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Universidade Federal de Lavras Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Disciplina: C´alculo 2 Data: 22/5/23 T: 19A e 22A Professora: Andreza C. Beez˜ao Moreira. — Prova 1 — Nome: Turma: Matr´ıcula: - Esta atividade avaliativa deve ser feita individualmente. - ´E permitida consulta a uma folha A4, escrita de pr´oprio punho. - N˜ao ´e permitido o uso de celulares, calculadoras, computadores, tablets e dispositivos similares. - Todas as quest˜oes devem ser resolvidas e suas respostas devem ser JUSTIFICADAS. As justificativas devem ser colocadas nos versos das quest˜oes, podendo ser a l´apis ou a caneta. - Qualquer tentativa de fraude acarretar´a em nota nula. Nunca desista antes de tentar. Boa prova! Quest˜ao 1 ( /35%) (a) Montem a integral definida capaz de calcular a ´area hachurada na Figura 1. (b) Ap´os conferirem a resposta do item (a), determinem o valor de tal ´area atrav´es do c´alculo da integral. Figura 1: Quest˜ao 1. Questão 2 O sólido S obtido pela rotação da região R (Figura 2) em torno da reta x = M tem (———/30%) volume calculado por qual das integrais abaixo? Justifique sua resposta. (i) ∫_c^d π [g(x)]^2 − π M^2 dx (ii) ∫_c^d π [g(y)]^2 dy (iii) ∫_c^d π [g(x) − M]^2 dx (iv) ∫_c^d π [g(y) − M]^2 dy Figura 2: Questão 2. Questão 3 A função vetorial r(t) = (cos⁡t, sen⁡t) é associada à curva plana conhecida como circunferência centrada na origem (0, 0) e raio 1. Diante disso, responda: (a) A função vetorial p(t) = (cos⁡t, sen⁡t, t) é associada à qual curva espacial? Em sua justificativa, você pode descrever a curva por extenso (dimensão, formato, largura, altura, projeção, etc) ou desenhá-la (com detalhes de posicionamento nos eixos cartesianos). (b) Geometricamente, o quê muda da função vetorial p(t) do item (a) para a função vetorial q(t) = (t, cos⁡t, sen⁡t)? 3) a) A função vetorial é relacionada a hélice circular. Para t > 0 b) Muda a direção, sendo a hélice circular formada no eixo X, diferente do exercício anterior em que ela se forma no eixo Z.