Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Guia Completo

Eng Romulo Oliveira Albuquerque Análise de Circuitos em Corrente Alternada ERICA Análise de Circuitos em Corrente Alternada Dados de Catalogação na Publicação CIP Internacional Câmara Brasileira do Livro SP Brasil A313a Albuquerque Rômulo Oliveira 1954 Análise de circuitos em correntes alternada Rômulo Oliveira Albuquerque São Paulo Érica 1989 1 Circuitos elétricos Análise 2 Correntes elétricas alternadas I Título CDD6213192 62131913 882396 Índices para catálogo sistemático 1 Análise de circuitos Engenharia elétrica 6213192 2 Correntes alternadas Engenharia elétrica 62131913 Engº Romulo Oliveira Albuquerque Análise de Circuitos em Corrente Alternada Ano 1993 92 91 90 89 Edição 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 LIVROS ÉRICA EDITORA LTDA TODOS OS DIREITOS RESERVADOS Proibida a reprodução total ou parcial por qualquer meio ou processo especialmente por sistemas gráficos microfílmicos fotográficos reprográficos fonográficos videográficos Vedada a memorização eou a recuperação total ou parcial em qualquer sistema de processamento de dados e a inclusão de qualquer parte da obra em qualquer programa juscibernético Essas proibições aplicamse também às características gráficas da obra e à sua editoração A violação dos direitos autorais é punível como crime art 184 e parágrafos do Código Penal cf Lei nº 6895 de 171280 com pena de prisão e multa conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas artigos 122 123 124 126 da Lei nº 5988 de 141273 Lei dos Direitos Autorais LIVROS ÉRICA EDITORA LTDA Rua Jarinu 594 Tatuapé São Paulo Fone 2948686 CGC 50268838000139 Caixa Postal 15617 DEDICATÓRIA Dedico esta obra aos meus pais José e Maria e aos meus irmãos Cleveland Vinicius Arécia e Heráclito em memória PREFÁCIO Este livro surgiu após muita reflexão a respeito de como tratar o assunto Análise de Circuito em Corrente Alternada que pode ser feita graficamente através da representação dos fasores de tensão e corrente ou considerandose a representação de tensão corrente e impedância por números complexos A maioria dos livros sobre o assunto considera apenas uma das formas de abordagem não considerando a outra Consideramos importantes as duas sendo que a representação fasorial permitenos enxergar melhor a relação das fases de tensão e corrente porém é limita da na resolução de circuitos mais complicados A análise usan do números complexos permite resolver com mais facilidade os circuitos com várias malhas porém a análise de um circuito po de se tornar apenas um exercício da matemática se perdermos a relação existente entre um número complexo e o fasor representa tivo de corrente ou tensão Alguns dos exercícios resolvidos por análise fasorial são resolvidos pelo outro método dando condições ao leitor de ava liálos O Autor SUMÁRIO 1 Grandezas Senoidais 11 11 Introdução 11 12 Diagrama Fasorial 12 13 Valor Eficaz 14 2 Eletromagnetismo 22 21 Magnetismo 22 22 Campo Magnético de uma Corrente Elétrica 23 221 Campo de um Condutor Retilíneo 23 222 Campo de uma Espira Circular 24 223 Campo Magnético de um Solenóide 24 23 Força Eletromotriz Induzida 25 24 Transformador 27 3 Circuito em CA Análise Fasorial 32 31 Indutor e Indutância 32 32 Circuito em CA com Indutância Pura 33 33 Circuito RL Série 36 34 Fator de Potência 40 35 Circuito RL Paralelo 45 36 Capacitor Capacitância 49 37 Circuito CA com Capacitância Pura 52 38 Circuito RC Série 55 39 Circuito RC Paralelo 60 310 Circuito RLC Série 63 3101 Largura de Faixa Fator de Qualidade 65 311 Circuito RLC Paralelo 69 312 Correção do Fator de Potência 73 313 Circuitos Mistos 79 4 Circuitos em CA Análise com Números Complexos 90 41 Números Complexos 90 42 Operações com Números Complexos 92 421 Soma e Subtração 92 422 Multiplicação e Divisão 92 43 Impedância Complexa 93 431 Circuitos RL 93 432 Circuitos RC 95 433 Circuitos Mistos 99 5 Circuitos Trifásicos 104 51 Introdução 104 52 Sistema Trifásico 104 521 Ligação Estrela 107 522 Ligação em Triângulo 111 53 Potência em Sistemas Trifásicos 115 APÊNDICE A Decibel 121 APÊNDICE B Filtros 124 APÊNDICE C Diferenciador e Integrador 129 APÊNDICE D Instrumentos de Medida de Ponteiro 131 A1 Introdução 131 A2 Instrumentos de Bobina Móvel 132 A3 Instrumento de Ferro Móvel 133 A4 Instrumento Eletrodinamométricos 133 A5 Térmicos 134 A51 Fio Aquecido 134 A52 Termopar 134 A6 Amperímetro 135 A7 Alicate Amperométrico 136 A8 Voltímetro 137 A9 Wattímetro 138 CAP 1 GRANDEZAS SENOIDAlS 11 Introdução Uma corrente contínua tem sempre o mesmo sentido e intensidade uma corrente alternada muda tanto de valor como de sentido Dependendo de como se dá essa variação no tempo teremos os diversos tipos de corrente alternada senoidal quadrada triangular etc a onda quadrada b Onda Triangular c Onda Senoidal Figura 11 De todas as correntes alternadas existentes a mais importante é a senoidal e por isso mesmo faremos uma revisão dos principais conceitos relativos à grandezas senoidais Consideremos uma circunferência de raio Vm e um vetor OA que gira com rotação constante no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio A ponta do vetor descreve uma circunferência e o ângulo formado entre o eixo horizontal e a direção do vetor α varia com o tempo O ângulo por unidade de tempo representa a velocidade angular ou frequência angular que representaremos pela letra grega ω Ômega ω αt ou α ωt 1 Sendo α expresso em rd radianos t em s segundos ω em rds radiano por segundo Uma volta completa é 2π rd ou 360 O tempo que o vetor OA leva para completar uma volta é chamado de período T logo para α 2π rd t T substituindo na equação 1 2π ωT ou ω 2πT 2 O número de voltas ciclos completados por segundo é chamado de frequência f sendo f expresso em cicloss ou Hertz Hz 1 ciclos 1Hz 11 Para sabermos qual a relação em frequência e período podemos montar uma regra de três Nº de ciclos tempo s 1 T f 1 portanto fT 1 ou f 1T e T 1f 3 substituindo