Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico

Centro de Tecnologia e Urbanismo Departamento de Engenharia Elétrica Vitor Augusto Sborgi Lovo Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico Londrina 2014 Universidade Estadual de Londrina Centro de Tecnologia e Urbanismo Departamento de Engenharia Elétrica Vitor Augusto Sborgi Lovo Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof Dr Márcio Ro berto Covacic intitulado Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico e apresentado à Universidade Estadual de Londrina como parte dos requi sitos necessários para a obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Elétrica Orientador Prof Dr Márcio Roberto Covacic Coorientador Prof Dr Ruberlei Gaino Londrina 2014 Ficha Catalográfica Vitor Augusto Sborgi Lovo Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico Londrina 2014 78 p 30 cm Orientador Prof Dr Márcio Roberto Covacic 1 Engenharia de Reabilitação 2 Teoria de Controle 3 Matlab R 4 Índices de Desempenho I Universidade Estadual de Londrina Curso de Engenharia Elétrica II Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico Vitor Augusto Sborgi Lovo Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de En genharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Enge nharia Elétrica Comissão Examinadora Prof Dr Márcio Roberto Covacic Universidade Estadual de Londrina Orientador Prof Dr Ruberlei Gaino Universidade Estadual de Londrina Coorientador Prof Dr Newton da Silva Universidade Estadual de Londrina Londrina 27 de novembro de 2014 Dedico este trabalho a toda minha família em especial aos meus pais Helio Vitor Lovo e Eliane Sborgi Lovo que sempre me incentivaram a seguir em frente e nunca desistir do curso Agradecimentos A Deus pela saúde e perspicácia que tive durante todos esses anos de curso À minha família que sempre esteve ao meu lado dandome suporte e apoio para vencer em todas as etapas de minha vida em especial durante os anos de graduação Aos meus colegas da faculdade de Engenharia Elétrica que me serviram como exemplo para concluir o curso e pelos momentos de descontração Ao meu orientador Márcio Roberto Covacic pelo seu apoio orientação dedicação e o incentivo que me deu durante esse trabalho Ao Ruberlei Gaino que foi meu coorientador Aos professores Márcio Covacic e Ruberlei Gaino por terem me dado a oportunidade de participar de uma iniciação científica que culminou com a realização deste trabalho devido os conhecimentos aprendidos durante todo esse período A todos os professores do curso de Engenharia Elétrica da UEL que além de contribuírem com o conhecimento acadêmico também passaram suas experiências de vida A maior recompensa para o trabalho do homem não é o que ele ganha com isso mas o que ele se torna com isso John Ruskin Vitor Augusto Sborgi Lovo 2014 78 p Trabalho de Conclusão de Curso em Engenharia Elétrica Universidade Estadual de Londrina Londrina Resumo Neste trabalho de conclusão de curso são apresentados resultados teóricos de diferentes me todologias de projeto de controladores em malha fechada onde a planta a ser controlada é o modelo biomecânico do complexo canelapé de um paciente paraplégico Com a utilização da ferramenta computacional Matlab R para simulação dos resultados estes são avaliados em função dos índices de desempenho das respostas a uma excitação degrau unitário O projeto dos controladores baseado nas teorias de controle visa variar o ângulo da articulação do joelho em 45o quando aplicado um estímulo elétrico no músculo quadríceps onde o tempo de resposta de movimento deve ser menor ou igual a 1 segundo com um potencial de sobressinal máximo de 5 Assim é apresentada uma comparação entre as diferentes metodologias descritas neste trabalho aplicadas ao mesmo objeto de estudo com a finalidade de pontuar as peculiaridades de cada método apontando as vantagens e desvantagens dos sistemas em questão Este é um projeto interdisciplinar que engloba as áreas de controle instrumentação eletrônica e programação PalavrasChave 1 Engenharia de Reabilitação 2 Teoria de Controle 3 Matlab R 4 Índices de Desempenho Review of the Performance of Control Method Applied to a Paraplegic Patients Leg Plant 2014 78 p Monograph in Engenharia Elétrica Universidade Estadual de Londrina Londrina Abstract In this work theoretical results from different methodologies of closed loop controllers project where the plant to be controlled is the biomechanical model of a paraplegic patients shinfoot complex are presented Using the computational tool Matlab R for the simulation of the results these methodologies are evaluated according to the performance indexes of the responses for a unit step excitation The design of controllers based on the theories of control aims to vary the angle of the knee joint by 45o when an electrical stimulus is applied to the quadriceps muscle where the response time of the movement must be less than or equal to 1 second with a potential maximum overshoot of 5 Thus its presented here a comparison of the different methodologies described in this paper and all of them applied to the same object of study in order to score the peculiarities of each method pointing out the advantages and disadvantages of the systems in question This is an interdisciplinary project including the areas of control electronic instrumentation and programming Keywords 1 Rehabilitation Engineering 2 Control Theory 3 Matlab R 4 Performance Indexes Lista de figuras Figura 1 Representação do complexo canelapé FERRARIN e PEDOTTI 2000 9 Figura 2 Diagrama de blocos de um sistema de Controle em Malha Fechada OGATA 2010 13 Figura 3 Índices de Desempenho OGATA 2010 14 Figura 4 Definição do ângulo β OGATA 2010 15 Figura 5 a e b Exemplos de disposição de ângulos em relação aos polos desejados OGATA 2010 20 Figura 6 Resposta as degrau em formato de S OGATA 2010 22 Figura 7 Resposta de um sistema em malha fechada em oscilação OGATA 2010 23 Figura 8 Tela inicial do PID Tuner Matlab R 25 Figura 9 Disposição dos polos da planta em relação aos polos de malha fechada desejados no plano complexo Fonte próprio autor 38 Figura 10 Resposta à entrada degrau do sistema com controlador PID projetado pelo método de projeto dividido 40 Figura 11 Resposta do sistema quando aplicado um sinal degrau na função de transfe rência da planta da perna do paciente paraplégico 215 em malha aberta 41 Figura 12 Resposta do sistema utilizando controlador PID projetado pelo segundo método de ZieglerNichols 43 Figura 13 Resposta do sistema utilizando Controlador PIDF 44 Figura 14 Resposta do sistema utilizando Controlador PIDA 46 Figura 15 Resposta do sistema com controle por Espaço de Estados 50 Figura 16 Relação da variação do ângulo da perna com o tempo 50 Figura 17 Resposta do sistema utilizando Controlador LQR 52 Lista de tabelas Tabela 1 Constantes para modelagem das equações da planta do complexo canelapé Carvalho Neto 2008 12 Tabela 2 Regras de sintonia do primeiro método de ZieglerNichols OGATA 2010 22 Tabela 3 Regras de sintonia de ZieglerNichols baseada no ganho crítico e no período crítico OGATA 2010 23 Tabela 4 Contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta do paciente paraplégico em relação aos polos de malha fechada desejados 38 Tabela 5 Comparação de resultados das diferentes metodologias de controle para a perna de um paciente paraplégico 53 Sumário I INTRODUÇÃO 1 1 INTRODUÇÃO 3 II REVISÃO DA LITERATURA 7 2 REVISÃO DE LITERATURA 9 21 Modelo Matemático do Complexo CanelaPé para Planta da Perna de um Paciente Paraplégico 9 22 Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Ma lha Fechada 13 221 Dominância dos Polos 16 23 Controle PID 16 231 Método de Projeto Dividido de Controlador PID 18 232 Controlador PID pelo método de ZieglerNichols 21 233 Projeto de Controlador pelo PID Tuner do Matlab R 25 24 Controlador PIDA 27 25 Controle Moderno 28 251 Sistema de Controle no Espaço de Estados 28 252 Controle por Alocação de Polos 30 253 Controle Ótimo Quadrático 31 26 Metodologia 34 III DESENVOLVIMENTO 35 3 RESULTADOS 37 31 Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido 37 32 Projeto do Controlador PID pelo método de ZieglerNichols 40 33 Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner 43 34 Projeto do Controlador PIDA 45 35 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos 47 36 Controle LQR 51 37 Discussão 52 IV FECHAMENTO 55 4 CONCLUSÕES 57 5 TRABALHOS FUTUROS 59 Referências 61 APÊNDICES 65 APÊNDICE A CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON TROLADOR PID PELO MÉTODO DE PROJETO DIVIDIDO 67 APÊNDICE B CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON TROLADOR PID PELO SEGUNDO MÉTODO DE ZIEGLERNICHOLS 71 APÊNDICE C CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON TROLADOR PIDA 73 APÊNDICE D CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON TROLE NO ESPAÇO DE ESTADOS 75 APÊNDICE E CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON TROLADOR LQR 77 Parte I Introdução 3 1 Introdução O objetivo de um sistema de controle eficiente é independentemente do sinal de entrada atingir critérios de desempenho na resposta de saída dentro de uma margem de erro considerada satisfatória Para tal projetamse controladores que