Matemática Aplicada às Ciências Agrárias

Universidade de Rio verde Agronomia Aluna Renata Augusta de Souza Disciplina Matemática Aplicada às Ciências Agrárias Matemática Aplicada às Ciências Agrárias Rio Verde 2023 INTRODUÇÃO A matemática é imprescindível em todos os setores da rotina das ciências agrárias Desde a regulagem de máquinas a compra de insumos agrícolas o trato de plantas e animais o agrônomoa realiza diversas funções com o auxílio dos cálculos sendo uma ferramenta de grande auxílio Os polinômios são usados na agricultura há muito tempo e com grandes vantagens PimentelGomes Conagin 1987 E foi durante as guerras mundiais que esta área se impulsionou E em meados de 1941 Crowther Yates citados por Heady Dillon 1961 relatam que as conclusões finais sobre a resposta a fertilizantes devem basearse numa série de experimentos conduzidos em diferentes anos com diferentes culturas e em condições variadas de manejo e tipo de solo inúmeros trabalhos subsequentes confirmam esta recomendação Os limites são utilizados para calcular o comportamento das funções muito utilizado no calculo diferencial e para determinar a continuidade de funções Por muito tempo a noção de limite foi confundida com ideias vagas e por muitas vezes filosóficas relativas ao infinito números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos e com intuições geométricas subjetivas nem sempre rigorosas a definição moderna tem menos de 150 anos SODRE 2020 A derivada possui inúmeras aplicações na área de engenharia e entre outras e podendo ser aplicadas para os mais variados tipos de problema como na resolução de problema com duas ou mais variáveis um exemplo de utilização seria para fazer uma média de gastos de uma empresa para produzir determinados produtos BALLESTA COSTA 2015 E para os cálculos precisos e eficientes utilizamos polinômios limites e derivadas que serão descritos logo abaixo Unidade 1 Polinômios Os polinômios se encontram em uma esfera da matemática denominado álgebra com isso a álgebra correlaciona o uso de letras representativas de um número qualquer com operações aritméticas SOUZA 2018 11 Definição Os polinômios são expressões algébricas formadas por números sendo chamados de coeficientes e letras podendo ser chamadas de partes literais as letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão SOUZA2018 Exemplos a 4ab 3 b 12 x2 4 y2 c x3 2 xy 2 x3y2 Os termos monômio binômino e trinômio são as classificações dos polinômios a única operação entre os elementos dos termos é a multiplicação Quando um polinômio possui apenas um termo ele é chamado de monômio Exemplos a 4x b 5ab c x2y3 z4 Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios dois termos separados por uma operação de soma ou subtração Exemplos a a2 b2 b 4x y c 7ab 2cd2 Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios três termos separados por operações de soma ou subtração Exemplos a x2 4x 2 b 5ab 6xy 11y c m2n n3 m4 O grau de um polinômio pode ser definido pelos expoentes das partes literais que são as letras devemos somar os expoentes e o maior valor será considerado o grau do polinômio Exemplo 3x3 y o primeiro expoente é o 3 o segundo expoente é o 1 então nesse caso o maior valor é o 3 portanto o grau do polinômio será 3 12 Valor numérico de um polinômio O valor numérico de um polinômio Px para x a é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio SOUZA2018 Exemplo Px x2 3x 2 P2 22 32 2 P1 12 31 2 13 Operações 131 Adição Na adição fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes mesma parte literal Exemplo 6x2 3x2 y xy 2y 3x2y 4xy 3y 6x2 3x2 y 3x2y xy 4xy 2y 3y 6x2 x2 y 3xy y 132 Subtração Na subtração dos polinômios o sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses Após eliminar os parênteses e devemos juntar os termos semelhantes Exemplo 6x2 2xk 8k 4xk 8k 6x2 2xk 8k 4xk 8k 6x2 6xk 16k 133 Multiplicação Na multiplicação dos polinômios temos que multiplicar termo a termo Na multiplicação de letras iguais repetese e somase os expoentes Exemplo 3x2 5x 8 2x 1 6x3 3x2 10x2 5x 16x 8 