em 2 resulta ω 2π f 4 seja b a projeção do vetor OA no eixo vertical Da trigonometria obtemos b Vm senα Vmsenωt Vmsen 2πft 5 Podemos verificar que a projeção de OA no eixo vertical b segue uma lei senoidal α 0 b Vmsen0 0 α 90 b Vmsen90 Vm α 180 b Vmsen180 0 α 270 b Vmsen270 Vm α 360 b Vmsen360 0 Graficamente b Vm α wt Vm 12 Diagrama Fasorial Chamamos de fasor a um vetor girante Na figura 12 OA é um fasor pois gira com velocidade angular ω Um fasor pode ser usado para representar uma grandeza senoidal Na figura 13 quando o ângulo α varia a projeção do vetor OA no eixo vertical mostrará uma sucessão de valores instantâneos da grandeza senoidal O lado esquerdo da figura 13 é chamado de diagrama fasorial e o lado direito é a onda senoidal correspondente Figura 13 12 O diagrama fasorial é importante pois nos permite somar grandezas senoidais sem usar a equação ou a forma de onda Se o vetor no instante t 0 forma um ângulo Ø com o eixo horizontal o valor instantâneo da grandeza será dada por b Vm sen ωt Ø 6 O ângulo Ø letra grega fi é chamado ângulo de fase inicial O diagrama fasorial correspondente e a sua forma de onda estão indicados na figura 14 Figura 14 Suponha dois vetores de amplitudes Vm1 e Vm2 e tendo a mesma fase O diagrama fasorial e as formas de onda estão indicados na figura 15 Figura 15 A equação das duas grandezas senoidais é b₁ Vm₁ sen ωt b₂ Vm₂ senωt Na figura 15 os dois vetores estão em fase Se os dois vetores estiverem defasados de um ângulo Ø as suas formas de onda também estarão defasadas do mesmo ângulo Ø Na figura 16 as duas formas de onda estão defasadas de 90 estão em quadratura sendo que b₁ está adiantada em relação a b₂ Figura 16 13 VEF Vm2 ou VEF 0707Vm 7 obs Por vezes encontramos o valor eficaz denotado por VRMS RMS Root Means Square valor quadrático médio É claro que o mesmo vale para a corrente IEF Im2 VEFR No caso de um circuito puramente resistivo a potência dissipada pode ser calculada pelas mesmas equações já vistas em circuitos CC somente lembrando que os valores de tensão e corrente são eficazes P VEF IEF P VEF2R e P RIEF2 8 Em uma grandeza senoidal a quantidade Vm é chamada de valor de pico e portanto 2Vm é chamado de picoapico Vpp Da figura 19 observamos que a tensão e a corrente estão em fase logo o diagrama fasorial correspondente será Os comprimentos dos vetores representam os valores efi cazes da tensão e corrente ou valores de pico Exercícios Resolvidos 1 O valor de pico de uma tensão senoidal é 5V e a sua frequência é 1KHz pedese a sua expressão matemática b valor eficaz e período c desenhar o gráfico de vt Solução a Vm Vp 5V f 1KHz 10³Hz A expressão matemática genérica de uma tensão senoidal é v Vm senωt Vm sen 2πft 16 v Vmsenωt Pela 1ª Lei de OHM o valor instantâ neo da corrente será i vR VmsenωtR Imsenωt onde Im VmR A potência instantânea entregue à carga será dada por p v i A figura 19 mostra os gráficos de v i e p Podemos notar que a potência é uma grandeza pulsante Definese valor eficaz de uma tensão alternada ao valor de uma tensão contínua que produz mesma dissipação de potência que a tensão alternada em questão num mesmo resistor v Vmsenωt i Imsenωt Na figura 110 a dissipação de potência é a mesma nos dois casos logo dizemos que o valor da tensão contínua na figu ra 110b é igual ao valor eficaz da tensão alternada na figura 110a No caso de uma tensão alternada senoidal podese pro var através da matemática superior que 15 As equações das duas grandezas são b1 Vm1 sen ωt b2 Vm2 sen ωt π2 O ângulo de fase inicial de b2 é π2 observe que pode ria ser também 3π2 Os cálculos em circuitos ca às vezes o evoluem somas e subtrações de grandezas senoidais tensões correntes Consideremos duas grandezas senoidais cujas equações são b1 Vm1 sen ωt b2 Vm2 sen ωt 2 A sua soma será b b1 b2 Vm1sen ωt 1 Vm2sen ωt 2 Para obter a soma poderíamos usar certas propriedades da trigonometria ao invés disso façamos uso do diagrama fasorial a b Figura 17 Usando as regras para adição de vetores regra do parale lograma obtemos o vetor resultante que terá amplitude Vm e fa se Da figura 17a tiramos X1 Vm1 cos 1 Y1 Vm1 sen 1 X2 Vm2 cos 2 Y2 Vm2 sen 2 X X1 X2 Y Y1 Y2 Vm2 X2 Y2 ou Vm X2 Y2 tg YX 13 Valor Eficaz Consideremos que no circuito da figura 18 a tensão a plicada é senoidal 14 logo v 5sen2π10³t v b VEF Vm2 52 353v T 1f 110³ 10³s 1ms c 2 Supondo que a tensão do exercício 1 é aplicada a um resistor de 10Ω Qual a potência dissipada Solução P VEF²R 353²10 124 W 3 Dado o gráfico de uma corrente em função do tempo pedese a frequência e período b valor de picoapico Ipp e valor eficaz IEF c potência dissipada ao passar em um resistor de 1KΩ d expressão matemática Solução a Do gráfico tiramos T 200µs 200 x 10⁶s f 1T 1200x10⁶ 5000Hz 5KHz b Im 10mA Ipp 2xIm 2x10 20mA IEF Im2 102 707mA c P RIEF² 10³ x 707x10³² 10³ x 50 x 10⁶w 50 x 10³w 50mW d it Imsen2πft 10senπ10⁴t mA 4 As expressões matemáticas de duas tensões são v₁ 10senωt v v₂ 10senωt π2 v Pedese a representar as duas tensões no diagrama fasorial b desenhar as suas formas de onda c obtenha a soma v1 v2 Solução a b c Usando regra de soma de vetores v v1² v2² 10² 10² 200 102 v considerando as amplitudes do vetor igual ao valor de pico A fase de v será tgØ v1v2 1010 1 Ø 45 π4 v 102senωt π4 5 Dadas as tensões v₁ 15senωt π2 e v₂ 10senωt π2 obter a v₁ v₂ b v₁ v₂ Solução a representemos as duas tensões no diagrama fasorial Como neste caso os vetores têm mesma direção mas senti dos opostos o vetor resultante da soma é igual ao módulo do maior menos o módulo do menor no sentido do maior v v₁ v₂ 5senωt π2 b Para obtermos v₁ v₂ devemos efetuar a operação v₁ v₂ v v₁ v₂ 25senωt π2 Esses dois exemplos servem para nos mostrar que a soma de tensões com fases diferentes deve ser feita considerandose o módulo do vetor e a fase 6 Dadas as tensões v₁ 20senωt π3 v e v₂ 40senωt π6 v obter a v₃ v₁ v₂ b desenhar as formas de onda de v₁v₂ e v₃ Solução a v₁ 20v v₂ 40v valores de pico x₁ v₁ cos π3 20 x 05 10v