auxiliem no processo de manutenção da curva de resposta Um sistema de controle pode ser definido por um dispositivo que produz uma resposta saída quando excitado por uma entrada OGATA 2010 ASSUNÇÃO e TEIXEIRA 2010 Em um sistema de controle em malha fechada existe uma relação de dependência entre o sinal de saída e o sinal de entrada sendo o sinal de erro diferença entre ambos usado como meio de controlar este sistema Sistemas de controle em malha fechada têm sido comumente utilizados em todas as áreas da engenharia por apresentarem respostas relativamente insensíveis a perturbações externas Estes sistemas são utilizados de modo a obter respostas que atendam a requisitos de projeto conhecidos por índices de desempenho OGATA 2010 DORF e BISHOP 2009 ASSUNÇÃO e TEIXEIRA 2010 tais como estabilidade tempo de estabilização erro de regime permanente tempo de subida entre outros Existem inúmeras metodologias para projetar um controlador mas é através dos índices de desempenho e do nível de conhecimento do projetista que se pode definir a melhor estratégia de projeto que atenda aos objetivos índices de desempenho do dispositivo a ser desenvolvido O Controle ProporcionalIntegralDerivativo PID CHEN 1993 OGATA 2010 DORF e BISHOP 2009 é uma metodologia bastante difundida e com aplicações comprovadas em vários campos da engenharia assim hoje é uma das metodologias de projeto de controladores mais utilizada no mundo por permitir a especificação de mais de um índice de desempenho e ainda ser de simples desenvolvimento O controlador PID pode ser projetado através de diferentes maneiras onde cada uma tem suas peculiaridades mas todas têm como objetivo comum encontrar os ganhos proporcional integral e derivativo do controlador PID que atendam aos índices de desempenho O controlador PID é uma planta de segunda ordem e tem apenas dois zeros na sua função de transferência desta forma pode ser complicado o projeto de sistemas de controle para plantas de ordens superiores a dois Assim é preciso utilizar metodologias de controle mais avançadas O Controle ProporcionalIntegralDerivativoAcelerativo JUNG e DORF 1996 SOR MUANG e SUJITJORN 2010 PUANGDOWNREONG 2012 tem o acréscimo de um terceiro zero na sua função de transferência que possibilita que este controlador altere o root locus do sistema a ser controlado para regiões de estabilidade possibilitando o projeto de sistemas de controle Esta metodologia de controle é bastante útil para projeto de controladores para plantas de terceira ordem com polos dominantes localizados no semiplano direito do plano complexo 4 Capítulo 1 Introdução O controle moderno foi desenvolvido a partir de uma necessidade provinda do avanço gradativo da tecnologia A teoria de controle clássica não estava conseguindo suprir as demandas que as novas tecnologias estavam necessitando Desta forma metodologias como Controle por Espaço de Estado e Controle Ótimo Quadrático LQR foram desenvolvidas para possibilitar o controle de sistemas com uma ou mais de uma entrada eou saída Ogata 2010 O estudo para controlar o movimento de pacientes paraplégicos por meio de estimulação elétrica é um assunto relevante dentro da engenharia de reabilitação FERRARIN e PEDOTTI 2000 RIENER e FUHR 1998 CRAGO 1980 São inúmeros os estudos realizados com objetivo de controlar o movimento de pacientes paraplégicos utilizando FES por diferentes modelos matemáticos de músculos e da articulação do joelho RIENER e FUHR 1998 FERRARIN e PEDOTTI 2000 GAINO 2009 Em Gaino 2009 e Teixeira et al 2006 foram realizados pela primeira vez estudos e simulações da posição da perna em pacientes paraplégicos utilizando modelos fuzzy TakagiSugeno Nestes artigos foram propostas pela primeira vez um modelo em espaço de estados nãolinear da dinâmica do paciente paraplégico Em Teixeira 2007 foi obtida a função de transferência linearizada do modelo biomecânico do complexo canelapé de Ferrarin e Pedotti 2000 Em Carvalho Neto 2008 foi obtida a função de transferência do modelo biomecânico do complexo canelapé após linearização da equação apresentada em Ferrarin e Pedotti 2000 O Trabalho de Gaino 2009 gerou os códigos de controle dos movimentos utilizando modelos fuzzy TakagiSugeno uma versão discretizada do modelo TakagiSugeno foi imple mentada na tese de SANCHES 2014 O resultado gerou o primeiro teste com controle em malha fechada com modelos fuzzy TakagiSugeno neurostimulador e paciente paraplégico Em CARVALHO 2014 foi mostrado um artigo que entrevistou o prof Aparecido Augusto de Carvalho da FEISUNESP orientador de Marcelo Augusto Assunção Sanches relatando o histórico de um paciente que fazia 24 anos que não moviase a perna O professor Aparecido atuou como coorientador de Ruberlei Gaino em seu laboratório de 2005 a 2009 neste período foram elaboradas as primeiras versões do neuroestimulador utilizado em SANCHES 2014 Este material de pesquisa está sob responsabilidade e coordenado pelo prof Ruberlei Gaino na UEL no laboratório Controle Avançado Robótica e Engenharia Biomédica do depto de Engenharia Elétrica Podemos citar Alberto Cliquet o pioneiro que 1988 aplicouse FES em pacientes paraplégicos em malha aberta CLIQUET 2014 porém o modelo em malha fechada tornase mais eficiente e produz menos fadiga FERRARIN e PEDOTTI 2000 ao músculo do paciente e gerase mais possibilidade da marcha humana artificial A Estimulação Elétrica Funcional Functional Eletrical Stimulation FES é uma forma de tratamento que utiliza a corrente elétrica de baixa frequência 10 a 1000 Hz para provocar a contração de músculos paralisados ou enfraquecidos sendo a corrente elétrica específica de tal forma a possibilitar a contração muscular DUARTE e VIEIRA 2011 visando tratamento de pessoas com deficiências físicas Conhecida também como Ginástica Passiva a FES ajuda 5 não somente no tratamento de pacientes com músculos lesionados mas também pode ser utilizada para complementar o tratamento e treinamento de atletas e em clínicas de estética para tratamentos de beleza As contrações musculares pela estimulação elétrica despolarizam o neurônio motor produzindo uma resposta sincrônica nas unidades motoras do músculo DUARTE e VIEIRA 2011 Este sincronismo promove uma contração eficiente que é a base do tratamento proposto pela FES A fim de evitar a fadiga na fase de recondicionamento muscular que impediria a utilização funcional do método com objetivos reabilitacionais é necessário ter cuidados com a corrente elétrica aplicada para produzir contrações musculares pois podese danificar seriamente a região a ser tratada caso não seja dado devida atenção ao controle eficiente do níveis de intensidade de aplicação Nos dias atuais têmse um grande investimento em estudos para o desenvolvimento de tecnologias que providenciem a pessoas portadoras de deficiência a possibilidade de ter sua capacidade motora parcialmente reestabelecida GAINO 2011 COVACIC 2012 SANCHES 2013 OLIVEIRA 2013 OLIVEIRA 2014 SANCHES ET AL 2014 Desta forma se torna interessante o estudo de diferentes alternativas de controle para um sistema de tratamento utilizando a FES neste caso aplicado à planta da perna de um paciente paraplégico para desenvolver um dispositivo com controle eficiente e menos dispendioso Nos seguintes capítulos apresentase no Capítulo 2 uma revisão de literatura de algumas metodologias de projeto de controlado res que visam atender os índices de desempenho específicos para sistemas de estimulação elétrica funcional no Capítulo 3 os resultados através de simulação realizada no software Matlab R desta forma evitase inicialmente que os primeiros testes sejam aplicados diretamente em pacientes preservando a integridade física dos mesmos bem como uma comparação entre todos para identificação das melhores metodologias para aplicação no desenvolvimento de um dispositivo de tratamento utilizando FES para planta da perna do paciente paraplégico no Capítulo 4 as conclusões a partir dos resultados obtidos as referências utilizadas neste trabalho e também os códigos para Matlab R criados para projeto dos controladores Parte II Revisão da Literatura 9 2 Revisão de Literatura Neste capítulo é apresentada uma revisão de todos os conceitos utilizados neste trabalho Primeiramente têmse a teoria para obter a função de transferência do complexo canelapé que é considerada como sendo a planta da perna de um paciente paraplégico a qual é utilizada como objeto de estudo das diferentes metodologias de controle descritas ao longo do capítulo dois 21 Modelo Matemático do Complexo CanelaPé para Planta da Perna de um Paciente Paraplégico O controle dos movimentos da perna de pacientes paraplégicos através da estimulação elétrica é um assunto muito estudado dentro da área de Engenharia de Reabilitação Em muitos estudos o controle objetiva elevar a perna do estado de repouso até um ângulo específico e fazendoa retornar à posição inicial pela ação da gravidade com a retirada da estimulação no músculo GAINO 2009 O modelo matemático proposto por Ferrarin e Pedotti 2000 relaciona a largura de pulso aplicada ao músculo do membro inferior com o torque gerado em torno da articulação do joelho Foram considerados apenas dois segmentos rígidos a coxa e o complexo canelapé desconsiderando dessa forma o tornozelo