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Engenharia Civil ·
Lógica Matemática
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Lista de exercícios Demonstrações por absurdo 1 Mostre que uma condição necessária para a b 0 é a 0 e b 0 ou a 0 e b 0 2 Mostre que a equação x² y² 447 não possui uma solução x y formada por números primos 3 Chamamos terna pitagórica primitiva a um terno c b a de números inteiros positivos c b e a que não têm divisores em comum diferentes de 1 de sorte que c² a² b² Ou seja c b a são mutuamente primos entre si e são respectivamente a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo de lados inteiros Estes números possuem várias propriedades interessantes Mostre uma dessas propriedades em uma terna pitagórica primitiva os catetos não podem ser simultaneamente pares como também não podem ser simultânea mente impares 4 Prove que a Se r e Q então r z é irracional O mesmo vale para os números r2 r 2 e para 2r se r 0 b A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional c O produto de um número racional não nulo com um número irracional é um número irracional E se o número racional for zero o que ocorre d O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional e Pausa para os seguintes exemplos muito importantes Complementando os exercícios anteriores dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja racional Dê exemplos semelhantes para o produto Dê exemplo de dois números irracionais cujo quociente seja um número racional Dê exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma seja um número racional 5 Prove se β for um número irracional positivo então B é um número irracional A reciproca desse resultado é válida O que podemos afirmar sobre a irracionalidade de B para um inteiro positivo k 6 Prove se β for um irracional então 1 β é um número irracional 7 Demonstre que a 32 é irracional Certifiquese de que a mesma demonstração continua válida para os números 511 52 137 173 e etc Qual a propriedade que os números 2 3 5 7 11 13 e 17 têm em comum Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele b Partindo do fato de que já se conheça a irracionalidade de 35 prove que 5 7 é um número irracional Formule uma generalização desse fato Usando que 5 7 é um número irracional prove que 15 7 é número irracional Generalize esse resultado c Prove se p e q são dois números primos distintos então pq é um número irracional 8 Prove que a A irracionalidade do número log3 10 Dica se log3 10 pq então 3p 10q b Usando a mesma técnica empregada no item a mostre que log10 12 é um número irracional Demonstração por absurdo para demonstrar resultados de unicidade 9 Prove que no Brasil existem pelo menos duas pessoas que nasceram no mesmo dia do mês na mesma hora e no mesmo segundo Dica é preciso conhecer o número da população do Brasil e quantos segundos um ano tem Demonstração por contrapositiva 10 Determine as contrapositivas das seguintes sentenças Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva a Se xy 0 então x 0 ou y 0 b A condição xy 0 é suficiente para x 0 e y 0 ou x 0 e y 0 c Se cos θ for racional então cos 30 é racional 11 Usando a contrapositiva demonstre cada resultado a seguir a Se a e b forem números reais tais que a⁴ b⁶ 0 então a b0 b Sejam a b e ę números reais Temse a b ę para todo ę 0 a b c Se o número de Mersenne Mn 2n 1 for primo então necessariamente n deve ser primo Dica nos argumentos você deve usar a decomposição Ar 1Ar1Ar1 Ar2A1 r pertencente aos N Demonstrações em um modelo axiomático um pouco de abstração 12 Prove as seguintes propriedades de adição subtração multiplicação e divisão de números reais Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar a x y x z y z Lei do Cancelamento da Soma b x y x z e x 0 y z Lei do Cancelamento do Produto c x yx y Dica pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma x y x y d x y x y Dica trabalhe com a soma x y x y usando o item iii e Se x y 0 então x yl x1 y1 Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer f x y 0 x 0 ou y 0 Enuncie e prove resultado análogo para o produto de três números reais Dica trabalhe com as possibilidades de x e y serem ou não nulos g x z y z xy se y z 0 h xy zw x w z y y w se y w 0 i Definindo x2 De x x prove que I x y x y x² y² II x y ² x² 2xy y²
