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Ciência da Computação ·
Geometria Analítica
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Vetores e Geometria Analítica. A criação da geometria analítica é atribuída ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650). De maneira intuitiva, a geometria analítica é uma ferramenta matemática que une a álgebra e a geometria. Em física, quando se fala da velocidade de um objeto deve-se também falar da direção e do sentido para onde tal objeto se desloca. Vetores, ou segmentos de retas, são objetos matemáticos capazes de "guardar" todas essas informações. [objeto ->] movendo-se a uma velocidade, em uma determinada direção e sentido. Plano cartesiano real Definição 1.1 O plano cartesiano real (chamaremos apenas de plano cartesiano) é o conjunto das coordenadas de números reais. Em símbolos: ℝ² = { (x, y) / x, y ∈ ℝ } . Um par ordenado (x, y) ∈ ℝ² é chamado de um ponto do plano. O ponto (0, 0) é chamado de origem do plano. (x, y) ≠ (y, x), daí deve-se a palavra "ordenado". Sobema da Geometria Euclidiana (também poderá ser provado isso no decorrer do curso) que por dois pontos dados passa somente uma reta. (falamos aqui de maneira intuitiva). Como formalizar matematicamente o conceito de flecha? Faremos um desenho: Flecha é um segmento de reta orientado (empiricamente) Formalizando: Definição 2.2: Um segmento orientado é um par ordenado [P, Q] de pontos do plano. Notação: [P, Q] = \vec{PQ} Nomenclatura: P é dito origem do segmento orientado e Q é dito extremidade do segmento orientado. obs: \overrightarrow{PQ} \neq \overrightarrow{QP}, se P\neq Q. se P=Q, \overrightarrow{PQ} é dito segmento nulo. Definição¹•³: Um vetor no plano é um segmento de reta orientado cuja origem coincide com a origem do plano (0,0). Notação: Em geral, denotamos os vetores pelas letras \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}. Na figura acima \vec{v} = (0,0)\rightarrow (-3,2), \vec{u} = (0,0) \rightarrow (-2,-3). Note que um vetor é unicamente determinado pela extremidade do segmento orientado que o define. Desta forma podemos abusar da notação e denotar um vetor apenas pelo par ordenado que define a extremidade do segmento orientado. Atenção: Isso não causará problemas, pois sempre será dito se consideramos um ponto ou um vetor. Por exemplo: O vetor \vec{r}=(3,2) é diferente do ponto Q=(3,2). § Operações entre vetores A ideia é levar a álgebra até a geometria. Assim como somamos números vamos somar vetores. Definição¹•⁴: Sejam \vec{u}=(x₁,y₁) e \vec{v}=(x₂,y₂) dois vetores do plano. A soma de u com v é um vetor denotado por \vec{u}+\vec{v} e definido da seguinte maneira: \vec{u}+\vec{v} = (x₁+x₂, y₁+y₂). Em palavras, somamos coordenada a coordenada. Como a geometria responde a esta operação? Dito em palavras: Construimos um segmento orientado "paralelo" a \( \vec{v} \), de mesmo "tamanho" que \( \vec{v} \) cuja origem coincide com a extremidade do vetor \( \vec{u} \). Neste construcao repare que os papeis de \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) podem ser trocados. Multiplicacao de um numero real por um vetor Definicao: Sejam \( \vec{u}=(x,y) \) um vetor do plano e \( \lambda \) um numero real. A multiplicacao de \( \lambda \) por \( \vec{u} \) e um vetor denotado por \( \lambda \vec{u} \) e definido por: \( \lambda \vec{u}= (\lambda x, \lambda y) \). Em palavras, multiplicamos as coordenadas do vetor. Geometricamente, apenas esticamos ou encolhemos o vetor, mantendo apenas a direcao. Propriedades da Soma de vetores a) Associativa: sejam \( \vec{u},\vec{v} \) e \( \vec{w} \) tres