Cálculo de Várias Variáveis

A de A e Silva M P Matos CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Antônio de A e Silva Marivaldo P Matos Cálculo de Várias Variáveis Prefácio Este texto é produto da experiência dos autores quando ministraram por diversas vezes disciplinas envolvendo cálculo diferencial e integral para os cursos de Ciências Exatas e Engenharias da UFPB e de Licenciatura em Matemática a Distância da UFPBVirtual O principal objetivo deste texto é fazer com que os alunos compreendam com clareza os conceitos envolvendo funções de várias variáveis de um ponto de vista geométrico e algébrico e desenvolvam a capacidade de modelar problemas matemáticos e provas envolvendo conceitos topológicos bem como as noções intuitivas de limites continuidade derivadas parciais diferenciabilidade comportamento de funções integrais de linha e de superfície O público a que o livro se destina são os estudantes com conhecimento prévio de cálculo diferencial e integral equivalente a um período letivo familiarizados com as ideias de derivada e integral em seus aspectos fundamentais e com uma noção razoável sobre simbologia e lógica matemática de modo a compreender etapas que vão da formulação à demonstração de resultados matemáticos pouco sosticados Conhecimentos básicos sobre cálculo vetorial retas planos cônicas e quádricas são recomendados mas não indispensáveis É nossa expectativa que este texto assuma o carater de espinha dorsal de uma experiência perma nentemente renovável sendo portanto bem vindas as críticas eou sugestões apresentadas por todos professores ou alunos que dele zerem uso Os termos ou expressões que consideramos pouco comuns foram grafados em itálico e indicam que estão sendo denidos naquele ponto do texto ou que serão formalizados nas seções ou capítulos posteriores Como parte do processo de treinamento e para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas denições incluímos no nal de cada seção uma extensa lista de exercícios O livro é composto de uma parte sobre cálculo diferencial e outra sobre cálculo integral onde apresentamos os conceitos e métodos fundamentais com vistas às aplicações Por se tratar de um texto de cálculo julgamos conveniente omitir a demonstração de alguns resultados principalmente na parte de cálculo integral mas levando em consideração dois aspectos primeiro a formulação matemática adequada e depois a exemplicação de como utilizálos No capítulo 1 apresentaremos algumas denições e resultados sobre conceitos topológicos funções reais de duas ou mais variáveis reais limites e continuidade que serão necessárias para o entendimento dos próximas capítulos No capítulo 2 apresentaremos as denições de derivadas parciais diferenciabilidade Regra da Cadeia derivada direcional e gradiente que serão necessárias para as aplicações No capítulo 3 apresentaremos os problemas de maximazação e minimização o Método dos Multi plicadores de Lagrange derivação implícita e transformações No capítulo 4 apresentaremos algumas denições e resultados sobre integrais múltiplas e mudança de coordenadas Sumário a π6 23 b 0 c fx1 0 fy1 0 0 d 1 No capítulo 5 apresentaremos algumas denições e resultados sobre campos de vetores funções vetoriais integrais de linha e independência do caminho Finalmente no capítulo 6 apresentaremos os conceitos de superfícies parametrizadas e integrais de superfície além dos teoremas clássicos do cálculo integral Teorema de Green Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes Agradecimentos Os autores reconhecem e agradecem a gentileza dos colegas Ailton Ribeiro de Assis Inaldo Bar bosa de Albuquerque João Bosco Batista Lacerda João Bosco Nogueira Jorge Costa Duarte Filho José Gomes de Assis e Shirley Santos e Souza todos do Departamento de Matemática do CCEN UFPB pelas sugestões incorporadas ao texto e sobretudo pelo encorajamento para realizar esta obra Agradecemos especialmente a Luizalba Santos e Souza pela leitura cuidadosa e revisão linguística da primeira versão Aos nossos inúmeros exalunos que de alguma forma contribuíram para o sucesso deste trabalho registramos nossos sinceros agradecimentos Antônio de A e Silva Marivaldo P Matos Campos Escalares Ax y exp1x² y² então no ponto x y 0 0 temos Conceitos Topológicos fx0 0 limh0 fh 0h e1h² h 0 e fy0 0 limk0 fx0 k fx0 0k vi SUMÁRIO Seção 23 Regra da Cadeia 71 Seção 24 Derivada Direcional Gradiente 73 3 Derivadas aplicações 79 31 Máximos e Mínimos 78 311 Classicação dos Pontos Críticos 83 312 Funções Contínuas em Compactos 88 Exercícios e Complementos 91 32 Multiplicadores de Lagrange 92 321 Considerações Finais 98 Exercícios e Complementos 101 33 Derivação Implícita 102 331 Uma Equação e duas Variáveis 103 332 Uma Equação e três Variáveis 106 333 Duas Equações e quatro Variáveis 107 Exercícios e Complementos 109 34 Transformações 110 341 Coordenadas Polares Cilíndricas e Esféricas 114 Exercícios e Complementos 116 Respostas Sugestões 119 Seção 31 Máximos Mínimos 119 Seção 32 multiplicadores de lagrange 120 Seção 33 derivação implícita 123 Seção 34 transformações 125 4 Integrais Múltiplas 129 41 Integral Dupla 128 411 Integral Dupla sobre Retângulos 129 412 Integral Dupla sobre Regiões não Retangulares 133 413 Invertendo a Ordem de Integração 138 414 Considerações Físicas 141 415 