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Lista de exercícios Demonstrações por absurdo 1 Mostre que uma condição necessária para a b 0 é a 0 e b 0 ou a 0 e b 0 2 Mostre que a equação x² y² 447 não possui uma solução x y formada por números primos 3 Chamamos terna pitagórica primitiva a um terno c b a de números inteiros positivos c b e a que não têm divisores em comum diferentes de 1 de sorte que c² a² b² Ou seja c b a são mutuamente primos entre si e são respectivamente a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo de lados inteiros Estes números possuem várias propriedades interessantes Mostre uma dessas propriedades em uma terna pitagórica primitiva os catetos não podem ser simultaneamente pares como também não podem ser simultânea mente impares 4 Prove que a Se r e Q então r z é irracional O mesmo vale para os números r2 r 2 e para 2r se r 0 b A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional c O produto de um número racional não nulo com um número irracional é um número irracional E se o número racional for zero o que ocorre d O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional e Pausa para os seguintes exemplos muito importantes Complementando os exercícios anteriores dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja racional Dê exemplos semelhantes para o produto Dê exemplo de dois números irracionais cujo quociente seja um número racional Dê exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma seja um número racional 5 Prove se β for um número irracional positivo então B é um número irracional A reciproca desse resultado é válida O que podemos afirmar sobre a irracionalidade de B para um inteiro positivo k 6 Prove se β for um irracional então 1 β é um número irracional 7 Demonstre que a 32 é irracional Certifiquese de que a mesma demonstração continua válida para os números 511 52 137 173 e etc Qual a propriedade que os números 2 3 5 7 11 13 e 17 têm em comum Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele b Partindo do fato de que já se conheça a irracionalidade de 35 prove que 5 7 é um número irracional Formule uma generalização desse fato Usando que 5 7 é um número irracional prove que 15 7 é número irracional Generalize esse resultado c Prove se p e q são dois números primos distintos então pq é um número irracional 8 Prove que a A irracionalidade do número log3 10 Dica se log3 10 pq então 3p 10q b Usando a mesma técnica empregada no item a mostre que log10 12 é um número irracional Demonstração por absurdo para demonstrar resultados de unicidade 9 Prove que no Brasil existem pelo menos duas pessoas que nasceram no mesmo dia do mês na mesma hora e no mesmo segundo Dica é preciso conhecer o número da população do Brasil e quantos segundos um ano tem Demonstração por contrapositiva 10 Determine as contrapositivas das seguintes sentenças Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva a Se xy 0 então x 0 ou y 0 b A condição xy 0 é suficiente para x 0 e y 0 ou x 0 e y 0 c Se cos θ for racional então cos 30 é racional 11 Usando a contrapositiva demonstre cada resultado a seguir a Se a e b forem números reais tais que a⁴ b⁶ 0 então a b0 b Sejam a b e ę números reais Temse a b ę para todo ę 0 a b c Se o número de Mersenne Mn 2n 1 for primo então necessariamente n deve ser primo Dica nos argumentos você deve usar a decomposição Ar 1Ar1Ar1 Ar2A1 r pertencente aos N Demonstrações em um modelo axiomático um pouco de abstração 12 Prove as seguintes propriedades de adição subtração multiplicação e divisão de números reais Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar a x y x z y z Lei do Cancelamento da Soma b x y x z e x 0 y z Lei do Cancelamento do Produto c x yx y Dica pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma x y x y d x y x y Dica trabalhe com a soma x y x y usando o item iii e Se x y 0 então x yl x1 y1 Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer f x y 0 x 0 ou y 0 Enuncie e prove resultado análogo para o produto de três números reais Dica trabalhe com as possibilidades de x e y serem ou não nulos g x z y z xy se y z 0 h xy zw x w z y y w se y w 0 i Definindo x2 De x x prove que I x y x y x² y² II x y ² x² 2xy y²