Questões - Física 3 2022 2

1ª Questão (2,0 pts) – Uma carga de 1,3 μC está situada no eixo dos x, a x = -0,5 m; uma outra carga, de 3,2 μC, se situa no eixo dos x, em x = 1,5 m; e uma terceira carga, de 2,5 μC, está na origem. Todas as cargas são positivas. a) Qual a força líquida sobre a carga de 2,5 μC ? b) Qual o potencial elétrico em um ponto P no eixo dos x, situado em x = 2,5 m ? 2ª Questão (2,0 pts) – Uma carga q e que possui massa m é projetada, sob um ângulo Θ acima do plano horizontal, com uma velocidade v em uma região onde há um campo elétrico E contrário a eixo y. a) Desprezando a gravidade, qual a expressão para o deslocamento total ao longo do eixo x? b) Qual o ângulo acima do plano horizontal para que a carga alcance a distância máxima? 3ª Questão (6,0 pts) – Uma haste fina de comprimento total igual a 2L e carregada uniformemente com uma carga total Q encontra-se ao longo do eixo x, no intervalo de x = -3L até x = -L, conforme ilustrado na figura ao lado. a) Calcule o campo elétrico em P, situado ao longo do eixo x, a uma distância X da origem. b) Calcule o potencial elétrico em P. Questão 1 a) Temos: 𝑞1 = 1,3 𝜇𝐶 𝑥1 = −0,5 𝑚 𝑞2 = 3,2 𝜇𝐶 𝑥2 = 1,5 𝑚 𝑞3 = 2,5 𝜇𝐶 𝑥3 = 0 𝑚 Logo: 𝐹3 = 𝐹13 + 𝐹23 𝐹3 = 𝑘 𝑞1𝑞3 𝑥1 2 − 𝑘 𝑞2𝑞3 𝑥2 2 𝐹3 = 𝑘𝑞3 (𝑞1 𝑥1 2 − 𝑞2 𝑥2 2) 𝐹3 = 9 ⋅ 109(2,5 ⋅ 10−6) ( (1,3 ⋅ 10−6) 0,52 − (3,2 ⋅ 10−6) 1,52 ) 𝐹3 = 9 ⋅ 10−3(2,5) ( (1,3) 0,52 − (3,2) 1,52 ) 𝑭𝟑 = +𝟎,𝟎𝟖𝟓 𝑵 b) o potencial gerado por uma carga pontal é dado por: 𝑉 = 𝑘 𝑄 𝑑 Logo, para o ponto em 𝑥 = 2,5, temos: 𝑉 = 𝑘 (𝑞1 3 + 𝑞2 1 + 𝑞3 2,5) 𝑉 = 9 ⋅ 109 ( (1,3 ⋅ 10−6) 3 + (3,2 ⋅ 10−6) 1 + (2,5 ⋅ 10−6) 2,5 ) 𝑉 = 9 ⋅ 103 ( (1,3) 3 + (3,2) 1 + (2,5) 2,5 ) 𝑽 = 𝟒𝟏𝟕𝟎𝟎 𝑽 Questão 2 A e b) o campo em Y não interfere na velocidade em x, assim temos: ∆𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 ∗ 𝑡 Já o deslocamento em 𝑦 é dado por: ∆𝑦 = 𝑣 sin𝜃 ∗ 𝑡 − 1 2 𝑎𝑡2 Aqui, 𝑎 é a aceleração devia à força elétrica, que é dada por: 𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑚𝑎 = 𝑞𝐸 𝑎 = 𝑞𝐸 𝑚 Assim, temos: ∆𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 ∗ 𝑡 ∆𝑦 = 𝑣 sin𝜃 ∗ 𝑡 − 1 2 𝑞𝐸 𝑚 𝑡2 Ao atingir a distância máxima, temos ∆𝑦 = 0, de modo que o tempo necessário fica: ∆𝑦 = 𝑣 sin 𝜃 ∗ 𝑡 − 1 2 𝑞𝐸 𝑚 𝑡2 = 0 𝑣 sin 𝜃 − 1 2 𝑞𝐸 𝑚 𝑡 = 0 𝑡 = 2𝑚𝑣 𝑞𝐸 sin 𝜃 Assim, o alcance é dado por: ∆𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 ∗ 𝑡 ∆𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 ∗ 2𝑚𝑣 𝑞𝐸 sin𝜃 ∆𝑥 = 𝑚𝑣2 𝑞𝐸 (2 sin 𝜃 cos 𝜃) ∆𝑥 = 𝑚𝑣2 𝑞𝐸 (sin 2𝜃) Logo, para que a distância seja máxima, devemos ter: sin2𝜃 = 1 Ou seja: 2𝜃 = 90° 𝜽 = 𝟒𝟓° Questão 3 A e b) Vamos dividir o fio em segmentos infinitesimais de largura 𝑑𝑥 Assim, sendo 𝜆 = 𝑄 2𝐿 a densidade de cargas, temos que a carga infinitesimal em cada elemento é: 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 Assim, o potencial elétrico em P gerado por cada elemento é dado por: 𝑑𝑉 = 𝑘 𝑑𝑞 𝑑 𝑑𝑉 = 𝑘 𝑑𝑞 𝑋 − 𝑥 Integrando ao longo do arame, temos: 𝑉 = ∫ 𝑘 𝑑𝑞 𝑋 − 𝑥 −𝐿 −3𝐿 𝑉 = 𝑘 ∫ 𝜆𝑑𝑥 𝑋 − 𝑥 −𝐿 −3𝐿 𝑉 = 𝑘𝜆 ∫ 𝑑𝑥 𝑋 − 𝑥 −𝐿 −3𝐿 𝑉 = 𝑘𝜆[− ln(𝑋 − 𝑥)]−3𝐿 −𝐿 𝑉 = 𝑘𝜆[− ln(𝑋 + 𝐿) + ln(𝑋 + 3𝐿)] Assim, temos: 𝑉 = 𝑘𝜆 ln (𝑋 + 3𝐿) (𝑋 + 𝐿) 𝑽 = 𝒌 𝑸 𝟐𝑳 𝐥𝐧 (𝑿 + 𝟑𝑳) (𝑿 + 𝑳) Para encontrar o campo elétrico, derivamos o potencial em relação a X: 𝐸 = − 𝑑𝑉 𝑑𝑋 Assim, temos: 𝐸 = − 𝑑 [𝑘 𝑄 2𝐿 ln (𝑋 + 3𝐿) (𝑋 + 𝐿) ] 𝑑𝑋 𝐸 = −𝑘 𝑄 2𝐿 𝑑[ln(𝑋 + 3𝐿) − ln(𝑋 + 𝐿)] 𝑑𝑋 𝐸 = −𝑘 𝑄 2𝐿 [ 1 (𝑋 + 3𝐿) − 1 (𝑋 + 𝐿)] 𝑬 = 𝒌 𝑸 𝟐𝑳 [ 𝟏 (𝑿 + 𝑳) − 𝟏 (𝑿 + 𝟑𝑳)]