y₁ v₁ sen π3 20 x 0866 173v x₂ v₂ cos π6 40 x 0866 346v y₂ v₂ sen π6 40 x 05 20v x x₁ x₂ 10 346 446v y y₁ y₂ 173 20 373v v₃ x² y² 446² 373² 581v tgø YX 373446 0836 ø3 399 40 v3 581 senωt 40 v Exercícios Propostos 1 Uma tensão senoideal tem frequência 60Hz e VEF110v pedese a período e frequência angular b expressão matemática c valor da potência dissipada em uma resistência de 100Ω 2 Dado o gráfico de uma corrente em função do tempo pedese a período e frequência b valor de picoapico e valor eficaz c expressão de it 3 Um chuveiro tem as características 2400W220v Efi cazes pedese a tensão de pico e corrente eficaz no chuveiro b corrente de pico no chuveiro 4 Dada a forma de onda dar a sua expressão em função do tempo 5 Dadas as expressões de duas tensões v1 10senωt π4 v e v2 10senωt π v pedese a v1 v2 b v1 v2 6 Uma tensão alternada senoidal é aplicada a uma resis tência de 100Ω dissipando 025w calcular a valor eficaz da tensão e valor de pico b valor eficaz da corrente e seu valor de picoapico Solução dos Exercícios Propostos 1 a T 1666ms ω 377 rds b vt 155sen 377t v c P 12lw 2 a T 4ms f 250 Hz b Ipp 100mA IEF 3546mA c it 50sen 1570tmA 3 a IEF 109A Vp 3102V b Ip 1534A 4 a vt 5cosωt 120 v b vt 5cosωt 90 v 5 a v1 v2 765 senωt 1125 v b v1 v2 1847 senωt 225 v 6 a VEF 5v Vp 7v b IEF 50mA Ip 70mA CAP 2 ELETROMAGNETISMO 21 Magnetismo Campo magnético É toda região do espaço na qual uma agu lha imantada fica sob a ação de uma força magnética Um ímã é uma substância encontrada na natureza que cria ao seu redor um campo magnético Todo ímã tem duas regiões onde o campo magnético é mais intenso chamadas de pólos pólo norte e pólo sul Pólos de mesmo nome se repelem e pólos de nomes diferen tes se atraem Os pólos de um ímã são inseparáveis Se você partir um ímã você obterá dois outros ímãs N S N S a N S S N N S S N N S N S b Figura 21 Assim como o campo gravitacional é caracterizado em ca da ponto pelo vetor aceleração da gravidade g o campo magnê tico é caracterizado em cada ponto pelo vetor indução magnética B A fim de que possamos visualizar o campo magnético de vemos conceituar o que é linha de campo ou linha de indução As linhas de campo além de permitir ver a forma do cam po também nos dá uma idéia da sua intensidade Quanto maior o número de linhas por unidade de volume mais intenso é o campo Para que você represente um campo magnético através de suas linhas de campo você deve se lembrar de algumas regras a As linhas de campo são orientadas saem pelo pólo nor te e entram pelo pólo sul b Em cada ponto o vetor indução magnética é tangente à linha de campo que passa pelo ponto c Duas linhas de campo não podem se cruzar d As linhas de campo são perpendiculares à superfície do ímã Na figura 22 você tem alguns exemplos de ímã e a forma do seu campo magnético Figura 22 As linhas de campo podem ser visualizadas na prática se colocarmos limalha de ferro ao redor do ímã As limalhas de ferro tenderão a se orientar ao longo das linhas de campo 22 Campo Magnético de uma Corrente Elétrica Colocandose uma bússola nas proximidades de um fio que conduz uma corrente elétrica a agulha sofrerá um desvio indicam do a existência de um campo magnético criado pela corrente Verificamos que quanto mais intensa for a corrente maior será o desvio da agulha a intensidade do campo depende da intensidade da corrente Se o sentido da corrente for invertido o desvio sofrido pela agulha também se inverte a orientação do campo magnético depende do sentido da corrente 221 Campo de um Condutor Retilineo As linhas de campo são circunferências concêntricas com o fio Figura 23 Para determinar o sentido das linhas de campo usamos a 23 regra da mão direita Segurando o fio com a mão direita com o polegar no sentido da corrente os outros dedos indicarão o sentido das linhas de campo 222 Campo de uma Espira Circular Obs Para representar uma corrente saindo do plano do papel usamos e para representar a corrente entrando no plano do papel usaremos No caso de uma espira circular as linhas de campo têm a forma indicada na figura 24 Figura 24 Na figura 24a o observador olhando para a espira vê as linhas de campo entrando no plano da espira pelo lado em que se encontra logo olha para o pólo sul da espira Na figura 24b podemos compreender melhor o que foi dito Com a corrente no sentido indicado as linhas de campo entram no plano do papel logo o observador vê um pólo sul na parte de cima da folha e o pólo norte do outro lado da folha O que aconteceria na figura 24 se o sentido da corrente fosse invertido 223 Campo Magnético de um Solenóide Um solenóide ou bobina consiste de um fio enrolado em forma de hélice formando espiras iguais uma ao lado da outra e igualmente espaçadas Figura 25 24 Observe na figura 25b que as linhas de campo se ajustam de forma tal que nenhuma das regras é contrariada Veja também que o campo é mais intenso no eixo do solenóide A intensidade do campo depende das dimensões da bobina número de espiras e comprimento do material de que é feito o núcleo ar ferro e da intensidade da corrente Se o núcleo for de ferro o campo será mais intenso a concentração de linhas no interior da bobina é maior do que se o núcleo for de ar Eletroímã Um eletroímã é uma bobina enrolada num núcleo de ferro doce isto aumenta a intensidade do campo Quando fazemos passar uma corrente o ferro se imanta Cessada a corrente cessa a imantação Uma aplicação de um eletroímã é na construção de um guindaste eletromagnético Figura 26 23 Força Eletromotriz Induzida Toda vez que o fluxo de indução magnética através de uma espira variar uma tensão será induzida na espira Chamamos de fem induzida a toda tensão gerada pela variação do fluxo magnético em um circuito O fluxo de indução magnética Ø através de uma superfície de área S é definido como sendo q Ø BScosα 25 B intensidade do vetor indução magnética S área da superfície α ângulo formado entre a perpendicular à superfície e o vetor indução magnética Observe que o fluxo é