Integral Dupla Imprópria 144 Exercícios e Complementos 145 416 Mudança de Variável em Integral Dupla 147 Exercícios e Complementos 155 42 Integral Tripla 157 421 Mudança de Variável em Integral Tripla 160 422 Considerações Físicas 163 Exercícios e Complementos 165 Respostas Sugestões 166 Seção 41 Integral Dupla 166 Seção 416 Mudança de Variável 167 Seção 42 Integral Tripla 168 Posição Relativa Ponto Conjunto Como fx y x² y³ então fx 2x e sendo assim fxP 2x² y² CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS SUMÁRIO vii 5 Integral de Linha 171 51 Campos Vetoriais 172 511 Operadores Diferenciais 176 Exercícios e Complementos 179 52 Caminhos Regulares 181 521 Curvas Orientadas 183 Exercícios e Complementos 189 53 Calculando Integral de Linha 190 531 Integrando um Campo Vetorial 190 532 Integrando um Campo Escalar 194 533 Considerações Físicas 197 Exercícios e Complementos 199 54 Independência do Caminho 201 541 O Potencial como Integral de Linha 208 Exercícios e Complementos 210 55 O Teorema de Green no Plano 211 551 Regiões Multiplamente Conexas 215 552 Aplicações do Teorema de Green 216 Exercícios e Complementos 220 Respostas Sugestões 221 Seção 51 Campos Vetoriais 221 Seção 52 Caminhos Regulares 223 Seção 53 Calculando Integral de Linha 224 Seção 54 Independência do Caminho 225 Seção 55 Teorema de Green 226 6 Integral de Superfície 229 61 Superfícies Regulares 227 611 Superfícies Orientadas 234 Exercícios e Complementos 237 62 Área de uma Superfície 238 621 Forma Parametrizada 243 Exercícios e Complementos 246 63 Integral de Superfície 247 631 Massa Centro de Massa e Momento de Inércia 251 632 Integrando Formas Diferenciais 253 Exercícios e Complementos 255 64 Fluxo e o Teorema de Gauss 256 641 Considerações Físicas 262 Exercícios e Complementos 265 65 Circulação e o Teorema de Stokes 267 651 Interpretação do Rotacional 275 Exercícios e Complementos 276 Exercícios e Complementos Como zxx x² y²²x² y²² zy 2xyx² y²² temos viii SUMÁRIO Respostas Sugestões 277 Seção 61 Superfícies Regulares 277 Seção 62 Área de uma Superfície 278 Seção 63 Integral de Superfície 279 Seção 64 Teorema de Gauss 280 Seção 65 teorema de Stokes 281 Referências Bibliográcas 285 Índice Remissivo 287 Funções Reais de Várias Variáveis Procedimento semelhante ao Exercício 6 Curvas e Superfícies de Nível Limite e Continuidade Dados um ponto P a b R² e um número real δ 0 denominase δvizinhanca circular de P em símbolos VδP ao conjunto de todos pontos Qx y R² tais que dPQ x a² y b² δ Se representarmos por Q P a distância em Rⁿ entre os pontos P e Q então VδP Q Rⁿ Q P δ A δvizinhanca retangular de P também representada por VδP é o conjunto de todos pontos Qx y do R² tais que x a δ e y b δ isto é VδP Q R² x a δ e y b δ Abaixo exibimos graficamente as vizinhancas circular e retangular de um ponto P Motivação 111 Posição Relativa Ponto Conjunto Dados um conjunto X e um ponto P do Rⁿ o qual pode estar em X ou não apenas uma das situações abaixo ocorre Situação 1 existe um raio δ 0 tal que a vizinhanca VδP está inteiramente contida no conjunto X Situação 2 existe um raio δ 0 tal que a vizinhanca VδP está inteiramente contida no complementar de X isto é não toca o conjunto X Situação 3 seja qual for raio δ 0 a vizinhanca VδP toca o conjunto X e também seu complementar Quando ocorrer a situação 1 diremos que o ponto P é interior ao conjunto X na situação 2 o ponto P é exterior ao conjunto X e quando ocorrer a situação 3 diremos que o ponto P está na fronteira do conjunto X Imaginese viajando do estado da Paraíba conjunto X para o vizinho estado de Pernambuco conjunto Y e de repente surge uma placa de sinalização informando divisa de estado PBPE A linha que separa os dois estados conjuntos é a fronteira de um lado você está dentro no interior da Paraíba e do outro você está fora no exterior da Paraíba Conceito e Regras Assim Q Y e Y é um conjunto aberto em R² Finalmente para comprovar que Z não é um conjunto aberto em R² basta observar que não existe uma δvizinhanca VδP δ 0 do ponto Pa 0 do conjunto Z inteiramente contida em Z Um conjunto X em Rⁿ denominase fechado se seu complementar RⁿX for aberto Por exemplo X x y R² x² y² 1 é um conjunto fechado em R² pois seu complementar R² X x y R² x² y² 1 é um conjunto aberto em R² Um ponto P Rⁿ é um ponto de fronteira de um conjunto X em Rⁿ se qualquer δvizinhanca de P contém pontos de X e pontos fora de X isto é VδP X e VδP RⁿX Dado um conjunto X em Rⁿ denominase fronteira de X e anotase X o conjunto de todos os pontos de fronteira de X É claro que Rⁿ é o conjunto vazio e para qualquer conjunto X temos que X Rⁿ X isto é um conjunto X e seu complementar Rⁿ X têm a mesma fronteira Podemos utilizar a fronteira de um conjunto para determinar se ele é aberto ou fechado Um conjunto X é aberto quando ele não tiver ponto em comum com sua fronteira e ele será fechado quando sua fronteira estiver inteiramente contida nele Resumindo temos X X X é fechado e X X X é aberto Exemplo 13 Consideremos em R² os seguintes conjuntos X x y R² y 0 e Y x y R² x² y² 1 Temos que X x y R² y 0 e Y x y R² x² y² 1 Solução Para comprovar nossa afirmação fixamos um ponto P a 0 do eixo x e um raio δ 0 Se 0 y δ então o ponto Qa y está em X porque 0 y e também na vizinhanca VδP de onde resulta que VδP toca conjunto X Por