6x3 13x2 21x 8 134 Divisão Na divisão dos polinômios utilizamos o método chave Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base Para isso conservase a base e subtraia os expoentes Exemplo x2 8x 15 x 5 O primeiro passo é colocar os polinômios em ordem decrescente e segundo passo começamos a dividir x2 por x que é igual a x e terceiro passo subtraímos essa expressão e obtemos 3x descemos o 15 para completar o polinômio quarto passo dividimos 3 x por x e temos 3 multiplicamos 3 por x 15 para obter 3x 15 subtraímos obtemos 0 e assim obtemos o resultado de x 3 Unidade 2 Limites 21 Introdução A ideia de limite e 22 Definição A ideia de limite seguiu um longo e irregular caminho e a partir das ideias de vários estudiosos E foram necessários muitos e muitos anos de estudo para se chegar à definição formal em termos de epsilons ε e deltas δ que usamos atualmente SABATKE2016 A primeira construção teórica elaborada por nossos antepassados com relação ao desenvolvimento do conceito de limite pode ser encontrada na era grega Inicialmente os seguidores de Pitágoras 586500 aC se baseavam na crença de que todos os números eram comensuráveis ou seja que eram grandezas medidas por um número inteiro ou fracionário Apesar disso após a descoberta de que nem todas as grandezas poderiam ser comparadas por meio de números inteiros houve por volta de 420 aC a crise dos incomensuráveis considerada a primeira crise nos fundamentos da matemática Considerada de grande importância pois a partir dela começou a necessidade pelo conceito de limite que permitiria explicar números irracionais LIRA 2008 A noção do conceito de limite foi desenvolvida pouco a pouco iniciando na era Grega e sendo formulada com precisão por volta de 150 anos na Europa o termo limite no sentido moderno é produto dos séculos XVIII e XIX As dificuldades da sua construção se fizeram presentes nas etapas do refutamento do infinito na crise dos incomensuráveis na inclusão dos infinitesimais e no desenvolvimento da transparência das regras e dos fundamentos teóricos ROMIRYS 2015 Dizemos que uma função fx tem um limite A quando x a tende isto é se tendendo x para o seu limite de qualquer maneira sem atingir o valor a o módulo de fx A se torna e permanece menor que qualquer valor positivo predeterminado por menor que seja O limite nos informa o valor do qual uma função se aproxima conforme as entradas dessa função se aproximam cada vez mais de algum número a ideia de um limite é a estrutura de todo cálculo sendo assim o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores sempre relacionando os pontos x e y Utilizando a função y x 1 vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores ROMIRYS 2015 Exemplo y x 1 x 2 1 1 2 y 1 0 2 3 Observase que à medida que x se aproxima de 2 o valor de y se aproxima de 1 isto é quando x tende a 2 x 2 y tende a 1 y 1 Então x 1 y 0 x 1 y 2 x 2 y 3 A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções a continuidade de funções também utiliza as noções de limites bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes Logo abaixo o exemplo de uma dada função fx x² mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3 pela esquerda ou pela direita a função se aproxima do valor 9 Primeiro pela direita f3131²961 f301301²906 f30013001²9006001 f3000130001²900060001 Agora pela esquerda f2929²841 f299299²89401 f29992999²8994001 f2999929999²899940001 Exemplo Dada a função fx 4x 1 determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2 lim4x1 42 1 9 x2 fx 4x 1 f2 4 2 1 f2 9 23 Propriedades de limites Seja fx x e k uma constante temos Propriedade 1 O limite de uma função fx x será equivalente ao valor que o x se aproxima no caso abaixo o limite da função fx será p pois este é valor em que x está se aproximando ROMIRYS 2015 Exemplo Propriedade 2 O limite de uma constante é a própria constante Exemplo Propriedade 3 O limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções Exemplo Propriedade 4 O limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções Exemplo Propriedade 5 O limite