Integral de Riemann e Cálculo de Áreas

Assim para determinarmos a área formada abaixo do gráfico de y fx de a até b com a maior precisão possível é interessante que diminuamos o máximo possível o valor de Δxi y i123 Assim definimos a soma de Riemann como S i1n Δxi fxi onde xi xi1xi isto é xi é um valor entre xi1 e xi chamado de ponto amostral Geralmente por uma questão de facilidade tomamos xi como os extremos direitos ou xi xi Portanto com base nessas informações definimos a integral de Riemann ou integral definida como limn i1n Δxi fxi ab fx dx Resumindo A ab fx dx ab c dx cba c ℝ EXEMPLO 1 CALCULE 13 4 dx A base x altura 2 x 4 8 PORTANTO 13 4 dx 8 OBS GERALMENTE TOMAMOS Δxi Δx ban isto é os intervalos Δxi têm o mesmo comprimento Δx EXEMPLO 2 a CALCULE A SOMA DE RIEMANN PARA A FUNÇÃO fx x³6x TOMANDO COMO PONTOS AMOSTRAIS xi AS EXTREMIDADES DIRETAS a0 b3 e n6 b CALCULE 03 x³6xdx OBS i1n i³ nn12² i1n i nn12 ab fx gx dx ab fx dx ab gx dx R INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL O PROBLEMA DA ÁREA RIEMANN Começamos o curso tentando resolver o seguinte problema Qual é a área da região A que está sob a curva y fx com axb Assim A1x1x0 fx1 Δx1 fx1 A2x2x1 fx2 Δx2 fx2 A3x3x2 fx3 Δx3 fx3 A4x4x3 fx4 Δx4 fx4 A5x5x4 fx5 Δx5 fx5 Xixi1 Δxi BASE DO RETÂNGULO AiLogo A A1A2A3A4A5 Δx1 fx1Δx2 fx2Δxs fx5 i1n Δxi fxi a como n6 o comprimento de cada inter val o é Δx ba 30 3 3 6 1 2 05 e os pontos amostrais x são xixi lado direito isto é x1 05 x2 1 x3 15 x4 2 x5 25 x6 3 Logo S from i1 to 6 Δx fxi 05 f05 05 f1 05 f15 05 f2 05 f25 05 f3 05 f05 f1 f15 f2 f25 f3 052875 5 5625 4 0625 9 39375 Por que a soma de Riemann não é positiva Porque f não é uma função positiva ab cfx dx c ab fx dx c ℝ b Com n intervalos temos Δx ba 30 3n Para os pontos amostrais temos a seguinte interpretação geométrica 0 x0 x1 x2 x3 Xn1 Xn Como xi xi extremidade direita então x1 3n x2 x1 3n 3n 3n 6n x3 x2 3n 6n 3n 9n x4 x3 3n 9n 3n 12n Em geral xi 3in Portanto from 0 to 3 x3 6xdx limn from i1 to n fxiΔx limn from i1 to n f3in 3n limn from i1 to n 3i3n3 63in 3n ac fx dx bc fx dx ab fx dx com a c b limn from i1 to n 81i3n4 54in2 limn from i1 to n 81i3n4 from i1 to n 54in2 limn81n4 from i1 to n i3 54n2 from i1 to n i limn81n4 nn122 54n2nn12 limn81n4 n2n124 54n2nn12 limn81n4 2n3 n24n4 54nn12n2 limn8141 2n 1n2 5421 1n limn8141 2n 1n2 271 1n 814 27 274 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Teorema Fundamental do Cálculo EXEMPLO 8 CALCULE A INTEGRAL 13 ex dx fx ex é contínua em 13 e sabemos que uma primitiva de f é Fv ev Logo pelo TFC 2 temos 13 ex dx F3 F1 e3 e ex dx ex c senxdx cosx c sec²xdx tgx c cosxdx senx c k dx Kx c OBS dx DETERMINA QUEM É A VARIÁVEL DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 1 DETERMINE 10x4 2sec²xdx Regra da substituição A partir deste ponto focaremos em primitivas que não são imediatas Sendo assim como calcularemos integrais do tipo 2x 1x² dx Essa integral é um típico caso de uma integral por substituição Resolução u 1x² du 2x dx TRO DA INTEGRAL SEJA SIMPLIFICADO DA ME LHOR FORMA POSSÍVEL EXEMPLO 1 ENCONTRE x³cosx⁴2dx ux⁴2 melhor possível du4x³dx du x³dx 4 logo x³cosx⁴2dx cosudu 4 1 4 cosudu 1 4 senu c 1 4 senx⁴2 c EXEMPLO 2 ENCONTRE x 14x² dx u14x² du8xdx