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Eletromagnetismo
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ELECTROMAGNETISMO I\n\nEXAME DA ÉPOCA NORMAL ............................................. 17 DE JANEIRO DE 2014\nLic. em Física, Eng. Física e Bioquímica, menor em Física e em Biofísica, Mest. Int. em Eng. Física\n\n1. Considere um campo eletrostático definido pelas seguintes expressões, em coordenadas esféricas:\n\n\\[ \\mathbf{E} = \\frac{k a^{2}}{12 \\epsilon} \\left( \\frac{3 r^{3}}{a^{2}} - \\frac{r}{a} \\right) \\hat{e}_{r}, \\quad 0 \\leq s \\leq a; \\] \n\n\\[ \\mathbf{E} = -\\frac{k a^{4}}{12 \\epsilon r^{2}} \\hat{e}_{r}, \\quad para \\ a \\leq s < b; \\] \n\n\\[ \\mathbf{E} = 0, \\quad para \\ r > b, \\] \n\nsendo \\( k \\) uma constante positiva.\n\na) Determine a distribuição de cargas que cria este campo.\n\nb) Obtenha o potencial elétrico nas superfícies \\( r = a, \\ V(r = b) \\ e \\ V(r = b). \\)\n\nc) Considere que alguns elétrons, de massa \\( m_{e} \\ e carga -e, \\) se liberam da superfície \\( r = a \\) com velocidade nula. Determine a velocidade destas partículas ao atingirem a superfície \\( r = b. \\) Admita que o campo previamente existente não é alterado.\n\n2. Considere um cabo coaxial de comprimento \\( \\ell, \\) cujo condutor interior é um fio de raio \\( a \\) que transporta a corrente \\( I \\) uniformemente distribuída através da sua secção e cujo condutor exterior é um cilindro de raio \\( b, \\) coaxial com o fio, e transportando uma corrente de igual intensidade, uniformemente distribuída sobre a sua superfície, mas fluindo em sentido contrário. O espaço entre os condutores está preenchido por um material magnético, linear, isotrópico e homogêneo de permeabilidade relativa \\( \\mu. \\) Considere \\( a, b \\ll \\ell. \\)\n\na) Determine os campos \\( \\mathbf{H}, \\mathbf{E} \\ e \\mathbf{D} \\ em todo o espaço. \\)\n\nb) Determine as densidades de corrente de magnetização no material magnético.\n\nc) Calcule a indutância por unidade de comprimento deste cabo coaxial.\n\nNota: \\( U_{m} = \\frac{1}{2} \\mathbf{B} \\cdot \\mathbf{E} \\ dt \\)\n\n3. a) Explique qual a utilidade de introduzir o campo \\( \\mathbf{D} \\) quando se estuda o comportamento dos materiais dielétricos e obtenha a relação geral entre os campos \\( \\mathbf{D}, \\mathbf{E} \\ e \\mathbf{B}. \\) Diga o que se entende por um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo e mostre como se simplificam, nestes materiais, a relação atrás referida. Justifique claramente as suas respostas.\n\nb) Obtenha a equação de onda para o campo elétrico de uma onda eletromagnética, fora das regiões onde se localizam as fontes. Qual a velocidade de propagação do campo eletromagnético?\n\nNota: \\( \\nabla \\cdot \\mathbf{D} = \\mathbf{F} = \\nabla \\cdot (\\nabla \\cdot \\mathbf{F}) - \\nabla^{2} \\mathbf{F} \\) (volte, por favor) 4. A figura mostra um trilho de carris condutores, de resistência desprezável, num plano horizontal, perpendicular a um campo magnético \\( \\mathbf{B}. \\) Sobre estes carris pode deslizar-se sem atrito uma barra metálica, de massa \\( m \\) e resistência \\( R. \\) Numas das extremidades os carris podem ligar-se a um condensador de capacidade \\( C. \\)\n\na) Inicialmente estabelece-se a ligação 0-1 de modo a carregar o condensador. Determine a expressão da carga do condensador em função do tempo, \\( q(t), \\) e represente-a num gráfico. Identifique o ponto do gráfico correspondente a constante temporal do circuito.