outro lado o ponto P VδP R²X e isso mostra que VδP toca o complementar de X Logo o ponto P está na fronteira de X Reciprocamente dado P a b X sendo b 0 a vizinhanca VδP com 0 δ b está contida em R² X o que é impossivel pois P X sei b 0 a vizinhanca VδP com 0 δ δ está contida em X o que é impossivel pela mesma razão Logo b 0 e a fronteira de X é o eixo x isto é X x y R² y 0 Exercícios e Complementos CAPÍTULO 1 CAMPOS ESCALARES 5 Um conjunto X em Rn denominase limitado se existir uma vizinhança VrO de centro na origem O de Rn e raio r suficientemente grande tal que X VrO Em R2 um conjunto X é limitado quando existir r 0 tal que x² y² r seja qual for o ponto x y do conjunto X De forma equivalente X será limitado quando existir um número r 0 tal que x r e y r x y X De maneira intuitiva em R2 um conjunto X é limitado quando ele puder ser envolvido por uma circunferência ou por um retângulo Exemplo 14 Vamos analisar quanto à limitação os seguintes subconjuntos do R2 X x y R2 x 1 e 1 y 2 e Y x y R2 x 0 Solução Inicialmente observamos que o conjunto X é um retângulo com lados de comprimentos a 2 e b 3 Assim considerando r max2 3 3 obtemos X V3O x y R2 x² y² 9 Portanto X é um conjunto limitado em R2 Por outro lado para cada r 0 o ponto P r 1 0 está no conjunto Y e não está na vizinhança VrO de raio r e centro na origem Isso mostra que não é possível ter Y VrO e sendo assim Y não é um conjunto limitado em R2 Vejamos as ilustrações gráficas abaixo Um conjunto X em Rn denominase compacto se ele é ao mesmo tempo limitado e fechado em Rn O conjunto X do Exemplo 14 é compacto Também é compacto o conjunto X x y R2 x y 1 O conjunto Y x y R2 x 0 não é compacto porque não é limitado embora seja fechado Já o conjunto Z x y R2 x² y² 1 não é compacto porque não é fechado embora seja limitado Respostas Sugestões CÁLCULO DE VARIÁVEIS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS 6 Figura 14 X é limitado Figura 15 Y não é limitado Um ponto P Rn é um ponto de acumulação de um subconjunto X em Rn se para qualquer número real δ 0 temse VδP P X Isto significa que toda vizinhança de P contém um ponto de X diferente de P Um ponto de acumulação pode estar no conjunto ou não Por exemplo a origem é um ponto de acumulação do conjunto X x y R2 y 0 e não pertence a X Observamos ainda que todos os pontos desse conjunto X são pontos de acumulação O conjunto Z dos números inteiros não possui ponto de acumulação pois dado x Z se considerarmos δ 1 vemos que Vδx x Z Um ponto P X que não é um ponto de acumulação de X recebe o nome de ponto isolado de X Todos os pontos do conjunto Z são isolados Um conjunto X em Rn denominase convexo se quaisquer dois pontos distintos P e Q de X podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida em X por linha poligonal entendemos uma curva constituída de um número finito de segmentos retilíneos em sucessão tais que a extremidade de cada uma coincida com a origem do seguinte Um conjunto aberto e convexo recebe o nome de domínio Por exemplo o conjunto X x y R2 1 x² y² 4 é um domínio em R2 Vale ressaltar que um domínio não pode ser formado por dois conjuntos abertos disjuntos e não vazios Assim o conjunto X x y R2 x 1 não é um domínio em R2 pois X x y R2 x 1 x y R2 x 1 é a união de dois abertos disjuntos e não vazios Seção 11 Conceitos Topológicos CAPÍTULO 1 CAMPOS ESCALARES 7 Exemplo 15 Se X é um conjunto compacto em R2 seu complementar Y R2 X não é um conjunto simplesmente conexo em R2 Solução Sendo X um conjunto compacto em R2 ele é limitado e portanto existe uma vizinhança VrO de centro na origem O de R2 e raio r 0 suficientemente grande tal que X VrO Assim a circunferência de centro na origem O de R2 e raio r 1 está contida em Y mas não pode ser reduzida de maneira contínua a um ponto qualquer em Y sem deixar Y Portanto Y não é uma região simplesmente conexa em R2 Como consequência deduzimos que o conjunto Y x y R2 1 x² y² não é simplesmente conexo em R2 porque é o complementar do conjunto compacto X x y R2 x² y² 1 Seção 12 Funções de Várias Variáveis d R x y R2 1 x2 y2 2 e R x y R2 4 x2 9 f R x y R2 0 x e 1 y 2 g R x y R2 x y h R x y R2 x 1 e 1 y 2 i R x y R2 4x2 y2 9 j R x y R2 sen x y cos x 0 x π4 k R 0 1 1 2 l R x y R2 x y 1 m R x y R2 1 x2 y2 n R x y R2 x2 y2 1 y 0 o R x y R2 x3 y p R x y R2 x 2 e 1 x2 y2 q R x y R2 x2 y2 r R x y R2 x y 2 e 1 x2 y2 s R x y R2 x2 4y2 16 e x 2 Seção 13 Limite e Continuidade Exemplo 16 A função f definida pela regra f x y x2 y2 cujo domínio é todo o plano R2 já que a expressão x2 y2 pode ser calculada em qualquer x y do R2 Diferenciabilidade Exemplo 110 O domínio da função f x y log x2 y2 é o conjunto Df R2 0 0 e sua imagem é a reta real R Não parece óbvio mas seu gráfico é a superfície obtida por rotação da curva z log x2 x 0 do plano xz em torno do eixo z Derivadas Parciais w um valor constante k o conjunto de todos os pontos x y z X tais que w k é em geral uma superfície Sk denominada de superfície de nível da função f correspondente ao valor k Derivadas Parciais de Ordem Superior Exemplo 113 As superfícies de nível da função de três variáveis w f x y z x y z são os planos x y z k Já a função g x y z x² y² z² tem superfícies de nível as esferas x² y² z² k² k 0 do centro na origem e raio k No nível k 0 a superfície corresponde se reduz ao ponto O 0 