Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais Duplas e Coordenadas Polares

Lista 4 Revisão Entregar até 24042023 1 Represente a região de integração R e resolva a integral em cada caso 𝑎 𝑥 𝑒5𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 1 1 1 𝑏 𝑥 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝟐 𝟏 0 2 𝑐 ln𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒 1 3 2 𝑑 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 4 1 3 1 2 Resolva a integral considerando a região de integração R representada em cada caso 𝑎 𝑒𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑏 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 3 Represente a região de integração R e resolva a integral em cada caso na ordem apresentada 𝑑𝑦𝑑𝑥 em seguida inverta a ordem de integração 𝑑𝑥𝑑𝑦 NÃO PRECISA RESOLVER A INTEGRAL INVERTIDA 𝑎 5𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑅 𝑥 0 𝑥 3 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑥2 OBS A INTEGRAL INICIANDO COM Y É UMA SOMA DE DUAS INTEGRAIS A INTEGRAL INICIANDO COM X É UMA SOMA DE TRÊS INTEGRAIS 𝑏 𝑥3 5𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑅 𝑥 1 𝑥 4 3 𝑦 2𝑥 1 𝑦 𝑥 3 OBS A INTEGRAL INICIANDO COM Y É UMA INTEGRAL ÚNICA A INTEGRAL INICIANDO COM X É UMA SOMA DE DUAS INTEGRAIS 4 Represente a região de integração R e resolva a integral utilizando coordenadas polares 𝑎 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑥2 𝑦2 1 𝑥2 𝑦2 4 𝑥 0 𝑅 𝑏 𝑒𝑥2𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑥2 𝑦2 9 𝑦 0 𝑥 0 𝑅 5 Resolva a integral considerando a região de integração R representada em cada caso utilizando coordenadas polares 𝑎 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 𝑏 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅 Cálculo Meu Guru 1 Solução a Seja R a região de integração da integral 1112 x e5y dx dy Então R xy R2 1 x 2 1 y 1 Representando R graficamente Agora vamos resolver a integral em questão 1112 x e5y dx dy 11 x22 e5y12 dy 11 2 12 e5y dy 32 e5y511 310 e5 e5 b Sendo R a região de integração da integral 2012 xy2 dy dx temos R xy R2 2 x 0 1 y 2 Representando R graficamente Calculando a integral 20 12 xy2 dy dx 20 xy12 dx 20 12 1 x dx 12 x22 20 12 2 1 c Sendo R a região de integração de 231e lny dy dx temos R xy R2 2 x 3 1 y e Esboçando R Calculando a integral 231e lny dy dx 23 y lny y1e dx 23 e1 e 10 1 dx 23 dx 1 d Sendo R a região de integração de 1314 x ex dx dy temos R xy R2 1 x 4 1 y 3 Esboçando R Calculando a integral 1314 x ex dx dy 13 x ex ex14 dy 13 4 e4 e4 e e dy 3 e4 13 dx 6 e4 2 Solução a Vamos calcular R ex2 dy dx onde R xy ℝ² 0 y x 1 0 y x Daí R ex2 dy dx 01 0x ex2 dy dx 01 ex2y 0x dx 01 xex2 dx ex22 01 e12 12 1 e12 b Vamos calcular R 3y dy dx onde R xy ℝ² 0 x 1 x² y 1 Logo R 3y dy dx 01 x²1 3y dy dx 32 01 y2 x² 1 dx 32 01 1 x4 dx 32 x x55 01 32 1 15 32 45 65 c Vamos calcular R senx3 dy dx onde R xy ℝ² 0 x 1 0 