Lista 6 - Matemática Discreta 2021-2

UFLA – ICET Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Prof. Jamil Abreu UFLA/ICET/DMM Sala 10 Telefone: +55-35-3821-1643 E-mail: jamil.abreu@ufla.br Matem´atica Discreta (2021/2) – Lista n◦06 – Ex. 1. Defina uma rela¸c˜ao no plano pondo (x0, y0) < (x1, y1) se e somente se y0 − x2 0 < y1 − x2 1, ou y0 − x2 0 = y1 − x2 1 e x0 < x1. Mostre que esta ´e uma rela¸c˜ao de ordem e descreva-a geometricamente. ▲ Ex. 2. Mostre que a seguinte rela¸c˜ao ´e uma rela¸c˜ao de ordem em R: xRy ⇐⇒ x2 < y2, ou x2 = y2 e x < y. ▲ Ex. 3 (Opcional). Mostre em detalhes que a ordem do dicion´ario ´e uma rela¸c˜ao de ordem. ▲ Ex. 4. Mostre que cada elemento num conjunto ordenado tem no m´aximo um antecessor imediato e no m´aximo um sucessor imediato. ▲ Ex. 5. Seja X um conjunto ordenado. Seja S ⊂ X um subconjunto. Um elemento a ∈ X ´e dito ser o maior elemento de S se a ∈ S e x ⩽ a para todo x ∈ S. Analogamente, um elemento b ∈ X ´e dito ser o menor elemento de S se b ∈ S e b ⩽ x para todo x ∈ S. Mostre que um conjunto tem no m´aximo um ´unico maior elemento e no m´aximo um ´unico menor elemento. ▲ Ex. 6. No produto N × N, considere as seguintes rela¸c˜oes de ordem: (I) a ordem do dicion´ario; (II) (m1, n1) < (m2, n2) se e somente se m1 − n1 < m2 − n2, ou m1 − n1 = m2 − n2 e n1 < n2; (III) (m1, n1) < (m2, n2) se e somente se m1 + n1 < m2 + n2, ou m1 + n1 = m2 + n2 e n1 < n2. (a) Para cada uma destas rela¸c˜oes: (i) que elementos tem antecessores imediatos? (ii) H´a um menor elemento? (b) Mostre que as trˆes ordens tˆem tipos diferentes. ▲ 1 Ex. 7. Sejam X um conjunto ordenado, S ⊂ X um subconjunto n˜ao vazio e α ∈ X um elemento qualquer. (a) Mostre que (existe sup S) e α = sup S se e somente se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: (i) x ⩽ α para todo x ∈ S; (ii) se γ ∈ X e x ⩽ γ para todo x ∈ S ent˜ao α ⩽ γ. (b) Formule e prove uma vers˜ao para o ´ınfimo. ▲ Ex. 8. Sejam X um conjunto ordenado, S ⊂ X um subconjunto e S0 ⊂ S um subconjunto n˜ao vazio. (a) Se S ´e limitado superiomente e S0 ̸= ∅ ent˜ao sup S0 ⩽ sup S. (b) Se S ´e limitado inferiormente e S0 ̸= ∅ ent˜ao inf S ⩽ inf S0. ▲ Ex. 9. Mostre, adaptando o exemplo da aula, que S = {p ∈ Q : p > 0 e p2 > 2} n˜ao tem ´ınfimo em Q. (Ache t > 0 pequeno de modo que (p − t)2 > 2 quando p2 > 2.) ▲ Ex. 10. Adaptando a demonstra¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao da Aula 06, mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do ´ınfimo tem a propriedade do supremo. ▲ 2