de uma constante por uma função é equivalente ao produto da constante pelo limite da função Exemplo Propriedade 6 O limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções Exemplo Propriedade 7 O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se e somente se o limite da função que fica no denominador for diferente de zero no caso abaixo a propriedade é válida se limxp gx 0 Exemplo Propriedade 8 O limite de uma função elevada a n é equivalente ao limite elevado a n dessa função Exemplo 24 Limites laterais Sejam f uma função e p um número real e suponhamos que existam a e b tais que a p e p b estejam contidos em Df GUIDORIZZI 2001 Temos então limxp fxL f admite limites laterias à direita e à esquerda em p e limxp fx limxp fx L Análises 1 Se limxp fx e fx limxp existirem e forem diferentes então limxp fx não existirá 2 Se existirem a e b tais que a p e p b estejam contidos em Df e se em p um dos limites laterais não existir então limxp fx não existirá 3 Se existirem reais r 0 e b tais que p b Df e p r p Df φ então limxp fx limxp fx desde que o limite lateral à direita exista Se ocorrer b p Df e p p r Df φ então limxp fx limxp fx desde que o limite lateral à esquerda exista Exemplo 1 Calcule limx1 x1 limx1 x1 limx1 x1 limx1 0 0 Exemplo Calcule se existir fx x2 x2 podendo ser reescrita por f ℝ 2 ℝ dada por fx 1 se x 2 1 se x 2 Agora calcular os limites laterais lim x2 x2 x2 limx21 1 e lim x2 x2 x2 limx2 1 1 lim x2 x2 x2 lim x2 x2 x2 segue que limx2 x2 x2 não existe 25 Limites infinitos Os Limites infinitos são aqueles em que o limite é infinito e seja uma função e 𝑓 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo contido no domínio de Para qualquer 0 𝑎 𝑏 𝑓 𝜀 existe 0 com tal que 𝛿 𝑎 𝛿 𝑏 a a 𝑥 𝛿 𝑓 𝑥 𝜀 O limite L quando existe é único e representamos por GUIDORIZZI2001 ou se e também se Exemplo Cálculo de um limite fundamental usando o limite infinito o gráfico da função Gráfico 1 Fonte infoescola 2020 Observase que quanto mais se aproxima de zero maior é o valor de o que nos 𝑥 𝑦 remete a Podemos ainda provar este fato usando a definição Gráfico 2 Fonte infoescola2020 Dado 0 e sendo 1 dizemos que 𝜀 𝛿 𝜀 então 26 Limites no infinito Os Limites no infinito ou tendendo ao infinito são aqueles em que a variável da função tende ao infinito E representamos de duas maneiras GUIDORIZZI2001 Para quando tende a mais infinito ou 𝑥 Quando tende a menos infinito 𝑥 A definição para o mais infinito é que seja uma função e um ponto que pertence 𝑓 𝑎 ao intervalo contido no domínio de Para qualquer 0 existe 0 com tal 𝑎 𝑓 𝜀 𝛿 𝛿 𝑎 que O limite L quando existe é único e representamos por 𝑥 𝛿 𝐿 𝜀 𝑓 𝑥 𝐿 𝜀 E também existe uma definição para quando limites tendendo a menos infinito que é que seja uma função e um ponto que pertence ao intervalo contido no 𝑓 𝑎 𝑎 domínio de Para qualquer 0 existe 0 com tal que 𝑓 𝜀 𝛿 𝛿 𝑎 𝑥 𝛿 𝐿 𝜀 𝑓 𝑥 O limite L quando existe é único e representamos por 𝐿 𝜀 Exemplo O limite terá um valor para mais infinito e outro para menos infinito vamos analisar o gráfico Gráfico 3 Fonte infoescola 2020 e podemos observar que para o gráfico é uma assíntota do eixo o que remete a um 𝑥 limite igual a zero quanto maior for o valor de 𝑥 Mas para o limite diverge para valores de cada vez maiores o que nos dá um limite infinito e portanto 𝑥 27 Limites fundamentais A técnica de cálculo de limites consiste na maioria das vezes em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais facilitando assim as soluções procuradas Apresentarei cinco limites fundamentais e estratégicos para a solução de problemas São chamados de limites fundamentais porque apresentam casos especiais de indeterminações do tipo 00 0 e 1 FLEMMING GONÇALVES 2007 Primeiro Limite Fundamental O Limite Trigonomêtrico limx0 sex x x 1 seja x um arco em radianos cuja medida seja próxima de zero digamos x 00001 rad Nestas condições o valor de senx será igual a sen 00001 000009999 obtido numa calculadora científica efetuandose o quociente vem senx x 000009999 00001 099999 1 e quanto mais próximo de zero for o arco x