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Engenharia de Controle e Automação ·
Álgebra Linear
· 2020/2
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5. Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano. (a) v1 = (−2, 0, v), v2 = (6, 1, 4), v3 = (2, 0, −4) (b) v1 = (6, −6, 7), v2 = (3, 2, 4), v3 = (4, −1, 2) 6. Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^2 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano. (a) v1 = (−1, 2, 3), v2 = (2, −4, −6), v3 = (−3, 6, 0) (b) v1 = (2, −1, 4), v2 = (4, 2, 3), v3 = (2, 7, 6) (c) v1 = (4, 6, 8), v2 = (2, 3, 4), v3 = (−2, 3, −4) 7. Considere que os três vetores v1 = (0, 1, −1), v2 = (6, 0, 5, 1) e v3 = (4, −7, 1, 3) formam um conjunto linearmente dependente em R^4. (a) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação linear dos outros dois. (b) Mostre que os três vetores v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 0, −1) e v3 = (1, 3, 3, 3) formam um conjunto linearmente dependente em R^4. (b) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação linear dos outros dois. 9. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R^3 com quais valores de λ? v1 = (λ, −2, −1, 1, 1/2, λ), v2 = (1, 1/2, λ), v3 = (−1, −1/2, 1, λ) 10. Mostre que {v1, v2, v3} formam um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v1}, {v2} e {v3}. 11. Mostre que se S = {v1, v2, . . . , vj} for um conjunto linearmente independente de vetores, então também ô qualquer subconjunto não vazio de S. 12. Mostre que se S = {v1, v2, v3} for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se v4 for um vetor qualquer em V que não está em S, então {v1, v2, v3, v4} também é linearmente dependente. 13. Mostre que se S = {v1, v2, . . . , vj} for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se vj+1, . . . , vn forem vetores quaisquer em V que não estão em S, então {v1, v2, . . . , vj, vj+1, . . . , vn} também é linearmente dependente. 14. Mostre que qualquer conjunto com mais de três vetores em P2 é linearmente dependente. 15. Mostre que se {v1, v2} for um conjunto linearmente independente e v3 não pertencer a ger{v1, v2}, então {v1, v2, v3} é linearmente independente. 16. Prove: dados quaisquer vetores u, v e w num espaço vetorial V , os vetores u − v, v − w e w − u formam um conjunto linearmente dependente. 17. Prove: o espaço gerado por dois vetores em R^3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem. 18. Sob quais condições é um conjunto de um único vetor linearmente independente? 19. Os vetores v1, v2 e v3 na parte (a) da figura dada são linearmente independentes? E os da parte (b)? Explique. 20. Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F(−∞, ∞) dados são linearmente independentes. (a) 3, sen^2 x, cos^2 x (b) x, cos x (c) 1, sen x, sen 2x (d) cos 2x, sen^2 x, sen^3 3πx 21. As funções f1(x) = sen x e f2(x) = cos x são linearmente inde- p edes em F(−∞, ∞) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano. 22. As funções f1(x) = sen x e f2(x) = cos x são linearmente inde- p edes em F(−∞, ∞) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano. 23. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o wronskiano para most- trar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (a) 1, x, e^x (b) 1, x, x^2 24. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f1(x) = e^x, f2(x) = xe^x e f3(x) = x^2e^x são linearmente independentes em F(−∞, ∞). 25. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f1(x) = sen x, f2(x) = cos x, f3(x) = cos x são linearmente independentes em F(−∞, ∞). 28. (a) Mostramos no Exemplo 1 que os vetores mutuamente ortogonais i, j e k formam um conjunto linearmente independente de vetores em R^3. Seria que qualquer conjunto de vetores mutuamente ortogonais em R^n forma um conjunto linearmente independente? Justifique sua conclusão geometricamente. (b) Justifique sua conclusão algebricamente. [Sugestão: use produto escalar.] Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Um conjunto que consiste num único vetor é linearmente independente. (b) Dado qualquer escalar k, o conjunto de vetores {v, k v} é linearmente dependente. (c) Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero. (d) Se o conjunto de vetores {v1, v2, v3} for linearmente inde- p edes, então, dado qualquer escalar não nulo k, o conjunto {kv1, kv2, kv3} também é linearmente inde- p edes. (e) Se v1, v2, . . . , vn forem vetores não nulos linearmente de- p edes, então pelo menos um vetor vj é uma combinação linear única de vp1, . . . , vpi. (f) O conjunto das matrizes 2 × 2 que contêm exatamente dois 1s e dois 0s é linearmente inde- p edes em M2x2. (g) Os três vetores x, x^2 − 1 e x^4 − x^2 são linearmente inde- p edes. (h) As funções f1 e f2 são linearmente de- p edes se existirem um número real x e escalares k1 e k2 tais que k1f1(x) + k2f1(x) = 0. 1. Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado. (a) u1 = (1, 2), u2 = (0, 3), u3 = (2, 7) para R^2 (b) u1 = (−1, 3, 2), u2 = (3, 1, 6, 1) para R^3 (c) P = 1 − x + x^2, P = x − 1 para P^2 (d) A = 1 1 1, B = 6 4 0, C = 3 0 1, D = 1 1 2, E = 5 7 9 para M2x2. 2. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^2? (a) {(2, 1), (3, 0)} (b) {(4, 1), (−7, −8)} (c) {(0, 0), (1, 3)} (d) {(3, 9), (−4, −12)} 3. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^3? (a) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)} (b) {(3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)} (c) {(2, −3, 1), (4, 1, 0), (7, 0, −1)} (d) {(1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5)} 4. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P2? (a) {1 − 3x + 2x^2, 1 + 7x + 4x^2, 1 − 7x} (b) {4 + 6x + x^2, −1 + 4x^2, 5 + 2x^2} (c) {1 + x + x^2, x, x} (d) −4 + 4 + 3x^2, 6 + 5x + 2x^2, 8 + 4x + x^2 5. Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M2x2. 36 61 10 82, 10 01, −82 46 43 6. Seja V o espaço gerado por v1 = cos x, v2 = sen x, v3 = cos 2x. (a) Mostre que S = {v1, v2, v3} não é uma base de V . (b) Encontre uma base de V . 7. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = {u1, u2, u3} de R^2. (a) v = (2, 1, −3); v = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3) (b) v = (5, 12, 3); v1 = (1, 0, 0), v2 = (−4, 5, 6), v3 = (7, −8, 9) 9. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = {v1, v2} de P2. (a) p = 4 − 3x + x^2; p1 = 1, p2 = x, p3 = x^2 (b) p = 2 − x + x^2; p1 = 1 + x, p2 = 1 + x^2, p3 = x + x^2 11. Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = {A1, A2, A3, A4}. A = 2010 −3100 A1 = 0101 1110 0000 A2 = 0110 0001 0000 A3 = 0100 0000 1100 A4 = 0011 1000 0010 Nos Exercícios 12–13, mostre que {A1, A2, A3, A4} é uma base de Mx2, e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base. 12. A1 = 0010, A2 = 1010, A3 = 0011, 0101 0100 1100 1110 A4 = 1110 1100 0010 0010 13. A1 = 1110, A2 = 1010, A3 = 0101, 0101 0010 0110 0110 A4 = 0010 1100 1111 0011 Nos Exercícios 14–15, mostre que {p1, p2, p3} é uma base de P2 e expresse e como uma combinação linear dos vetores da base. 14. p1 = 1 + x + x^2, p2 = x + x^2, p3 = 1 + x^2; p = 3 + 3x + x^2 15. p1 = − x + x^2, p2 = x + x^2, p3 = x; p = 7 − x + 2x^2 16. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares XY e um sistema de coordenadas x0 y0 com eixos oblíquos. Supo- pondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre as coordenadas x'y' dos pontos cujas coordenadas xy estão dadas. (a) (1, 1) (b) (1, 0) (c) (0, 1) (d) (a, b) 17. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares XY e determinado pelos vetores unitários i e j da base canônica e um sistema de coordenadas x'y' determinado pelos vetores unitá- rios i e j de uma outra base. Encontre as coordenadas x'y' dos dois pontos cujas coordenadas xy estão dadas. (a) (√3, 1) (b) (1, 0) (c) (0, 1) (d) (a, b) 18. A base de Mx2 dada no Exemplo 4 consiste em matrizes não invertíveis. Será que existe alguma base de Mx2 consistindo em matrizes invertíveis? Justifique sua resposta. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(e), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se V = ger{v1, v2, . . . , vn}, então {v1, v2, . . . , vn} é uma base de V. (b) Cada subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V é uma base de V. (c) Se {v1, v2, . . . , vn} for uma base de um espaço vetorial V , então cada vetor em V pode ser expresso como uma combinação linear de v1, v2,..., vn. (d) D o vetor de coordenadas de um vetor x em R^n em relação à base canônica de R^n é x. (e) Cada base de P4 contém pelo menos um polinômio de grau 3 ou menor. ► Nos Exercícios 1-6, encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço. 1. x1 + x2 + x3 = 0 x2 + x4 = 0 2x1 − x2 + x3 = 0 2. 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 5x1 − 2x2 + x3 − x5 = 0 3. x1 − 4x2 + 3x3 = 0 2x1 − 3x2 + 5x3 = 0 x1 − x4 = 0 4. x1 − 3x2 + x3 = 0 x1 − 6x3 = 0 2x1 − 9x3 + 2x5 = 0 5. 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + x5 = 0 x2 + x5 = 0 6. x + y + z = 0 3y − 2z = 0 4x + 3y − z = 0 6x + 5y − 3z = 0 7. Encontre bases dos seguintes subespaços de R³. (a) O plano 3x − 2y + 5z = 0. (b) O plano x − y = 0. (c) A reta x = 2t, y = −t, z = 4t. (d) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c. 8. Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R⁴. (a) Todos os vetores da forma (a, b, c, 0). (b) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), em que d = a + b e c = a − b. (c) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), em que a = b = c = d. 9. Encontre a dimensão de cada um dos seguintes espaços vetoriais. (a) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n diagonais. (b) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n simétricas. (c) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n triangulares superiores. 10. Encontre a dimensão do subespaço de P₃ consistindo em todos os polinômios a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ com a₀ = 0. 11. (a) Mostre que o conjunto W de todos os polinômios em P₂ tais que p(1) = 0 é um subespaço de P₂. (b) Faça uma conjectura sobre a dimensão de W. (c) Confirme sua conjectura encontrando uma base de W. 12. Em cada caso, encontre um vetor da base canônica de R³ que pode ser acrescentado ao conjunto {v₁, v₂} para formar uma base de R³. (a) v₁ = (−1, 2, 3), v₂ = (1, −2, −2) (b) v₁ = (1, −1, 0), v₂ = (3, 1, −2) 13. Encontre vetores da base canônica de R⁴ que podem ser acrescentados ao conjunto {v₁, v₂} para formar uma base de R⁴ v₁ = (1, −4, 2, −3), v₂ = (3, 8, −3, 6). 14. Seja {v₁, v₂, v₃} uma base de um espaço vetorial V. Mostre que {u₁, u₂, u₃} também é uma base, sendo u₁ = v₁, u₂ = v₁ + v₂ e u₃ = v₁ + v₂ + v₃. 15. Os vetores v₁ = (1, −2, 3) e v₂ = (0, 5, −3) são linearmente independentes. Aumente {v₁, v₂} até uma base de R³. 16. Os vetores v₁ = (1, −2, 3), v₂ = (0, −1, 2, −3) são linearmente independentes. Aumente {v₁, v₂} até uma base de R⁴. 17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo n, podemos encontrar n + 1 vetores linearmente independentes em F[−∞,∞). [Sugestão: prove polinômios.] (b) Use o resultado da parte (a) para provar que F(−∞, ∞) tem dimensão infinita. (c) Prove que C(−∞, ∞) e Cᵐ(−∞, ∞) são espaços vetoriais de dimensão infinita. 18. Seja S uma base de um espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que se v₁, v₂, . . . , vₙ formarem um conjunto linearmente independente de vetores em V, então os vetores de coordenadas (v₁)ₛ, (v₂)ₛ, . . . , (vₙ)ₛ formam um conjunto linearmente independente em Rⁿ e reciprocamente. 19. Usando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v₁, v₂, . . . , vₙ gerarem V, então os vetores de coordenadas (v₁)ₛ, (v₂)ₛ, . . . , (vₙ)ₛ geram Rⁿ e reciprocamente. 20. Em cada caso, encontre uma base do subespaço de P₂ gerado pelos vetores dados. (a) 1 + x + x², −2 + 2x², −3x (b) 1 + x − 3x², 2 + x² − 6x², 3 + 3x − 9x² [Sugestão: seja S a base canônica de P₂ e trabalhem com os vetores de coordenadas em relação a S como nos Exercícios 18 e 19.] 21. Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita. 22. Enumere as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a-j), determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) O espaço vetorial nulo tem dimensão zero. (b) Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em R¹⁷. (c) Existe um conjunto de 11 vetores que gera R¹⁷. (d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em R⁴ é uma base de R⁴. (e) Cada conjunto de cinco vetores que gera R⁶ é uma base de R⁶. (f) Cada conjunto de vetores que gera R⁷ contém alguma base de R⁷. (g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em R⁶ está contido em alguma base de R⁶. (h) Existe alguma base de M₂,₂ consistindo em matrizes invertíveis. (i) Se A tiver tamanho n × n e I, A, A², . . . , Aⁿ² forem matrizes distintas, então {Iₙ, A, A², . . . , Aⁿ²} é linearmente independente. (j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de P⁴. 1. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R² e u = (1, 1), v = (3, 2), w = (0,−1) e k = 3. Calcule as expressões dadas. (a) (u, v) (b) (kv, w) (c) (u + v, w) (d) ||w|| (e) d(u, v) (f) ||u − kv|| 2. Repita o Exercício 1 com o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 2u₁v₁ + 3u₂v₂. 3. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R³ e u = (3,−2, 0), v = (4, 5, 0) w = (−1, 6) e k = −4. Verifique as expressões dadas. (a) (u, v) = (v, u) (b) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) (c) (ku, v + w) = k(u, v) + k(u, w) (d) (uav, w) = a(u, w) = (u, (av)) (e) (v, v) = 0, v = 0 4. Repita o Exercício 3 com o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 4u₁v₁ + 5u₂v₂. 5. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R² gerado por [2 1] e u = (2, 1), v = (−1, 1), w = (0,−1). Calcule as expressões dadas. (a) (u, v) (b) (kv, w) (c) (u + v, w) (d) ||v|| (e) d(v, w) (f) [w] = wᵀ 6. Repita o Exercício 5 com o produto interno em R² gerado por [2] [−1 2]. 