Slide - Derivadas e Taxas de Variação - Cálculo 1 2022 1

Seção 27 Derivadas e Taxas de Variação Equação da Reta que passa por Dois Pontos Entre 330aC e 228aC o famoso matemático Sírio Euclides de Alexandria enunciou 5 postulados que são a base da Geometria Plana 1 Dados dois pontos distintos há um único segmento de reta que os une 2 Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta Revisão Geometria Plana Equação da Reta que passa por Dois Pontos Da geometria analítica plana sabemos que dados quaisquer dois pontos distintos 𝑃𝑥0 𝑦0 e 𝑄𝑥1 𝑦1 do ℝ2 a equação da reta 𝐿 que passa por 𝑃 e 𝑄 tem inclinação 𝑚 𝑦1 𝑦0 𝑥1 𝑥0 Desse modo a equação da reta 𝐿 que passa por 𝑃 e tem inclinação 𝑚 é dada por 𝑦 𝑦0 𝑚𝑥 𝑥0 Revisão Geometria Plana Seja 𝐶 uma curva plana que tem equação 𝑦 𝑓𝑥 Como podemos encontrar a reta tangente a 𝐶 em um ponto 𝑃𝑎 𝑓 𝑎 Podemos considerar um ponto próximo 𝑄𝑥 𝑓 𝑥 sendo 𝑥 𝑎 e calculamos a inclinação da reta secante 𝑃𝑄 movendoa para a direção tangente Reta Secante tendendo a Tangente A reta tangente à curva 𝑦 𝑓𝑥 em um ponto 𝑃𝑎 𝑓 𝑎 é a reta que passa por 𝑃 e tem inclinação 𝑚𝑡𝑔 lim 𝑥𝑎𝑚𝑠𝑒𝑐 lim 𝑥𝑎 𝑓 𝑥 𝑓𝑎 𝑥 𝑎 se este limite existir Reta Secante tendendo a Tangente Se fizermos a mudança de variável ℎ 𝑥 𝑎 quando 𝑥 𝑎 a variável ℎ 0 Assim 𝑚𝑡𝑔 lim ℎ0 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓𝑎 ℎ se este limite existir Reta Secante tendendo a Tangente A equação da reta tangente ao gráfico da curva 𝑦 𝑓𝑥 no ponto 𝑃𝑎 𝑓 𝑎 é 𝑦 𝑓 𝑎 𝑚𝑡𝑔𝑥 𝑎 Equação da Reta Tangente Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑓 𝑥 2𝑥 1 no ponto 𝑄43 Exemplo 1 Exemplo 1 a Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 𝑦 1 𝑥 𝑥2 nos pontos onde 𝑥 𝑎 b Determine as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas 𝑥 são 𝑎 1 𝑎 1 2 𝑎 1 c Faça o gráfico da parábola e das três retas tangentes usando as inclinações encontradas Exemplo 2 Exemplo 2 Determine a equação da reta tangente à hipérbole 𝑦 3 𝑥 no ponto 𝑃13 Exemplo 3 Exemplo 3 Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação 𝑠 𝑓𝑡 sendo 𝑠 o deslocamento do objeto em metros a partir da origem no instante 𝑡 em segundos A função 𝑓 que descreve o movimento é chamada de função posição função horária do objeto Velocidade Média e Velocidade Instantânea No intervalo de tempo entre 𝑡 𝑎 e 𝑡 𝑎 ℎ a variação da posição será de 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓𝑎 Velocidade Média e Velocidade Instantânea A velocidade média neste intervalo é Velocidade Média deslocamento tempo 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓𝑎 ℎ Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se a velocidade média for calculada em intervalos 𝑎 𝑎 ℎ cada vez menores ou seja ℎ 0 então podese definir a Velocidade Instantânea 𝑣𝑎 no instante 𝑡 𝑎 como sendo 𝑣 𝑎 lim ℎ0 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓𝑎 ℎ Velocidade Média e Velocidade Instantânea Uma partícula se move ao longo de uma reta com equação de movimento 𝑠 𝑓 𝑡 100 50𝑡 49𝑡2 sendo o deslocamento 𝑠 medido em metros e o tempo 𝑡 em segundos Encontre a velocidade instantânea quando 𝑡 5 Exemplo 4