mais o quociente senx x se aproximará da unidade caracterizandose aí a noção intuitiva de limite de uma função Exemplo Uma mudança de variável colocando 5x u de modo a cairmos num limite fundamental Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5 a expressão não se altera Usamos também a propriedade P4 Segundo Limite Fundamental Limite Exponencial limx 1 1xx e onde e é a base do sistema de logaritmos nigerianos cujo valor aproximado é e 27182818 Exemplo Terceiro Limite Fundamental Consequência do Anterior limx01x1x e Exemplo limx0 1x5x limx0 1x1x5 e5 Quarto Limite Fundamental Outro Limite Exponencial limx0 ax 1 x In a para a 0 Quinto Limite Fundamental limx0 1xa 1x a Unidade 3 Derivadas 31 Definição A derivada é a taxa de variação de uma função y fx em relação à x dada pela relação x y Considerando uma função y fx a sua derivada no ponto x x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y fx isto é o coeficiente angular da reta tangente à curva A derivada é uma propriedade local da função isto é para um determinado valor de x Por isso não podemos envolver toda a função Observe o gráfico a seguir ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente FLEMMING GONÇALVES 2007 Gráfico 4 a reta consiste na derivação da função da parábola fonte Brasil escola Agora determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores Considerando que e x varia de x 3 para x 2 achar x e y x231 y21213131 y1324 y4612 y212 y16 e vamos agora determinar a derivada da função yx24x4 y y xy2 4xx 4 x2 4x 4 x2 2xx x2 4x 4x 4 x2 4x 4 2xx x2 4x 2xx x2 4x x 2x x 4 lim x0 2x x 4 y2x4 e então a derivada da função yx24x4 é y2x4 Observe o gráfico Gráfico 5 mostrando o resultado da derivada da função acima Fonte Brasil escola sd Interpretação Geométrica A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto a fa Dada uma curva plana que representa o gráfico de f se conhecermos um ponto Pa fa então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y fa m x a onde m é o coeficiente angular da reta Portanto basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos para conhecermos a sua equação Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P Vamos considerar um outro ponto arbitrário sobre a curva Q cujas coordenadas são a x fa x A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva STEWART2006 Gráfico 6 A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva Fonte Unesp sd E agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproximar de P ou seja tomando x cada vez menor Tudo indica que quando P está próximo de Q o coeficiente angular msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular m da reta r ou seja o coeficiente angular msec tem um limite m quando Q tende para P que é o coeficiente angular da reta tangente r Indicandose a abscissa do ponto Q por x a x x x a e sabendose que a abscissa de P é expressa por a então se Q P temos que x 0 o que é equivalente a x a Assim se este limite existe é o coeficiente angular da reta tangente r Porém Logo m fa ou seja a derivada de uma função em um ponto de fato fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função neste ponto Exemplo o coeficiente angular m da reta tangente quando x0 2 é dado por m lim x04x4 a equação reduzida para a reta tangente no ponto P24 é dada por y 4 4x2 ou y 4x 4 a qual é ilustrada na figura a seguir Gráfico 7 Fonte Unesp cálculo 1 derivada sd A definição que se conhece na geometria plana de reta tangente a uma circunferência o qual estabelece que a reta tangente toca a circunferência em um único ponto não pode ser estendido ao conceito de reta tangente a uma curva definida pela função y fx A figura a seguir ilustra essa afirmação Gráfico 8 a reta tangente toca a circunferência em um único ponto Fonte Unesp cálculo 1 derivada sd 33 Propriedades operatórias das derivadas Propriedade 1 o limite de um soma de funções é igual à soma dos limites de cada função FLEMMING GONÇALVES 2007 lim u v w lim u lim v lim w Propriedade 2 o limite de um produto é igual ao produto dos limites lim u v lim u lim v