0 0 Exemplos Clássicos I 1 Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função z f x y Exercícios e Complementos Se por outro lado x y tende para 0 0 ao longo da reta y x temos lim xy00 fx y lim t0 xy x² y² lim x0 x² 2x² 1 2 1 2 Campos Diferenciáveis fx y definida em um conjunto D do qual o ponto P a b é um ponto de acumulação então lim x ya b fx y L significa que dado um número real ε 0 existe em correspondência um δ 0 tal que x y D 0 x a² y b² δ fx y L ε A Diferencial Proposição 115 Sejam f g D R² R duas funções e seja P₀a b um ponto de acumulação do conjunto D Se lim PP₀ fP L e lim PP₀ gP M então 1 Linearidade lim PP₀ fP λgP L λM sendo λ uma constante real 2 Produto lim PP₀ fP gP L M 3 Quociente lim PP₀ fP gP L M desde que M 0 4 Confronto se L M e fP gP hP P então lim PP₀ hP L A Derivada como Aplicação Linear Exemplo 123 Investigar a função f x y frac2y2x3 y3 tem limite na origem Solução Os limites iterados são neste caso iguais a zero mas isso não assegura a existência do limite e muito menos qual ele é Fixemos os caminhos gamma1 y 0 e gamma2 y x e calculamos o limite de f xy ao longo desses caminhos Exemplos Clássicos II Exemplo 124 Investigar a existência do limite da função f x y fracx2y 1x4 y 12 no ponto 0 1 Solução Se na expressão fracx2y 1x4 y 12 substituirmos x por 0 e y por 1 chegaremos à forma indefinida 00 Investigaremos o limite no ponto P0 0 1 o qual deve ser ponto de acumulação dos caminhos a serem considerados Regra da Cadeia Solução Os limites iterados são neste caso limx o 0 limy o 0 frac2x2 y2x2 3y2 2 limy o 0 left limx o 0 frac2x2 y2x2 3y2 right limy o 0 13 13 de onde resulta que o limite não existe Derivada Direcional e Gradiente Solução Os limites iterados na origem são iguais a zero ao longo das retas y mx e das parábulas y kx² a função f x y tem limite zero na origem e ainda assim ela não tem limite em 0 0 De fato considerando o caminho γ y xex e usando a regra de LHôpital¹ chegamos ao lim xy00 f x y lim yxex x4e2x x31 e3x lim x0 xe2x 1 e3x 13 Logo o limite não existe pois o valor depende do caminho que conduz o ponto P a origem Usando a Limitação Suponhamos exista um δ 0 tal que a função g P seja limitada no domínio VδP P0 e que a função g P tenha limite zero em P0 O produto h P f P g P tem limite zero no ponto P0 De fato sendo limPP0 g P 0 segundo a definição dada existe δ 0 tal que g P ε para todo P na δvizinhanca VδP0 P P0 e sendo f limitada podemos supor sem perda de generalidade que existe uma constante positiva M tal que f P M com P na vizinhança VδP0 P P0 Logo h P 0 f P x g P f P x g P Mε desde que P esteja em VδP e P P0 isto é 0 P P0 δ Isso mostra que limPP0 h x y 0 Exemplo 126 Mostrar que lim xy00 xy x² y² 0 Solução Vamos decompor a função f x y xy x² y² no produto de uma função limitada por outra que tem limite zero Consideremos uma decomposição xy x² y² x x² y² y 10 limitada É claro que g x y y tem limite zero na origem e a função f x y x x² y² é limitada porque f x y x x² y² x² x² y² 1 x y 0 0 Variação Estimada Exemplo 127 Mostrar que função f x y z 3x²y yz³ x² y² z² tem limite zero na origem Solução De fato 3x²y yz³ x² y² z² 3y 10 x² x² y² z² yz 10 z² x² y² z² Logo lim xyz000 f x y z 0 Reta Tangente e Reta Normal Exemplo 128 A função f x y x² y 1 seny³ 1x² tem limite zero no ponto P0 0 1 Isto decorre do fato da função f x y ser o produto da função g x y seny³ 1x² que é limitada pela função h x y x² y 1 que tem limite zero no ponto P0 0 1 Logo lim xy01 x² y 1 seny³ 1x² 0 Exercícios e Complementos 1 Seja f R2 R definida por f 0 0 0 e f x y 2xy x2 y2 se x y 0 0 Mostre que lim h0 f 1 h 1 f 1 1 h 0 e lim k0 f 0 k f 0 0 k 0 Respostas Sugestões no seu domínio Sobre a composição de funções contínuas temos o seguinte resultado Proposição 138 Sejam f D R2 R e g I R R duas funções reais e supomos que Im f D c Se f é contínua em P0 e g é contínua em f P0 então a função composta g o f D R é contínua em P0 Seção 21 Derivadas Parciais A função f x y 1 x2 y2 tem para domínio o disco compacto D x2 y2 1 e podemos escrever f x y como composição de funções contínuas elementares De fato considerando g t t definida e contínua para t 0 e p x y 1 x2 y2 então g o p x y g p x y g 1 x2 y2 1 x2 y2 f x y e resulta da Proposição 138 que f x y é contínua no seu domínio D Seção 22 Campos Diferenciáveis 11 Discuta a continuidade das seguintes funções a f xy x² y²x y se x y e f xx 1 b f xy exp x1x²y² se x² y² 1 e f xx 0 se x² y² 1 c f xy exp x² y²x² y² se xy 00 e f 00 1 d f xy senx yx y se x y 0 e f xx 1 e f xyz x² y²x² y² z² se xyz 000 e f 000 0 f f xyz 4x² 9y² se 4x² 9y² 1 e f xy 0 se 4x² 9y² 1 g f xyz x² y² z² se x² y² z² 1 e f xyz 0 se x² y² z² 1 12 Sejam g e h funções definidas em R² por g 00 1 h 00 1 e para xy 00 considere g xy 3x²yy² e h xy xyx² y² Verifique que a origem é uma descontinuidade de g xy e de h xy Em caso de descontinuidade pode ser removida Recordese que remover uma descontinuidade significa redefinir a função de modo a tornála contínua Campos Escalares a Calcule o limite de f na origem ao longo das retas y mx b Calcule o limite de f na origem ao longo da curva y x²3 ex c Calcule o limite de f na origem ao longo da curva em coordenadas polares r cos²θ π2 θ 0 d Investigue a continuidade de f 17 Use o item c do Exercício 6 e mostre que lim xy00 arctg x yx² y² π2 