\n\nb) Quando se atinge o regime estacionário, muda-se o interruptor para a posição 0-2. A partir deste instante, observa-se que a barra metálica começa a mover-se para a direita. Obtenham, em função da corrente \\( I(t) \\ e dados do problema, a expressão da força responsável pelo movimento da barra.\n\nc) Decido ao movimento da barra surge no circuito uma força eletromotriz induzida \\( \\mathcal{E}. \\)\n\n d) Decorrido algum tempo, a barra atinge uma velocidade máxima \\( v_{max} \\ e a carga do condensador assume um valor constante. Determine a velocidade máxima que a barra atinge, \\( v_{max} \\ e o valor máximo que baixa a carga do condensador, \\( q_{min}. \\)\n\n5. Considere o circuito da figura, ao qual está aplicada uma tensão alternada \\( V(t) = 240\\cos(250t), \\) expressa em volts.\n\na) Determina a relação entre as amplitudes das correntes \\( I_{1}(t) \\ e \\ I_{2}(t) \\ e a respectiva diferença de fase. O desfasamento entre estas correntes depende da amplitude e da frequência da tensão aplicada ou é independente de alguma destas grandezas? Justifique a sua resposta.\n\nb) Determine a expressão da corrente \\( I(t) \\ no ramo do gerador.\n\nc) Calcule o valor da potência média dissipada no circuito.\n\nd) Poderia colocar o circuito em ressonância ligado outra componente em série com a resistência \\( R_{1}. \\) Caracterize essa componente, justificando a sua resposta. Determine, na situação de ressonância, a amplitude da corrente \\( I(t). \\)\n\nFormulário:\n\\( \\mathbf{D} = \\epsilon \\mathbf{E} + \\mathbf{P}; \\ P = \\chi_{e}\\epsilon\\mathbf{E}; \\ \n\\mathbf{B} = \\mu_{0}(\\mathbf{H} + \\mathbf{M}); \\ \\mathbf{H} = \\chi_{m} \\mathbf{B} \\)
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ELECTROMAGNETISMO I\n\nEXAME DA ÉPOCA NORMAL ............................................. 17 DE JANEIRO DE 2014\nLic. em Física, Eng. Física e Bioquímica, menor em Física e em Biofísica, Mest. Int. em Eng. Física\n\n1. Considere um campo eletrostático definido pelas seguintes expressões, em coordenadas esféricas:\n\n\\[ \\mathbf{E} = \\frac{k a^{2}}{12 \\epsilon} \\left( \\frac{3 r^{3}}{a^{2}} - \\frac{r}{a} \\right) \\hat{e}_{r}, \\quad 0 \\leq s \\leq a; \\] \n\n\\[ \\mathbf{E} = -\\frac{k a^{4}}{12 \\epsilon r^{2}} \\hat{e}_{r}, \\quad para \\ a \\leq s < b; \\] \n\n\\[ \\mathbf{E} = 0, \\quad para \\ r > b, \\] \n\nsendo \\( k \\) uma constante positiva.\n\na) Determine a distribuição de cargas que cria este campo.\n\nb) Obtenha o potencial elétrico nas superfícies \\( r = a, \\ V(r = b) \\ e \\ V(r = b). \\)\n\nc) Considere que alguns elétrons, de massa \\( m_{e} \\ e carga -e, \\) se liberam da superfície \\( r = a \\) com velocidade nula. Determine a velocidade destas partículas ao atingirem a superfície \\( r = b. \\) Admita que o campo previamente existente não é alterado.\n\n2. Considere um cabo coaxial de comprimento \\( \\ell, \\) cujo condutor interior é um fio de raio \\( a \\) que transporta a corrente \\( I \\) uniformemente distribuída através da sua secção e cujo condutor exterior é um cilindro de raio \\( b, \\) coaxial com o fio, e transportando uma corrente de igual intensidade, uniformemente distribuída sobre a sua superfície, mas fluindo em sentido contrário. O espaço entre os condutores está preenchido por um material magnético, linear, isotrópico e homogêneo de permeabilidade relativa \\( \\mu. \\) Considere \\( a, b \\ll \\ell. \\)\n\na) Determine os campos \\( \\mathbf{H}, \\mathbf{E} \\ e \\mathbf{D} \\ em todo o espaço. \\)\n\nb) Determine as densidades de corrente de magnetização no material magnético.