o que reduz o número de graus de liberdade A coxa foi considerada estacionária fixa o que restringe os movimentos do modelo somente a uma dinâmica do complexo canelapé A Figura 1 ilustra o complexo canelapé Figura 1 Representação do complexo canelapé FERRARIN e PEDOTTI 2000 10 Capítulo 2 Revisão de Literatura O equilíbrio dinâmico do conjunto pode ser dado pelo equilíbrio das forças que atuam no mesmo Mi Mg Ma Ms Md 21 sendo Mi a componente inercial Mg a componente gravitacional Md a componente de amortecimento Ms o torque devido à componente de rigidez Ma o torque ativo do joelho devido à estimulação elétrica provocada no músculo quadrí ceps Substituindo as componentes de 21 podese obter uma equação diferencial ordinária de segunda ordem nãolinear 22 com Ms dado em 23 FERRARIN e PEDOTTI 2000 A equação 22 é dita não linear devido à componente senoidal e também a 23 FERRARIN e PEDOTTI 2000 J θv mglsenθv Ms B θ Ma 22 Ms λeEθθ ω 23 sendo J o momento inercial do complexo canelapé θ o ângulo do joelho ângulo entre a canela e a coxa θv o ângulo da canela θv a velocidade angular do joelho θv a aceleração angular da canela m a massa do complexo canelapé g a constante de aceleração gravitacional l a distância entre o joelho e o centro de massa do complexo canelapé B o coeficiente de atrito viscoso 21 Modelo Matemático do Complexo CanelaPé para Planta da Perna de um Paciente Paraplégico 11 λ e E os parâmetros de viscoelasticidade do joelho ω o ângulo elástico de repouso do joelho Segundo o desenvolvimento matemático apresentado em Deaecto 2005 e Teixeira 2007 substituindo 23 em 22 e igualando a zero temse f J θv mglsenθv λeEθθ ω B θ Ma 0 24 Para obter a função de transferência que relaciona o ângulo da canela com o torque ativo do joelho devido à estimulação elétrica devese linearizar 24 através da série de Taylor CARVALHO NETO 2008 Utilizando a expansão em série de Taylor em 24 obtêmse uma aproximação para f dado em 25 f f f θv θv θvo f θv θv θvo f θv θv θvo f Ma Ma Mao 25 Observando a Figura 1 temse θ θv π 2 Assim substituindo θ em 24 temse f J θv mglsenθv λeEθv π 2 θv π 2 ω B θ Ma 0 26 Resolvendo para cada termo de 25 temse f θv mglcosθv λEeEθv π 2 θv π 2 ω λEeEθv π 2 k 27 f θv B 28 f θv J 29 f Ma 1 210 Substituindose as equações 27 a 210 em 25 temse kθv B θv J θv Ma 0 211 sendo θv a variação do ângulo da canela com relação ao eixo da cadeira θv a variação da velocidade angular da canela θv a variação da aceleração angular da canela Ma a variação do torque ativo do joelho devido à estimulação elétrica 12 Capítulo 2 Revisão de Literatura Aplicando a transformada de Laplace OGATA 2010 em 211 obtémse a função de transferência 212 CARVALHO NETO 2008 que relaciona o ângulo da canela com o torque produzido pela estimulação elétrica Ns θvs Mas 1 Js2 Bs k 212 Segundo Carvalho Neto 2008 a relação entre torque aplicado através da estimulação elétrica ao músculo pela largura dos pulsos da estimulação elétrica pode ser dada pela função de transferência Ms Mas Ps G τs 1 213 sendo P a largura do pulso aplicado ao músculo quadríceps G e τ as constantes que relacionam o torque ao estímulo elétrico As equações 212 e 213 multiplicadas resultam na planta do modelo da junção do joelho 214 Gs Ns Ms G Js2 Bs kτs 1 214 Os valores das constantes podem ser encontrados na Tabela 1 Carvalho Neto 2008 Tabela 1 Constantes para modelagem das equações da planta do complexo canelapé Carvalho Neto 2008 CONSTANTES VALORES DIMENSÕES J 0362 kgm2 m 437 kg l 238 cm B 027 Nmrad λ 41208 Nmrad E 2024 rad1 ω 2918 rad G 42500 NmS τ 0951 Utilizando o valor das constantes apresentadas na Tabela 1 para calcular o valor de k e considerando como ponto de operação θv π 4 ou 45 temse k 7 9622 Assim utilizando os dados mostrados na Tabela 1 a função de transferência do complexo canelapé para estudo analítico de controladores para a perna de um paciente paraplégico é Gs 42500 0 3443s3 0 6188s2 7 842s 7 962 215 22 Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Malha Fechada 13 22 Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Malha Fechada Na Figura 2 é mostrado um sistema de controle em malha fechada Ogata 2010 Dorf e Bishop 2009 no qual Gs é a função de transferência da planta Gcs é a função de transferência do controlador Us é a entrada degrau do sistema Ys é a saída do sistema Es é o erro Hs corresponde à realimentação Figura 2 Diagrama de blocos de um sistema de Controle em Malha Fechada OGATA 2010 A Função de Transferência de Malha Fechada FTMF do sistema da Figura 2 é calculada por meio das equações Es Us Bs 216 Bs Hs Y s 217 Y s Es GCs Gs 218 Assim a função de transferência do sistema é Y s Us GCs Gs 1 Hs GCs Gs 219 Para um sistema genérico de 2a ordem sem nenhum zero como descrito em 220 os índices de desempenho são definidos em termos do coeficiente de amortecimento δ e da 14 Capítulo 2 Revisão de Literatura frequência natural nãoamortecida ωn Ogata 2010 Y s Us ω2 n s2 2δωn s ω2 n 220 A Figura 3 representa uma resposta transitória quando aplicado uma excitação degrau unitário no sistema de malha fechada descrito em 220 Figura 3 Índices de Desempenho OGATA 2010 Os índices de desempenho de uma resposta ao degrau unitário são indicativos de exatidão do sistema projetado Geralmente o projetista define máximos valores no domínio do tempo para os índices de desempenho que garantirão a aplicabilidade do sistema a ser desenvolvido Os índices de desempenho não são fixos e devem ser avaliados para cada sistema a ser projetado dependendo da resposta que se espera atingir e de sua aplicação Estes índices são avaliados através da resposta transitória do sistema a uma excitação degrau unitário pois se considera este sinal mais fácil de ser gerado o qual corresponde a uma solicitação suficientemente severa conhecendose a resposta a uma excitação degrau é matematicamente possível computar a resposta para qualquer outro tipo de sinal OGATA 2010 De acordo com a Figura 3 em OGATA 2010 são definidos os seguintes índices de desempenho Tempo de atraso td como sendo o tempo necessário para que a resposta alcance pela primeira vez a metade do valor final Tempo de subida tr como sendo o tempo necessário para que a resposta passe de 10 a 90 tr π β ωn 1 δ2 221 onde β é ângulo definido na Figura 4 ωn é a frequência natural nãoamortecida δ é o coeficiente de amortecimento Figura 4 Definição do ângulo β OGATA 2010 sendo s ωh jωn1 δ² os polos de malha fechada do sistema identificados através do coeficiente de amortecimento δ e da frequência natural nãoamortecidaωn Instante de pico tp como sendo o tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem tp π ωn1 δ² Máxima ultrapassagem Mp como o máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário Geralmente é indicado na diferença percentual entre o maior valor e o valor unitário desta forma é conhecido por Potencial de Overshoot PO Mp e δ 1 β² Tempo de estabilização te como o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma faixa e aí permaneça O intervalo de valores no interior da faixa é especificado por uma porcentagem absoluta do valor final Geralmente determinase uma porcentagem absoluta de 1 à 2 para uma maior precisão dos resultados mas este valor é determinado a partir dos objetivos do projeto A fórmula do tempo de estabilização com critério de 2 é te 4 δωn 16 Capítulo 2 Revisão de Literatura 221 Dominância dos Polos A dominância de polos de malha fechada é determinada pela relação entre as partes reais com os resíduos calculados através dos polos e zeros de malha fechada Os polos de malha fechada mais importantes são os polos dominantes os quais influenciam diretamente no comportamento transitório da resposta do sistema INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS 2014 Se a relação das partes reais dos polos forem maiores do que cinco vezes e não houver zeros nas proximidades então os polos de malha fechada mais próximos do eixo jω serão dominantes no comportamento da resposta transitória Se o sistema de malha fechada não tem polos complexos conjugados então a resposta transitória é não oscilatória Se algum polo estiver localizado no semiplano direito do plano complexo estes são considerados os polos dominantes e fazem com que a resposta oscilatória aumente monotonicamente caracterizando um sistema instável OGATA 2010 Assim para garantir uma resposta transitória rápida e amortecida é necessário ajustar os polos de malha fechada do sistema de modo que se localizem dentro da região definida pelos índices de desempenho para que também se possam atingir os resultados esperados para a resposta do sistema Em sistemas de ordem elevada caso haja dois polos dominando todos os outros é possível aproximar este sistema para um de segunda ordem Neste caso podese projetar controladores através de índices de desempenho pois estes só se aplicam a sistemas de segunda ordem ou sistemas que possam ser aproximados para tal 23 Controle PID É interessante assinalar que mais da metade dos controladores em uso nos dias atuais utiliza estratégia de controle Proporcional Integral Derivativa PID ou PID modificada OGATA 2010 KOZAN 2012 A metodologia de controle PID tem sua popularidade na indústria devido a seu desempenho robusto simplicidade de projeto por permitir