18 Use coordenadas polares e mostre que lim xy00 x² y² log x² y² 0 1 Tabela de classificação topológica Aberto e g o q Fechado a i j k l m n Limitado b d h j k l r s Conexo a b c d f g h i j k l o p r s Compacto j k l m 2 Identificando a fronteira Como ilustração faremos os detalhes dos itens f e s a R xy R² y 0 b R xy R² x² y² 1 x 0 0y R² 1 y 1 c R 1y R² y 0 2y R² y 0 x0 R² 1 x 2 d R xy R² x² y² 1 xy R² x² y² 2 e R é constituída das retas x 3 x 2 x 2 e x 3 a D x y R² y x² e 2x y b D x y R² x y x c D x y R² 4x² y² 1 d D x y R² 4x² y² 1 e D x y R² x² y² 4 f D x y R² x 0 g D x y R² 1 y x 1 h D x y R² x 3 e y 2 x y R² x 3 e y 2 i D x y R² 1 x y 1 j D x y R² 1 x² y² 4 k D x y R² y 1ⁿx nπ l D x y R² x² 1 y² 1¹ 0 2 Em cada caso faça z k k constante para obter as curvas de nível Faça um esboço de pelo menos duas curvas de nível 3 No ponto P 1 2 temse que z 0 e a curva de nível por P é y 2x³ A reta tangente tem equação y 6x4 m y 6 é a inclinação da reta e sobre essa reta z fx 4x³12x8 Assim quando x a função f tende para 4 A origem O 0 0 0 a esfera x²y²z² 1 e a esfera x²y²z² 2 respectivamente 5 O hiperbóloide de uma folha x²y²z² 1 6 Faça um esboço a z 3 representa o plano passando por P 0 0 3 e paralelo ao plano xy b z x representa o plano contendo a reta z x c x y z 1 d z sen y representa uma superfície em forma de telha contendo a curva z sen y pois x é livre e z expx²y² f z 3 x² y² x² y² 3 z z 3 representa um paraboloide g z x² y² h z 16 x² y² i z x²y²⁴¹² j z 1 x² k z logx² y² l z senx² y² 7 a planos b elipsoides c hipérboloidese d cilindros SEÇÃO 13 LIMITE CONTINUIDADE 2 Além dos caminhos canônicos como as retas considere y x em e y² x³ em g y x² em h y x²ex em i e y xex em j 4 a 0 b 1 c 1 d 12 e π4 f 2 g 0 h 0 i 1 22²³ 7 a Considere os caminhos y 0 e y xkex escolhendo k adequado b Idem 8 a 0 b 0 c 38 A função não tem limite em 0 0 9 a Sim b Sim c Não d Não 10 A função fx y é combinação de funções elementares sendo portanto contínua em seu domínio a D x y R² x 0 e y 0 x y R² x 0 e y 0 b D x y R² y 2x c D x y R² y 1 d D x y R² x y 0 0 11 Note que a função está definida em todo plano R² a f é descontínua nos pontos da reta y x exceto no ponto P 12 12 b f é contínua em todos os pontos do R² c f é descontínua na origem d f não tem ponto de descontinuidade isto é ela é contínua em todo R² e f é descontínua na origem f f é descontínua nos pontos da elipse 4x² 9y² 1 g f é descontínua nos pontos da esfera x² y² z² 1 12 A função g é descontínua em 0 0 pois o limite de gx y na origem é 0 e g0 0 1 Para remover essa descontinuidade basta redefinir g na origem pondo g0 0 2 A função hx y é descontínua em 0 0 pois não tem limite nesse ponto Esse é o caso de uma descontinuidade que não pode ser removida ou seja uma descontinuidade essencial 13 Usando coordenadas polares e a Regra de LHôpital obtemos limxy00 fx y lim r0 sen r² 1 cos r lim r0 2r cos r² 2r sen r² 2 Note que sendo f00 0 a função f é descontínua na origem Essa descontinuidade pode ser removida redefinindo f na origem por f0 0 2 32 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Neste Capítulo vamos apresentar os conceitos e regras envolvendo derivadas parciais com aplicações a diversos problemas práticos Imaginemos que uma situação prática por exemplo uma distribuição de temperatura em uma placa ou um mapa cartográfico seja modelada por uma função de duas variáveis z fx y e desejamos determinar as direções nas quais a temperatura fx y cresce ou decresce mais rapidamente a partir de um ponto Px y da placa Seja D um subconjunto do mathbbR2 contendo o ponto Pa b no seu interior e consideremos uma função f D subset mathbbR2 o mathbbR Ao fixarmos y b obtemos uma função real de uma variável gx fx b definida em um intervalo I contendo a no seu interior As derivadas parciais das funções elementares são calculadas usando as regras de derivação do cálculo de uma variável Para calcular a derivada fx interpretamos y temporariamente como constante e derivamos a função f como se ela fosse função apenas da variável x No caso de uma função fx y z de três variáveis o processo é similar Do ponto de vista prático algumas propriedades de simetria da função f ajudam no cálculo das derivadas parciais Vejamos dois casos A função f é simétrica Se fx y fy x dizemos que f é simétrica Neste caso temos fyx y fxy x e permutando x e y na expressão de fx obtemos a derivada fy Por exemplo a função fx y xy x² y² é simétrica e nos pontos x y 0 0 usamos a regra do quociente e obtemos fxx y yx² y²² xy2x x² y²²² A derivada fy é obtida de 22 permutando x e y Temos fyy x fxx y x³ xy² x² y²² De 22 e do Exemplo 24 obtemos fxx y y³ x²y x² y²² se x y 0 0 0 se x y 0 0 A função f é antisimétrica Dizemos que f é antisimétrica se fx y fy x x y Neste caso fyx y fxy x e calculando uma derivada parcial temos a outra Vamos considerar como ilustração desse caso a função fx y x² y² x y definida no conjunto D x y x y 0 Temos fy x y² x² y x x² y² x y fx y e portanto fx y é antisimétrica Pela regra do quociente encontramos fxx y 2xx y x² y²² x y²² x² y²² 2xy x y² para x y D e a derivada fy é dada por fyx y fxy x x² y² 2xy x y² para x y D 211 Derivadas Parciais de Ordem Superior A seguir fixaremos a notação para derivadas parciais de ordem superior de uma dada função z fx y As derivadas de segunda