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Engenharia de Alimentos ·
Cálculo 2
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Universidade Federal de Lavras Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Disciplina: C´alculo 2 Data: 22/5/23 T: 19A e 22A Professora: Andreza C. Beez˜ao Moreira. — Prova 1 — Nome: Turma: Matr´ıcula: - Esta atividade avaliativa deve ser feita individualmente. - ´E permitida consulta a uma folha A4, escrita de pr´oprio punho. - N˜ao ´e permitido o uso de celulares, calculadoras, computadores, tablets e dispositivos similares. - Todas as quest˜oes devem ser resolvidas e suas respostas devem ser JUSTIFICADAS. As justificativas devem ser colocadas nos versos das quest˜oes, podendo ser a l´apis ou a caneta. - Qualquer tentativa de fraude acarretar´a em nota nula. Nunca desista antes de tentar. Boa prova! Quest˜ao 1 ( /35%) (a) Montem a integral definida capaz de calcular a ´area hachurada na Figura 1. (b) Ap´os conferirem a resposta do item (a), determinem o valor de tal ´area atrav´es do c´alculo da integral. Figura 1: Quest˜ao 1. Questão 2 O sólido S obtido pela rotação da região R (Figura 2) em torno da reta x = M tem volume calculado por qual das integrais abaixo? Justifique sua resposta. (i) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(x) \right ]^2 - \pi M^2 \,dx (ii) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) \right ]^2 \,dy (iii) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(x) - M \right ]^2 \,dx (iv) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) - M \right ]^2 \,dy Figura 2: Questão 2. Questão 3 A função vetorial r(t) = (\cos t, \sen t) é associada à curva plana conhecida como circunferência centrada na origem (0, 0) e raio 1. Diante disso, responda: (a) A função vetorial p(t) = (\cos t, \sen t, t) é associada à qual curva espacial? Em sua justificativa, você pode descrever a curva por extenso (dimensão, formato, largura, altura, projeção, etc) ou desenhá-la (com detalhes de posicionamento nos eixos cartesianos). (b) Geometricamente, o que muda da função vetorial p(t) do item (a) para a função vetorial q(t) = (t, \cos t, \sen t)? 1) a) Primeiro vamos achar o ponto em que a reta corta o eixo x. y = -2x + 8 (y=0) 0 = -2x + 8 2x = 8 x = 4 \int_{0}^{4} \! 1 \,dy \,dc = \int_{0}^{-2x+8} \! 1 \,dy b) \int_{0}^{4} \! 1 \,dy \,dc = \int_{0}^{4} \! (y |) \,dc = \int_{0}^{4} \! x^2 - 2x + 8 \, dc = \int_{0}^{4} \! [x^2 - 4x + 4] \int_{0}^{4} \! x^2 - 4 \, dc = \frac{x^3}{3} - 4x \Bigg|_0^4 = \frac{4^3}{3} - 4 \cdot 4 - \left( \frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0 \right) = = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} 2) Ele é calculado pela integral (iv) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) - M \right ]^2 \,dy. Ao responder à integral (iv) pois quando integramos o eixo y do ponto C até o D, integramos a área x da reta M até g(y). 3) a) A função vetorial é relacionada a hélice circular. b) Muda a direção, sendo a hélice circular formada no eixo X, diferente do exercício anterior em que ela se forma no eixo Z.
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Universidade Federal de Lavras Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Disciplina: C´alculo 2 Data: 22/5/23 T: 19A e 22A Professora: Andreza C. Beez˜ao Moreira. — Prova 1 — Nome: Turma: Matr´ıcula: - Esta atividade avaliativa deve ser feita individualmente. - ´E permitida consulta a uma folha A4, escrita de pr´oprio punho. - N˜ao ´e permitido o uso de celulares, calculadoras, computadores, tablets e dispositivos similares. - Todas as quest˜oes devem ser resolvidas e suas respostas devem ser JUSTIFICADAS. As justificativas devem ser colocadas nos versos das quest˜oes, podendo ser a l´apis ou a caneta. - Qualquer tentativa de fraude acarretar´a em nota nula. Nunca desista antes de tentar. Boa prova! Quest˜ao 1 ( /35%) (a) Montem a integral definida capaz de calcular a ´area hachurada na Figura 1. (b) Ap´os conferirem a resposta do item (a), determinem o valor de tal ´area atrav´es do c´alculo da integral. Figura 1: Quest˜ao 1. Questão 2 O sólido S obtido pela rotação da região R (Figura 2) em torno da reta x = M tem volume calculado por qual das integrais abaixo? Justifique sua resposta. (i) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(x) \right ]^2 - \pi M^2 \,dx (ii) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) \right ]^2 \,dy (iii) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(x) - M \right ]^2 \,dx (iv) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) - M \right ]^2 \,dy Figura 2: Questão 2. Questão 3 A função vetorial r(t) = (\cos t, \sen t) é associada à curva plana conhecida como circunferência centrada na origem (0, 0) e raio 1. Diante disso, responda: (a) A função vetorial p(t) = (\cos t, \sen t, t) é associada à qual curva espacial? Em sua justificativa, você pode descrever a curva por extenso (dimensão, formato, largura, altura, projeção, etc) ou desenhá-la (com detalhes de posicionamento nos eixos cartesianos). (b) Geometricamente, o que muda da função vetorial p(t) do item (a) para a função vetorial q(t) = (t, \cos t, \sen t)? 1) a) Primeiro vamos achar o ponto em que a reta corta o eixo x. y = -2x + 8 (y=0) 0 = -2x + 8 2x = 8 x = 4 \int_{0}^{4} \! 1 \,dy \,dc = \int_{0}^{-2x+8} \! 1 \,dy b) \int_{0}^{4} \! 1 \,dy \,dc = \int_{0}^{4} \! (y |) \,dc = \int_{0}^{4} \! x^2 - 2x + 8 \, dc = \int_{0}^{4} \! [x^2 - 4x + 4] \int_{0}^{4} \! x^2 - 4 \, dc = \frac{x^3}{3} - 4x \Bigg|_0^4 = \frac{4^3}{3} - 4 \cdot 4 - \left( \frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0 \right) = = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} 2) Ele é calculado pela integral (iv) \int_{c}^{d} \! \pi \left [ g(y) - M \right ]^2 \,dy. Ao responder à integral (iv) pois quando integramos o eixo y do ponto C até o D, integramos a área x da reta M até g(y). 3) a) A função vetorial é relacionada a hélice circular. b) Muda a direção, sendo a hélice circular formada no eixo X, diferente do exercício anterior em que ela se forma no eixo Z.