duxdx 8 logo xdx 1 1 du 1 8 1 14x² du 1 8 mu² c 1 1x² c EXEMPLO 3 ENCONTRE e5x dx u5x du5dx dudx 5 logo e5x dx eudu 5 1 5 eudu 1 5 eu c e5x c 5 Formamente temos o seguinte teorema Teorema regra da substituição Se ugx for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I então fgxgx dx fudu Demonstração Exercício OBS Caso tenhamos uma integral definida fazemos a b fgxgx gb ga fu du EXEMPLO 4 CALCULE e lnxdx x ulnx du1 dx dx x se x1 então uln10 se xe então ulne1 logo 1 lnxdx 0 1 u² 2 1 0 1 2 Outra forma na maioria dos casos mais conveniente de resolver resolva a integral definida como se fosse indefinida e substitua no final de todo o processo o intervalo de integração em x e lnx dx 1 1 lnxdx e lny u du 1 2 ln²e ln²1 1 2 INTEGRAÇÃO POR PARTES EXEMPLO 1 ENCONTRE x senk dx EXEMPLO 3 CALCULE ex senx dx 0 π exsinxdx eπsinπ cosπ e0sin0 cos0 2 Integrais Trigonométricas Neste tópico focaremos em duas identidades trigonométricas para resolver determinados tipos de integrais chamadas integrais trigonmétricas 1 sen²x cos²x 1 2 sec²x tg²x 1 1 como calcular integrais do tipo senmxcosnxdx a Se a potência do cosseno é ímpar n 2k 1 fazemos senmxcos2k1xdx senmxcos²xkcosxdx senmx1 sen²xkcosx e substitui Exemplo 1 Calcule sen²xcosxdx Fazendo u senx temos du cosxdx sen²xcosxdx u²1 u²³du u²1 3u² 3u⁴ u⁶du u³ 3u⁵ 3u⁷ u⁹ 5 7 11 sen³x 3sen⁵x 3sen⁷x sen⁹x C 3 5 7 11 b Se a potência do seno é ímpar m 2k 1 fazemos sen2k1xcosnxdx sen²xkcosnxsenxdx 1 cos²xkcosxsenxdx e substitui Fazendo u cosk du senkdx Exemplo 3 Calcule sen²kcos²kdx Como calcular integrais do tipo tgmxsecnxdx EXEMPLO 5 CALCULE tg²x sec²x dx EXEMPLO 6 CALCULE sec³x dx Substituição Trigonométrica 4x²dx 42senθ² 2cosθdθ 44sen²θ 2cosθdθ 41sen²θ 2cosθdθ 21sen²θ 2cosθdθ 4cos²θ cosθdθ 4θ sen2θ c 20 senθ c Como voltar para a variável x x 2senθ senθ x2 Por Pitágoras y² x² 4 y² 4x² y 4x² Portanto sen2θ x₁4x² 2 4x²dx 2arcsenx2 x4x² 2 c TABELA DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA EXPRESSÃO x²x² SUBSTITUIÇÃO x a senθ IDENTIDADE cos²θ 1sen²θ EXEMPLO CALCULE dx x²9 Tomando x 3secθ dx 3secθtgθdθ x²9 9sec²θ9 9sec²θ1 3tgθ dx x²9 3secθtgθ dθ 3tgθ secθdθ lnsecθ tgθ c x 3secθ secθ x3 y 1cosθ x3 cosθ 3x dx 9x ln x 9x² 3 C INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS grauP grauQ então devemos fazer uma etapa preliminar dividindo Px por Qx Caso 2 Qx pode ser escrito como produto de fatores lineares e alguns dos fatores são repetidos em outras palavras a equação Qx0 tem apenas soluções reais e algumas são repetidas assim se o fator a1xb1 for repetido m vezes isto é a1xb1r temos para esse fator A1a1xb1 A2a1xb12 A3a1xb13 a1xb1r exemplo 3 encontre x42x24x1dxx3x2x1 exercício etapas 1 dividir Px por Qx pois grPgrQ Caso 1 Qx pode ser escrito como produto de fatores lineares distintos Em outras palavras a equação Qx0 tem apenas soluções reais e todas distintas Assim se Qxa1xb1a2xb2akxbk então PxA1Qx a1xb1 A2Qx a2xb2 Aka1xb1 Por exemplo a expressão xx2x2²x²1x²4 tem como decomposição em frações parciais Ax2 Bx2 Cx2² Dx²1 Ex²4 Por exemplo a expressão 2x6x²x1x²x1x²1³ tem como decomposição em frações parciais Ax Bx² Cx1 Dx²x1 Fx²1 Aplicações da integral Cálculo de áreas No começo do curso definimos uma integral definida como um problema