a especificação de mais de um índice de desempenho como parâmetro de projeto e por ter uma metodologia bastante difundida a qual já foi provada sua aplicabilidade à maioria dos sistemas de controle tais como sistemas hidráulicos pneumáticos elétricos e eletrônicos O Controlador PID é uma técnica que une as ações proporcional P integral I e derivativa D combinando as vantagens de cada metodologia de compensação para obter uma resposta aceitável para o sistema a ser controlado A ação de controle proporcional P determina a taxa de resposta de saída para o sinal de erro Em geral quando se aumenta o ganho proporcional aumentase a velocidade da resposta do sistema OGATA 2010 A relação entre o sinal de saída do controlador ut e o sinal de erro atuante et é ut Kpet 225 Aplicando a transformada de Laplace em 232 temse Us Es Kp Ki s Kds 233 Para o projeto de controladores PID primeiramente devese determinar os polos de malha fechada desejados com base nos índices de desempenho estipulados para o projeto Os polos desejados s12 são definidos a partir das equações do potencial de overshoot 223 e do tempo de estabilização critério de 2 224 ωd 4 te 237 Etapa 2 analisar as contribuições de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta para identificar a contribuição do ângulo do zero do controlador θo pela equação 242 em relação aos polos desejados 240 conforme definido pela Figura 5 θo n i1 θi 180 242 onde θi é o ângulo dos polos e zeros da planta em relação aos polos desejados de malha fechada do sistema com i sendo a quantidade total de polos mais zeros da planta Etapa 3 calcular a posição do zero do controlador 243 Zc ωd tan θo δωn 243 Etapa 4 calcular o ganho K ganho total do sistema através da condição de módulo 241 com s s1 240 Figura 7 Resposta de um sistema em malha fechada em oscilação OGATA 2010 24 Capítulo 2 Revisão de Literatura Etapa 2 Montar a tabela de Routh conforme descrito a seguir Linha 1 a0 a2 a4 2 a1 a3 a5 3 A1 A2 A3 4 B1 B2 B3 5 C1 C2 C3 n1 W1 W2 onde A1 a1a2 a0a3 a1 253 A2 a1a4 a0a5 a1 254 A3 a1a6 a0a7 a1 255 B1 A1a3 a1A2 A1 256 B2 A1a5 a1A3 A1 257 C1 B1A2 A1B2 B1 258 C2 B1A3 A1B3 B1 259 Etapa 3 Examinar todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh e se caso algum dos elementos for negativo temos raízes à direita do eixo imaginário e o sistema é instável O sistema é estável se todos os elementos na primeira coluna da matriz de Routh forem positivos Desta forma é possível verificar os valores que tornam o sistema estável O ganho crítico Kcr é definido como o valor a tornar o sistema instável neste caso o valor que zere um elemento da primeira coluna da matriz de Routh Para calcular o período crítico quando conhecida a função de transferência do sistema devese Etapa 1 na equação característica de malha fechada Ds do sistema 260 ajustar o ganho proporcional com o valor do ganho crítico Kp Kcr Ds 1 Kcr Gcs Hs 260 23 Controle PID 25 Etapa 2 determinar a frequência da oscilação mantida ω substituindo s jω na equação característica 260 1 Kcr Gcjω Hjω 0 261 Etapa 3 calcular o período crítico 262 Pcr 2π ω 262 Encontrados os valores de Kcr e Pcr substituir os valores na equação 251 para encon trar a função de transferência do controlador PID baseado no segundo método de ZieglerNichols 233 Projeto de Controlador pelo PID Tuner do Matlab R A ferramenta computacional Matlab R dispõe de uma ferramenta de edição o PID Tuner THE MATH WORKS 2014 para projeto de controladores em malha fechada Com o comando pidtool podese acessar esta ferramenta conforme mostrado pela Figura 8 e projetar o controlador desejado dentro dos índices de desempenho estabelecidos bastando apenas fornecer a função de transferência da planta a ser controlada Figura 8 Tela inicial do PID Tuner Matlab R A ferramenta PID Tuner trabalha com os seguintes tipos de controladores P Proporcional PI Proporcional Integral PD Proporcional Derivativo 26 Capítulo 2 Revisão de Literatura PID Proporcional Integral Derivativo PDF Proporcional Derivativo com filtro PIDF Proporcional Integral Derivativo com filtro A função de transferência do controlador PID com filtro derivativo PIDF é Gcs Kp Ki s Kds Tfs 1 263 sendo Kp é o ganho proporcional Ki é o ganho integral Kd é o ganho derivativo Tf é a constante de tempo do filtro A utilização de um filtro na parcela derivativa do controlador PID PIDF é desejável para um sistema com elevado nível de ruído A grande maioria dos ruídos encontrase em frequências elevadas justamente onde o ganho da parcela derivativa tende a infinito podendo causar instabilidade no sistema A adição do filtro na ação derivativa tem a função de reduzir o efeito do ruído melhorando a resposta do sistema Projeto do Controlador PIDF com o PID Tuner Etapa 1 definir a planta de estudo e importar seus dados para a ferramenta PID Tuner através do menu import Etapa 2 escolher o controlador a ser utilizado neste caso escolher o PIDF Etapa 3 variar a barra de tempo de resposta Response time até obter uma resposta aceitável para o sistema a ser controlado Etapa 4 Verificar através da caixa de texto Performance and Robustness os índices de desempenho settling time e overshoot para constatar a eficácia do projeto do controlador Etapa 5 exportar os dados do controlador projetado pelo PID Tuner para área de trabalho do Matlab R para simulação dos resultados 24 Controlador PIDA Projetos de controladores PID para plantas de terceira ordem como a da perna do paciente paraplégico descrita em 215 geralmente são complicados pois a ordem da planta é maior que o número de zeros providos pelo controlador o que dificulta o seu desenvolvimento 28 Capítulo 2 Revisão de Literatura Etapa 3 Encontrar a equação característica analítica do sistema a ser controlado utili zando para o controlador Gc s a função de transferência dada em 266 Igualar os resultados obtidos nas etapas dois e três Etapa 4 Através de resolução de sistemas de equações lineares encontrar os valores para kabz Etapa 5 Simular a resposta do sistema com o controlador obtido para uma entrada degrau e verificar os índices de desempenho Etapa 6 Caso os índices de desempenho não tenham sido atingidos podese alterar o ganho total do sistema K ou alterar o valor do polo r até que se atinja um resultado aceitável 25 Controle Moderno No mundo tecnológico que vivemos hoje a tendência atual dos sistemas tanto na enge nharia quanto em todas as outras áreas da ciência é no sentido de aumentar sua complexidade em função principalmente da necessidade de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa precisão Sistemas complexos podem ter múltiplas entradas e múltiplas saídas e podem ser variantes no tempo OGATA 2010 A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quanto ao desempenho de sistemas de controle e o aumento da complexidade desses sistemas ajudou no desenvolvimento da teoria de controle moderno A teoria de controle moderno OGATA 2010 DORF e BISHOP 2009 contrasta com a teoria de controle clássica no sentido de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas e saídas múltiplas lineares ou nãolineares variantes ou invariantes no tempo enquanto a ultima é aplicável apenas a sistemas de uma única entrada e uma única saída linear e invariante no tempo 251 Sistema de Controle no Espaço de Estados Uma representação em espaço de estados na engenharia de controle é um modelo matemático de um sistema físico composto de variáveis de entrada variáveis de saída e de variáveis de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem A representação por espaço de estados fornece uma maneira prática e compacta para modelar e analisar no domínio do tempo sistemas com múltiplas entradas e saídas COVACIC et al 2010 COVACIC E GAINO 2014 O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valor de variáveis de estado x1 x2 x3 xn de modo que conhecendo estes valores em t t0 e também os valores do sinal de entrada para t t0 podese determinar completamente o comportamento do sistema em qualquer instante t t0 Ogata 2010 25 Controle Moderno Representação de um Sistema no Espaço de Estados Suponha que um sistema possua n variáveis de estado m entradas e p saídas Desta forma o sistema pode ser descrito por um conjunto de equações de primeira ordem conforme descrito em 272 e 273 OGATA 2010 30 Capítulo 2 Revisão de Literatura Caso o sistema em estudo esteja na forma de função de transferência ou seja no domínio da frequência é possível através da transformada inversa de Laplace encontrar o sistema no domínio do tempo para poder da forma apresentada anteriormente representar este sistema em espaço de estados 276 Outra forma seria utilizar as formas canônicas OGATA 2010 252 Controle por Alocação de Polos O controle por alocação de pólos consiste em realimentar todos os estados xt de forma a gerar um sinal de entrada ut que produza o sinal de saída yt desejado Esta metodologia de controle moderno só tem aplicabilidade se e somente se o sistema considerado for completamente controlável desta forma os pólos do sistema a malha fechada podem ser alocados em quaisquer posições desejadas por meio de retroação de estados através de uma matriz de ganho de retroação de estado adequada OGATA 2010 Controlabilidade Um sistema é dito controlável no instante