Determinação de Tensões Principais e Cisalhamento Máximo em Estado Plano de Tensões

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina Mecânica dos Sólidos II Prof Koje Daniel Vasconcelos Mishina Estado Plano de Tensões Aplicações 1 Determine e mostre em um esboço as Tensões principais e a Tensão de Cisalhamento Máxima no ponto a b 2 As tensões mostradas na figura a seguir atuam em um ponto da superfície livre de um corpo submetido a um estado plano de tensões O módulo da tensão de cisalhamento máxima no ponto é 125 MPa Determine as tensões principais o módulo da tensão de cisalhamento desconhecida no plano vertical e ângulo ɵ𝑝 entre o eixo x e a tensão normal máxima no ponto Resolução 1 a 𝜎𝑥 36 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 26 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 12 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝12 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦2 𝜎𝑝12 31 52 122 𝜎𝑝12 31 13 𝜎𝑝1 44 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑝2 18 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝3 𝜎𝑝2 𝜎𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 3 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 2 44 0 2 22 𝑀𝑃𝑎 𝜎13 𝜎𝑝1 𝜎𝑝3 2 44 0 2 22 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑔2ɵ𝑝 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 ɵ𝑝 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 12 5 ɵ𝑝 337 Esboço 1b 𝜎𝑥 50 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 30 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 40 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝12 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦2 𝜎𝑝12 50 30 2 102 402 𝜎𝑝12 40 4123 𝜎𝑝1 8123 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑝2 123 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝2 𝜎𝑝3 𝜎𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 2 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 2 8123 123 2 4123 𝑀𝑃𝑎 𝜎12 𝜎𝑝1 𝜎𝑝2 2 8123 123 2 40 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑔2ɵ𝑝 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 ɵ𝑝 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 40 10 ɵ𝑝 3798 Esboço 2 𝜏𝑚á𝑥 125 MPa 𝜎𝑥 80 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 120 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 Como 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 tem sinais opostos podemos concluir que se enquadra no caso 2 𝜎𝑝2 𝜎𝑝3 𝜎𝑝1 𝜏𝑚á𝑥 125 MPa 𝜎𝑚𝑎𝑥𝜎𝑚𝑖𝑛 2 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 250 𝑀𝑃𝑎 𝜎1 𝜎2 250 𝑀𝑃𝑎 1 Considerando 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎1 𝜎2𝜎1 𝜎2 40 𝑀𝑝𝑎 2 𝜎1 𝜎2 250 𝑀𝑃𝑎 𝜎1 𝜎2 40 𝑀𝑝𝑎 2𝜎1 210 𝜎1 105 𝑀𝑃𝑎 Substituindo na 𝜎1 na Eq 1 105 𝜎2 250 𝜎2 145 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝12 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦2 𝜏𝑝 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦2 1002 𝜏𝑥𝑦2 125 1002 𝜏𝑥𝑦2 1252 𝜏𝑥𝑦21252 1002𝜏𝑥𝑦 5625 𝜏𝑥𝑦 75 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 75 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑔2ɵ𝑝 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 ɵ𝑝 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 752 80 120 ɵ𝑝 1843 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões O círculo de Mohr é um método gráfico para a análise de tensões Considerando as equações gerais da Tensão Normal 𝜎𝑛 e Tensão de Cisalhamento 𝜏𝑛𝑡 𝝈𝒏 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝝉𝒏𝒕 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝝈𝒏 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝟐 𝝉𝒏𝒕 𝟎𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐 Somando as equações acima temos 𝝈𝒏 𝝈𝒙𝝈𝒚 𝟐 𝟐 𝝉𝒏𝒕 𝟎𝟐 𝝈𝒙𝝈𝒚 𝟐 𝟐 𝝉𝒙𝒚𝟐 Eq III E comparando com a equação do círculo temos 𝑿 𝑿𝒄𝟐 𝒀 𝒀𝒄𝟐 𝑹𝟐 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑿𝑪 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒆 𝒀𝒄 𝟎 e o 𝑅 𝝈𝒙𝝈𝒚 𝟐 𝟐 𝝉𝒙𝒚𝟐 No Círculo de Mohr o eixo das Abscissas é o eixo das Tensões Normais 𝛔 e o eixo das Ordenadas é eixo das Tensões Tangenciais 𝛕 Verifique que o centro do círculo se encontra sobre o eixo das abscissas No círculo de Mohr temos a O plano vertical representado pelo par ordenado V𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 b O plano horizontal pelo par ordenado H𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 c No círculo de Mohr os arcos são medidos em termos de arcos duplos a partir do plano vertical V Sendo o sentido anti horário positivo e o sentido horário negativo d De acordo com o gráfico o ponto C é o centro do círculo de Mohr e os pontos V e H são diametralmente opostos e A interseção do círculo com o eixo dos 𝛔 determina as tensões principais 𝜎𝑝1 𝑒 𝜎𝑝2 f A intersecção do círculo com uma reta paralela ao eixo τ e que passa no centro do círculo determinase 𝜏𝑝 Casos a serem analisados 1 Caso 𝜎𝑝2 𝜎𝑝1 𝜎𝑝3 2 Caso 𝜎𝑝2 𝜎𝑝3 𝜎𝑝1 3 Caso 𝜎𝑝3 𝜎𝑝2 𝜎𝑝1 Aplicação 1 Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto pelo Círculo de Mohr 𝜎𝑥 36 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 26 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 12 𝑀𝑃𝑎 V𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 36 12 H𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 2612 C 𝝈𝒙𝝈𝒚 𝟐 𝟎 𝟑𝟏 𝟎 3 Caso 𝜎𝑝3 𝜎𝑝2 𝜎𝑝1 𝜏𝑝 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦2 52 122 13 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝1 𝑂𝐶 𝐶𝐵 31 13 44 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝2 𝑂𝐶 𝐶𝐴 31 13 18 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 2 𝜎𝑝1 𝜎𝑝3 2 44 0 2 22 𝑀𝑃𝑎