máximo quando α 0 Ø BS e que é nulo quando α 90 Da equação que dá o fluxo podemos verificar que o fluxo também pode variar se a intensidade de B variar Na prática podemos ter os seguintes casos de variação do fluxo magnético induzindo uma tensão a Aproximando ou afastando um ímã ou um eletroímã de uma espira ligada a um amperímetro este dará uma indicação num sentido quando aproximamos e no outro sentido quando afastamos Com o ímã parado não haverá indução de corrente não há variação de fluxo de indução b Ao invés de movimentarmos o ímã ou o eletroímã se a espira se movimentar aproximando afastando ou girando também será induzida uma tensão Este é o princípio de funcionamento de um gerador de tensão c Se variarmos a corrente em um solenóide a intensidade do campo ao seu redor também variará Se colocarmos uma espira nas proximidades do solenóide o fluxo de indução através do espira variará induzindo uma tensão Este é o princípio de funcionamento de um transformador R Aumentando I diminuindo Lei de Lenz O sentido da corrente induzida é tal que ela origina um campo magnético que se oporá à variação do fluxo magnético que a produziu Consideremos um ímã se aproximando de uma espira sendo o pólo norte o mais próximo da espira Se o ímã está se aproximando e o pólo mais próximo da espira é o pólo norte na face da espira voltada para o ímã deve ser induzido um pólo norte de forma a se opor ao movimento aproximação portanto o sentido de acordo com a regra da mão direita da corrente é como está indicado Se o ímã se afastar o pólo induzido na face superior deverá verá ser um pólo sul desta forma se opondo ao movimento A corrente terá sentido oposto 24 Transformador É um dispositivo que permite modificar uma tensão alter nada aumentandoa ou diminuindoa Consiste essencialmente de duas bobinas isoladas ele tricamente montadas em um mesmo núcleo de ferro concentra as linhas de campo A bobina que recebe a tensão a ser transformada Up recebe o nome de primário e a outra que fornece a tensão transformada Us é chamada de secundário A corrente alternada passando no primário origina um fluxo magnético alternado o B é que varia no núcleo de ferro Este fluxo variável atravessa o secundário induzindo uma tensão alternada no secundário O núcleo é de ferro laminado para diminuir as perdas causadas pelas correntes de Foucault e para aumentar o acoplamento entre as duas bobinas Em um transformador ideal vale a relação Ps Pp 10 Ps Us Is potência do secundário Pp Up Ip potência do primário Em um transformador real Ps Pp A dissipação de potência ocorre por efeito Joule nos condutores dos enrolamentos e no núcleo do transformador Consideremos o transformador ideal logo vale Up Ip Us Is sendo Np número de espiras do primário Ns número de espiras do secundário valem as seguintes relações UpUs NpNs ou Us NsNp Up 11 Is NpNs Ip 12 Um transformador só pode ser usado com corrente alterna da uma vez que nenhuma tensão será induzida no secundário se não houver variação do fluxo de indução magnética Se uma tensão contínua é aplicada ao primário uma ten são será induzida no secundário somente no instante do fechamen to ou abertura do circuito primário pois é somente nestes ins tantes que a intensidade do campo magnético portanto o fluxo varia Uma das principais vantagens de um transformador além de transformar uma tensão é acoplar dois circuitos sem interli gálos eletricamente Exercícios Resolvidos 1 Esboçar as linhas de campo no caso de dois ímãs em forma de barra colocados um de frente para o outro N S S N Solução Os dois ímãs se repelirão o mesmo ocorrendo com as suas linhas de campo N S S N observe que a configuração do campo é tal que duas linhas de campo não se cruzam 2 Um transformador ideal tem 200 espiras no primário e 800 espiras no secundário Aplicandose uma tensão de 10V efi caz no primário pedese calcular a tensão induzida no secundário b corrente no primário e no secundário se um resistor de 100Ω for ligado ao secundário Solução a Ip Is Up 10V Us R 100Ω Us Ns Np Up 800 200 10 40V 29 b Is Us R 40V 100Ω 04A UpIp UsIs Ip UsIs 4004 16A Up Exercícios Propostos 1 Qual o sentido da corrente induzida na espira N S 2 Um ímã entra em uma bobina como indicado na figura Qual a polaridade da tensão induzida N S A B 3 Um transformador tem 500 espiras no primário e 110V de tensão primária se a tensão no secundário deve ser 12V qual o número de espiras do secundário 4 Por que é usado núcleo de ferro laminado em um trans formador 5 Por que o transformador não funciona em CC 6 Qual deve ser a relação de espiras de um transforma dor abaixador de 110V para 24 Qual a corrente no primário se o secundário fornece 1A 30 Resolução dos Exercícios Propostos 1 Observador olhando de cima I sentido horário 2 Ponto B com potencial maior que ponto A 3 Ns 545 espiras 4 Para diminuir as perdas 5 O fluxo de indução magnética é constante 6 Np Ns 46 Ip 022A 31 CAP 3 CIRCUITO EM CA ANÁLISE FASORIAL 31 Indutor e Indutância Genericamente chamamos de indutor ou bobina a um fio enrolado em forma de hélice sobre um núcleo o qual pode ser de ar ou não A figura 31 mostra a simbologia adotada para indutores Núcleo de ar a Núcleo de ferro b Núcleo de ferrite b Figura 31 Quando a chave no circuito da figura 32 é fechada uma corrente elétrica começa a circular no circuito I Esta corrente origina um campo magnético cujas linhas de campo cortam as espiras subsequentes induzindo nelas uma fem Esta tensão induzida chamamos de fem autoinduzida De acordo com a lei de Lenz esta tensão induzida deverá se opor à causa que a originou variação de I Como resultado desta oposição temos que a corrente no circuito levará um certo tempo para atingir o seu valor de regime imposto pelas resistências ôhmicas do circuito a b e fem induzida Figura 32 Se após a corrente ter atingido o seu valor máximo 2A abrirmos a chave a corrente I tenderá a diminuir A variação do campo magnético novamente induzirá uma fem de autoindução com polaridade tal