A Importância da Matemática Aplicada nas Ciências Agrárias

Universidade de Rio Verde Agronomia Aluna Renata Augusta de Souza Disciplina Matemática Aplicada às Ciências Agrárias Matemática Aplicada às Ciências Agrárias O trabalho está muito desconfigurado e incompleto melhorar Rogério Rio Verde 2023 A matemática é imprescindível em todos os setores da rotina das ciências agrárias Desde a regulagem de máquinas a compra de insumos agrícolas o trato de plantas e animais o agrônomoa realiza diversas funções com o auxílio dos cálculos sendo uma ferramenta de grande auxílio Os polinômios são usados na agricultura há muito tempo e com grandes vantagens PimentelGomes Conagin 1987 E foi durante as guerras mundiais que esta área se impulsionou E em meados de 1941 Crowther Yates citados por Heady Dillon 1961 relatam que as conclusões finais sobre a resposta a fertilizantes devem basearse numa série de experimentos conduzidos em diferentes anos com diferentes culturas e em condições variadas de manejo e tipo de solo inúmeros trabalhos subsequentes confirmam esta recomendação Os limites são utilizados para calcular o comportamento das funções muito utilizado no cálculo diferencial e para determinar a continuidade de funções Por muito tempo a noção de limite foi confundida com ideias vagas e por muitas vezes filosóficas relativas ao infinito números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos e com intuições geométricas subjetivas nem sempre rigorosas a definição moderna tem menos de 150 anos SODRE 2020 A derivada possui inúmeras aplicações na área de engenharia e entre outras e podendo ser aplicadas para os mais variados tipos de problema como na resolução de problema com duas ou mais variáveis um exemplo de utilização seria para fazer uma média de gastos de uma empresa para produzir determinados produtos BALLESTA COSTA 2015 E para os cálculos precisos e eficientes utilizamos polinômios limites e derivadas que serão descritos logo abaixo Unidade 1 Polinômios Os polinômios se encontram em uma esfera da matemática denominado álgebra com isso a álgebra correlaciona o uso de letras representativas de um número qualquer com operações aritméticas SOUZA 2018 11 Definição Os polinômios são expressões algébricas formadas por números sendo chamados de coeficientes e letras podendo ser chamadas de partes literais as letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão SOUZA 2018 Exemplos a 4ab 3 b 12 x² 4 y² c x²y 2 xy² Os termos monômio binômio e trinômio são as classificações dos polinômios a única operação entre os elementos dos termos é a multiplicação Quando um polinômio possui apenas um termo ele é chamado de monômio Exemplos a 4x b 5ab c x²y²z² Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios dois termos separados por uma operação de soma ou subtração Exemplos a a² b² b 4x y c 7ab 2cd² Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios três termos separados por operações de soma ou subtração Exemplos a x² 4x 2 b 5ab 6xy 11y c m²n n³ m⁴ O grau de um polinômio pode ser definido pelos expoentes das partes literais que são as letras devemos somar os expoentes e o maior valor será considerado o grau do polinômio Exemplo 3x y o primeiro expoente é 0 3 o segundo expoente é 0 1 então nesse caso o maior valor é 0 3 portanto o grau do polinômio será 3 12 Valor numérico de um polinômio O valor numérico de um polinômio Px para x a é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio SOUZA2018 Exemplo Px x² 3x 2 P2 2² 32 2 P1 1² 31 2 13 Operações 131 Adição Na adição fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes mesma parte literal Exemplo 6x² 3x² xy 2y 3x³ 4xy 3y 6x² 3x² 3xy xy 4xy 2y 3y 6x² x² 3xy y 132 Subtração Na subtração dos polinômios o sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses Após eliminar os parênteses devemos juntar os termos semelhantes Exemplo 6x² 2xk 8k 4xk 8k 6x² 2xk 8k 4xk 8k 6x² 6xk 16k 133 Multiplicação Na multiplicação