Propriedade 3 o limite de um quociente de funções é igual ao quociente dos limites lim u v lim u lim v se lim v 0 Propriedade 4 sendo k uma constante e f uma função lim k f k lim f Exemplos das propriedades acima a limx 5 2x 3 25 3 13 b limx x2 x 2 c lim x2 4 x3 4 23 4 8 12 d lim x 4 3x 3 2x 5 34 3 24 5 5 e limx 4 x 3 x 3 4 3 4 3 71 7 34 Regras de derivação As regras de derivação existem para facilitar os cálculos para descobrir a inclinação da reta tangente o cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas utilizando a definição de derivada que envolve um limite que tende a uma indefinição ou utilizando regras de derivação cujo funcionamento é garantido pela análise matemática e para buscar maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas é possível provar os resultados subsequentes com as regras de derivação STEWART2006 Abaixo as regras de derivações i Se f x a então f x 0 ii Se f x ax então f x a iii Regra do tombo Se f x xa então f x axa 1 iv Derivada da soma f x g x f x g x v af x af x vi Regra do produto f x g x f x g x f x g x vii regra do quociente fxgx fxgx fxgxgx2 Exemplos 1 Exemplo 1 Calcule a derivada de fx x3 Pela regra do tombo f x 3x3 1 3x2 Exemplo 2 calcule a derivada de f x 3x4 Pela regra do tombo f x 43x4 1 f x 12x3 Exemplo 3 Calcule a derivada de f x x23x 1 f x 2x3x 1 x23 0 f x 6x2 2x 3x2 f x 9x2 2x Exemplo 4 Calcule a derivada da função dx 4x 3 1 5x2 No caso da função dx temos as funções f x 4x3 1 e g x 5x2 d xfxgx 4x31 5x2 4x3 1 5x2 5x22 d 12x2 5x2 4x3 1 10x 5x22 Unidade 4 Aplicação das Derivadas A velocidade como derivadas e a aceleração como derivadas Consideremos uma partícula em movimento no espaço suponhamos que x0 esteja no tempo t a t é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas Ao variar o tempo t a extremidade livre do vetor a t descreve a trajetória C da partícula Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t t Então a a t t a t representa o deslocamento da partícula de P para Q ocorrida no intervalo de tempo t PEREIRA2023 A taxa média de variação de a t no intervalo t é dada por Que é denominada velocidade média da partícula no intervalo de tempo t A velocidade instantânea da partícula no tempo t que denotamos por V t é definida pelo limite e caso o limite exista Por isso quando a t é derivável a velocidade instantânea da partícula é dada por logo se V t é derivável a aceleração instantânea da partícula é dada por Portanto se V t é derivável a aceleração instantânea da partícula é dada por Importante Representação gráfica Gráfico 9 Fontehttpsedisciplinasuspbrmodbookviewphpid3129821chapterid23983 Pontos criticos Um ponto c Df tal que f c 0 ou f c não existe é chamado de ponto crítico de f PEREIRA2023 Exemplo Algumas funções e seus pontos críticos 1 y x3 Gráfico 10 Fonte Álvaro 2006 Pereira2023 2 y x 1 2 Gráfico 11 Fonte Álvaro 2006 PEREIRA2023 y x 12 1 Gráfico 12 Fonte Álvaro 2006 PEREIRA2023 Ponto de Inflexão Um ponto Pc fc do gráfico de uma função contínua f é denominado ponto de inflexão quando existe um intervalo a b contendo c tal que 1 f é côncava para cima em a c e côncava para baixo em c b 2 f é côncava para baixo em a c e côncava para cima em c b Após a definição de concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo vamos definir ponto de inflexão dada uma função f duas vezes diferenciável no seu domínio dizse que o ponto P a fa é um ponto de inflexão do gráfico de f se o sentido da concavidade do gráfico muda em P Se P a fa é um ponto de inflexão do gráfico de f e existe segunda derivada em a então f a 0 No entanto se f a 0 não se pode concluir que o ponto a fa seja um ponto de inflexão do gráfico de f PEREIRA2023 Exemplo função fx x4 Ora f x 4x3 e f x 12x2 f x 0 12x 2 0 x 2 0 x 0 Porém por observação abaixo 0 f0 não é um ponto de inflexão do gráfico de f Gráfico 13 ponto de inflexão Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 Gráfico 14 Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 Concavidade Seja f uma função contínua no intervalo fechado a b e derivável até segunda