de área de uma certa região A que está sob a curva yfx e o eixo x no intervalo ab Na figura acima temos A10 A20 e A30 onde A1A2A3 NÃO representa a área real para termos a área real devemos fazer A1A2A3 isto é A ab fxdx cd fxdx db fxdx EXEMPLO 1 CALCULE A ÁREA DELIMITADA PELA FUNÇÃO ycosx NO INTERVALO 02π SE FIZERMOS 02π cosxdx senx 02π sen2π sen0 0 ou seja a área negativa se anula com a positiva Assim para determinarmos a área fazemos ÁREA 0π2 cosxdx 3π22π cosxdx π23π2 senx 0π2 senx 3π22π senπ2 sen3π2 sen2π senπ 1 1 0 0 2 A ab fx gxdx ou seja a área A da região limitada pelas curvas yfx e ygx e pelas retas xa e xb em f e g contínuas e fx gx x ab é dada por ab fx gxdx EXEMPLO 2 ENCONTRE A ÁREA DA REGIÃO DELIMITADA PELAS PARÁBOLAS yx² e y2xx² EXEMPLO 3 ENCONTRE A ÁREA DA REGIÃO DELIMITADA PELAS CURVAS ysenx e ycosx com x 0π2 A 0π4 cosx senxdx π4π2 senx cosxdx senx cosx 0π4 cosx senx π4π2 senπ4 cosπ4 cosπ2 senπ2 22 22 1 0 22 2 A1A2A3cfgb fb cgb afga bfg Volume por sólido de revolução Seja f uma função contínua num intervalo ab com fx0 para todo xab Consideremos a região delimitada pelos gráficos de yfx o eixo x e as retas xα e xb Seja S o sólido obtido através da rotação da região A em torno do eixo x OBS xgyAd cfggydy EXEMPLO 1 Encontre a área delimitada pela reta yx1 e pela parábola y²2x6 Exercício faça como xf¹y ab P a x0 x1 x2 xn1 xn b tal que a x0 x1 x2 x3 xn1 xn b e tomemos em PARTICULAR A1 x1x0fx Logo o volume V1 do cilindro S1 é dado por V1 πfx²Δx ÁREA DA BASE ALTURA OBS1 ÁREA DA BASE ÁREA DO CÍRCULO πR² πfx² Com raciocínio análogo obtemos o mesmo resultado para os volumes V2 V3 V4 Vn a partir das áreas A2 A3 A4 An Assim uma APROXIMAÇÃO do volume do sólido de revolução de yfx em torno do eixo x é dada por V i1 to n Vi i1 to n πfxi²Δx que é a soma de Riemann da função gx πfx² Portanto o volume real é dado por V limn i1 to n πfxi²Δx V a to b πfx² dx ou ainda V πa to b fx² dx EXEMPLO 1 ENCONTRE O VOLUME DO SÓLIDO DE REVOLUÇÃO OBTIDO PELA ROTAÇÃO DA CURVA y x com x 01 em torno do eixo x V π0 to 1 x² dx π0 to 1 x dx πx²210 π12 0 π2 OBS1 Em geral Seja S um sólido que está entre x α e x b Se a área da seção transversal de S no plano Px passando por x e perpendicular ao eixo x é dada por Ax com A uma função CONTÍNUA ENTÃO O VOLUME V DE S É V ab Ax dx EXEMPLO 2 Seja S o sólido de base circular de raio 1 cujas secções transversais paralelas entre si e perpendiculares à base sejam triângulos equiláteros EXEMPLO 3 ENCONTRE O VOLUME DO SÓLIDO OBTIDO PELA ROTAÇÃO DA REGIÃO DELIMITADA POR y x³ y 8 E x 0 EM TORNO DO EIXO y V π ₀¹ x² x² dx π x³3 x⁵5 ₀¹ 21π15 Teorema O volume V da região S obtida através da rotação da região A em torno do eixo y é obtido como V 2π ₐᵇ x fx dx V π ₐᵇ fx² dx π ₐᵇ gx² dx ou seja V π ₐᵇ fx² gx² dx V 2π ab fx dx comprimento de arco L ab 1 fx² dx L ₀¹ 1 3x2² dx ₀¹ 1 9x dx ₀² 4 9x dx 12 ₀² 4 9x dx 133 8 27 Integrais impróprias Existem e divergentes caso contrário EXEMPLO 2 CALCULE ₐₐ xeˣ dx EXEMPLO 3 PARA QUAIS VALORES DE p A INTEGRAL ¹ dxxᵖ É CONVERGENTE EXEMPLO 4 CALCULE ²⁵ 1x2 dx x 1 PONTO DE DESCONTINUIDADE Assim ₀³ 1x1 dx ₀¹ 1x1 dx ₁³ 1x1 dx Logo ₀¹ 1x1 dx lim t 1 ₀ᵗ 1x1 dx lim lnx1 ₀ᵗ lim lnt1 ln11 Como ₀¹ 1x1 dx é DIVERGENTE então ₀³ dxx1 é DIVERGENTE