y x² Portanto R senx3 dy dx 01 0x² senx3 dy dx 01 ysenx3 0x² dx 01 x² senx3 dx cosx33 01 cos13 13 1 cos13 3 Solução a Esboçando a região R x 0 x 3 y 2x y x² R R₁ R₂ onde a interseção de y x² e y 2x ocorre quando x² 2x x² 2x 0 xx 2 0 x 0 ou x 2 Deste modo a integral na ordem dy dx é R 5x y dy dx R₁ 5x y dy dx R₂ 5x y dy dx 02 x²2x 5x y dy dx 23 2xx² 5x y dy dx 02 5xy y²2 x²2x dx 23 5xy y²2 2xx² dx 02 10x² 2x³ 5x³ x42 dx 23 5x3 x42 8x² dx 8x33 5x44 x510 02 5x44 x510 8x33 23 643 20 165 4054 24310 72 20 165 643 1283 4054 325 24310 112 onde a interseção de y x² e y 2x ocorre quando x² 2x x² 2x 0 xx 2 0 x 0 ou x 2 Deste modo a integral na ordem dy dx é R 5x y dy dx R₁ 5x y dy dx R₂ 5x y dy dx 02 x²2x 5x y dy dx 23 2xx² 5x y dy dx 02 5xy y²2 x²2x dx 23 5xy y²2 2xx² dx 02 10x² 2x³ 5x³ x42 dx 23 5x3 x42 8x² dx 8x33 5x44 x510 02 5x44 x510 8x33 23 643 20 165 4054 24310 72 20 165 643 1283 4054 325 24310 112 R 6x y dx dy 5120 12150 768 2916 13440 120 1682 120 841 60 Agora note que na ordem dxdy a região R é escrita como a união de três subregiões R1 R2 e R3 onde R1 xy ℝ² 0 y 4 y2 x y R2 xy ℝ² 4 y 6 y x y2 e R3 xy ℝ² 6 y 9 y x 3 Logo R 5x y dx dy ₀⁴ y2y 5x y dx dy ₄⁶ yy2 5x y dx dy ₆⁹ y3 5x y dx dy b Vamos esboçar R x 1 x 43 y 2x 1 y x 3 com um gráfico onde as retas são desenhadas para x e y Onde a interseção de y 2x 1 e y x 3 ocorre em x 3 2x 1 3x 4 x 43 Portanto R x³ 5y² dy dx 143 x32x1 x³ 5y² dy dx 143 x³ y 53 y³x32x1 dx 143 x³2x1 x 3 532x1³ 53x3³ dx R x³ 5y² dy dx 143 3x⁴ 4x³ 532x1³ 53x3³ dx 3x⁵5 x⁴ 5242x14 512x34 143 35 435 434 524834 51243 34 3515 14 5242114 5121 34 1024405 25681 31251944 3125972 35 1 40524 128012 18110245 256 312524 312512 35 1 40524 128012 18124576 30720 15625 31250 120 72 120 2025 12800120 18153019120 14825120 195891120 19133425120 1275341080 Além disso note que na ordem dxdy a região R é a união de duas subregiões R1 e R2 onde R1 xy R² 4 y 53 1 x y 3 e R2 xy R² 53 y 3 1 x 1y2 Logo R x³ 5y² dxdy 453 1y3 x³ 5y² dxdy 533 11y2 x³ 5y² dxdy 41 Solução a Esboçando R Em coordenadas polares vamos escrever R como a união de duas subregiões R1 e R2 dadas por R1 r θ R² 0 θ π2 1 r 2 e R2 r θ R² 3π2 θ 2π 1 r 2 Logo R xx² y² dy dx 0π2 12 r cos θ r² r dr dθ 3π22π 12 r cos θ r² r dr dθ 0π2 cos θ r 21 dθ 3π22π cos θ r 21 dθ 0π2 cos θ dθ 3π22π cos θ dθ sin θ 0π2 sin θ 3π22π 1 0 0 1 2 b Esboçando R Em coordenadas polares temos R r θ R² π θ 3π2 0 r 3 Logo R ex² y² dy dx π3π2 03 er² r dr dθ π3π2 er²2 03 dθ π3π2 e92 12 dθ 1 e92 3π2 π 1 e94 π 5 Solução a Em coordenadas polares temos que R é a união de duas subregiões R1 e R2 onde R1 r θ R² 0 θ π2 2 r 4 R2 r θ R² 3π2 θ 2π 2 r 4 Logo R x² y² dy dx 0π2 24 rr dr dθ 3π22π 24 rr dr dθ 0π2 r³324 dθ 3π22π r³324 dθ 0π2 64 83 dθ 3π22π 64 83 dθ π2 563 π2 563 56π3 b Em coordenadas polares temos R r θ R² 5π6 θ 3π2 0 r 3 Logo R x² y² dy dx 5π63π2 03 rr dr dθ 5π63π2 r³303 dθ 5π63π2 273 dθ 93π2 5π6 99π 5π6 94π6 6π