t0 se for possível por meio de um vetor de controle transferir o sistema de qualquer estado inicial xt0 para qualquer outro estado num intervalo de tempo finito A controlabilidade de um sistema dinâmico xt Axt But sendo x E ℜn e u E ℜm é verificado se e somente se as linhas da matriz de controlabilidade Ct Ct B AB A2BAn1B forem linearmente independentes ou seja Posto Ct n Para sistemas com uma única entrada Ct é uma matriz quadrada Neste caso o sistema é controlável se e somente se Ct B AB A2B An1B 0 O determinante só existirá se houver uma única entrada Projeto de controladores por alocação de polos Suponha que o sistema dinâmico seja definido por 277 e que o sinal de controle seja dado por 278 x AxBu 277 u Kx 278 O projeto consiste em encontrar uma matriz de ganho de retroação K que force os valores de A BK a serem os valores dos polos de malha fechada que atenda os requisitos de projeto tempo de estabilização e máximo potencial de ultrapassagem Assim as etapas de projeto são Etapa 1 Encontrar a representação do sistema em estudo na forma de espaço de estado 276 Etapa 2 Testar a condição de controlabilidade do sistema Se o sistema for controlável passar para etapa seguinte 25 Controle Moderno 31 253 Controle Ótimo Quadrático 32 25 Controle Moderno 33 Sendo assim se resolvermos a equação 289 e encontrarmos uma matriz positiva P o sistema será estável Para obter a solução do problema de controle ótimo quadrático supõese agora que R seja uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica onde R TTT 290 onde T é uma matriz não singular Então a equação 289 pode ser escrita como ATP PA TK TT1BTPTTK TT1BTP PBR1P Q 0 291 Para J ser minimizado em relação a K devese minimizar a expressão TK TT1BT PTTK TT1BTP em relação a K O mínimo ocorre quando ela é zero ou quando TK TT1BTP 292 Isolando K em 292 temse K T1TT1BTP 293 K TTT1BTP 294 K R1BTP 295 A expressão 295 fornece a matriz ótima K Assim o sinal de controle é dado por ut Kxt 296 ut R1BTPxt 297 A matriz P deve satisfazer a seguinte equação ATP PA PBR1P Q 0 298 A equação 298 é a equação reduzida de Riccati Projeto de controlador ótimo quadrático Etapa 1 Resolver a equação 298 para encontrar a matriz P Pela ferramenta computa cional Matlab R podese através do comando P lqrABQR determinar a matriz P única solução definida positiva para a equação reduzida de Ricatti 298 Etapa 2 Substituir a matriz P na equação 295 para determinar a matriz ótima K Etapa 3 Simular o sistema 34 Capítulo 2 Revisão de Literatura 26 Metodologia Exibido a revisão de literatura utilizada neste trabalho no capítulo três é mostrado o desenvolvimento do projeto dos controladores para a planta da perna do paciente paraplégico 215 em malha fechada utilizando as metodologias anteriormente apresentadas Parte III 37 3 Resultados Sendo o interesse deste trabalho confrontar diferentes metodologias de controle aplicados ao mesmo objeto de estudo planta da perna do paciente paraplégico 215 para tal são estipulados os mesmos índices de desempenho para todas as metodologias com o intuito de poder avaliálas dentro de uma mesma base de comparação Desta forma são definidos os seguintes critérios de avaliação de desempenho para as respostas dos sistemas controlados te1s critério de 2 PO5 Para o projeto dos controladores para a planta da perna de um paciente paraplégico 215 através dos índices de desempenho estipulados têmse os polos de malha fechado desejados 31 para projeto dos sistemas de controle s12 4 j4 1947 31 No caso da metodologia de controle ótimo quadrático os índices de desempenho con siderados para esse tipo de projeto são hermitianos e portanto diferentes dos considerados nas outras metodologias apresentadas neste trabalho Porém podese comparar as respostas dos sistemas controlados através do desempenho das respostas obtidas Estes índices de desempenho foram definidos devido o projeto ser de risco elevado e qualquer perturbação maior que o permitido pode causar danos irreparáveis ao paciente O uso do software Matlab R permite simulação dos algoritmos de controle para observar através da resposta temporal a eficiência do sistema projetado Para cada metodologia é mostrado o desenvolvimento analítico para o projeto do contro lador bem como a resposta obtida para o sistema controlado 31 Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Di vidido Para o projeto do controlador PD após definidos os polos de malha fechada desejados é preciso analisar a contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta em estudo em relação aos polos desejados 31 conforme se mostra na Tabela 4 Na Figura 9 podese ver a disposição dos polos da planta em relação aos polos de malha fechada desejados Figura 9 Disposição dos polos da planta em relação aos polos de malha fechada desejados no plano complexo Fonte próprio autor Tabela 4 Contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta do paciente paraplégico em relação aos polos de malha fechada desejados Polo Contribuição de ângulo Contribuição de módulo 03729j4675 θ₁187542 P₁365875 03729j4675 θ₂112241 P₂9583 10515 θ₃1251 P₃51274 Através dos dados apresentados na Tabela 4 podese calcular a contribuição do ângulo do zero do controlador θ₀ pela equação 242 A contribuição total dos ângulos dos polos e zeros da planta é ³ᵢ₁ θᵢ 424 88 Assim através da equação 242 o ângulo do zero do controlador é θ₀ 244 88 Com o resultado obtido em 33 podese calcular a posição adequada do zero do controlador através de 243 Logo o zero do controlador PD deve ser alocado em Zc 5967 31 Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido 39 Assim com os resultados mostrados em 34 temse Controlador PD Gcs s 5 967 35 No projeto do Controlador PI devese escolher uma posição para alocar o zero do compensador de forma a produzir pouca variação nos polos de malha fechada Usualmente valores entre 0001 e 01 Desta forma definese o Controlador PI como sendo Gcs s 0 08 s 36 Para encontrar a função de transferência do controlador PID devese multiplicar as plantas dos controladores apresentados em 35 e 36 assim temse Gcs Kp Kd s 5 967 s 0 08 s 37 Substituindose as equações 215 e 37 com s 4 j4 1947 em 241 temse K 1348587 38 O ganho do controlador kc Kp Kd é calculado dividindo o ganho do sistema pelo ganho da planta conforme mostrado em 39 kc K G 39 Usualmente quando o sistema não atinge os índices de desempenho satisfatoriamente podese ajustar o ganho do controlador para obter uma melhor resposta Esse ajuste é feito por tentativa e erro alterando o valor e avaliando o resultado obtido Neste projeto foi utilizado um ganho do controlador de kc 2 74572 105 310 Assim a função de transferência do controlador PID é Gcs 2 74572 105 s 5 967 s 0 08 s 311 Gcs 2 746 105s2 0 000166s 1 311 105 s 312 A função de transferência de sistema em malha fechada conforme sistema mostrado na Figura 2 é Y s Us 1 167s2 7 056s 0 557 0 3443s4 0 6188s3 9 009s2 15 02s 0 557 313 Aplicando um sinal degrau na equação 313 temse a resposta do sistema conforme mostrado na Figura 10 40 Capítulo 3 Resultados Figura 10 Resposta à entrada degrau do sistema com controlador PID projetado pelo método de projeto dividido Na Figura 10 podese observar que o tempo de estabilização pretendido te 1s para o projeto não foi atingido desta forma a metodologia de projeto de controlador PID pelo método dividido não atende as especificações do projeto Ambos os índices de desempenho precisam estar dentro do estipulado para atingir eficiência no controle do sistema No apêndice A encontrase o código para Matlab R desenvolvido para esta metodologia de projeto 32 Projeto do Controlador PID pelo método de ZieglerNichols Primeiramente devese verificar se é possível projetar o controlador PID pelo primeiro método de ZieglerNichols A Figura 11 mostra a resposta do sistema quando aplicado um sinal degrau na função de transferência da planta da perna do paciente paraplégico 215 em malha aberta Assim observase pela Figura 11 que não é possível projetar o controlador PID pelo primeiro método de ZieglerNichols pela curva de resposta não apresentar o formato adequado para obtenção dos parâmetros necessários para projeto do controlador Partindose para o segundo método e sendo conhecida a função de transferência da planta a ser controlada 215 para o projeto do controlador PID pelo segundo Método de Ziegler Nichols primeiramente devese encontrar o ganho critico Kcr pelo critério de RouthHurwitz 32 Projeto do Controlador PID pelo método de ZieglerNichols 41 Figura 11 Resposta do sistema quando aplicado um sinal degrau na função de transferência da planta da perna do paciente paraplégico 215 em malha aberta Para tal a equação de malha fechada do sistema da perna do paciente paraplégico 215 com um controlador proporcional Kp é Y s Us 42500 Kp 0 344262s3 0 61877s2 7 8420522s 7 9622 42500 Kp 314 Assim a equação característica do sistema é Ds 0 344262s3 0 61877s2 7 8420522s 7 9622 42500 Kp 0 315 Pelas informações da equação característica do sistema 315 definese a tabela de Routh como Linha 1 0344262 78420522 2 061877 7962242500 Kp 3 A1 0 4 B1 0 Considerando que para a estabilidade do sistema todos os valores da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivos temse A1 3 4125 23645 515 Kp 0 316 B1 7 9622 