Questionário 3 - Cálculo 2 2021 1

Questionario 3 Questão 01 (opção a) f(x,y) = \frac{5xy}{x^2 + y^2} I) O domínio de f(x,y) é todos pontos (x,y) ∈ R^2 F x^2 + y^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 e y ≠ 0 D = \{(x,y)∈R / (x,y)≠(0,0)\} II) O limite da função quando (x,y) → (1,1) é \frac{5}{2} V Como f é contínua em (1,1) temos lim_{(x,y)→(1,1)} \frac{5xy}{x^2 + y^2} = \frac{5}{2} III) V - \lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{5xy}{x^2 + y^2} = lim_{x→0} \frac{5 \frac{x^2}{x}}{x^2} = lim_{x→0} \frac{5 \frac{x}{x^2}}{x} = 0. (Ao longo de y=kt) - \lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{5xy}{x^2 + y^2} = lim_{x→0} \frac{5 \frac{x}{x^2}}{2x^2} = \frac{5}{2} (Ao longo de y=x) R: Apenas I Questão 03. - D_af(1,-1,2) = -4 a=\langle2,2,-1\rangle ||∇f(1,-1,2)||=4 ∇f(1,-1,2)=? Como D_af(1,-1,2)=-4 e ||∇f(1,-1,2)||=4 temos que a é a direção oposta ao ∇f. ||a||=√4+4+1=3 assim \frac{1}{3} \langle2,2,-1\rangle tem norma 1, Como ∇f tem direção oposta a a e norma 4 temos ∇f(1,-1,2)=\frac{4}{3} \langle2,2,-1\rangle = \frac{4}{3} \langle-2,-2,1\rangle - D_af(1,-1,2)=4 a=\langle-2,-2,1\rangle ||∇f(1,-1,2)||=4 ∇f(1,-1,2)=? Mesma justificativa do anterior mas para a=\langle-2,-2,1\rangle ao invés de \langle2,2,-1\rangle ∇f(1,-1,2)=\frac{4}{3} \langle-2,-2,1\rangle = \frac{4}{3} \langle2,2,-1\rangle Questão 2 Encontrar os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x. a) \sum_{n=1}^{\infty} (x+2)^n b) \sum_{n=0}^{\infty} (-4)^n (x-5)^n Resolução: a) \sum_{n=1}^{\infty} (x+2)^n = x+2 + (x+2)^2 + (x+2)^3 + ... é uma série geométrica com r=x+2 e a=x+2. Logo converge para |x+2|<1, ou seja, -1<x+2<1. Portanto a série converge para -3<x<-4 , e nesse caso a soma é S=\frac{x+2}{1-x-2} = \frac{x-2}{-1-x} = \frac{-(x+2)}{x+1} b) \sum_{n=0}^{\infty} (-4)^n (x-5)^n = (-4)(x-5) + (-4)^2 (x-5)^2 + ... é uma série geométrica com r=(-4)(x-5) = -4x+20. Assim a série converge para |-4x+20|<1 , -1<-4x+20<1