dos polinômios temos que multiplicar termo a termo Na multiplicação de letras iguais repetese e somase os expoentes Exemplo 3x² 5x 8 2x 1 6x³ 3x² 10x² 5x 16x 8 6x³ 13x² 21x 8 134 Divisão Na divisão dos polinômios utilizamos o método chave Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências da mesma base Para isso conservase a base e subtrai os expoentes Exemplo x² 8x 15 x 5 O primeiro passo é colocar os polinômios em ordem decrescente e segundo passo começamos a dividir x² por x que é igual a x e terceiro passo subtraímos essa expressão e obtemos 3x descemos o 15 para completar o polinômio quarto passo dividimos 3x por x e temos 3 multiplicamos 3 por x 15 para obter 3x 15 subtraímos obtemos 0 e assim obtemos o resultado de x 3 Unidade 2 Limites 21 Introdução A ideia de limite e 22 Definição A ideia de limite seguiu um longo e irregular caminho e a partir das ideias de vários estudiosos E foram necessários muitos e muitos anos de estudo para se chegar à definição formal em termos de epsilons ε e deltas δ que usamos atualmente SABATKE2016 A primeira construção teórica elaborada por nossos antepassados com relação ao desenvolvimento do conceito de limite pode ser encontrada na era grega Inicialmente os seguidores de Pitágoras 5867500 aC se baseavam na crença de que todos os números eram comensuráveis ou seja que eram grandezas medidas por um número inteiro ou fracionário Apesar disso após a descoberta de que nem todas as grandezas poderiam ser comparadas por meio de números inteiros houve por volta de 420 aC a crise dos inconmensuráveis considerada a primeira crise nos fundamentos da matemática A noção do conceito de limite foi desenvolvendo pouco a pouco iniciando na era Grega e sendo formulada com precisão por volta de 150 anos na Europa o termo limite no sentido moderno é produto dos séculos XVIII e XIX As dificuldades da sua construção se fizeram presentes nas etapas do refutamento do infinito na crise dos inconmensuráveis na inclusão dos infinitesimais e no desenvolvimento da transparência das regras e dos fundamentos teóricos ROMIRYS 2015 Dizemos que uma função fx tem um limite A quando x a tende isto é lim fx a se tendendo x para o seu limite de qualquer maneira sem atingir o valor a o módulo de fx A se torna e permanece menor que qualquer valor positivo predeterminado por menor que seja O limite nos informa o valor do qual uma função se aproxima conforme as entradas dessa função se aproximam cada vez mais de algum número a ideia é quando x tende a 2 x 2 e tende a 1 y 1 Então Exemplo y x 1 x 2 1 1 2 y 1 0 2 3 Observase que a medida que x se aproxima de 2 o valor y se aproxima de 1 isto é quando x tende a 2 x 2 e tende a 1 y 1 Então 1 y 0 1 y 2 x 2 y 3 A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções a continuidade de funções também utiliza as noções de limites bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes Logo abaixo o exemplo de uma dada função fx x² mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3 pela esquerda ou pela direita a função se aproxima do valor 9 Primeiro pela direita f3131²961 Exemplo lim x3 3 lim xa a lim k k lim x5 lim x7 5 7 2 lim 4z 1 lim 4z 1 8 1 7 Propriedade 7 O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se e somente se o limite da função que fica no denominador for diferente de zero no caso abaixo a propriedade é válida se lim gx 0 Exemplo lim 4xx 2 2 lim x2x2 2 lim 8x3x 3 4 Propriedade 8 O limite de uma função elevada a n é equivalente ao limite elevado a n dessa função lim fxn Ln lim x2² 64 24 Limites laterais Sejam f uma função e p um número real e suponhamos que existam a e b tais que ja pe p estejam contidos em D GUIDORIZZI 2001 Temos então lim xp fxL f admite limites laterais à direita e à esquerda em p e lim xp fx lim xp fx L Análises 1 Se lim xp fx lim xp fx existirem e forem diferentes então lim xp fx não existirá 2 Se existirem a e b tais que ja pe p estejam contidos em D então um dos limites