que originará uma corrente I que tenderá a se opor à diminuição de I Desta forma se a chave foi aberta no instante tt ainda haverá corrente por um certo tempo 32 a t t 1ms b e fem induzida Figura 33 Concluímos que um indutor se opõe a uma variação de corrente Observe a polaridade da fem induzida na figura 33b A tensão induzida se soma com a tensão da fonte de forma que entre os terminais da chave aberta a tensão será E e Se a fem induzida for suficientemente alta pode aparecer um arco entre os contatos da chave o que será perigoso para o operador Se na figura 32b colocarmos um núcleo de ferro na bobina observe que na figura 32b o símbolo é de indutor com núcleo de ar e repetirmos a experiência verificaremos que a oposição oferecida pelo indutor à variação de corrente será maior O tempo que levará para que a corrente atinja o seu valor de regime será maior a b Figura 34 Quando colocamos um núcleo de ferro na bobina nós alteramos a sua indutância L no caso aumentamos Toda bobina ou indutor possui uma indutância A indutância só depende das dimensões da bobina número de espiras comprimento diâmetro do núcleo e do material de que é feito o núcleo A indutância de uma bobina é uma medida do quanto de energia pode ser armazenada em um campo magnético A unidade de indutância é chamada de Henry H 32 Circuito em CA com Indutância Pura Como foi visto anteriormente como na figura 32b quando aplicamos uma tensão a uma bobina a corrente levará um certo tempo até atingir o seu valor de regime Existe pois uma defasagem entre a tensão aplicada e a corrente que percorre o indutor 33 No caso da tensão aplicada ser senoidal a corrente também senoidal estará 90º atrasada em relação à tensão Como já vimos um indutor oferece uma oposição a uma variação de corrente A medida desta oposição é dada pela reatância indutiva XL do circuito A reatância indutiva depende da indutância do indutor e da frequência da corrente sendo dada pela fórmula XL ωL 2πfL 12 onde L indutância da bobina em Henry f frequência da ca em Hz XL reatância da bobina em Ω VG valor eficaz de vg I valor eficaz de i c Figura 35 A primeira Lei de OHM é válida em um circuito CA Neste caso a resistência elétrica é substituída pela reatância indutiva I VG XL 13 Em um circuito puramente indutivo sem resistências não há dissipação de energia Na figura 36 está representado o gráfico da potência instantânea em função do tempo pt vt it pt potência instantânea Figura 36 Durante o primeiro quarto de ciclo o circuito absorve energia a qual é usada para aumentar a energia do campo magné 34 tico a potência é positiva e a energia é representada pela área entre a curva p e o eixo t No segundo quarto de ciclo a corrente diminui A fem de autoindução tenderá a se opor a essa diminuição A bobina comportase como um gerador devolvendo a energia que estava armazenada no campo magnético ao circuito agora a potência é negativa A sequência se repete no segundo meio ciclo Desta forma a potência é continuamente trocada entre o campo magnético e o circuito não havendo perdas A mesma conclusão pode ser obtida a partir da fórmula P VEF IEF cosφ 14 VEF tensão eficaz do circuito IEF corrente eficaz do circuito P potência real ou potência ativa φ ângulo de defasagem entre tensão e corrente No caso φ 90 P VEFIEF 0 0 Exercícios Resolvidos 1 Uma bobina tem 01H de indutância sendo ligada a uma tensão de 110V 60Hz Determinar a reatância da bobina b valor eficaz da corrente no circuito c desenhar os gráficos de v e i Solução a XL 2πfL 2 x 314 x 60 x 01 377Ω b IEF VEFXL 110V377Ω 29A c Vm VEF x 2 1555V Im IEF 2 41A 2 Em que frequência uma bobina de indutância 20mH terá reatância de 100Ω Solução L 20mH 20 x 10³H XL 100Ω XL 2πfL ou f XL2πL 100628x20x10³ 796Hz 3 Em um circuito alimentado com 110V60Hz querse que a corrente seja limitada a 100mA Qual deve ser o valor da indutância a que deve se colocar neste circuito Solução In 100mA IEF Iₘ2 100mA2 707 mA XL VEFIEF 110V707mA 155 Ω logo 155 628 60 L L 155628 x 60 00041H 41mH 33 Circuito RL Série Circuitos na prática possuem ambos resistência e indutância isto significa que a corrente ao percorrer tal circuito encontrará dois tipos de oposição a oferecida pela resistência e a oposição da fem de autoindução reatância indutiva Ainda mais em um circuito contendo resistência e indutância a corrente continua atrasada em relação à tensão só que de um ângulo menor que 90 não se esqueça que a resistência tende a colocar VG e I em fase enquanto a indutância tende a defasálas de 90 No circuito da figura 37 a resistência R representa todas as resistências ao longo do caminho da corrente inclusive a resistência ôhmica do fio da bobina Do triângulo retângulo tiramos VG² VR² VL² 15 ou VG VR² VL² Na relação 15 dividindo ambos os membros por I² VG²I² VR²I² VL²I² ou VGI² VRI² VLI² onde VRI R resistência ôhmica do circuito VLI XL reatância indutiva da bobina VGI Z impedância do circuito A impedância é o efeito combinado de uma resistência com uma indutância Desta forma podemos escrever Z² R² XL² 16 ou Z R² XL² O mesmo resultado seria obtido se tivéssemos dividido cada lado do triângulo por I O ângulo de defasagem entre V e I φ pode ser calculado por tgφ VLVR XLR 17 ou cosφ RZ 18 Exercícios Resolvidos 1 Determine a tensão que deve ser aplicada a uma bobina a fim de produzir uma corrente de 5A se a resistência da bobina é 6Ω e a sua reatância indutiva é 8Ω Qual o valor da indutância se a frequência é 60Hz Qual a impedância do circuito Solução VR RI 6 5 30V VL XL I 8 5 40V V sqrtVr2 V2L sqrt302 402 sqrt900 1600 sqrt2500 50V XL 2pi f L 8 628 60 L L 83768 0021H ou L 21mH Z sqrtR2 XL2 sqrt62 82 sqrt36 64 sqrt100 10 ohm 2 Uma bobina quando ligada a uma fonte cc de 12V consome 3A e consome 4A quando ligada a uma fonte de 20V60Hz Calcular a resistência da bobina b reatância indutiva e indutância c impedância do circuito d ângulo de defasagem entre V e I e potência dissipada no circuito f desenhe o diagrama fasorial Solução a Quando