Lista 2 - Matemática Discreta 2021-2

UFLA – ICET Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Prof. Jamil Abreu UFLA/ICET/DMM Sala 10 Telefone: +55-35-3821-1643 E-mail: jamil.abreu@ufla.br Matem´atica Discreta (2021/2) – Lista n◦02 – Ex. 1 (Defini¸c˜ao rigorosa de par ordenado). Sejam a e b dois objetos quaisquer. Defina (a, b) = {{a}, {a, b}}. Mostre que (a, b) = (c, d) se e somente se a = c e b = d. ▲ Ex. 2. Sejam A, B, X e Y conjuntos. Verifique que (a) (A ∩ B) × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (B × Y ); (b) (A − B) × X = (A × X) − (B × X); (c) se A ⊂ X e B ⊂ Y ent˜ao A × B ⊂ X × Y (e reciprocamente se A × B ̸= ∅). ▲ Ex. 3. Se E e F s˜ao conjuntos ent˜ao P(E)∩P(F) = P(E∩F) e P(E)∪P(F) ⊂ P(E∪F). Dˆe um exemplo de que a ´ultima inclus˜ao pode ser estrita. ▲ Ex. 4. Seja A = {1, 2, {1, 2}}. Ache P(A). ▲ Ex. 5. Seja A = {a, b}. Determine A × P(A). ▲ Ex. 6. Seja C uma parti¸c˜ao de X. Mostre que a rela¸c˜ao R definida por (x, y) ∈ R se somente se x ∈ X e y ∈ X para algum X ∈ C ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. ▲ Ex. 7. Seja R uma rela¸c˜ao sim´etrica e transitiva num conjunto X. Mostre que se x, y ∈ [z] para algum z ent˜ao (x, y) ∈ R. ▲ Ex. 8. Seja R a rela¸c˜ao em Z definida por xRy se e somente se x + 3y ´e um n´umero par. Mostre que R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. ▲ Ex. 9. Construa as tabelas de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao para Z5 e Z6. ▲ Ex. 10. Seja R a rela¸c˜ao em Z definida por xRy se e somente se 2x + y ≡ 0 (mod 3). Mostre que R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. ▲ 1