7. Em cada parte, calcule (u, v) usando o produto interno do Exercício 6. a u = [4 −2 3] v = [−1 1 3] (b) u = [4 2 6] v = [0 5 8] 8. Em cada parte, calcule (p, q) usando o produto interno do Exemplo 7. (a) p = −2 + 2x + 3x², q = 4 − 7x² (b) p = −5 + 2x + x², q = 3 + 2x − 4x² 9. Use a Fórmula (4) para mostrar que (u, v) = 9u₁v₁ + 4u₂v₂, é produto interno em R² gerado por A = [3 0] [2] (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular (u, v) com u = (−3, 2) e v = (1, 7). 10. (a) Use a Fórmula (4) para mostrar que (u, v) = 5u₁v₁ − u₁v₂ − u₂v₁ + 10 u₂v₂ é produto interno ponderado. 11. Sejam u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R². Encontre a matriz que gera esse produto interno. (a) (u, v) = 3u₁v₁ + 5u₂v₂ (b) (u, v) = 4u₁v₁ + 6u₂v₂ 12. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exemplo 7. Em cada parte, encontre ||p|| (b) p = 4 − 3x² 13. Suponha que M₂,₂ tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre ||A||. (a) A = [−2 5] [3 6] (b) A = [0 0] [0 0] 14. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exemplo 7. Encontre d(p, p) com p = 1 + 5x² 15. Suponha que M₂,₂ tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre d(A, B). (a) A = [2 6] B = [4 7] (b) A = [2 10] B = [5 6] 16. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exercício 9 e considere p = 1 + x + 3x² e q = 1 − 2x². Em cada parte, calcule a expressão. (a) (p, q) (b) ||p|| 18. Encontrar (p, q) com p = x + x₃ e q = 1 + x². 18. Em cada parte, use o produto interno em R² dado para calcular ||w||. com w = (−1, 3). (a) o produto interno euclidiano (b) o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 3u₁v₁ + 2u₂v₂ com u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). (c) o produto interno gerado pela matriz A = [−1 2] [3] 19. Use os produtos internos do Exercício 18 para encontrar d(u, v) com u = (−1, 2) e v = (2, 5) 20. Suponha que u, v e w sejam vetores tais que (u, v) = 2, (v, w) = −3, (u, w) = 5 ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 7 Em cada parte, calcule a expressão. (a) (u + v, v + w) (b) (2v − w, 3u + 2w) (c) (u − w, 2v, 4u + v) (d) ||u + v|| (e) (2w) = (f) ||u − 2v + 4w|| 21. Em cada parte, esboce o círculo unitário em R² usando o produto interno dado. (a) (u, v) = 4u₁v₁ + 16u₂v₂ (b) (u, v) = 2u₁v₁ + u₁v₂ 22. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R² no qual o círculo unitário seja a elipse mostrada na figura dada. 23. Sejam u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R² verificando a validade dos axiomas de produto interno. (a) (u, v) = 3u₁v₁ + 5u₂v₂ (b) (u, v) = 4u₁v₁ + u₂v₁ + u₁v₂ + 4u₂v₂ 24. Sejam u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃). Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R³. Se não for, liste os axiomas que não valem. (a) (u, v) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ (b) (u, v) = x²₁ + x²₂ + u²₃x²₃ (c) (u, v) = 2u₁₁ + u₂v₂ + 4u₃v₃ (d) (u, v) = u₁v₁ − u₂u₁₂ + u₄w₃ 25. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. ||u + v||² + ||u − v||² = 2||u||² + 2||v||² 26. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. (u, v) = ¼||u + v||² − ¼||u − v||² 27. Sejam U = [u₁] V = [v₁ + 5u₁, v₃] [−u₃] [u₂] v₅] [u₄] [v₅] Mostre que (U, V) = u₁v₁ + u₂v₃ + u₃v₂ + u₄v₃ não define um produto interno em M₂,₂. 28. (Requer Cálculo) Suponha que P₂ tenha o produto interno (p, q) = ∫₁₀p(x)q(x)dx (a) Encontre ||p|| com p = 1, p = x e p = x² (b) Encontre d(p, q) com p = 1 e q = x³. 28. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o produto interno ∫₁₀p(x)q(x)dx em P₂ para calcular (p, q). (a) p = 1 − x + x³ + 5x⁴, q = x³ − 3x² (b) p = x − 5x², q = 2 + 8x² 30. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o produto interno (f, g) = ∫₁[f(x)g(x)dx em C⁹₀, 1] para calcular (f, g). (a) f = cos 2πx, g = sen 2πx (b) f = x, g = e√₂t (c) f = g = ∫π₀ ∫x1 x0, g = 1 31. Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em R⁷. 32. A definição de espaço vetorial complexo foi dada na primeira nota marginal da Seção 4.1.4. A definição de um produto interno complexo num espaço vetorial complexo V é idêntica à definição 1, exceto que os escalares podem ser números complexos e o Axioma 1 é substituído por (u,v) = ¯(v, u). Os demais axiomas permanecem inalterados. Um espaço vetorial complexo com um produto interno complexo é denomiado espaço com produto interno complexo. Prove que se V for um espaço com produto interno complexo, então (u, av) = ¯(a(u, v)). Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a-g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) O produto escalar em R² é um exemplo de produto interno ponderado. (b) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. (c) (u, v + w) = (v, w) + (w, u). (d) (av, av) = a²(u, v). (e) Se (u, v), então u = 0∨v = 0. (f) Se ||v||², então v = 0. (g) Se A for uma matriz n × n, então (u, v) = ^Aú • Av define um produto interno em RN. 1. Considere R^2, R^3 e R^4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v. (a) u = (1, -3), v = (2, 4) (b) u = (-1, 0), v = (3, 8) (c) u = (1, -5, 2), v = (2, -4, -9) (d) u = (4, 1, 8), v = (1, 0, -3) (e) u = (1, 0, 1, 0), v = (-3, -3, -3, -3) (f) u = (2, 1, 7, -1), v = (4, 0, 0, 0) 2. Considere P_2 com o produto interno do Exemplo 7 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre p e q. (a) p = 1 - 5x + 2x^2, q = 2 + 4t - 9x^2 (b) p = x - x^2, q = 7 + 3x + 3x^2 3. Considere M_2x_2 com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre A e B. (a) A = [2 1] [-1 3] , B = [ 3 0] [ 1 0] (b) A = [2 4] [-3 -1], B = [ 3 0] [-1 2] (c) A = [ 3 0 ] [-1 -1], B = [2 1] [3 0] 4. Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. (a) u = (1, 1, 3, 2), v = (4, -2, -1) (b) u = (-2, -2, 2, -2), v = (1, 1, 1) (c) u = (u4, u6, u9), v = (0, 0, 0) (d) u = (4, -6, -10), v = (1, -2, -9) (e) u = (3, 3, 3, 1), v = (5, -2, 0, 8) (f) u = (a, b), v = (-b, a) 5. Mostre que p = 1 - x + 2x^2 e q = 2x + x^2 são ortogonais em relação ao produto interno do Exercício 2. 6. Seja A = [2 1] [-1 3] Em cada parte, verifique se a matriz dada é ortogonal a A em relação ao produto interno do Exercício 3. (a) [ -3 0] [ 0 2] (b) [ 1 0] [ 2 -1] (c) [ 0 0] [ 0 1] 7. Verifique se existem escalares k e l tais que os vetores u = (2, k, 6), v = (5, 3) e w = (1, 2, 3) sejam mutuamente ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. 8. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano e considere u = (1, 1, -1 e v = (6, 7, -15). Encontre um valor de a com o qual ||au + v|| = 13. 9. Suponha que R^3 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre os valores de k com os quais os vetores u e v são ortogonais. (a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k) (b) u = (k, 1), v = (k, 5, 6) 10. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u = (2, 1, -4, 0), v = (-1, -1, 2, 2) e w = (3, 2, 5, 4). 11. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano. (a) u = (3, 2), v = (4, -1) (b) u = (3, 1, 0), v = (2, -1, 3) (c) u = (1, -4, 2), v = (8, -4, -2) (d) u = (0, -2, 2, 1), v = (-1, -1, 1, 1) 12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados. (a) u = (-2, 1) e v = (1, 0) usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1. (b) U = [-1 2] e v = [01 0] usando o produto interno c = [-1 3] do Exemplo 6 da Seção 6.1. (c) p = -1 + 2x + x^2 e q = 2 - 4x^2, usando o produto interno dado no Exemplo 7 da Seção 6.1. 13. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano e seja u = (-1, 1, 0, 2). Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores w1 = (1, -1, 3, 0) e w2 = (4, 0, 9, 2). ▶ Nos Exercícios 14-15, suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano. 14. Seja W a reta em R^2 de equação y = 2x. Obtenha uma equação para W^⊥. (a) Seja W o plano em R^2 de equação x - 2y - 3z = 0. Obtenha equações paramétricas de W^⊥. (b) Seja W a reta em R^2 de equações paramétricas x = 2t, y = -5t, z = 4t Obtenha uma equação de W^⊥. (c) Seja W a interseção dos dois planos x + y + z = 0 e x - y + z = 0 em R^3. Obtenha uma equação de W^⊥. 16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R^n gerado pelos vetores dados. (a) v1 = (1, -1, 3), v2 = (5, -4, -4), v3 = (7, -6, 2) (b) v1 = (2, 0, -1), v2 = (4, 0, -2) (c) v1 = (1, 4, 5, 2), v2 = (2, 1, 3, 0), v3 = (-1, 3, 2, -2) (d) v1 = (1, 4, 5, 6, 9), v2 = (3, -2, 1, 4, -3), v3 = (-1, 0, -1, -2, -1), v4 = (2, 3, 5, 7, 8) 17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V, então ||u - v|| = √2. 18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u e v, então w é ortogonal a ku1 + lku2, qualquer que sejam os escalares k, l. Interprete esse resultado geometricamente no caso em que V for R^n com o produto interno euclidiano. 19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u1, u2, ..., un, então w é ortogonal a cada vetor em ger{u1, u2, ..., un}. 20. Seja {v1, v2, ..., vn} uma base de um espaço com produto interno V. Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base. 21. Seja {w1, w2, ..., wn} uma base de algum subespaço W de um espaço com produto interno. Mostre que o vetor V que são ortogonais a cada um dos vetores da base. 22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v1, v2, ..., vn forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V, então ||v1 + v2 + ... + vn||^2 = ||v1||^2 + ||v2||^2 + ... + ||vn||^2 23. Prove: se u e v forem matrizes n × 1 de uma matriz n × n, então (v^T Au)^2 ≤ (u^TAu)(v^TAv) 24. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que, dados quaisquer valores reais de a, b e c, vale (acosθ + bsenθ)^2 ≤ a^2 + b^2 25. Prove: se w0, w1, w2, ..., wn forem números reais positivos e se u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) forem dois vetores quaisquer em R^n, então |w0u1u2 + w1u2u1 + ... + wnumun| ≤ (w0u1^2 + w1u2^2 + ... + wnu^2n)^{1/2}(w0v1^2 + w1v2^2 + ... + wnv^2n)^{1/2} 26. Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e somente se, u e v são linearmente independentes. 27. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. [Sugestão: expresse os vetores AB̄ e BC̄ da figura dada em termos de u e v.] 28. Os vetores u = (1, √3) e v = (-1, -√3) indicados na figura dada têm norma 2 e ângulo de 60º entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em relação ao qual u e v sejam vetores unitários ortogonais. 29. (Requer Cálculo) Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em [0, 1]. Prove: (a) ∫[0,1] (f(x)g(x) dx)^2 ≤ ∫[0,1] f^2(x) dx ∫[0,1] g^2(x) dx (b) ∫[0,1] f(x)g(x) dx ≤ [∫[0,1] f^2(x) dx]^{1/2} [∫[0,1] g^2(x) dx]^{1/2} [Sugestão: use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.] 30. (Requer Cálculo) Suponha que C[0, π] tenha o produto interno euclidiano definido como (f, g) = ∫[0,π] f(x)g(x) dx e seja f1 = cos nx (n = 0, 1, 2, ...). Mostre que se k ≠ l, então f1 e f2 são vetores ortogonais. 31. (a) Seja W a reta y = x num sistema de coordenadas xy de R^2. Descreva o subespaço W^⊥. (b) Seja W o eixo y num sistema de coordenadas xyz de R^3. Descreva o subespaço W^⊥. (c) Seja W o plano yz num sistema de coordenadas xyz de R^3. Descreva o subespaço W^⊥. 32. Prove que a Fórmula (4) é válida com quaisquer vetores u e v num espaço com produto interno V. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se u for ortogonal a cada vetor de algum subespaço W, então u = 0. (b) Se u e v forem em ambos de W^⊥, então u = 0. (c) Se u e v forem vetores em W^⊥, então u + v é um vetor em W^⊥. (d) Se u for um vetor em W^⊥ e a um número real, então au é um vetor em W^⊥. (e) Se u e v forem ortogonais, então ||u, v|| = ||u||||v||. (f) Se u e v forem ortogonais, então ||u + v|| = ||u|| + ||v||. 1. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R^2. (a) (0, 1), (0, 2) (b) (√2/2, √2/2), (-√2/2, √2/2) (c) (-1/√2, 1/√2), (-1/√2, -1/√2) (d) (0, 0), (0, 1) 2. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R^2? 3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R^2. (a) (1/√2, 0, 1/√2), (1/√3, 1/√3, 1/√3) (b) (2/3, 3/3, -1/3), (2/3, 1/3, -1/3) (c) (-1/√2, 1/√2), (-√3/2, -1/2) 4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R^2? 5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P^2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1. (a) p1(x) = 2/3x + 1/3x^2, p2(x) = 1/3x^2 + 2/3, p3(x) = 1/3x + 1/3x^2 (b) p1(x) = 1, p2(x) = 1/√2 x^2, p3(x) = x^2 6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno de M2x2 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1. (a) [1 0] [0 0] (b) [0 1] [1 1] (c) [1 0] [0 1] [0 1] [0 0] 7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores. (a) (1, -2), (6, 3) (b) (1, 0, 2), (0, 2, 0), (0, 5, 0) (c) (1, 1, 1), (1, 0, -1) (d) (1/3, 1/3), (-1/2, 1/3, 1) 8. Verifique que o conjunto de vetores {(1, 0), (0, 0, 1)} é ortogonal com o produto interno (u, v) = 4u1v1 + w2g2 de R^n e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores. 9. Verifique que os vetores v1 = (3/2, 5/3, v2 = (4/2, 3/0, v3 = (0, 0, 1) formam uma base ortonormal de R^n com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v1, v2 e v3. (a) (1, -1, 2) (b) (3, -7, 4) (c) (-½, 1/√7, 5) 10. Verifique que os vetores v1 = (1, -1, 2, -1), v2 = (-2, 2, 3, 2), v3 = (1, 2, 0, -1), v4 = (1, 0, 1, 0) formam uma base ortonormal de R^n com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v1, v2, v3 e v4. (a) (1, 1, 1, 1) (b) (√2, √3/2, 5√2, √2) (c) (1/√2, 1/2, 1/3) 11. Mostre que os vetores v1 = (1, -2, 3, -4), v2 = (2, 1, -4, -3), v3 = (5, -3, 4, 1, -2) formam uma base ortogonal de R^n com o produto interno euclidiano. (b) Use o Teorema 6.3.2b para expressar u = (-1, 2, 3, 7) como uma combinação linear dos vetores da parte (a). ▶ Nos Exercícios 12-13, é dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o Teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w em relação a essa base. 12. (a) w = (3, 7); u1 = (1/√2, 1/√2), u2 = (1/√2, 1/√2) (possibly missing parts.) 13. (a) w = (1, 2), u1 = (3, 1), w = (1, 2, 3) (possibly missing parts.)