ordem em todos os pontos do intervalo aberto a b 1 Se f x 0 x a b então f é côncava para cima em a b 2 Se f x 0 x a b então f é côncava para baixo em a b PEREIRA2023 Gráfico 15 Concavidade Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 Seja f uma função derivável em a b tal que c a b como ilustra a figura a cima e podemos observar que no intervalo a c a curva está acima de qualquer das retas tangentes ou seja dizse que a concavidade se encontra voltada para cima e a segunda derivada é positiva e também podemos observar que no intervalo c b a curva está abaixo de qualquer das retas tangentes ou seja dizse que a concavidade se encontra voltada para baixo e a segunda derivada é negativa Assíntotas Quando a distância entre uma curva e uma reta tende a zero para pontos infinitamente distantes pontos impróprios a reta é uma assíntota da curva Gráfico 16 Fonte httpswwwalfaconnectionprobrmatematicalimitesderivadaseintegraislimites assintotas Exemplo Assíntotas verticais Seja a função fx 3x2 x2 1 A assíntota quando x tende ao para infinito é y 3 Gráfico 17 assintotas verticais Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 Exemplo assíntotas horizontais Cálculo das assíntotas horizontais da função fx 5x x2 9 Existem duas assíntotas horizontais y 5 e y 5 Gráfico 18 assíntotas horizontais Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 Crescimento e decrescimento de uma função Dizemos que uma função f definida num intervalo I é decrescente nesse intervalo se para quaisquer x1 x2 I com x1 x2 temos fx1 fx2 uma função é monótona no intervalo de crescimento ou decrescimento SANTANA 2010 Proposição Seja f uma função contínua no intervalo a b e derivável no intervalo a b 1 Se f x 0 para todo x a b então fé crescente em a b 2 Se f x 0 para todo x a b então f é decrescente em a b Demonstração Sejam x1 e x2 I com x1 x2 Pelo Teorema do Valor Médio se f é contínua em x1 x2 e derivável em x1 x2 existe x x1 x2 tal que fx2 fx1 f xx2 x1 Então f x 0 pois x está no intervalo de I e de x2 x1 0 segue fx2 fx1 0 ou fx1 fx2 Portanto qualquer x1 x2 I com x1 x2 temos fx1 fx2 Exemplo Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes 1 fx x3 1 Utilizando a proposição anterior e derivando a função analisando para quais valores x tais que f x 0 e f x 0 Calcularemos se a função f é crescente ou decrescente Temos f x 3x2 Como 3x2 é maior que zero para todo x 0 confirmando que a função é sempre crescente Gráfico 19 demostração da função crescente Fonte Geogebra 2023 PEREIRA2023 2 fx x2 x 5 Temos f x 2x 1 Então para 2x 1 0 ou x 1 2 a função é crescente Para 2x 1 0 ou x 1 2 a função é decrescente Gráfico 20 função decrescente Fonte Geogebra2023 PEREIRA2023 Máximos e Mínimos Se uma função f possui um ponto de extremo máximo ou mínimo local em xc e a função f é derivável neste ponto então xc é um ponto crítico isto é fc0 SODREsd Máximo e Mínimo relativo de uma função Uma função f tem um máximo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x I Df Uma função f tem um mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x I Df PEREIRA2023 Exemplo A função fx x4 4x2 tem um ponto de máximo relativo em x 0 e dois pontos de mínimos relativos em x 2 O valor máximo relativo é y 0 e o valor mínimo relativo é y 4 Gráfico 21 ponto de extremo relativo Fonte Geogebra2023 PEREIRA2023 A proposição seguinte permite encontrar os possíveis ponto de extremos relativos máximos relativos ou mínimos relativos de uma função seja y fx uma função definida num intervalo aberto I a b se f tem um extremo relativo em k Ief x existe para todo x I então f k 0 Máximo e Mínimo absoluto de uma função Uma função f pode ter vários máximos relativos em seu domínio o maior desses máximos relativos é denominado de máximo absoluto dizemos que fc é o máximo absoluto da função f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f uma função f pode ter vários mínimos relativos em seu domínio O menor desses mínimos relativos é denominado de mínimo absoluto e dizemos que fc é o mínimo absoluto da função f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f