Pesquisa Operacional - Programação Linear: Resolução Gráfica e Análise de Sensibilidade

Pesquisa Operacional Oficina 3 Programação Linear Prof Victor Diogho Heuer de Carvalho Campus do Sertão Universidade Federal de Alagoas Conteúdo da Oficina 3 Programação Linear Resolução Gráfica Casos Especiais Análise de Sensibilidade Fonte da imagem Análise de sensibilidade saiba como funciona esse método de avaliação suno combr Casos Especiais Envolvendo Restrições Há alguns casos de configuração de restrições que podem ser ilustrados para auxiliar a entender situações onde por exemplo talvez precisemos buscar mais detalhes para refinar o problema Restrições Incompatíveis Solução sem Fronteiras Redundâncias Soluções Alternativas Restrições Incompatíveis Seja o modelo Max z x y Sujeito a 4x 3y 12 x 4 y 5 Sua representação gráfica encontrase ao lado Neste caso não há soluções possíveis satisfazendo ao mesmo tempo todas as restrições Soluções sem Fronteiras Seja o modelo a seguir Max z 4x y Sujeito a x 2 y 3 Este caso ocorrerá quando o problema apresentar uma solução infinitamente grande sem violar qualquer uma das restrições Restrições Redundantes Seja o modelo a seguir Max z 3x 2y Sujeito a 10x 5y 50 x y 7 y 15 Temos uma restrição redundante se ela não afetar em nada a região factível delimitada pelas outras restrições Em outras palavras ela pode ser eliminada Soluções Alternativas Seja o modelo Max z 4x 12y Sujeito a x 3y 6 5x 3y 15 O problema pode ter duas ou mais soluções que ocorrem quando a família de retas da função objetivo é paralela a uma das restrições Análise de Sensibilidade através de Gráficos Como comentamos em aulas anteriores a análise de sensibilidade é aplicada para analisar possíveis variações sobre a solução considerada ótima Para demonstrações iremos considerar o nível elementar de variações sobre um determinado coeficiente não entraremos em um nível de detalhamento do que acontece com a solução ótima quando há variações em dois ou mais coeficientes conjuntamente Consideraremos os lados direitos das restrições LDRs e a função objetivo Fonte da imagem Análise de dados qualitativos como fazer e quais as vantagens questionpr ocom Vamos à um novo problema Uma fábrica produz dois produtos A e B Cada um deles deve ser processado por outras duas máquinas M1 e M2 Devido à programação de outros produtos que também utilizam essas máquinas a máquina M1 tem 24h de tempo disponível para A e B enquanto que a máquina M2 tem 16h de tempo disponível Para produzir uma unidade de A gastamse 4h em cada uma das máquinas M1 e M2 Para produzir uma unidade de B gastamse 6h em M1 e 2h em M2 Cada unidade vendida do produto A gera lucro de R 80 enquanto que cada unidade de B gera um lucro de R 60 Existe uma previsão máxima de demanda para B de 3 unidades não havendo restrições de demanda quanto a A Desejase saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas de forma a maximizar o lucro e ao mesmo tempo obedecer a todas as restrições definidas Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BYSANC Vamos modelar o problema 1º Qual o objetivo R Maximizar os lucros das vendas dos dois produtos 2º Quais as variáveis de decisão R Quantidades ótimas a serem produzidas de A e B x e y 3º Qual a função objetivo Max z 80x 60y Sendo R 80 a margem de lucro sobre A x e R 60 sobre B y Modelagem do problema 4 Quais as restrições Horas gastas em M1 4x 6y 24 Horas gastas em M2 4x 2y 16 Demanda máxima para A ilimitada Demanda máxima para B y 3 5 Outros vinculos entre as variáveis de decisão Apenas temos de determinar que x e y 0 pois não pode haver produção negativa Modelo Completo e Solução Max z 80x 60y Sujeito a 4x 6y 24 4x 2y 16 y 3 x e y 0 Tabela de Soluções Ponto Extremo x y Z P 0 0 0 Q 4 0 320 R 3 2 360 S 32 3 300 T 0 3 180 Retas paralelas à Função Objetivo para cada resultado na tabela Ponto Extremo x y Z P 0 0 0 Q 4 0 320 R 3 2 360 S 32 3 300 T 0 3 180 Aplicando a Análise de Sensibilidade A questão central é entender até onde podem variar os coeficientes da função objetivo sem que varie a solução ótima Variações em x e y na FO Percebase que nos limites definidos pelas restrições 4x 6y 24 que toca o eixo x em 6 0 e o eixo y em 0 4 4x 2y 16 que toca o eixo x em 4 0 e o eixo y em 0 8 Podemos variar qualquer valor sobre x e y na função objetivo que não teremos mudanças no valor ótimo de 360 Análise dos Lados Direitos das Restrições Muito embora variações nos valores de x e y na função objetivo dentro dos limites definidos pelas restrições não afetem o valor ótimo aplicar variações nas restrições ocasiona mudanças sobre esse valor Por exemplo suponhamos que a quantidade de horas tenha aumentado de 24 para 27 na restrição referente às horas disponíveis 4x 6y 27 Essa variação do lado direito ocasiona um aumento da região factível contenedora da solução Lembremos que transformando essa restrição em reta usando a igualdade é a mesma coisa que dizer y 4x 276 Devemos lembrar que mudanças no coeficiente linear a parte livre da equação da reta ocasionam algum tipo de deslocamento da reta no plano Variação no LDR 4x 6y 27 e 4x 6y 27 4x 6y 24 e 4x 6y 24 Referências MOREIRA Daniel Augusto Pesquisa Operacional curso introdutório 2 ed São Paulo Cengage Learning 2010 Autoria e Uso da Apresentação Esta apresentação foi desenvolvida pelo Prof Victor Diogho Heuer de Carvalho para uso na disciplina de Pesquisa Operacional e é propriedade do Group of Engineering in Decision Making and Artificial Intelligence GEDAI Todo uso deste material deverá fazer referência também ao seu autor e ao referido grupo Campus do Sertão Delmiro Gouveia