a bobina é ligada a uma fonte cc só existe o efeito de resistência a reatância é nula R 12V3A 4 ohm b Quando a bobina é ligada a uma fonte CA além da resistência somase o efeito da reatância isto é a fonte CA vê uma impedância Z VI 20V4A 5 ohm por outro lado sabemos que Z sqrtR2 XL2 ou XL sqrtZ2 R2 sqrt52 42 sqrt25 16 sqrt9 3 ohm L XL 2 pi f 3 3768 8 mH c já calculado Z 5 ohm d Da figura 39c cosφ RZ 45 08 φ arccos 08 37 e A potência dissipada no circuito é a potência dissipada na resistência sendo chamada de potência real P VEF IEF cosφ 20 4 cos37 20 4 08 64W Evidentemente não precisamos decorar a fórmula acima para calcular a potência dissipada em R bastaria usar uma das fórmulas P R I2 P V2R ou P V I onde V e I são a tensão e corrente na resistência logo P R I2 442 64W VR R I 4 4 16V P V I 16 4 64W f O diagrama fasorial é o diagrama da figura 38 VR 16V VL XL I 3 4 12V V 20V φ 37 As expressões matemáticas da tensão e corrente no circuito são v 20 sqrt2 senwt 37 V i 4 sqrt2 senwt A observe que poderiam ser também v 20 sqrt2 senwt V i 4 sqrt2 senwt 37 A 34 Fator de Potência Se na figura 38 multiplicarmos os lados do triângulo por I obteremos um triângulo cujos lados representam potência A base do triângulo é a potência real P ou potência ativa P VR I V I cosφ sendo P dado em watts W A hipotenusa do triângulo é chamada de potência aparente PAP PAP V I 19 sendo PAP dado em voltampere VA A altura do triângulo é a potência reativa Pr No caso potência reativa indutiva Pri Pri VL I V I senφ 20 Pr é dado em voltampere porém no símbolo colocamos um índice indicando que a potência é reativa VAr Do triângulo de potência tiramos a relação entre as três potências PAP2 P2 Pr2 21 ou PAP sqrtP2 Pr2 A relação entre a potência real P e a potência aparente PAP é chamada de fator de potência FP No caso mais geral a potência real é menor que a potência aparente desta forma o fator de potência é menos que a unidade Do triângulo de potência tiramos que PPAp cosϕ 22 ϕ fi por isso às vezes simplesmente chamamos o fator de potência de cosseno fi Exercícios Resolvidos 1 Com relação ao circuito pedese a leitura dos aparelhos b potência real entregue ao circuito c potência aparente e reativa d fator de potência e faça o diagrama fasorial do circuito Solução a A impedância do circuito será z 182 242 324 576 900 30Ω I 120V30Ω 4A corrente no amperímetro A V1 VR 18 4 72V V2 VL 24 4 96V b P VR I 724 288W c Pr VLI 964 384 VAri obs r reativa i indutiva PAp Pr2 P2 3842 2882 230400 PAp 480 VA 41 Desta forma de toda a potência entregue pelo gerador CA à carga somente uma parte é realmente consumida 288W A outra parte reativa não é usada para realizar trabalho útil sendo constantemente trocada entre gerador e carga Um wattômetro aparelho que mede potência conectado no circuito mediría 288W Disso tudo tiramos uma conclusão importantíssima Se aumentarmos a potência reativa sem aumento da potência real es taremos aumentando a potência aparente o que aumenta l sem conseguir energia transformada adicional Observe que aumentar PAp sem aumentar P implica numa di minuição do cosϕ A concessionária de força e luz controla o cosϕ do usuário e para tanto estipula que o mínimo valor para cosϕ é 085 Por isso é importante que o usuário controle o FP de sua instalação principalmente quando houver variação da car ga entrada de motores eletroímãs ou outros elementos induti vos Quando o FP cair abaixo de 08 é possível fazer a cor reação introduzindose capacitores capítulo 312 d FP cosϕ PPAp 288480 06 e ϕ arc cos06 53º 2 Um gerador de 120V entrega a uma carga uma potência aparente de 24KVA Determinar a corrente consumida nos seguin tes casos a cosϕ 1 b cosϕ 08 c cosϕ 05 Solução a A corrente consumida pela carga será I PApV 24000120 200A No caso do cos ϕ 1 ϕ 0º o circuito é puramente resistivo tensão e corrente em fase A potência real consumida é P VIcosϕ 120 x 200 x 1 24000W não existe potência reativa b cosϕ 08 neste caso a potência real será P 120 x 200 x 08 19200W 42 Agora o gerador fornece menos potência útil embora a corrente consumida seja a mesma 200A Se quisermos obter a mes ma potência real do item a porém com cosϕ 08 deveremos au mentar a corrente c cosϕ 05 P 120 x 200 x 05 12000W Se quisermos obter a mesma potência real do item a com FP 05 a corrente deveria ser 400A A instalação deve então ser redimensionada Por isso é importante manter o FP o mais próximo possível de 1 3 A potência consumida potência real de uma instala ção é 1KW Se a tensão é 220V calcule a potência aparente e a corrente consumida se a FP 09 b FP 06 Solução a Com FP 09 P VxIxcosϕ I 1000220 x 09 505A b Com FP 06 I 1000220 x 06 75A Desta forma com a mesma potência consumida mais cor rente é solicitada pela carga É por esta razão que a tarifa paga pelo consumo em CA leva em conta tanto a potência real como a potência reativa e as respectivas energias podem ser calculadas pelas equações τ P t KWh 23 τr Pr t KVArh 24 Exercícios Propostos 1 Com relação ao circuito pedese calcular a impedância b tensão do gerador c FP do circuito d desenhar diagrama fasorial e potência real e potência aparente f desenhar o diagrama triângulo de potência do cir cuito 43 R20Ω VL30Ω 2 Um motor CA que pode ser representado por uma resistência em série com uma indutância é ligado em 220V consumindo uma corrente de 10A O FP é 09 determinar a potência aparente b potência real c potência reativa 3 No circuito calcular a impedância e corrente b frequência do gerador c FP do circuito R100Ω VR6V L100 mH 4 Quando uma bobina é ligada a uma fonte CC de 50V consome uma corrente de 25A Quando a mesma bobina é conectada a uma fonte CA de 110V60Hz consome uma corrente de 44A Calcular a impedância b resistência e reatância indutiva da bobina c FP da bobina e indutância 5 A corrente tensão e FP em uma instalação são 10A 220V e 08 respectivamente Calcular a potência aparente b potência real c potência reativa d resistência e reatância indutiva 6 Calcule a corrente