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5. Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano. (a) v1 = (−2, 0, v), v2 = (6, 1, 4), v3 = (2, 0, −4) (b) v1 = (6, −6, 7), v2 = (3, 2, 4), v3 = (4, −1, 2) 6. Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^2 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano. (a) v1 = (−1, 2, 3), v2 = (2, −4, −6), v3 = (−3, 6, 0) (b) v1 = (2, −1, 4), v2 = (4, 2, 3), v3 = (2, 7, 6) (c) v1 = (4, 6, 8), v2 = (2, 3, 4), v3 = (−2, 3, −4) 7. Considere que os três vetores v1 = (0, 1, −1), v2 = (6, 0, 5, 1) e v3 = (4, −7, 1, 3) formam um conjunto linearmente dependente em R^4. (a) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação linear dos outros dois. (b) Mostre que os três vetores v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 0, −1) e v3 = (1, 3, 3, 3) formam um conjunto linearmente dependente em R^4. (b) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação linear dos outros dois. 9. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R^3 com quais valores de λ? v1 = (λ, −2, −1, 1, 1/2, λ), v2 = (1, 1/2, λ), v3 = (−1, −1/2, 1, λ) 10. Mostre que {v1, v2, v3} formam um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v1}, {v2} e {v3}. 11. Mostre que se S = {v1, v2, . . . , vj} for um conjunto linearmente independente de vetores, então também ô qualquer subconjunto não vazio de S. 12. Mostre que se S = {v1, v2, v3} for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se v4 for um vetor qualquer em V que não está em S, então {v1, v2, v3, v4} também é linearmente dependente. 13. Mostre que se S = {v1, v2, . . . , vj} for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se vj+1, . . . , vn forem vetores quaisquer em V que não estão em S, então {v1, v2, . . . , vj, vj+1, . . . , vn} também é linearmente dependente. 14. Mostre que qualquer conjunto com mais de três vetores em P2 é linearmente dependente. 15. Mostre que se {v1, v2} for um conjunto linearmente independente e v3 não pertencer a ger{v1, v2}, então {v1, v2, v3} é linearmente independente. 16. Prove: dados quaisquer vetores u, v e w num espaço vetorial V , os vetores u − v, v − w e w − u formam um conjunto linearmente dependente. 17. Prove: o espaço gerado por dois vetores em R^3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem. 18. Sob quais condições é um conjunto de um único vetor linearmente independente? 19. Os vetores v1, v2 e v3 na parte (a) da figura dada são linearmente independentes? E os da parte (b)? Explique. 20. Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F(−∞, ∞) dados são linearmente independentes. (a) 3, sen^2 x, cos^2 x (b) x, cos x (c) 1, sen x, sen 2x (d) cos 2x, sen^2 x, sen^3 3πx 21. As funções f1(x) = sen x e f2(x) = cos x são linearmente inde- p edes em F(−∞, ∞) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano. 22. As funções f1(x) = sen x e f2(x) = cos x são linearmente inde- p edes em F(−∞, ∞) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano. 23. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o wronskiano para most- trar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (a) 1, x, e^x (b) 1, x, x^2 24. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f1(x) = e^x, f2(x) = xe^x e f3(x) = x^2e^x são linearmente independentes em F(−∞, ∞). 25. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f1(x) = sen x, f2(x) = cos x, f3(x) = cos x são linearmente independentes em F(−∞, ∞). 28. (a) Mostramos no Exemplo 1 que os vetores mutuamente ortogonais i, j e k formam um conjunto linearmente independente de vetores em R^3. Seria que qualquer conjunto de vetores mutuamente ortogonais em R^n forma um conjunto linearmente independente? Justifique sua conclusão geometricamente. (b) Justifique sua conclusão algebricamente. [Sugestão: use produto escalar.] Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Um conjunto que consiste num único vetor é linearmente independente. (b) Dado qualquer escalar k, o conjunto de vetores {v, k v} é linearmente dependente. (c) Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero. (d) Se o conjunto de vetores {v1, v2, v3} for linearmente inde- p edes, então, dado qualquer escalar não nulo k, o conjunto {kv1, kv2, kv3} também é linearmente inde- p edes. (e) Se v1, v2, . . . , vn forem vetores não nulos linearmente de- p edes, então pelo menos um vetor vj é uma combinação linear única de vp1, . . . , vpi. (f) O conjunto das matrizes 2 × 2 que contêm exatamente dois 1s e dois 0s é linearmente inde- p edes em M2x2. (g) Os três vetores x, x^2 − 1 e x^4 − x^2 são linearmente inde- p edes. (h) As funções f1 e f2 são linearmente de- p edes se existirem um número real x e escalares k1 e k2 tais que k1f1(x) + k2f1(x) = 0. 1. Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado. (a) u1 = (1, 2), u2 = (0, 3), u3 = (2, 7) para R^2 (b) u1 = (−1, 3, 2), u2 = (3, 1, 6, 1) para R^3 (c) P = 1 − x + x^2, P = x − 1 para P^2 (d) A = 1 1 1, B = 6 4 0, C = 3 0 1, D = 1 1 2, E = 5 7 9 para M2x2. 2. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^2? (a) {(2, 1), (3, 0)} (b) {(4, 1), (−7, −8)} (c) {(0, 0), (1, 3)} (d) {(3, 9), (−4, −12)} 3. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^3? (a) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)} (b) {(3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)} (c) {(2, −3, 1), (4, 1, 0), (7, 0, −1)} (d) {(1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5)} 4. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P2? (a) {1 − 3x + 2x^2, 1 + 7x + 4x^2, 1 − 7x} (b) {4 + 6x + x^2, −1 + 4x^2, 5 + 2x^2} (c) {1 + x + x^2, x, x} (d) −4 + 4 + 3x^2, 6 + 5x + 2x^2, 8 + 4x + x^2 5. Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M2x2. 36 61 10 82, 10 01, −82 46 43 6. Seja V o espaço gerado por v1 = cos x, v2 = sen x, v3 = cos 2x. (a) Mostre que S = {v1, v2, v3} não é uma base de V . (b) Encontre uma base de V . 7. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = {u1, u2, u3} de R^2. (a) v = (2, 1, −3); v = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3) (b) v = (5, 12, 3); v1 = (1, 0, 0), v2 = (−4, 5, 6), v3 = (7, −8, 9) 9. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = {v1, v2} de P2. (a) p = 4 − 3x + x^2; p1 = 1, p2 = x, p3 = x^2 (b) p = 2 − x + x^2; p1 = 1 + x, p2 = 1 + x^2, p3 = x + x^2 11. Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = {A1, A2, A3, A4}. A = 2010 −3100 A1 = 0101 1110 0000 A2 = 0110 0001 0000 A3 = 0100 0000 1100 A4 = 0011 1000 0010 Nos Exercícios 12–13, mostre que {A1, A2, A3, A4} é uma base de Mx2, e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base. 12. A1 = 0010, A2 = 1010, A3 = 0011, 0101 0100 1100 1110 A4 = 1110 1100 0010 0010 13. A1 = 1110, A2 = 1010, A3 = 0101, 0101 0010 0110 0110 A4 = 0010 1100 1111 0011 Nos Exercícios 14–15, mostre que {p1, p2, p3} é uma base de P2 e expresse e como uma combinação linear dos vetores da base. 14. p1 = 1 + x + x^2, p2 = x + x^2, p3 = 1 + x^2; p = 3 + 3x + x^2 15. p1 = − x + x^2, p2 = x + x^2, p3 = x; p = 7 − x + 2x^2 16. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares XY e um sistema de coordenadas x0 y0 com eixos oblíquos. Supo- pondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre as coordenadas x'y' dos pontos cujas coordenadas xy estão dadas. (a) (1, 1) (b) (1, 0) (c) (0, 1) (d) (a, b) 17. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares XY e determinado pelos vetores unitários i e j da base canônica e um sistema de coordenadas x'y' determinado pelos vetores unitá- rios i e j de uma outra base. Encontre as coordenadas x'y' dos dois pontos cujas coordenadas xy estão dadas. (a) (√3, 1) (b) (1, 0) (c) (0, 1) (d) (a, b) 18. A base de Mx2 dada no Exemplo 4 consiste em matrizes não invertíveis. Será que existe alguma base de Mx2 consistindo em matrizes invertíveis? Justifique sua resposta. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(e), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se V = ger{v1, v2, . . . , vn}, então {v1, v2, . . . , vn} é uma base de V. (b) Cada subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V é uma base de V. (c) Se {v1, v2, . . . , vn} for uma base de um espaço vetorial V , então cada vetor em V pode ser expresso como uma combinação linear de v1, v2,..., vn. (d) D o vetor de coordenadas de um vetor x em R^n em relação à base canônica de R^n é x. (e) Cada base de P4 contém pelo menos um polinômio de grau 3 ou menor. ► Nos Exercícios 1-6, encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço. 1. x1 + x2 + x3 = 0 x2 + x4 = 0 2x1 − x2 + x3 = 0 2. 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 5x1 − 2x2 + x3 − x5 = 0 3. x1 − 4x2 + 3x3 = 0 2x1 − 3x2 + 5x3 = 0 x1 − x4 = 0 4. x1 − 3x2 + x3 = 0 x1 − 6x3 = 0 2x1 − 9x3 + 2x5 = 0 5. 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + x5 = 0 x2 + x5 = 0 6. x + y + z = 0 3y − 2z = 0 4x + 3y − z = 0 6x + 5y − 3z = 0 7. Encontre bases dos seguintes subespaços de R³. (a) O plano 3x − 2y + 5z = 0. (b) O plano x − y = 0. (c) A reta x = 2t, y = −t, z = 4t. (d) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c. 8. Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R⁴. (a) Todos os vetores da forma (a, b, c, 0). (b) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), em que d = a + b e c = a − b. (c) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), em que a = b = c = d. 9. Encontre a dimensão de cada um dos seguintes espaços vetoriais. (a) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n diagonais. (b) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n simétricas. (c) O espaço vetorial de todas as matrizes n × n triangulares superiores. 10. Encontre a dimensão do subespaço de P₃ consistindo em todos os polinômios a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ com a₀ = 0. 11. (a) Mostre que o conjunto W de todos os polinômios em P₂ tais que p(1) = 0 é um subespaço de P₂. (b) Faça uma conjectura sobre a dimensão de W. (c) Confirme sua conjectura encontrando uma base de W. 12. Em cada caso, encontre um vetor da base canônica de R³ que pode ser acrescentado ao conjunto {v₁, v₂} para formar uma base de R³. (a) v₁ = (−1, 2, 3), v₂ = (1, −2, −2) (b) v₁ = (1, −1, 0), v₂ = (3, 1, −2) 13. Encontre vetores da base canônica de R⁴ que podem ser acrescentados ao conjunto {v₁, v₂} para formar uma base de R⁴ v₁ = (1, −4, 2, −3), v₂ = (3, 8, −3, 6). 14. Seja {v₁, v₂, v₃} uma base de um espaço vetorial V. Mostre que {u₁, u₂, u₃} também é uma base, sendo u₁ = v₁, u₂ = v₁ + v₂ e u₃ = v₁ + v₂ + v₃. 15. Os vetores v₁ = (1, −2, 3) e v₂ = (0, 5, −3) são linearmente independentes. Aumente {v₁, v₂} até uma base de R³. 16. Os vetores v₁ = (1, −2, 3), v₂ = (0, −1, 2, −3) são linearmente independentes. Aumente {v₁, v₂} até uma base de R⁴. 17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo n, podemos encontrar n + 1 vetores linearmente independentes em F[−∞,∞). [Sugestão: prove polinômios.] (b) Use o resultado da parte (a) para provar que F(−∞, ∞) tem dimensão infinita. (c) Prove que C(−∞, ∞) e Cᵐ(−∞, ∞) são espaços vetoriais de dimensão infinita. 18. Seja S uma base de um espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que se v₁, v₂, . . . , vₙ formarem um conjunto linearmente independente de vetores em V, então os vetores de coordenadas (v₁)ₛ, (v₂)ₛ, . . . , (vₙ)ₛ formam um conjunto linearmente independente em Rⁿ e reciprocamente. 19. Usando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v₁, v₂, . . . , vₙ gerarem V, então os vetores de coordenadas (v₁)ₛ, (v₂)ₛ, . . . , (vₙ)ₛ geram Rⁿ e reciprocamente. 20. Em cada caso, encontre uma base do subespaço de P₂ gerado pelos vetores dados. (a) 1 + x + x², −2 + 2x², −3x (b) 1 + x − 3x², 2 + x² − 6x², 3 + 3x − 9x² [Sugestão: seja S a base canônica de P₂ e trabalhem com os vetores de coordenadas em relação a S como nos Exercícios 18 e 19.] 21. Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita. 22. Enumere as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a-j), determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) O espaço vetorial nulo tem dimensão zero. (b) Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em R¹⁷. (c) Existe um conjunto de 11 vetores que gera R¹⁷. (d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em R⁴ é uma base de R⁴. (e) Cada conjunto de cinco vetores que gera R⁶ é uma base de R⁶. (f) Cada conjunto de vetores que gera R⁷ contém alguma base de R⁷. (g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em R⁶ está contido em alguma base de R⁶. (h) Existe alguma base de M₂,₂ consistindo em matrizes invertíveis. (i) Se A tiver tamanho n × n e I, A, A², . . . , Aⁿ² forem matrizes distintas, então {Iₙ, A, A², . . . , Aⁿ²} é linearmente independente. (j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de P⁴. 1. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R² e u = (1, 1), v = (3, 2), w = (0,−1) e k = 3. Calcule as expressões dadas. (a) (u, v) (b) (kv, w) (c) (u + v, w) (d) ||w|| (e) d(u, v) (f) ||u − kv|| 2. Repita o Exercício 1 com o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 2u₁v₁ + 3u₂v₂. 3. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R³ e u = (3,−2, 0), v = (4, 5, 0) w = (−1, 6) e k = −4. Verifique as expressões dadas. (a) (u, v) = (v, u) (b) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) (c) (ku, v + w) = k(u, v) + k(u, w) (d) (uav, w) = a(u, w) = (u, (av)) (e) (v, v) = 0, v = 0 4. Repita o Exercício 3 com o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 4u₁v₁ + 5u₂v₂. 5. Sejam (u, v) o produto interno euclidiano em R² gerado por [2 1] e u = (2, 1), v = (−1, 1), w = (0,−1). Calcule as expressões dadas. (a) (u, v) (b) (kv, w) (c) (u + v, w) (d) ||v|| (e) d(v, w) (f) [w] = wᵀ 6. Repita o Exercício 5 com o produto interno em R² gerado por [2] [−1 2]. 