ordem são 1 ²f x² x f x também representada por fxx f11 ²xf ou Dxxf 2 ²f y² y f y também representada por fyy f22 ²yf ou Dyyf A classe de funções para as quais as derivadas parciais mistas fxy e fyx são iguais é bem ampla ela inclui todas as funções elementares do cálculo mas existem casos onde essas derivadas são diferentes como veremos no Exemplo 27 As derivadas de terceira ordem são indicadas de forma semelhante Por exemplo 1 ³f x³ x ²f x² também representada por fxxx 2 ³f yx² y ²f x² também representada por fxyx 3 ³f xyx y f x também representada por fxyx e assim por diante Exemplo 25 Calcular as derivadas fx fxy fxz e fxyz sendo fx y z x² xy xz² Solução Das regras de derivação obtemos fx 2x y z² fxy 1 fxz 2z e fxyz 0 Exemplo 26 Seja f ℝ² ℝ a função definida por fx y x³y³ cosxy Tratase de uma função simétrica e as derivadas de primeira ordem de f são fxx y 3x²y³ y senxy e fyx y fxy x 3y³x² x senxy Derivando mais uma vez encontramos fxx 6xy³ y² cosxy e fxy 9x²y² senxy xy cosxy e também fyx 9x²y² senxy xy cosxy e fyy 6x³y x² cosxy Sendo fx y uma função elemental a igualdade fxy fyx já era esperada Exemplo 27 Seja f ℝ² ℝ definida por fx y xyx² y² x² y²² se x y 0 0 e f0 0 0 Calcular as derivadas mistas fyx e fxy na origem Solução Nos pontos x y 0 0 a derivada parcial fx é calculada pela regra do quociente e obtemos fxx y x⁴y y⁵ 4x²y³ x² y²² Na origem usando a definição encontramos fx0 0 lim h0 fh 0 f0 0 h lim h0 0 h 0 Exemplo 29 Vejamos o que ocorre com o polinômio f x y 3x2xy3y4 que é uma função elementar do cálculo Derivando a função f parcialmente encontramos as funções contínuas polinomiais fx 6xy3 fy 3xy2 4y3 e fxy 3y2 e do Teorema de Schwarz segue que fxy fyx 212 Exemplos Clássicos I Nesta seção discutiremos os primeiros exemplos clássicos alguns dos quais já apresentados nas seções anteriores Função descontínua e parcialmente derivável No cálculo de uma variável aprendemos que se uma função y f x é derivável no ponto c ela é necessariamente contínua em c Em outras palavras uma função descontínua em um ponto não pode ter derivada ou não é derivável nesse ponto 22 Campos Diferenciáveis Na introdução deste capítulo vimos que se f I ℝ ℝ é uma função real de uma variável real derivável em um ponto c interior ao intervalo I a reta tangente ao gráfico de f no ponto c fc tem equação cartesiana y fc mx c onde a declividade m é dada por m f c lim h0 fchfc h Essa relação nos proporciona uma nova versão para o conceito de função derivável Sendo c um ponto interior ao intervalo I existe δ 0 tal que o intervalo Iδ de centro c e raio δ está contido no intervalo I e f é derivável no ponto c e existem uma função Eh definida em Iδ e uma constante m tais que fc h fc mh Eh com lim h0 Eh h 0 É claro que ocorrendo 29 temos lim h0 fch fc h fc e se identificarmos o número m fc com a aplicação linear Tm h mh de R R então f é derivável ou diferenciável em c se fc h fc Tm h Eh com lim h0 Eh h 0 Para generalizar o conceito de diferenciabilidade para funções reais de duas ou mais variáveis reais devemos ter em mente que o quociente de Newton fP H fP H agora não faz sentido tendo em vista que H é um vetor ou seja um ponto em Rn Para contornar essa dificuldade seguiremos a Observação 210 que sugere um modo de definir a diferenciabilidade sem envolver a divisão por H Consideremos uma função f D R² R e fixemos um ponto Pa b no interior de D Supomos que exista um plano TQ de equação cartesiana z fa b Ax a By b passando no ponto Qa b fa b e que aproxima f no seguinte sentido lim xyab fxy z x a² y b² 0 ou de forma equivalente lim xyab fxy fab Ax a By b x a² y b² 0 A equação 210 diz que a porção do gráfico de f em uma vizinhança do ponto Q é aproximada pela porção correspondente do plano tangente TQ Essa é a maneira intuitiva de dizer que a função fxy é diferenciável no ponto Pab A Figura 23 retrata a situação geométrica Formalmente temos a seguinte definição Definição 211 Uma função f D R² R é diferenciável no ponto Pa b interior ao conjunto D quando existirem constantes A e B tais que fa h b k fa b Ah Bk é o erro real ou o resto da aproximação linear de f e será representada por Eh k Assim f é diferenciável em Pa b quando existirem constantes A e B tais que fa h b k fa b Ah Bk Eh k com lim h0 Eh k 0 As funções elementares do cálculo são diferenciáveis em seus respectivos domínios e são elas que aparecem com aplicações práticas Ao substituir o valor fa h b k fa b pela boa aproximação linear Ah Bk o erro cometido Eh k comparado com h² k² é próximo de zero Se fizermos x a h e y b k então f é diferenciável em Pa b se e somente se existem constantes A e B tais que lim h0 fa h b k fa b Ah Bk h 0 A expressão fa h b k fa b Ah Bk que figura em 211 é o erro real ou o resto da aproximação linear de f e será representada por Eh k Assim f é diferenciável em Pa b quando existem constantes A e B tais que fa h b k fa b Ah Bk Eh k com lim h0 Eh k hh² k² 0 Teorema 212 Verificar que a função fx y 2x² y³ x y R² é diferenciável em P3 2 Solução Seguindo 212 com a 3 e b 2 resulta f3 h 2 k 23 h² 2 k³ 29 6h h² 8 6k² 12k k³ 26 12h 12k 2h² 6k² k³ f3 2 12h 12k Eh k onde Eh k 2h² 6k² k³ e lim hk00 Eh kh² k² 0 com isso concluímos que f é diferenciável em 3 2 As constantes A e B que figuram em 212 são iguais a 12 Teorema 214 Se f D R² R é diferenciável