laterais não existir então lim xp fx não existirá Exemplo 1 Calcule lim x1 x1 lim x1 x1 lim x1 x1 1 0 Exemplo Calcule se existir fx x2x2 podendo ser reescrita por f R 2 R dada por fx 1 se x 2 1 se x 2 Agora calcular os limites laterais lim x2 x2x2 lim x2 1 1 e lim x2 x2x2 lim x2 1 1 25 Limites infinitos Os limites infinitos são aqueles em que o limite é infinito e seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ja b Para qualquer ε 0 existe δ 0 com a x a δ fx ε o gráfico da função o gráfico da função Gráfico 1 Fonte infoscola 2020 Observase que quanto mais x se aproxima de zero maior é o valor de y o que nos remete a lim 1x Para quando x tende a mais infinito ou lim fx L e podemos observar que para o gráfico é uma assíntota do eixo x o que remete a um limite igual a zero quanto maior for o valor de x lim x0 sen 5xx lim x0 5sen 5x5x 5lim x0 sen uu 51 5 Gráfico 4 a reta consiste na derivação da função da parábola fonte Brasil escola Gráfico 5 mostrando o resultado da função acima Fonte Brasil escola sd coeficiente angular msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular m da reta r ou seja o coeficiente angular msec tem um limite m quando Q tende para P que é o coeficiente angular da reta tangente r Indicandose a abscissa do ponto P por x a Δx DX 0 e sabendose que a abscissa de P é expressa por a então se Q P temos que Δx 0 o que é equivalente a x a Assim m lim M p lim x a faΔx fa Δx lim x a fx fa x a se este limite existe é o coeficiente angular da reta tangente r Porém lim aΔx fa Δx 4 4Δx 4 4Δx² Δx 4 4Δx³ Δx 4 4Δx Δx 4 o coeficiente angular m da reta tangente quando x0 2 é dado por m lim Δx 0 4 Δx4 a equação reduzida para a reta tangente no ponto P24 é dada por y 4 4x2 ou y 4x 4 a qual é ilustrada na figura a seguir A definição que se conhece na geometria plana de reta tangente a uma circunferência o qual estabelece que a reta tangente toca a circunferência em um único ponto não pode ser estendido ao conceito de reta tangente a uma curva definida pela função y fx A figura a seguir ilustra essa afirmação Propriedade 1 o limite de um soma de funções é igual a soma dos limites de cada função FLEMMING GONÇALVES 2007 Propriedade 2 o limite de um produto é igual ao produto dos limites lim u v lim u lim v Propriedade 3 o limite de um quociente de funções é igual ao quociente dos limites lim u v lim u lim v se lim v 0 Propriedade 4 sendo k uma constante e f uma função lim kf k lim f Exemplos das propriedades acima As regras de derivação existem para facilitar os cálculos para descobrir a inclinação da reta tangente o cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas utilizando a definição de derivada que envolve um limite que tende a uma indefinição ou utilizando regras de derivação cujo funcionamento é garantido pela análise matemática para buscar maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas é possível provar os resultados subsequentes com as regras de derivação STEWART 2006 Abaixo as regras de derivação i Se f x a então f x 0 ii Se f x ax então f x a iii Regra do tombo Se f x xa então f x axa 1 iv Derivada da soma f x g x f x g x v af x a f x vi Regra do produto f x g x f x g x f x g x vii regra do quociente fxgx fxgx fxgxgx² Exemplos 1 Exemplo 1 Calcule a derivada de fx x³ Pela regra do tombo f x 3x² 1 3x² Exemplo 2 calcule a derivada de f x 3x³ Pela regra do tombo f x 43x² 1 f x 12x³ Exemplo 3 Calcule a derivada de f x x³3x 1 f x 2x3x 1 x²3 0 f x 6x² 2x 3x2 f x 9x² 2x Exemplo 4 Calcule a derivada da função dx 4x² 1 5x² No caso da função dx temos as funções f x 4x² 1 e g x 5x² d xfxgx 4x²15x² 4x² 15x² 5x²² d 12x5x² 4x² 110x 5x²² Unidade 4 Aplicação das Derivadas A velocidade como derivadas e a aceleração como derivadas Consideremos uma partícula em movimento no espaço suponhamos que x0 esteja no tempo t a t é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas Ao variar o tempo t a extremidade livre do vetor a t descreve a trajetória