42500 Kp 0 317 Das equações 316 e 317 temse 1 8735 104 Kp 1 4423 104 318 Kcr Kpmax 1 4423 104 319 42 Capítulo 3 Resultados Para calcular o período crítico substituise na equação característica do sistema 315 Kp Kcr e s jω assim 0 344262jω3 0 61877jω2 7 8420522jω 14 095697 0 320 Pela equação 320 obtémse a frequência de oscilação mantida ω 4 7727654 321 O período crítico é Pcr 2π ω 1 3164664 322 Substituindo 319 e 322 em 251 temse a função de transferência do controlador PID Gcs 0 075 14423 104 1 3164664 s 4 131646642 s 323 Gcs 1 425 105s2 8 659 105s 1 316 104 s 324 A função de transferência do sistema em malha fechada conforme sistema mostrado na Figura 2 é Y s Us 0 6056s2 3 68s 5 593 0 3443s4 0 6188s3 8 448s2 11 64s 5 593 325 Aplicando um sinal degrau na equação 325 temse a resposta do sistema conforme mostrado na Figura 12 Na Figura 12 podese observar que o tempo de estabilização pretendido te 1s para o projeto não foi atingido desta forma a metodologia de projeto de controlador PID pelo segundo método de ZieglerNichols não atende as especificações do projeto No apêndice B encontrase o código para Matlab R desenvolvido para esta metodologia de projeto 33 Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner 43 Figura 12 Resposta do sistema utilizando controlador PID projetado pelo segundo método de ZieglerNichols 33 Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner Primeiramente para o projeto do controlador PIDF com auxílio do Matlab R na área de trabalho do software devese inserir o comando pidtool para acessar a ferramenta PID Tuner responsável pelo projeto de controladores em malha fechada No campo import new plant importase os dados da função de transferência da perna do paciente paraplégico 215 para a ferramenta de edição No menu de seleção do tipo do controlador devese selecionar o Controlador PIDF Para encontrar a melhor resposta para o sistema variase a barra de tempo de resposta para ajustar os parâmetros de acordo com os índices de máximo valor de ultrapassagem overshoot e tempo de estabilização settling time definidos para o projeto Sempre que variada a barra de tempo de resposta devese verificar a caixa de texto Performance and Robustness até que se atinja o melhor balanço entre os índices de desempenho desejados O controlador que melhor atendeu aos índices de desempenho de projeto estabelecidos 44 Capítulo 3 Resultados tem os ganhos definidos por Kp 0 000227 326 Ki 0 000168 327 Kd 0 00018 328 Tf 0 791 329 Com os resultados mostrados em 326 a 329 o controlador PIDF é Gcs 2 27 104 1 68 104 s 1 8 104s 0 791s 1 330 A função de transferência do sistema em malha fechada conforme sistema mostrado na Figura 2 é Y s Us 19 37s 9 046 0 3443s5 1 054s4 8 624s3 17 87s2 29 44s 9 046 331 Aplicando um sinal degrau unitário na equação 331 temse a resposta do sistema conforme mostrado na Figura 13 Figura 13 Resposta do sistema utilizando Controlador PIDF Na Figura 13 podese observar que o tempo de estabilização do sistema projetado é de 108 segundos muito acima do pretendido te 1s para o projeto desta forma a metodologia de projeto de controlador PIDF pelo PID Tuner do Matlab R não atende as especificações do projeto Ambos os índices de desempenho precisam estar dentro do estipulado para atingir eficiência no controle do sistema 34 Projeto do Controlador PIDA 45 34 Projeto do Controlador PIDA Partindo dos índices de desempenho estabelecidos e através das equações dadas em 237 e 238 obtêmse δ 0 6901 e δωn 4 Assim definemse os polos de malha fechada desejados como sendo q 4 j4 1948 332 ˆq 4 j4 1948 333 R 5 334 r 200 335 A equação característica de manha fechada desejada do sistema com controlador PIDA com os polos desejados obtidos é s 200s 5s 4 j4 1948s 4 j4 1948 0 336 s4 213s3 2673 596s2 14887 178s 33595 991 0 337 A equação característica analítica da função de transferência de malha fechada do sistema a ser controlado utilizando para o controlador Gcs a função de transferência dada em 266 é 0 3443s4 42500 k 0 6188s3 42500 ka b z 7 8421s2 42500 kab az bz 7 9622s 42500 kabz 0 338 Para poder igualar as equações 337 e 338 devemse multiplicar os coeficientes de 337 por 03443 assim obtémse 0 3443s4 73 336s3 920 52s2 5125 655s1 11567 71 0 339 Igualando os coeficientes das equações 338 e 339 temse 0 3443 0 3443 340 42500 k 0 6188 73 336 341 42500 ka b z 7 8421 920 52 342 42500 kab az bz 7 9622 5125 655 343 42500 kabz 11567 71 344 46 Capítulo 3 Resultados Resolvendo o sistema de equações lineares dado pelas equações 340 a 344 obtêm se os seguintes valores para kab e z k 1 711 103 345 a 3 87976 j4 25975 346 b 3 87976 j4 25975 347 z 4 7915 348 Utilizando os resultados obtidos mostrados em 345 a 348 a função de transferência do controlador PIDA é Gcs 0 001711s3 0 02147s2 0 1204s 0 2722 s 349 A função de transferência do sistema em malha fechada conforme sistema mostrado na Figura 2 é Y s Us 72 72s3 912 7s2 5118s1 1 157 104 0 3443s4 73 034s3 920 5s2 5126s 1 157 104 350 Aplicando um sinal degrau unitário na equação 350 temse a resposta do sistema conforme mostrado na Figura 14 Figura 14 Resposta do sistema utilizando Controlador PIDA O projeto do sistema de controle utilizando a metodologia PIDA mostrouse eficiente como é possível observar pela Figura 14 pois ambos os índices de desempenho foram atingidos 35 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos 47 Assim está é uma metodologia de controle possível de ser utilizado no desenvolvimento do dispositivo de tratamento utilizando FES No apêndice C encontrase o código para Matlab R desenvolvido para esta metodologia de projeto 35 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos Para o projeto de controle no espaço de estados da planta apresentada em 215 primei ramente devese encontrar a função de transferência do sistema em malha fechada conforme mostrado em 351 Hs Y s Us 42500 0 344262s3 0 61877s2 7 8420522s 42507 9622 351 Depois de encontrada a função de transferência de malha fechada do sistema devese encontrar a representação em estados desse sistema Assim partindose da equação 351 temse 42500 Us Y s 0 344262s3 0 61877s2 7 8420522s 42507 9622 352 Aplicando a transformada inversa de Laplace em 352 temse 42500u 0 344262y 0 61877y 7 8420522 y 42507 9622y 353 Os estados de 353 são x1 y x2 y e x3 y Assim x1 y x2 354 x2 y x3 355 x3 y 42500u 0 61877x3 7 8420522x2 42507 9622x1 0 344262 356 sendo x1t θv θv0 357 x2t θv θv0 θv 358 x3t Ma Ma0 359 Através das equações 354 a 356 a representação em espaço de estado do sistema é x1t x2t x3t 0 1 0 0 0 1 123475 6151 22 779314 1 7973811 x1t x2t x3t 0 0 123452 4868 u 360 Depois de encontrada a representação do sistema em espaço de estados devese atestar a controlabilidade do sistema Assim utilizando os dados apresentados por 360 e 361 a matriz de controlabilidade é Ct B AB A²B Ct 0 0 123452 4868 0 123452 4868 221891 1665 123452 4868 221891 1665 2413339 972 Sendo a matriz controlabilidade uma matriz quadrada número de linhas igual ao número de colunas podese comprovar a controlabilidade do sistema se o determinante da matriz for diferente de zero Desta forma implicase que o posto da matriz é máximo n3 e que portanto o sistema é controlável Assim Ct 1 88 10¹⁵ Poston 3 Através dos índices de desempenho estipulados para o projeto definemse os polos complexos de malha fechada em 366 e é definido um terceiro polo s₃ δωn 367 s₁₂ 4 j41948 s₃ 150 A função característica do sistema 279 com os dados obtidos em 366 e 367 é αcs s 4 j41948 s 4 j41948 s 5 368 αcs s³ 13s² 73 598s 1 6799 10² 369 Substituindo os resultados obtidos 360 361 e 369 em 281 temse 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1234756151 22779314 1797381 0 k₁ k₂ k₃ s s³ 13s² 73 598s 1 6799 10² 370 35 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos 49 Resolvendo 370 a matriz de ganho de retroação K k1 k2 k3 é K 11 20262 50 18871 1 233 105 371 O resultado obtido em 371 é a matriz de ganho K com k1 1120262 k25018871 e k3 1 233 105 que fará com que a resposta do sistema atinja os parâmetros de projetos necessários para atender um controle satisfatório do sistema Para simulação do controle por espaço de estados é necessário definir os valores iniciais de cada variável de estado Considerase que a perna parte do repouso e que o eixo vertical é a referência do sistema A Figura 1 representa a configuração inicial do sistema onde x20 0 e x30 0 Devese definir um valor inicial para variação do ângulo da perna com relação ao eixo da cadeira x10 Assim o estado inicial de x1t é θv 0 1rad π 18 372 θv0 45o π 4 373 x1t θv θv0 π 18 π 4 7π 36 374 Para que o controle da perna tenha uma variação angular de 45o a resposta do contro lador deve satisfazer a condição mostrada em 375 e levando em consideração os índices de desempenho definidos x1t te θv θv0 0 375 Na figura 15 podemse ver os resultados obtidos para o controle da perna do paciente paraplégico utilizando o controle por espaço de estados A Figura 16 mostra somente a variação do ângulo da perna em relação ao tempo de aplicação do sinal Verificarse pela Figura 16 que a condição 375 é satisfeita pois a perna parte de uma situação de repouso x10 0o e vai até x1t te 45o através da aplicação de um estímulo No projeto desenvolvido anteriormente considerase a