlobal T gBarra3 1 T prop3 1 L23 Cx23 Cy23 dirgrav arti artj pG23total β23T pL23 pG23 Reações na barra 2 fL23 k23 β23 uG23 β23 pG23total fL23 260083 111378 30 60083 111378 14551 Forças na barra 1 Forças na barra 2 3489 11305 11526 27489 6695 0 260083 111378 30 60083 111378 14551 VetorReacao3 3992 3553 1015 6008 11138 0 11138 11526 0 14551 Exercícios Propostos Kest3 1281 103 958848 72 1281 103 958848 0 0 0 0 958848 721536 96 958848 721536 0 0 0 0 72 96 60 72 96 0 0 0 0 1281 103 958848 72 3781 103 958848 0 25 103 0 0 958848 721536 96 958848 740286 375 0 1875 375 0 0 0 0 375 100 0 375 50 0 0 0 25 103 0 0 25 103 0 0 0 0 0 0 1875 375 0 1875 375 0 0 0 0 375 50 0 375 100