Gráfico 22 máximo e mínimo absoluto Fonte Álvaro 2006 PEREIRA2023 Traçado do gráfico de uma curva Existem algumas regras informais que serão úteis no esboço do gráfico de uma função f Se possível devemos 1 Determinar o domínio e as interseções do gráfico da função com os eixos coordenados 2 Procurar por simetrias e periodicidade Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho Por exemplo se a função f for par isto é se fx fx o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y Assim se conhecermos o gráfico da função para x 0 para obter o gráfico completo basta refletir a parte conhecida em relação ao eixo y o que reduz à metade o trabalho de traçar o gráfico desta função Se a função for periódica de período p e conhecermos o seu gráfico em um intervalo de comprimento p podemos obter o gráfico inteiro por meio de translações do pedaço conhecido 3 Determinar os pontos críticos e os valores críticos de f 4 Determinar o sinal de f x entre os pontos críticos e a partir daí os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde é decrescente 5 Determinar os máximos e os mínimos locais de f 6 Determinar os pontos críticos de f e os valores de f nestes pontos 7 Determinar o sinal de f x entre os pontos críticos de f é a partir daí os intervalos onde f é côncava para cima e os intervalos onde e côncava para baixo 8 Determinar os pontos de inflexão de f 9 Determinar as assíntotas horizontais ao gráfico de f Para isso é preciso estudar o comportamento de f quando x e quando x 10 Determinar as assíntotas verticais ao gráfico de f 11 Esboçar o gráfico de f Referências BALLESTA L COSTA MBF Aplicação de calcúlo diferencial para determinar o custo de produção da empresa a um determinado futuro Disponível em httpsportaldeperiodicosunibrasilcombrindexphpanaisevinciarticleview203 Acesso em 30 de Setembro de 2023 LESSA J R Limites infinitos2020 Disponível emhttpswwwinfoescolacommatematicalimitesinfinitos Acesso em 04 de outubro de 2023 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 GUIDORIZZI Hamilton L Um Curso de Cálculo Volume 1 Rio de Janeiro Editora LTC 2001 HEADY EO DILLON JL Agricultural production functions Iowa Iowa State University Press 1961 LIRA A F O processo da construção do conceito matemático de limite pelo aprendiz com utilização de objetos digitais Tese de Doutorado UFRGS 2008 OLIVEIRA Raul Rodrigues de Polinômios Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescolauolcombrmatematicapolinomioshtm Acesso em 06 de outubro de 2023 PEREIRA Raynara dos Santos Importância da aplicação das derivadas Raynara dos Santos Pereira Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Licenciatura em Matemática Instituto Federal da Paraíba Campina Grande 2023 PIMENTELGOMES F CONAGIN A Experimentos de adubação planejamento e análise estatística In 2 SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA E 32 REUNIÃO ANUAL DA REGIÃO BRASILEIRA DA SOCIEDADE INTERNACIONAL DE BIOMETRIA Londrina Paraná Departamento de Matemática Aplicada UEL 1987 Anais Londrina Região Brasileira da SIB 1987 ROMIRYS C Propriedades do Limite de uma Função Vivendo entre símbolos 2015 Disponível em httpswwwvivendoentresimboloscom201501cursocalculoaula5 propriedadesdolimitedeumafuncaohtml Acesso em 03 de outubro de 2023 SANTANA A M d Aplicações das derivadas Dissertação BS thesis 2010 SABATKE Jéssica Meyer Construção do conceito de limite ideias e contextos 2016 151 folhas Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina Joinville 2016 SILVA M N P Introdução ao Estudo das Derivadas Brasil Escola Disponível emhttpsbrasilescolauolcombrmatematicaintroducaoaoestudodasderivadashtm Acesso em 04 de outubro de 2023 SODRE U Cálculo de limites Eulbr Disponível em httpswwwuelbrprojetosmatessencialsuperiorcalculolimiteshtml Acesso em 06 de outubro de 2023 SOUZA Joamir Roberto de Matemática realidade tecnologia 8 ano ensino fundamental anos finais Joamir Roberto de Souza 1 ed São Paulo FTD 2018 STEWART J Cálculo Volume 1 5ª edição São Paulo Pioneira Thomson learning 2006