no ponto Pa b do interior de D então as derivadas parciais fx e fy existem no ponto Pa b Além disso as constantes A e B que figuram em 212 são respectivamente fxa b e fya b o plano TQ tangente ao gráfico de f no ponto Qa b fa b e sua equação cartesiana z fa b fxa bx a fya by b Demonstração Suponhamos f diferenciável no ponto P e sejam A e B números reais que satisfazem 211 Se considerarmos k 0 em 211 obtemos lim h0 fa h b fa b Ah h 0 e de 214 resulta lim h0 fa h b fa b h A Portanto fxa b existe e fxa b A Considerando h 0 em 211 e fazendo k 0 deduzimos que fya b B Observação 215 Sejam f D R² R uma função Pa b um ponto fixado no interior do conjunto D 1 Segue do Teorema 213 que se f não é contínua no ponto P então f não é diferenciável no ponto P 2 Do Teorema 214 resulta que se uma das derivadas parciais f não existir no ponto P então f não é diferenciável no ponto P 3 Para provar que f é diferenciável no ponto P é suficiente provar que as derivadas parciais fx e fy da função f existem no ponto P e que lim hk00 Eh kh² k² 0 4 Se f é diferenciável em P o plano TQ tangente ao gráfico de f no ponto Qa b fa b é governado pela equação cartesiana Ax By Cz D 0 onde A fxa b B fya b C 1 e D fa b afxa b bfya b Exemplo 216 Determinar o plano tangente à esfera x² y² z² 4 no ponto Q1 1 2 Exemplo 220 Verificar se a função fx y xy x y R² é diferenciável em 0 0 Exemplo 223 Calcular via diferencial o valor aproximado de tan201 log099 Consideramos a função f x y tanx log y que é diferenciável em uma vizinhança de P 2 1 e usamos 218 com a h 201 e b k 099 Conseguimos isto fazendo a 2 h 001 b 1 e k 001 de modo que f201 099 f21 df2 1 Temos que f 2 1 0 e por derivação direta encontramos fxx y sec²x log y log y e fyx y sec²x log y xy de onde segue que fx2 1 0 e fy2 1 2 Portanto df fx2 1dx fy2 1dy 2001 002 e teremos tan201 log099 002 2 10² área triangular é a função de três variáveis A x y α 12xy sen α A diferencial dA é uma aproximação da diferença erro entre as áreas A x dx y dy α dα e A x y α Temos dA 12y sen αdx 12x sen αdy 12xy cos αdα e os valores a serem utilizados são x 200 y 220 α π3 dx dy 01 e dα π180 Usando 3 173 e π 314 obtemos dA 21005m² As variações da função f são de três naturezas absoluta relativa e percentual No quadro abaixo especificamos essas variações Real Estimada Erro Variação absoluta Δf df Δf df Variação relativa Δzf P dff P Δf dff P Variação percentual Δff P 100 dff P 100 Δf dff P 100 ao longo do eixo x isto é y 0 lim x0 fxx y lim x0 sen 0 2x 0 i f é diferenciável em 0 0 De fato o erro é Eh k h² k² sen1h² k² portanto c z expxy D x y R² x 0 e y 0 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A SILVA M P MATOS CAPÍTULO 2 DIFERENCIABILIDADE Exercícios Complementos 10 Uma função f D R2 R dizse homogênea de grau n quando f tx ty tn f x y t R e x y D Mostre que qualquer função homogênea f satisfaz a Relação de Euler 6 24 Derivada Direcional e Gradiente As derivadas parciais fx a b e fy a b de uma função diferenciável z f x y foram interpretadas como a declividade das curvas x 7 f x b e y 7 f a y Exemplo 234 Na seção Exemplos Clássicos I apresentamos uma função descontínua e parcialment Exemplo 238 O valor máximo da derivada direcional da função f R³ R definida por fx y z 1x²y²z²² se x y z 0 0 0 0 se x y z 0 0 0 Demostração Se f é diferenciável no ponto P então fP tu fa b fxa b t cos θ fya b t sen θ Etu Exemplo 240 Determinemos a variação do valor de fx y x expy se o ponto x y se move ds 01 unidade a partir do ponto P20 em direção ao ponto Q41 O plano tangente é governado pela equação 𝑓𝑥𝑎𝑏𝑥𝑎𝑓𝑦𝑎𝑏𝑦𝑏𝑧𝑓𝑎𝑏0 conforme foi estabelecido na Seção 22 A reta normal à superfície 𝑆 no ponto 𝑃𝑎𝑏𝑐 da superfície é a reta que passa em 𝑃 na direção do vetor 𝑓𝑃 A equação vetorial da reta normal é 𝑃𝑄𝑡𝑓𝑃 𝑡ℝ sendo 𝑄𝑥𝑦𝑧 um ponto genérico da reta Na forma paramétrica a reta normal é descrita por 𝑥𝑎𝑡𝑓𝑥𝑃𝑦𝑏𝑡𝑓𝑦𝑃𝑧𝑐𝑡𝑓𝑧𝑃 e no caso em que as derivadas parciais 𝑓𝑥𝑃𝑓𝑦𝑃 e 𝑓𝑧𝑃 são todas diferentes de zero podemos expressar a reta normal na forma simétrica 𝑥𝑎𝑓𝑥𝑃𝑦𝑏𝑓𝑦𝑃𝑧𝑐𝑓𝑧𝑃 reta tangente 4𝑥5𝑦140 reta normal 𝑥14𝑡 e 𝑦25𝑡 ou 5𝑥4𝑦30 Figura 210 Retas tangente e normal Suponhamos que uma curva 𝛾 do ℝ² seja determinada pela interseção de duas superfícies 𝑆₁𝑓𝑥𝑦𝑧0 e 𝑆₂𝑔𝑥𝑦𝑧0 como sugere a Figura 211 O vetor tangente à curva 𝛾 no ponto 𝑃𝑎𝑏𝑐 é o produto vetorial 𝑓𝑃𝑔𝑃 dos vetores normais aos planos tangentes a 𝑆₁ e 𝑆₂ em 𝑃 e a equação vetorial da reta tangente é 𝑃𝑄𝑡𝑓𝑃𝑔𝑃 sendo 𝑄𝑥𝑦𝑧 um ponto genérico da reta As equações paramétricas da reta tangente são 𝑥𝑎𝑡𝑓𝑦𝑔𝑧𝑓𝑔𝑦𝑦𝑏𝑡𝑓𝑔𝑥𝑓𝑓𝑧𝑧𝑐𝑡𝑓𝑔𝑦𝑓𝑓𝑥 e na forma simétrica a reta tangente é descrita por 𝑥𝑎𝑓𝑦𝑔𝑧𝑓𝑔𝑦𝑦𝑏𝑓𝑓𝑦𝑓𝑔𝑦𝑧𝑐𝑓𝑓𝑦𝑓𝑔𝑦 onde as derivadas parciais são calculadas no ponto 𝑃 𝑓𝑥𝑦𝑧𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥13𝑒3𝑦𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑧² 𝑃π301𝑢𝑖12𝑗12𝑘12 𝑓𝑥𝑦𝑧𝑥²𝑦²3𝑦² 𝑃111 𝑢𝑖31𝑗23𝑘23 𝑓𝑥𝑦𝑧log𝑥²𝑦²𝑧² 𝑃111 𝑢𝑖23𝑗13𝑘23 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A SILVA M P MATOS CAPÍTULO 2 DIFERENCIABILIDADE RESPOSTAS SUGESTÕES SEÇÃO 21 DERIVADAS PARCIAIS zxx 6x zy 3y² zxxx 6 zyy 6y zyz 0 Referências Bibliográcas 1 Ávila G Cálculo Vol 3 Editora LTC 7a Edição 2006 2 Boulos P Abud Z Cálculo Diferencial e Integral Vol 2 Editora Makron Books 2000 3 Courant R John F Introduction to Calculus and Analysis Vol II SpringerVerlag 1989 4 Guidorizzi H L Um Curso de