C da partícula Suponhamos que a partícula seja em P no tempo t e em Q no tempo t Δt Então Δ a a t Δt a t representa o deslocamento da partícula de P para Q ocorrido no intervalo de tempo Δt PEREIRA2023 A taxa média de variação de a t no intervalo Δt é dada por vm zt Δt zt Δt Que é denominada velocidade média da partícula no intervalo de tempo Δt A velocidade instantânea da partícula no tempo t que denominamos por v t é definida pelo limite e caso o limite exista Por isso quando a t é derivável a velocidade instantânea da partícula é dada por logo se v t é derivável a aceleração instantânea da partícula é dada por anm v a Δt v t Δt Portanto se v t é derivável a aceleração instantânea da partícula é dada por a t v t Importante a t v t at a t d²vt dt² Representação gráfica Gráfico 9 Fonte httpsedisciplinasuspbrmodbookviewphpid3129821chapterid23983 Pontos críticos Um ponto c Df tal que f c 0 ou f c não existe é chamado de ponto crítico de f PEREIRA2023 Exemplo Algumas funções e seus pontos críticos 1 y x³ 2y x 1 2 se pode concluir que o ponto a fa seja um ponto de inflexão do gráfico de f PEREIRA 2023 Quando a distância entre uma curva e uma reta tende a zero para pontos infinitamente distantes pontos impróprios a reta é uma assintota da curva A assintota quando x tende ao para infinito é y 3 Existem duas assintotas horizontais y 5 e y 5 f x 3x² Como 3x² é maior que zero para todo x 0 confirmando que a função é sempre crescente existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x I Df PEREIRA2023 Exemplo A função fx x3 4x2 tem um ponto de máximo relativo em x 0 e dois pontos de mínimos relativos em x 2 O valor máximo relativo é y 0 e o valor mínimo relativo é y 4 Gráfico 21 ponto de extremo relativo Fonte Geogebra 2023 PEREIRA 2023 A proposição seguinte permite encontrar os possíveis ponto de extremos relativos máximos relativos ou mínimos relativos de uma função seja y fx uma função definida num intervalo aberto I a b se f tem um extremo relativo em k I e f k existe para todo x I então f k 0 Máximo e Mínimo absoluto de uma função Uma função f pode ter vários máximos relativos em seu domínio o maior desses máximos relativos é denominado de máximo absoluto dizemos que fc é o máximo absoluto da função f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f uma função f pode ter vários mínimos relativos em seu domínio O menor desses mínimos relativos é denominado de mínimo absoluto e dizemos que fc é o mínimo absoluto da função f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f Gráfico 22 máximo e mínimo absoluto Fonte Alvaro 2006 PEREIRA 2023 Traçado do gráfico de uma curva Existem algumas regras informais que serão úteis no esboço do gráfico de uma função f Se possível devemos 1 Determinar o domínio e as interseções do gráfico da função com os eixos coordenados 2 Procurar por simetrias e periodicidade Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho Por exemplo se a função f for par isto é se fx fx o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo x Assim se conhecermos o gráfico da função para x 0 reduz a metade o trabalho de traçar o gráfico desta função Se a função for periódica podemos obter o gráfico inteiro por meio de translações do pedaço conhecido 3 Determinar os pontos críticos ou os valores críticos de f 4 Determinar o sinal de f x entre os pontos críticos e a partir daí os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente 5 Determinar os máximos e os mínimos locais de f 6 Determinar os pontos críticos de f e os valores de f nestes pontos 7 Determinar o sinal de fx entre os pontos críticos de f e a partir daí os intervalos onde f é côncava para cima e os intervalos onde f é côncava para baixo 8 Determinar os pontos de inflexão de f 9 Determinar as assintotas horizontais no gráfico de f Para isso é preciso estudar o comportamento de f quando x e quando x 10 Determinar as assintotas verticais no gráfico de f 11 Esboçar o gráfico de f