\n\nc) Calcule a indutância por unidade de comprimento deste cabo coaxial.\n\nNota: \\( U_{m} = \\frac{1}{2} \\mathbf{B} \\cdot \\mathbf{E} \\ dt \\)\n\n3. a) Explique qual a utilidade de introduzir o campo \\( \\mathbf{D} \\) quando se estuda o comportamento dos materiais dielétricos e obtenha a relação geral entre os campos \\( \\mathbf{D}, \\mathbf{E} \\ e \\mathbf{B}. \\) Diga o que se entende por um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo e mostre como se simplificam, nestes materiais, a relação atrás referida. Justifique claramente as suas respostas.\n\nb) Obtenha a equação de onda para o campo elétrico de uma onda eletromagnética, fora das regiões onde se localizam as fontes. Qual a velocidade de propagação do campo eletromagnético?\n\nNota: \\( \\nabla \\cdot \\mathbf{D} = \\mathbf{F} = \\nabla \\cdot (\\nabla \\cdot \\mathbf{F}) - \\nabla^{2} \\mathbf{F} \\) (volte, por favor) 4. A figura mostra um trilho de carris condutores, de resistência desprezável, num plano horizontal, perpendicular a um campo magnético \\( \\mathbf{B}. \\) Sobre estes carris pode deslizar-se sem atrito uma barra metálica, de massa \\( m \\) e resistência \\( R. \\) Numas das extremidades os carris podem ligar-se a um condensador de capacidade \\( C. \\)\n\na) Inicialmente estabelece-se a ligação 0-1 de modo a carregar o condensador. Determine a expressão da carga do condensador em função do tempo, \\( q(t), \\) e represente-a num gráfico. Identifique o ponto do gráfico correspondente a constante temporal do circuito.\n\nb) Quando se atinge o regime estacionário, muda-se o interruptor para a posição 0-2. A partir deste instante, observa-se que a barra metálica começa a mover-se para a direita. Obtenham, em função da corrente \\( I(t) \\ e dados do problema, a expressão da força responsável pelo movimento da barra.\n\nc) Decido ao movimento da barra surge no circuito uma força eletromotriz induzida \\( \\mathcal{E}. \\)\n\n d) Decorrido algum tempo, a barra atinge uma velocidade máxima \\( v_{max} \\ e a carga do condensador assume um valor constante. Determine a velocidade máxima que a barra atinge, \\( v_{max} \\ e o valor máximo que baixa a carga do condensador, \\( q_{min}. \\)\n\n5. Considere o circuito da figura, ao qual está aplicada uma tensão alternada \\( V(t) = 240\\cos(250t), \\) expressa em volts.\n\na) Determina a relação entre as amplitudes das correntes \\( I_{1}(t) \\ e \\ I_{2}(t) \\ e a respectiva diferença de fase. O desfasamento entre estas correntes depende da amplitude e da frequência da tensão aplicada ou é independente de alguma destas grandezas? Justifique a sua resposta.\n\nb) Determine a expressão da corrente \\( I(t) \\ no ramo do gerador.\n\nc) Calcule o valor da potência média dissipada no circuito.\n\nd) Poderia colocar o circuito em ressonância ligado outra componente em série com a resistência \\( R_{1}. \\) Caracterize essa componente, justificando a sua resposta. Determine, na situação de ressonância, a amplitude da corrente \\( I(t). \\)\n\nFormulário:\n\\( \\mathbf{D} = \\epsilon \\mathbf{E} + \\mathbf{P}; \\ P = \\chi_{e}\\epsilon\\mathbf{E}; \\ \n\\mathbf{B} = \\mu_{0}(\\mathbf{H} + \\mathbf{M}); \\ \\mathbf{H} = \\chi_{m} \\mathbf{B} \\)