consumida por um motor monofásico sabendose que a potência real é 2KW a tensão é 110V e o FP é 08 7 Um gerador de 5V1KHz é ligado a um circuito RL série A corrente no circuito é 1mA e a tensão no indutor é 3V Determinar a indutância do indutor b tensão do resistor c impedância d fator de potência e diagramas de tensão e potência 44 35 Circuito RL Paralelo I IR IL VG R L Figura 311 Na figura 311 temos que VR VL VG o diagrama fasorial correspondente é IR I VGVRVL IL Figura 312 No diagrama da figura 312 veja que a corrente no indutor IL está atrasada de 90º em relação à tensão VL Ao contrário do circuito RL série neste desenhamos o diagrama de corrente obs A fase de VG é escolhida arbitrariamente I IR IL Figura 313 Do triângulo de correntes tiramos I² IR² IL² 25 ou I IR² IL² Se dividirmos na figura 313 os lados do triângulo por VG obteremos o triângulo de admitâncias I IR I VG IR VG IL VG I Z I R XL a b c Figura 314 45 Da figura 314c tiramos 1Z² 1R² 1XL² 1Z² 1R² 1XL² daí tiramos Z RXL R² XL² 26 O ângulo de defasagem entre VG e I pode ser calculado por cosφ 1R 1Z ZR 27 ou tgφ 1XL 1R RXL 28 Exercícios Resolvidos 1 No circuito determinar a impedância b correntes I IR e IL c potência aparente potência real e potência reativa d fator de potência do circuito e desenhar o diagrama fasorial I IR IL VG 120V R80Ω XL60Ω f Solução a Z R XL R² XL² 80 60 80² 60² 4800 10000 48Ω b I 120V 48Ω 25A IR VR R 120V 80Ω 15A IL VL XL 120V 60Ω 2A 46 c PAp VG I 120 25 300 VA P VR IR 120 15 180W Pr VL IL 120 2 240 VAri d FP cosϕ ZR 4880 06 ϕ 53 e Diagrama fasorial 2 Calcule a tensão aplicada em um circuito RL paralelo que consome uma corrente de 10mA sendo R 12KΩ e XL 16K Solução Z 12 16 122 162 192 4 096K VG Z I 096KΩ x 10mA 96V 3 Um gerador de 5V1KHz é ligado a um circuito RL paralelo Sabendose que a corrente consumida é 5mA e a corrente na resistência é 4mA pedese determinar a corrente no indutor b valor da indutância c impedância no circuito d ângulo de defasagem entre tensão e corrente FP Solução Podemos determinar IL com o auxílio do diagrama fasorial ou usando diretamente a equação 23 I² IR² IL² IL I² IR² 5² 4² 3mA b Como IL 3mA XL VLIL 5V3mA 166KΩ e XL 628 f L L 166 10³ 628 5 10³ 0053H ou L 53mH c Z VG I 5V5mA 1KΩ d cos ϕ IR I 4mA5mA 08 ϕ 37 Exercícios Propostos 1 No circuito determinar a impedância b corrente no indutor e no resistor c valor da indutância d fator de potência e expressão matemática da corrente no circuito i no indutor iL e no resistor iR R 300Ω XL 400Ω 2 Dado o circuito pedese a valor da tensão do gerador VG b valor de IR e valor de R c potência aparente e real d fator de potência 3 Em um circuito RI paralelo a defasagem entre tensão e corrente é 60 Sabendose que a tensão aplicada é 10V e que a corrente consumida é 100mA determinar o valor da resistência e da indutância se f 1000Hz 36 Capacitor Capacitância Um capacitor é um dispositivo que consiste de duas placas condutoras chamadas de armaduras separadas por um material isolante dielétrico Um capacitor serve para armazenar cargas A capacidade que tem um capacitor para armazenar cargas depende da sua capacitância C A capacitância por sua vez depende da área das placas da espessura do dielétrico e do material de que é feito o dielétrico No caso de um capacitor de placas planas e paralelas a sua capacitância será dada por C ε S d 29 ε constante dielétrica S área de uma das placas são iguais em m² d espessura do dielétrico em m A capacitância C será dada em Farads F Quando ligamos um capacitor a um gerador o capacitor adquire uma carga Q Figura 316 A placa superior fica com uma carga Q falta de elétrons enquanto a placa inferior ficará com uma carga Q excesso de elétrons O número de elétrons em excesso em uma placa é igual ao número de elétrons faltantes na outra placa A relação entre capacitância carga adquirida e tensão aplicada é dada pela fórmula C QU 30 Q U C A carga adquirida é diretamente proporcional à capacitância e a tensão aplicada Por exemplo se C 1µF 10⁶F e U 1V a carga do capacitor será de Q 110⁶ 1µC Quando ligamos um capacitor a uma fonte de tensão através de uma resistência R a tensão no capacitor levará um certo tempo até atingir o valor da tensão da fonte te está aplicada na resistência t 0 VR t0 VC t0 E 2ª Lei de Kirchhoff como VC t0 0 capacitor inicialmente descarregado VR t0 E logo It0 ER Não existe uma corrente passando através do capacitor e sim uma movimentação de cargas de uma placa para a outra através do circuito No caso vamos ter um deslocamento de cargas positivas indo da placa inferior para a placa superior na realidade elétrons deslocandose Com a chegada de cargas no capacitor aumenta a sua tensão e consequentemente diminui a tensão na resistência Depois de algum tempo a tensão no capacitor será igual à tensão da fonte O comportamento dinâmico das tensões no circuito e da corrente pode ser melhor entendido através dos gráficos a b Figura 318 Observe no gráfico da figura 318b que a soma VCVR E isto é à medida que VR diminui VC cresce na mesma proporção Uma medida da velocidade de crescimento da tensão no capacitor nos é dada pela constante de tempo do circuito τ definida como sendo τ RC 31 Fisicamente a constante de tempo significa que passando um tempo igual a uma constante de tempo a tensão no capacitor atingiu 63 da tensão da fonte Da figura 310 podemos também verificar que existe uma defasagem entre a tensão no capacitor e a corrente quando é máxima a outra é mínima e viceversa A expressão que relaciona a tensão no capacitor com o tempo é dada por VCt E EetRC E1 etRC 32 A expressão da tensão no resistor é dada por VRt E etRC 33 51 Estas expressões são chamadas de exponenciais e a sua representação gráfica é dada na figura 318b Na expressão 32 consideremos o tempo dado em constantes de tempo e calculemos a tensão em função de E t 0 05 RC RC 2RC 4RC 5RC 10RC VCt 0 0393E 0632E 0865E 0981E 0993E 1E colocando num gráfico resulta Figura 319 Do gráfico anterior foi concluído