7. Em cada parte, calcule (u, v) usando o produto interno do Exercício 6. a u = [4 −2 3] v = [−1 1 3] (b) u = [4 2 6] v = [0 5 8] 8. Em cada parte, calcule (p, q) usando o produto interno do Exemplo 7. (a) p = −2 + 2x + 3x², q = 4 − 7x² (b) p = −5 + 2x + x², q = 3 + 2x − 4x² 9. Use a Fórmula (4) para mostrar que (u, v) = 9u₁v₁ + 4u₂v₂, é produto interno em R² gerado por A = [3 0] [2] (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular (u, v) com u = (−3, 2) e v = (1, 7). 10. (a) Use a Fórmula (4) para mostrar que (u, v) = 5u₁v₁ − u₁v₂ − u₂v₁ + 10 u₂v₂ é produto interno ponderado. 11. Sejam u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R². Encontre a matriz que gera esse produto interno. (a) (u, v) = 3u₁v₁ + 5u₂v₂ (b) (u, v) = 4u₁v₁ + 6u₂v₂ 12. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exemplo 7. Em cada parte, encontre ||p|| (b) p = 4 − 3x² 13. Suponha que M₂,₂ tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre ||A||. (a) A = [−2 5] [3 6] (b) A = [0 0] [0 0] 14. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exemplo 7. Encontre d(p, p) com p = 1 + 5x² 15. Suponha que M₂,₂ tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre d(A, B). (a) A = [2 6] B = [4 7] (b) A = [2 10] B = [5 6] 16. Suponha que P₂ tenha o produto interno do Exercício 9 e considere p = 1 + x + 3x² e q = 1 − 2x². Em cada parte, calcule a expressão. (a) (p, q) (b) ||p|| 18. Encontrar (p, q) com p = x + x₃ e q = 1 + x². 18. Em cada parte, use o produto interno em R² dado para calcular ||w||. com w = (−1, 3). (a) o produto interno euclidiano (b) o produto interno euclidiano ponderado (u, v) = 3u₁v₁ + 2u₂v₂ com u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). (c) o produto interno gerado pela matriz A = [−1 2] [3] 19. Use os produtos internos do Exercício 18 para encontrar d(u, v) com u = (−1, 2) e v = (2, 5) 20. Suponha que u, v e w sejam vetores tais que (u, v) = 2, (v, w) = −3, (u, w) = 5 ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 7 Em cada parte, calcule a expressão. (a) (u + v, v + w) (b) (2v − w, 3u + 2w) (c) (u − w, 2v, 4u + v) (d) ||u + v|| (e) (2w) = (f) ||u − 2v + 4w|| 21. Em cada parte, esboce o círculo unitário em R² usando o produto interno dado. (a) (u, v) = 4u₁v₁ + 16u₂v₂ (b) (u, v) = 2u₁v₁ + u₁v₂ 22. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R² no qual o círculo unitário seja a elipse mostrada na figura dada. 23. Sejam u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂). Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R² verificando a validade dos axiomas de produto interno. (a) (u, v) = 3u₁v₁ + 5u₂v₂ (b) (u, v) = 4u₁v₁ + u₂v₁ + u₁v₂ + 4u₂v₂ 24. Sejam u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃). Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R³. Se não for, liste os axiomas que não valem. (a) (u, v) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ (b) (u, v) = x²₁ + x²₂ + u²₃x²₃ (c) (u, v) = 2u₁₁ + u₂v₂ + 4u₃v₃ (d) (u, v) = u₁v₁ − u₂u₁₂ + u₄w₃ 25. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. ||u + v||² + ||u − v||² = 2||u||² + 2||v||² 26. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. (u, v) = ¼||u + v||² − ¼||u − v||² 27. Sejam U = [u₁] V = [v₁ + 5u₁, v₃] [−u₃] [u₂] v₅] [u₄] [v₅] Mostre que (U, V) = u₁v₁ + u₂v₃ + u₃v₂ + u₄v₃ não define um produto interno em M₂,₂. 28. (Requer Cálculo) Suponha que P₂ tenha o produto interno (p, q) = ∫₁₀p(x)q(x)dx (a) Encontre ||p|| com p = 1, p = x e p = x² (b) Encontre d(p, q) com p = 1 e q = x³. 28. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o produto interno ∫₁₀p(x)q(x)dx em P₂ para calcular (p, q). (a) p = 1 − x + x³ + 5x⁴, q = x³ − 3x² (b) p = x − 5x², q = 2 + 8x² 30. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o produto interno (f, g) = ∫₁[f(x)g(x)dx em C⁹₀, 1] para calcular (f, g). (a) f = cos 2πx, g = sen 2πx (b) f = x, g = e√₂t (c) f = g = ∫π₀ ∫x1 x0, g = 1 31. Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em R⁷. 32. A definição de espaço vetorial complexo foi dada na primeira nota marginal da Seção 4.1.4. A definição de um produto interno complexo num espaço vetorial complexo V é idêntica à definição 1, exceto que os escalares podem ser números complexos e o Axioma 1 é substituído por (u,v) = ¯(v, u). Os demais axiomas permanecem inalterados. Um espaço vetorial complexo com um produto interno complexo é denomiado espaço com produto interno complexo. Prove que se V for um espaço com produto interno complexo, então (u, av) = ¯(a(u, v)). Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a-g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) O produto escalar em R² é um exemplo de produto interno ponderado. (b) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. (c) (u, v + w) = (v, w) + (w, u). (d) (av, av) = a²(u, v). (e) Se (u, v), então u = 0∨v = 0. (f) Se ||v||², então v = 0. (g) Se A for uma matriz n × n, então (u, v) = ^Aú • Av define um produto interno em RN. 1. Considere R^2, R^3 e R^4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v. (a) u = (1, -3), v = (2, 4) (b) u = (-1, 0), v = (3, 8) (c) u = (1, -5, 2), v = (2, -4, -9) (d) u = (4, 1, 8), v = (1, 0, -3) (e) u = (1, 0, 1, 0), v = (-3, -3, -3, -3) (f) u = (2, 1, 7, -1), v = (4, 0, 0, 0) 2. Considere P_2 com o produto interno do Exemplo 7 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre p e q. (a) p = 1 - 5x + 2x^2, q = 2 + 4t - 9x^2 (b) p = x - x^2, q = 7 + 3x + 3x^2 3. Considere M_2x_2 com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre A e B. (a) A = [2 1] [-1 3] , B = [ 3 0] [ 1 0] (b) A = [2 4] [-3 -1], B = [ 3 0] [-1 2] (c) A = [ 3 0 ] [-1 -1], B = [2 1] [3 0] 4. Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. (a) u = (1, 1, 3, 2), v = (4, -2, -1) (b) u = (-2, -2, 2, -2), v = (1, 1, 1) (c) u = (u4, u6, u9), v = (0, 0, 0) (d) u = (4, -6, -10), v = (1, -2, -9) (e) u = (3, 3, 3, 1), v = (5, -2, 0, 8) (f) u = (a, b), v = (-b, a) 5. Mostre que p = 1 - x + 2x^2 e q = 2x + x^2 são ortogonais em relação ao produto interno do Exercício 2. 6. Seja A = [2 1] [-1 3] Em cada parte, verifique se a matriz dada é ortogonal a A em relação ao produto interno do Exercício 3. (a) [ -3 0] [ 0 2] (b) [ 1 0] [ 2 -1] (c) [ 0 0] [ 0 1] 7. Verifique se existem escalares k e l tais que os vetores u = (2, k, 6), v = (5, 3) e w = (1, 2, 3) sejam mutuamente ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. 8. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano e considere u = (1, 1, -1 e v = (6, 7, -15). Encontre um valor de a com o qual ||au + v|| = 13. 