vetores do plano, entao vale: \((\vec{u}+\vec{v}) + \vec{w} = \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) \). b) Comutativa: sejam \( \vec{u},\vec{v} \) dois vetores do plano, entao \( \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u} \). c) Elemento neutro: Existe um vetor denotado por \( \vec{0} \) e denominado vetor nulo tal que: \( \vec{u}+\vec{0} = \vec{u} \quad \forall \vec{u} \) vetor do plano. Verificacao de b): Se \( \vec{u} = (x_1,y_1) \) e \( \vec{v}= (x_2,y_2) \), entao, por definicao, \( \vec{u}+\vec{v} = (x_1+x_2, y_1+y_2) = \vec{v}+\vec{u} \). Vdd de numeros reais. a) exercicio c) exercicio \( \vec{0} = (0,0) \). d) Elemento oposto. Dado um vetor \( \vec{u} \), existe um unico vetor denotado por \(-\vec{u} \) e tal que: \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \). Verificacao: Basta tomar \(-\vec{u}=(-1)\cdot \vec{u} \). Propriedades da multiplicacao de um numero real por um vetor. e) Para quaisquer dois vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) e qualquer numero real \( \lambda \) vale: \( \lambda (\vec{u}+\vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v} \). f) Para quaisquer dois numeros reais \( \alpha \) e \( \beta \) e qualquer vetor \( \vec{u} \) vale: \((\alpha + \beta) \vec{u} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{u} \). g) Para qualquer vetor u vale: 1. u = u h) Para quaisquer dois números reais \alpha \beta e qualquer vetor u vale a (\beta u) = (\alpha \beta) u = \beta (a u). Exercicio: Prove as propriedades. Exercicio: Mostre que 0. u = 0 e que \lambda . 0 = 0 § Soma de ponto com vetor Definição 1.6: Sejam P = (p1, p2) e \vec{v} = (x, y) um ponto e um vetor do plano, respectiva- mente. A soma de P com \vec{v} é denotado por P + \vec{v} e definido pelo seguimento orientado : P + \vec{v} = \vec{PQ} onde Q = (p1 + x, p2 + y).
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Vetores e Geometria Analítica. A criação da geometria analítica é atribuída ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650). De maneira intuitiva, a geometria analítica é uma ferramenta matemática que une a álgebra e a geometria. Em física, quando se fala da velocidade de um objeto deve-se também falar da direção e do sentido para onde tal objeto se desloca. Vetores, ou segmentos de retas, são objetos matemáticos capazes de "guardar" todas essas informações. [objeto ->] movendo-se a uma velocidade, em uma determinada direção e sentido. Plano cartesiano real Definição 1.1 O plano cartesiano real (chamaremos apenas de plano cartesiano) é o conjunto das coordenadas de números reais. Em símbolos: ℝ² = { (x, y) / x, y ∈ ℝ } . Um par ordenado (x, y) ∈ ℝ² é chamado de um ponto do plano. O ponto (0, 0) é chamado de origem do plano. (x, y) ≠ (y, x), daí deve-se a palavra "ordenado". Sobema da Geometria Euclidiana (também poderá ser provado isso no decorrer do curso) que por dois pontos dados passa somente uma reta. (falamos aqui de maneira intuitiva). Como formalizar matematicamente o conceito de flecha? Faremos um desenho: Flecha é um segmento de reta orientado (empiricamente) Formalizando: Definição 2.2: Um segmento orientado é um par ordenado [P, Q] de pontos do plano. Notação: [P, Q] = \vec{PQ} Nomenclatura: P é dito origem do segmento orientado e Q é dito extremidade do segmento orientado. obs: \overrightarrow{PQ} \neq \overrightarrow{QP}, se P\neq Q. se P=Q, \overrightarrow{PQ} é dito segmento nulo. Definição¹•³: Um vetor no plano é um segmento de reta orientado cuja origem coincide com a origem do plano (0,0). Notação: Em geral, denotamos os vetores pelas letras \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}. Na figura acima \vec{v} = (0,0)\rightarrow (-3,2), \vec{u} = (0,0) \rightarrow (-2,-3). Note que um vetor é unicamente determinado pela extremidade do segmento orientado que o define. Desta forma podemos abusar da notação e denotar um vetor apenas pelo par ordenado que define a extremidade do segmento orientado. Atenção: Isso não causará problemas, pois sempre será dito se consideramos um ponto ou um vetor. Por exemplo: O vetor \vec{r}=(3,2) é diferente do ponto Q=(3,2). § Operações entre vetores A ideia é levar a álgebra até a geometria. Assim como somamos números vamos somar vetores. Definição¹•⁴: Sejam \vec{u}=(x₁,y₁) e \vec{v}=(x₂,y₂) dois vetores do plano. A soma de u com v é um vetor denotado por \vec{u}+\vec{v} e definido da seguinte maneira: \vec{u}+\vec{v} = (x₁+x₂, y₁+y₂). Em palavras, somamos coordenada a coordenada. Como a geometria responde a esta operação? Dito em palavras: Construimos um segmento orientado "paralelo" a \( \vec{v} \), de mesmo "tamanho" que \( \vec{v} \) cuja origem coincide com a extremidade do vetor \( \vec{u} \). Neste construcao repare que os papeis de \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) podem ser trocados. Multiplicacao de um numero real por um vetor Definicao: Sejam \( \vec{u}=(x,y) \) um vetor do plano e \( \lambda \) um numero real. A multiplicacao de \( \lambda \) por \( \vec{u} \) e um vetor denotado por \( \lambda \vec{u} \) e definido por: \( \lambda \vec{u}= (\lambda x, \lambda y) \). Em palavras, multiplicamos as coordenadas do vetor. Geometricamente, apenas esticamos ou encolhemos o vetor, mantendo apenas a direcao. Propriedades da Soma de vetores a) Associativa: sejam \( \vec{u},\vec{v} \) e \( \vec{w} \) tres vetores do plano, entao vale: \((\vec{u}+\vec{v}) + \vec{w} = \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) \). b) Comutativa: sejam \( \vec{u},\vec{v} \) dois vetores do plano, entao \( \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u} \). c) Elemento neutro: Existe um vetor denotado por \( \vec{0} \) e denominado vetor nulo tal que: \( \vec{u}+\vec{0} = \vec{u} \quad \forall \vec{u} \) vetor do plano. Verificacao de b): Se \( \vec{u} = (x_1,y_1) \) e \( \vec{v}= (x_2,y_2) \), entao, por definicao, \( \vec{u}+\vec{v} = (x_1+x_2, y_1+y_2) = \vec{v}+\vec{u} \). Vdd de numeros reais. a) exercicio c) exercicio \( \vec{0} = (0,0) \). d) Elemento oposto. Dado um vetor \( \vec{u} \), existe um unico vetor denotado por \(-\vec{u} \) e tal que: \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \). Verificacao: Basta tomar \(-\vec{u}=(-1)\cdot \vec{u} \). Propriedades da multiplicacao de um numero real por um vetor. e) Para quaisquer dois vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) e qualquer numero real \( \lambda \) vale: \( \lambda (\vec{u}+\vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v} \). f) Para quaisquer dois numeros reais \( \alpha \) e \( \beta \) e qualquer vetor \( \vec{u} \) vale: \((\alpha + \beta) \vec{u} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{u} \). g) Para qualquer vetor u vale: 1. u = u h) Para quaisquer dois números reais \alpha \beta e qualquer vetor u vale a (\beta u) = (\alpha \beta) u = \beta (a u). Exercicio: Prove as propriedades. Exercicio: Mostre que 0. u = 0 e que \lambda . 0 = 0 § Soma de ponto com vetor Definição 1.6: Sejam P = (p1, p2) e \vec{v} = (x, y) um ponto e um vetor do plano, respectiva- mente. A soma de P com \vec{v} é denotado por P + \vec{v} e definido pelo seguimento orientado : P + \vec{v} = \vec{PQ} onde Q = (p1 + x, p2 + y).