realimentação apenas do estado x1t Entretanto no caso do controle por realimentação de estados foi considerado que todas as variáveis de estado estavam disponíveis para realimentação Muitas vezes na prática somente alguns estados estão disponíveis e os outros precisam ser estimados Um método para estimar o estado do sistema é o projeto do Observador de Estados O projeto de um Observador de Estados visa estimar as variáveis de estado não disponíveis com base nas medições das variáveis de saída e de controle Ogata 2010 50 Capítulo 3 Resultados Figura 15 Resposta do sistema com controle por Espaço de Estados Figura 16 Relação da variação do ângulo da perna com o tempo Na Figura 16 podese observar que os índices de desempenho te 1s e PO5 para o projeto foram atingidos desta forma a metodologia de projeto de controle por espaço de estados atende com exatidão as especificações do projeto No apêndice D encontrase o código para Matlab R desenvolvido para esta metodologia de projeto O sistema do complexo canelapé é definido sob a forma apresentada em 276 com as matrizes A e B tiradas de 360 Assim temse A 0 1 0 0 0 1 123475 6151 22 779314 1 7973811 B 0 0 123452 4868 Definemse as matrizes Q e R por Q 10000 0 0 0 10 0 0 0 1 R 1 Sem perda de generalidade é usada uma matriz simétrica P com P12 P21 P31 P23 P32 P33 para simplificar o tratamento algébrico conforme mostrado em 380 P P11 P12 P13 P12 P22 P23 P13 P23 P33 Através da equação 295 temse K R1BTP K 123452 4868 P13 123452 4868 P23 123452 4868 P33 Utilizando as matrizes definidas em 376 e 379 e o comando P lqrABQR do Matlab para cálculo da matriz P temse P 1 4493 103 0 1 103 0 000008 103 0 1 103 0 0145 103 0 0000001 103 0 0000008 103 0 00000011 103 0 0000000081 103 De acordo com os dados apresentados em 382 e 383 a matriz de ganho ótimo é K 99 00481 14 49234 1 0001 52 Capítulo 3 Resultados O resultado obtido em 384 é a matriz de ganho ótimo K onde k1 9900481 k2 1449234 e k3 10001 que fará com que o sistema atinja os parâmetros de projetos necessários para atender o controle desejado do sistema Na Figura 17 têmse os resultados obtidos para o controle da perna do paciente paraplé gico utilizando um controlador LQR Figura 17 Resposta do sistema utilizando Controlador LQR Na Figura 17 podese observar que os índices de desempenho te 1s e PO5 para o projeto foram atingidos desta forma a metodologia de projeto de controle LQR atende com exatidão as especificações do projeto No apêndice E encontrase o código para Matlab R desenvolvido para está metodologia de projeto 37 Discussão Na Tabela 5 podemse ver os resultados dos índices de desempenho obtidos para todas as metodologias de controle descritas neste trabalho Estes resultados foram obtidos após ajustes finos como por exemplo ajustes no ganho do sistema ajustes nos parâmetros do controlador desta forma obtendo os melhores resultados na relação tempo de estabilização versus potencial de overshoot para cada metodologia 37 Discussão 53 Tabela 5 Comparação de resultados das diferentes metodologias de controle para a perna de um paciente paraplégico Tipo de Controle tes PO Controlador PID Projeto Dividido 105 0 Controlador PID ZieglerNichols 126 391 Controlador PIDF 108 39 Controlador PIDA 0158 425 Controle por Espaço de Estados 0262 27 Controle LQR 066 367 Primeiramente é valido salientar que para atingir um controle satisfatório do sistema do complexo canelapé de um paciente paraplégico ambos os índices de desempenho mostrados na Tabela 5 para uma mesma metodologia de controle devem devem ser menores ou iguais aos índices definidos no início do projeto ou seja te1s critério de 2 e PO5 Notase pela Tabela 5 que as metodologias de controle PIDA controle por espaço de estados e controle LQR obtiveram ambos os índices de desempenho menores que os estipulados para o projeto ainda podese observar que o tempo de estabilização para o controlador PIDA é o menor entre as três metodologias Todas as metodologias que obtiveram um dos parâmetros ou ambos maiores que os definidos são consideradas metodologias impróprias para o desenvolvimento desse projeto ou seja os usos desses controladores podem causar danos irreparáveis nos nervos do paciente por exemplo por aplicarem uma intensidade maior de corrente no nervomúsculo As metodologias de controle que atingiram índices de desempenho menores que os estipulados poderão ser usadas para o desenvolvimento do sistema de controle A escolha de qual se usará deve ser feita baseada em potencial de risco se existe uma margem segura de trabalho e também pelo custo de implementação do sistema a ser desenvolvido com tal metodologia Parte IV Fechamento 57 4 Conclusões A eficiência de um controlador projetado é determinada pelo desempenho que se espera no projeto ou seja a eficiência é comprovada caso o controlador consiga regular a resposta de saída do sistema dentro dos índices de desempenho estipulados Caso o controlador não consiga trabalhar dentro da faixa de desempenho determinada esta metodologia não é eficiente para este projeto e portanto devese optar por outra metodologia de desenvolvimento de controladores Neste trabalho restringiramse os critérios de desempenho em te 1s critério de 2 e PO 5 pois para aplicações reais de eletroestimulação em músculos danificados estes são parâmetros que demonstram eficiência do sistema e garantem segurança ao paciente Podese perceber que alguns controladores desenvolvidos neste trabalho não atingiram as especificações pretendidas Isto não significa que são metodologias de controle ineficazes mas somente que não atenderam aos requisitos propostos para o sistema de controle do complexo canelapé de um paciente paraplégico com os índices de desempenho definidos conforme apresentado no início do Capítulo 3 Assim utilizar uma dessas metodologias para o dispositivo de tratamento de pacientes paraplégico utilizando FES pode ser um risco por não atingir os parâmetros estipulados para um controle eficaz do sistema desta forma o nível de intensidade de corrente elétrica pode ultrapassar valores de segurança causando danos aos músculos do paciente ou atingir um níveis muito abaixo do necessário para um tratamento eficaz Constatase pelos valores de tempo de estabilização e potencial de overshoot obtidos nos projetos dos controladores mostrados na Tabela 5 que para os índices de desempenho estipulados o Controle PIDA o Controle por Espaço de Estados e o Controle LQR são metodologias eficientes para controlar o nível de intensidade de corrente elétrica aplicada no tratamento de pacientes paraplégico utilizando FES Portanto nas metodologias de Controle PIDA Controle por Espaço de Estados e Controle LQR os índices de desempenho foram atingidos de forma muito satisfatória obtendo respostas dentro do esperado para um projeto crítico em que se espera grande exatidão pois a qualquer erro de projeto podese acarretar danos irreparáveis nos músculos do paciente 59 5 Trabalhos Futuros Algumas sugestões para pesquisas futuras são aplicar as teorias de controle que obtiveram resultado teórico dentro dos índices de desem penho propostos em um dispositivo de eletroestimulação para testes reais desenvolver novos controladores por outras metodologias e comparar a eficiência do mesmo com os resultados apresentadas neste trabalho para os mesmos índices de desem penho 61 Referências ASSUNÇÃO E TEIXEIRA M C M 2010 Controle Linear I Apostila da Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2010 CARVALHO A A 2014 Uma Terapia Eletrizante Disponível em httpwwwcruespsp govbrp5793 Acesso em 10 de Setembro de 2014 CARVALHO NETO J B 2008 Modelagem de músculo esquelético para controle da posição da perna 50 p Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2008 CHEN C 1993 Analog and Digital Control System Design Transferfunction Statespace and Algebraic Methods Philadelphia Saunders College Pub 1993 CLIQUET A J 2014 Parceria de EESCUnicamp ajuda pacientes com lesão medular Disponível em httpwwwcruespspgovbrp7012 Acesso em 12 de Setembro de 2014 COVACIC M R GAINO R TEIXEIRA M C M ASSUNÇÃO E CARVALHO A A CARDIM R 2010 Sistemas ERP com compensadores dinâmicos para controle da posição angular da perna de pacientes paraplégicos XVIII Congresso Brasileiro de Autimática Bonito MS 17001707 2010 COVACIC M R TEIXEIRA M C M GAINO R 2012 LMIbased algorithm for strictly positive real systems with static output feedback System Control Letters journal homepage wwwelseviercomlocatesysconle 521527 2012 COVACIC M R GAINO R 2014 Sistemas ERP com funções de Lyapunov variantes no tempo com aplicação em eletroestimulação XX Congresso Brasileiro de Autimática Belo Horizonte MG 35573564 2014 CRAGO P E MORTIMER J T PECKHAM P H 1980 Closedloop control of force during electrical stimulation of muscle IEEE Transactions on Biomedical Engineering 27630612 PMid7390527 httpdxdoiorg101109TBME1980326738 1980 DEAECTO G S 2005 Projeto e simulações de sistemas de controle utilizando modelo fuzzy e LMI Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2005 DORF R C BISHOP R H 2009 Sistemas de Controle Modernos 11a ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 62 Referências DUARTE A F S VIEIRA M F 2011 FES Estimulação Elétrica Funcional Disponível em