Cálculo Vol 3 Editora LTC 5a Edição 2002 5 Munem M A Foulis D J Cálculo Vol 2 Editora Guanabara Dois 1983 6 Protter M H Morrey C B Modern Mathematical Analysis Editora AddisonWesley 1964 7 Spiegel M R Cálculo Avançado Editora MacGrawHill 1976 8 Swokowski E Cálculo com Geometria Analítica Vol 2 Editora Makron Books 2a Edição 1983 9 Thomas G B Cálculo Vol 2 Editora AddisonWesley 10a Edição 2003 10 Williamson R E Crowell R H Trotter H F Calculus of Vector Functions Editora Prentice Hall 3a Edição 1972 286 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Índice Remissivo A Ângulos diretores 176 Área de uma superfície 238 elementar 130 238 em coordenadas cilíndricas 244 em coordenadas esféricas 244 innitesimal 130 Aproximação linear 40 C Campo conservativo 174 de forças 170 escalar 9 gradiente 174 gravitacional 174 quadradoinverso 174 radial 173 tangencial 173 Centro de massa de uma placa 142 de uma superfície 252 Circulação 218 266 Classe de equivalência 236 Compenente tangencial 198 Componentes de um campo vetorial 172 Conjunto de nível 10 Conjunto aberto 3 compacto 5 conexo 6 de pontos 1 fechado 4 fronteira de um 4 limitado 5 Coordenadas polares 21 114 cilíndricas 114 esféricas 115 Curva de nível 10 integral 188 D Densidade de circulação 275 de corrente elétrica 263 linear 171 supercial 141 volumétrica 163 Derivada de NewtonLeibniz 32 direcional 57 parcial 33 parcial de ordem superior 35 parcial mista 36 Descontinuidade essencial 22 removível 22 Distribuição de carga elétrica 264 265 Divergente 177 Domínio 6 admissível 207 estrelado 209 E Elemento linear 254 Energia cinética 142 170 potencial 206 Equação 288 ÍNDICE REMISSIVO de conservação da carga elétrica 263 de conservação da massa 263 de continudade 178 de Laplace 40 de Poisson para o potencial 265 de transmissão de calor 39 fundamental da eletrostática 264 Equações de CauchyRiemann 40 Extremos condicionados 92 vinculados 92 F Fluxo 255 258 Forma Diferencial 172 207 de segunda ordem 253 exata 207 total 207 Fórmula de Gauss bidimensional 217 tridimensional 258 Fórmula de Green 212 Fórmula de Stokes bidimensional 219 tridimensional 268 Fórmula da Divergência ver Fórmula de Gauss Função 8 valor de uma 9 antissimétrica 35 contínua 21 derivável 32 diferenciável 41 diferencial de uma 46 elementar 23 gráco de uma 9 homogênea 56 imagem de uma 9 incremento da 46 simétrica 35 valor máximo de uma 78 valor mínimo de uma 79 G Gauss ver Fórmula de Gauss Green ver Fórmula de Green I Identidade de Green 220 Innitésimos 46 Integral de linha independente do caminho 201 Integral dupla 129 130 imprópria144 convergente 144 divergente 144 Integral de Riemann 129 de superfície 247 iterada 131 repetida 131 simples 128 Intensidade de corrente elétrica 263 J Jacobiano 107 L Laplaciano 177 Lei de Coulomb 264 Lema Fundamental 45 Limite 14 iterados 18 propriedades básicas confronto 15 linearidade 15 produto 15 quociente 15 Linhas de um campo 262 M Massa elementar 142 de uma superfície 252 Matriz autovalores de uma 85 Jacobiana 49 177 Hessiana 84 87 polinômio característico de uma 85 simétrica 85 ÍNDICE REMISSIVO 289 Máximo absoluto 78 global 78 local 78 relativo 78 Método de Indução Finita 131 dos Multiplicadores de Lagrange 93 Mínimo absoluto 79 global 79 local 79 relativo 79 Momento 142 Momento de inércia de uma placa 142 de uma superfície 252 polar 142 Mudança de coordenadas 111 Mudança de Variável em integral dupla 147 em integral tripla 160 Multiplicador de Lagrange 93 O Operador divergente 177 gradiente 176 rotacional 178 Ordem de integração na integral dupla 131 invertendo a ordem 138 na integral tripla 158 P Paralelepípedo 157 Parametrização da esfera 231 do cilindro 230 231 do cone 231 de uma superfície de revolução 232 Plano tangente 41 61 229 Ponto crítico 81 de acumulação 6 de fronteira 2 4 de sela 82 estacionário 81 exterior 2 extremo 79 interior 2 isolado 6 Potencial eletrostático 264 Primeira Forma Fundamental 255 Produto Vetorial Fundamental 229 R Região 6 simplesmente conexa 6 horizontal simples 134 vertical simples 134 Regra da Cadeia 1o caso 52 2o caso 53 3o caso 53 diagrama em árvore 54 Regra de Cramer 108 Regras de derivação 65 Reta normal equação vetorial 62 Reta tangente no espaço 63 no plano 32 S Somas de Riemann 129 Superfície de revolução 232 meridianos de uma 233 paralelos de uma 233 de nível 10 fechada 237 forma cartesiana explicita 227 forma cartesiana implícita 227 forma paramétrica 228 orientada 234 parametrizada 228 parcialmente regular 232 290 ÍNDICE REMISSIVO regular por partes 232 regular 229 simples 237 Stokes ver Fórmula de Stokes Superfícies equivalentes 236 T Taxa instantânea de variação 56 Teorema da Divergência 258 Teorema da Média para integral dupla 130 para integral tripla 262 Teorema de Gauss 258 Teorema de Green 213 Formulação Vetorial 219 Teorema de Stokes 269 Teorema da Função Implícita 1 104 da Função Implícita 2 106 da Função Implícita 3 107 da Função Inversa 105 113 de Fubini 131 134 de Weierstrass 88 do valor médio TVM 45 Fundamental do Cálculo 54 Teste da Segunda Derivada 83 86 do Hessiano 83 84 Toro de revolução 237 Trabalho 170 Trajetórias ortogonais 112 Transformações 110 V Vetor gradiente 61 Vizinhança circular 2 retangular 2 Volume elementar 134 157 em coordenadas cilíndricas 161 em coordenadas esféricas 162