que podemos considerar o capacitor totalmente carregado do ponto de vista prático passando um tempo igual a t 4τ VC 098E 37 Circuito CA com Capacitância Pura Caso a tensão aplicada no capacitor seja senoidal a corrente no circuito também será senoidal e defasada de 90 em relação à tensão No caso a tensão estará 90 atrasada em relação à corrente Voltamos a insistir que não há passagem de corrente cargas pelo capacitor mas estas circulam pelo circuito de forma que um amperímetro CA colocado no circuito indicará uma corrente 52 semiciclo positivo semiciclo negativo Figura 320 Um capacitor em um circuito CA oferece uma oposição à passagem da corrente sendo esta oposição medida pela reatância do capacitor Xc A reatância do capacitor depende da capacitância C e da frequência do gerador sendo dada por Xc 12πfC 34 sendo C em Farads F f em Hertz Hz Xc em Ohms Ω a b c Diagrama Fasorial Figura 321 A primeira lei de OHM para este caso é I VXc V tensão eficaz I corrente eficaz Em um circuito puramente capacitivo não há consumo de potência A potência real é dada pela fórmula P V I cosΦ Φ ângulo formado entre tensão e corrente no caso Φ 90 cos 90 0 portanto P 0 Este mesmo resultado pode ser mostrado graficamente p Vi p potência instantânea v tensão instantânea i corrente instantânea Figura 322 Durante o primeiro quarto de ciclo o capacitor armazena energia elétrica nas suas armaduras No segundo quarto do ciclo o capacitor devolve a energia ao circuito Exercícios Resolvidos 1 Calcular a reatância de um capacitor de 5μF nas frequências de 60Hz e 400Hz Solução f 60Hz Xc12πfC162860510⁶530Ω f 400Hz Xc 1628400510⁶ 80 Ω 2 Um capacitor de 5μF é ligado a uma tensão de 110V60Hz Qual a intensidade da corrente no circuito Solução Xc 530Ω I VXc 110V530Ω 02A 3 Em que frequência um capacitor de 100nF apresenta uma reatância de 100Ω Solução Xc 1628fC 100 f 162810010010⁹ f 15923Hz 38 Circuito RC Série No circuito da figura 323a a tensão aplicada VG é a soma vetorial da tensão no resistor VR a qual está em fase com a corrente com a tensão no capacitor Vc Figura 323 O diagrama fasorial correspondente é Figura 324 As expressões matemáticas são vC Vmc senωt i Im senωt 90 vR VmR sen ωt 90 vg Vm sen ωt 90 Φ Os triângulos de tensão impedância e potência são Figura 325 Da figura 325a tiramos VG² VR² VC² 35 ou VG VR² VC² cos φ VR V tg φ VC VR Da figura 325b tiramos VG I Z impedância do circuito VR I R resistência VC I XC reatância capacitiva Z² R² XC² 36 ou Z R² XC² cos φ R Z tg φ XC R Do triângulo de potência obtemos PAp VGI potência aparente VA P VRI potência real Watts P VGIcos φ Pr VC I potência reativa VArc Exercícios Resolvidos 1 No circuito determinar a impedância b corrente VR e VC c valor da capacitância Solução a Z R² XC² 4² 3² 25 5Ω b I VG Z 10V 5Ω 2A VR R I 4 2 8V VC XC I 3 2 6V c XC 3Ω 1 628100C C 1 6281003 530 μF 2 Para o circuito determinar a impedância e corrente b tensão em R e em C c ângulo de defasagem d expressões matemáticas da corrente e da tensão e diagrama fasorial Solução a XC 1 2πfC 1 628604710⁶ 56Ω Z R² XC² 60² 56² 82Ω I VG Z 110V 82Ω 134A b VR P I 60 134 805V VC XC I 56 134 75V c cos φ R Z 60 82 073 φ 43 d Com referência à figura 324 considerando que no instante t 0 os fasores que representam a tensão e a corrente estão como mostra a figura teremos i 134 2 sen ωt 90 A vg 110 2 sen ωt 90 φ vg 110 2 sen ωt 47 V e 3 Dispõese de uma lâmpada 110V60W e desejase usála em uma rede de 220V60Hz Uma maneira de fazer isso é colocar em série com a lâmpada um capacitor Qual deve ser o valor deste capacitor Solução O capacitor deve apresentar uma reatância de forma que a tensão na lâmpada seja exatamente 110V e para tanto a tensão no capacitor deverá ser VC 220² 110² 190V A corrente no circuito é igual à corrente na lâmpada I IL 60W 110V 0545A logo a reatância do capacitor deve ser XC VC I 190V 0545 348Ω e o valor do capacitor será C 1 628fXC 1 62860348 76 μF 60 61 Exercícios Propostos 1 Um resistor de 100Ω e capacitor de 1μF são ligados a uma fonte de tensão de 5V1KHz Pedese calcular a corrente no circuito b tensão no capacitor e na resistência c ângulo de defasagem 2 A defasagem entre tensão e corrente num circuito RC série é 60 Determinar o valor da resistência e da capacitância sabendose que a impedância vale 200Ω e a frequência é 60Hz 3 Em um circuito RC série a tensão no capacitor é 80V e no resistor 80V Sabendose que a corrente no circuito vale 200mA com f 60Hz determinar a tensão no gerador b as expressões matemáticas da corrente tensão no gerador e tensão no capacitor c diagrama fasorial d defasagem entre tensão e corrente obs Os valores de tensão dados são eficazes 4 No circuito desejase que o FP seja igual a 08 Qual deve ser o valor de C 5 No circuito esperase que a tensão no capacitor se ja a metade da tensão no resistor Determinar a tensão no resistor e capacitor b valor de C c defasagem entre tensão e corrente 6 Em um circuito RC série o fator de potência é 085 A corrente consumida é 8A A tensão de alimentação é 110V60Hz Calcular a potência aparente b potência real c potência reativa 39 Circuito RC Paralelo Em um circuito RC paralelo a tensão é a mesma nos dois componentes O diagrama fasorial correspondente será As expressões matemáticas das corrente e da tensão são Vg Vm sen ωt i Im sen ωt φ iR IRm senωt iC Icm sen ωt 90 Os triângulos de corrente impedância e potência são respectivamente Da figura 327a tiramos I² IR² IC² ou I IR² IC² Da figura 327b tiramos IVG 1Z ICV 1XC IRVG 1R 1Z² 1XC² 1R² e resolvendo obtemos Z XC R XC² R² Da figura 327c PAP VG I potência aparente em VA P φ VG IR VG I cos φ potência real em W Pr VG IC VG I sen φ potência reativa em VArc O ângulo de defasagem φ pode ser caiculado em qualquer caso por cos φ IRI ou cos φ ZR ou cos φ PPAP Exercícios Resolvidos 1 No circuito determinar a impedância b corrente fornecida pelo gerador corrente no resistor e no capacitor c ângulo de defasagem d diagrama fasorial e potência aparente real e reativa