wwwfisiowebcombrportalartigoscategorias38arteletro1197fesestimulacaoeletrica funcionalhtml Acesso em 22 de Março de 2014 FERRARIN M PEDOTTI A 2000 The relationship between electrical stimulus and joint torque A dynamic model IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering 83 342352 GAINO R 2009 Controle de Movimentos de Pacientes Paraplégicos Utilizando Modelos Fuzzy TS 179 p Tese Doutorado em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2009 GAINO R TEIXEIRA M C M CARVALHO A A ASSUNÇÃO E CARDIM R SANCHES M A A COVACIC M R 2011 Realimentação derivativa e modelo fuzzy TakagiSugeno para controle da articulação do joelho de pacientes paraplégicos com o uso de acelerômetros Revista Brasileira de Engenharia Biomédica Volume 27 Número 2 p 6778 2011 INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS Aula 13 Análise de Resposta Transitória Sistemas de ordem superior Critério de estabilidade de Routh Disponível em httpwww2deminpebrmcrInpeCMC0210pdfAula13pdf Acesso em 03 de Agosto de 2014 JUNG S DORF R C 1996 Analytic PIDA Controller Design Technique for A Third Order System in Proc 35th IEEE Conf Decision and Control Kobe Japão 1996 pp 25132518 KOZAN R F 2012 Controle da Posição da Perna de Pessoas Hígidas Utilizando um Controlador PID Dissertação Mestrado em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2012 MAYA P A LEONARDI F 2011 Controle Essencial São Paulo Pearson Education do Brasil OGATA K 2010 Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo Pearson Education do Brasil OLIVEIRA T C 2013 Identificação Fuzzy TakagiSugeno e Projeto de Controle Adaptativo da Articulação do Joelho Dissertação Mestrado em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual de Londrina 2013 OLIVEIRA T C GAINO R COVACIC M R TEIXEIRA M C M CARVALHO A A 2014 Controle LQR Aplicado ao Movimento da Articulação do Joelho de Pacientes Paraplégicos Semina Ciências Exatas e Tecnológicas Vol 35 No 2 231246 2014 PUANGDOWNREONG D 2012 Application of Current Search to Optimum PIDA Controller Design Intelligent Control and Automation Vol 3 No 4 pp 303312 2012 Referências 63 RIENER R FUHR T 1998 PatientDriven control of FESsupported standing up A simulation study IEEE Transaction on Rehabilitation Engineering 62 113124 ROSA FILHO J E A 2011 Contribuições de Controle Ótimo 39 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual de Londrina Londrina 2011 SANCHES M A A 2013 Sistema Eletrônico para Geração e Avaliação de Movimentos em Paraplégicos Tese Doutorado em Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista Ilha Solteira 2013 SANCHES M A A GAINO R KOZAN R F TEIXEIRA M C M CARVALHO A A COVACIC M R ALVES C A URBAN M F R JUNQUEIRA M V N CARDIM R ASSUNCÃO E GENTILHO JUNIOR E 2014 Digital Controllers Design Considering Hardware Constraints Application in a Paraplegic Patient Revista Brasileira de Engenharia Biomédica Brazilian Journal of Biomedical Engineering Vol 30 No 3 232241 2014 SORNMUANG S SUJITJORN S 2010 GABased PIDA Control Design Optimization with an Application to AC Motor Speed Control International Journal of Mathematics and Computers in Simulation Vol 4 No 3 pp 6780 2010 TEIXEIRA M C M DEAECTO G S GAINO R ASSUNÇÃO E CARVALHO A A FARIAS U C 2006 Design of a Fuzzy TakagiSugeno Controller to Vary the Joint Knee Angle of Paraplegic Patients Lecture Notes in Computer Science Springer BerlinHeidelberg 42343 118126 2006 TEIXEIRA M C M DEAECTO G S GAINO R ASSUNCÃO E CARVALHO A A MACHADO E R M D SILVA T I 2007 Projeto de um controlador linear para variar o ângulo de articulação do joelho de um paciente paraplégico VI BRAZILIAN CONFERENCE ON DYNAMICS CONTROL AND THEIR APPLICATIONS DINCON São José do Rio PretoSP 950956 2007 THE MATH WORKS Introduction PID Controller Control Tutorials for Matlab Simulink Design Disponível em httpctmsenginumicheduTMSindexphpexampleIntroductionC sectionControlPID Acesso em 07 de Março de 2014 Apêndices 67 APÊNDICE A Código para Maltab do Projeto de Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido Desenvolvido por Vitor Augusto Sborgi Lovo clc clear all format long syms s COMPENSADOR PID 1 Função de transferência da planta num 42500 den 0344262 061877 78420522 79622 PERNA tfnumden 2 Definição dos índices de desempenho do projeto PO 5 Overshoot máximo Te 1 Tempo de estabelecimento Determinação do Coeficiente de Amortecimento aux pilogPO100 amor sqrt1aux21 amorWn 4Te Wn amorWnamor Wd Wnsqrt1amor2 3 Polos de malha fechada desejados S complexamorWnWd 4 Calculo do compensador PD pelo método de projeto dividido den1 rootsden Cálculo das contribuições dos ângulos dos zeros e polos da planta 68 APÊNDICE A Código para Maltab do Projeto de Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido for j1lengthden1 if imagden1j 0 tetaj atanWdamorWn den1j if imagden1j 0 imagden1j 0 tetaj atanimagden1jWdden1jamorWn if imagden1j 0 imagden1j 0 tetaj atanWdimagden1jden1jamorWn end end end end Tetaj tetaj180pi TT 0 for j1lengthden1 TT TT1Tetaj end 5 Parâmetros encontrados do controlador TetaC 180TT119777 ângulo de contribuição do zero controlador x absWdtand180roundTetaC ZeroC amorWnx zero do controlador 6 CONTROLADOR PD PD tf1 ZeroC1 7 CONTROLADOR PI PI tf1 0081 0 Cálculo do ganho do controlador PID NC PIPDtf1den num1den2 tfdataNCv vaux s4 s3 s2 s1 1 ad vauxnum1 ad1 vauxden2 s S aa subsad aa1 subsad1 aa2 0 69 for j1lengthaa aa2 aa21aaj end aa3 0 for j1lengthaa1 aa3 aa31aa1j end K 1absaa2aa3 kc Knum8653e2 8 CONTROLADOR PID PId kcPIPD 9 SISTEMA COMPENSADO FTMF feedbackPIdPERNA1 10 Resposta do sisitema compensado à uma entrada degrau unitário stepFTMF 71 APÊNDICE B Código para Maltab do Projeto de Controlador PID pelo segundo Método de ZieglerNichols Desenvolvido por Vitor Augusto Sborgi Lovo clc clear all format long syms s COMPENSADOR PID ZN syms Kc Pc planta tf425000344262 061877 78420522 79622 Kc 1443176e4 Pc 13164664 1 CONTROLADOR PID pid tf0075KcPc1 8Pc 16Pc21 0 2 SISTEMA COMPENSADO FTMF feedbackpidplanta1 3 Resposta do sisitema compensado à uma entrada degrau unitário stepFTMF 73 APÊNDICE C Código para Maltab do Projeto de Controlador PIDA Desenvolvido por Vitor Augusto Sborgi Lovo clc clear all format long syms s k a b z COMPENSADOR PIDA 1 Função de transferência da planta num 42500 den 0344262 061877 78420522 79622 PERNA tfnumden 2 Definição dos índices de desempenho do projeto PO 5 Overshoot máximo Te 1 Tempo de estabelecimento Determinação do Coeficiente de Amortecimento aux pilogPO100 amor sqrt1aux21 amorWn 4Te Wn amorWnamor Wd Wnsqrt1amor2 3 Polos de malha fechada desejados S1 complexamorWnWd S2 complexamorWnWd r realS250 R realS2 1 4 Equação caracteristica desejada de malha fechada D expands S1s S2s rs R D1 03443D Multiplicação de coeficiente para igualar 74 APÊNDICE C Código para Maltab do Projeto de Controlador PIDA Resolução do Sist de Eq Linear aux 03443 733359 9205190997085833e02 5125655440259603e03 1156709970858343e04 k1 solve42500k 06188 aux2 abz solve42500k1abz78421 aux342500k1abbzaz 79622 aux442500k1abz aux5 5 Controlador PIDA a 3879760518544252 4259753932023521i b 3879760518544253 4259753932023521i z 4791543289027132 k 0001710990588235 6 Função de transferência do controlador PIDA PIDA tfk kabz realkabazbz realkabz1 0 7 Função de transferência de malha fechada FTMF feedbackPIDAPERNA1 8 Respota do sistema compensado stepFTMF 75 APÊNDICE D Código para Maltab do Projeto de Controle no Espaço de Estados Desenvolvido por Vitor Augusto Sborgi Lovo Controle por Espaço de estados clc clear all format long 1 Função de transferência da planta num 42500 den 0344262 061877 78420522 425079622 2 Passagem de Ft para espaço de estados ABCD tf2ssnumden 3 Polos de malha fechada desejado u1 complex44195 u2 complex44195 u3 150 4 Teste de controlabilidade for i13 for j13 A14i4jAij end end B1 C C1 B Controlabilidade B1 A1B1 A12B1 x rankControlabilidade Sendo x n3 sistema é controlável Observabilidade C1 C1A1 C1A12 y rankObservabilidade Sendo y n3 sistema é observável 76 APÊNDICE D Código para Maltab do Projeto de Controle no Espaço de Estados 5 Matriz de ganhos de Retroação K u u1 0 0 0 u2 0 0 0 u3 K 0 0 1invControlabilidadepolyvalmpolyuA1 6 Resposta do sistema AA A1B1K BB 00pi18pi4 Condições iniciais e1e2t stepAABBAABB saida 0 0 1e1 saida1 0 1 0e1 saida2 0 1 0e1 figure1 subplot311plottsaida titleAngulo versus t xlabeltempo s ylabelx1t subplot312plottsaida1 titleVelocidade Angular versus t xlabeltempo s ylabelx2t subplot313plottsaida2 titleAceleração versus t xlabeltempo s ylabelx3t figure2 plottsaida grid titleAngulo versus t xlabeltempo s ylabelTeta 77 APÊNDICE E Código para Maltab do Projeto de Controlador LQR Desenvolvido por Vitor Augusto Sborgi Lovo clc format long clear all CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTCIO 1 Função de transferência de malha fechada num 42500 den 0344262 061877 78420522 425079622 2 Passagem de Ft para espaço de estados ABCD tf2ssnumden 4 Teste de controlabilidade for i13 for j13 A14i4jAij end end B1 C C1 B Q 10000 0 0 0 10 0 0 0 1 R 1 kpe lqrA1B1QR Resposta do sistema AA A1B1k BB B1k1 Condições iniciais CC C1 DD D t 00014 78 APÊNDICE E Código para Maltab do Projeto de Controlador LQR e1e2e3 stepAABBCCDD1t figure1 plotte1 grid titleResposta do sistema com controle LQR xlabelt s ylabelSinal de saída y x1