9. Suponha que R^3 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre os valores de k com os quais os vetores u e v são ortogonais. (a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k) (b) u = (k, 1), v = (k, 5, 6) 10. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u = (2, 1, -4, 0), v = (-1, -1, 2, 2) e w = (3, 2, 5, 4). 11. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano. (a) u = (3, 2), v = (4, -1) (b) u = (3, 1, 0), v = (2, -1, 3) (c) u = (1, -4, 2), v = (8, -4, -2) (d) u = (0, -2, 2, 1), v = (-1, -1, 1, 1) 12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados. (a) u = (-2, 1) e v = (1, 0) usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1. (b) U = [-1 2] e v = [01 0] usando o produto interno c = [-1 3] do Exemplo 6 da Seção 6.1. (c) p = -1 + 2x + x^2 e q = 2 - 4x^2, usando o produto interno dado no Exemplo 7 da Seção 6.1. 13. Suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano e seja u = (-1, 1, 0, 2). Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores w1 = (1, -1, 3, 0) e w2 = (4, 0, 9, 2). ▶ Nos Exercícios 14-15, suponha que R^n tenha o produto interno euclidiano. 14. Seja W a reta em R^2 de equação y = 2x. Obtenha uma equação para W^⊥. (a) Seja W o plano em R^2 de equação x - 2y - 3z = 0. Obtenha equações paramétricas de W^⊥. (b) Seja W a reta em R^2 de equações paramétricas x = 2t, y = -5t, z = 4t Obtenha uma equação de W^⊥. (c) Seja W a interseção dos dois planos x + y + z = 0 e x - y + z = 0 em R^3. Obtenha uma equação de W^⊥. 16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R^n gerado pelos vetores dados. (a) v1 = (1, -1, 3), v2 = (5, -4, -4), v3 = (7, -6, 2) (b) v1 = (2, 0, -1), v2 = (4, 0, -2) (c) v1 = (1, 4, 5, 2), v2 = (2, 1, 3, 0), v3 = (-1, 3, 2, -2) (d) v1 = (1, 4, 5, 6, 9), v2 = (3, -2, 1, 4, -3), v3 = (-1, 0, -1, -2, -1), v4 = (2, 3, 5, 7, 8) 17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V, então ||u - v|| = √2. 18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u e v, então w é ortogonal a ku1 + lku2, qualquer que sejam os escalares k, l. Interprete esse resultado geometricamente no caso em que V for R^n com o produto interno euclidiano. 19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u1, u2, ..., un, então w é ortogonal a cada vetor em ger{u1, u2, ..., un}. 20. Seja {v1, v2, ..., vn} uma base de um espaço com produto interno V. Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base. 21. Seja {w1, w2, ..., wn} uma base de algum subespaço W de um espaço com produto interno. Mostre que o vetor V que são ortogonais a cada um dos vetores da base. 22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v1, v2, ..., vn forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V, então ||v1 + v2 + ... + vn||^2 = ||v1||^2 + ||v2||^2 + ... + ||vn||^2 23. Prove: se u e v forem matrizes n × 1 de uma matriz n × n, então (v^T Au)^2 ≤ (u^TAu)(v^TAv) 24. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que, dados quaisquer valores reais de a, b e c, vale (acosθ + bsenθ)^2 ≤ a^2 + b^2 25. Prove: se w0, w1, w2, ..., wn forem números reais positivos e se u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) forem dois vetores quaisquer em R^n, então |w0u1u2 + w1u2u1 + ... + wnumun| ≤ (w0u1^2 + w1u2^2 + ... + wnu^2n)^{1/2}(w0v1^2 + w1v2^2 + ... + wnv^2n)^{1/2} 26. Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e somente se, u e v são linearmente independentes. 27. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. [Sugestão: expresse os vetores AB̄ e BC̄ da figura dada em termos de u e v.] 28. Os vetores u = (1, √3) e v = (-1, -√3) indicados na figura dada têm norma 2 e ângulo de 60º entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em relação ao qual u e v sejam vetores unitários ortogonais. 29. (Requer Cálculo) Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em [0, 1]. Prove: (a) ∫[0,1] (f(x)g(x) dx)^2 ≤ ∫[0,1] f^2(x) dx ∫[0,1] g^2(x) dx (b) ∫[0,1] f(x)g(x) dx ≤ [∫[0,1] f^2(x) dx]^{1/2} [∫[0,1] g^2(x) dx]^{1/2} [Sugestão: use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.] 30. (Requer Cálculo) Suponha que C[0, π] tenha o produto interno euclidiano definido como (f, g) = ∫[0,π] f(x)g(x) dx e seja f1 = cos nx (n = 0, 1, 2, ...). Mostre que se k ≠ l, então f1 e f2 são vetores ortogonais. 31. (a) Seja W a reta y = x num sistema de coordenadas xy de R^2. Descreva o subespaço W^⊥. (b) Seja W o eixo y num sistema de coordenadas xyz de R^3. Descreva o subespaço W^⊥. (c) Seja W o plano yz num sistema de coordenadas xyz de R^3. Descreva o subespaço W^⊥. 32. Prove que a Fórmula (4) é válida com quaisquer vetores u e v num espaço com produto interno V. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se u for ortogonal a cada vetor de algum subespaço W, então u = 0. (b) Se u e v forem em ambos de W^⊥, então u = 0. (c) Se u e v forem vetores em W^⊥, então u + v é um vetor em W^⊥. (d) Se u for um vetor em W^⊥ e a um número real, então au é um vetor em W^⊥. (e) Se u e v forem ortogonais, então ||u, v|| = ||u||||v||. (f) Se u e v forem ortogonais, então ||u + v|| = ||u|| + ||v||. 1. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R^2. (a) (0, 1), (0, 2) (b) (√2/2, √2/2), (-√2/2, √2/2) (c) (-1/√2, 1/√2), (-1/√2, -1/√2) (d) (0, 0), (0, 1) 2. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R^2? 3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R^2. (a) (1/√2, 0, 1/√2), (1/√3, 1/√3, 1/√3) (b) (2/3, 3/3, -1/3), (2/3, 1/3, -1/3) (c) (-1/√2, 1/√2), (-√3/2, -1/2) 4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R^2? 5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P^2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1. (a) p1(x) = 2/3x + 1/3x^2, p2(x) = 1/3x^2 + 2/3, p3(x) = 1/3x + 1/3x^2 (b) p1(x) = 1, p2(x) = 1/√2 x^2, p3(x) = x^2 6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno de M2x2 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1. (a) [1 0] [0 0] (b) [0 1] [1 1] (c) [1 0] [0 1] [0 1] [0 0] 7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores. (a) (1, -2), (6, 3) (b) (1, 0, 2), (0, 2, 0), (0, 5, 0) (c) (1, 1, 1), (1, 0, -1) (d) (1/3, 1/3), (-1/2, 1/3, 1) 8. Verifique que o conjunto de vetores {(1, 0), (0, 0, 1)} é ortogonal com o produto interno (u, v) = 4u1v1 + w2g2 de R^n e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores. 9. Verifique que os vetores v1 = (3/2, 5/3, v2 = (4/2, 3/0, v3 = (0, 0, 1) formam uma base ortonormal de R^n com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v1, v2 e v3. (a) (1, -1, 2) (b) (3, -7, 4) (c) (-½, 1/√7, 5) 10. Verifique que os vetores v1 = (1, -1, 2, -1), v2 = (-2, 2, 3, 2), v3 = (1, 2, 0, -1), v4 = (1, 0, 1, 0) formam uma base ortonormal de R^n com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v1, v2, v3 e v4. (a) (1, 1, 1, 1) (b) (√2, √3/2, 5√2, √2) (c) (1/√2, 1/2, 1/3) 11. Mostre que os vetores v1 = (1, -2, 3, -4), v2 = (2, 1, -4, -3), v3 = (5, -3, 4, 1, -2) formam uma base ortogonal de R^n com o produto interno euclidiano. (b) Use o Teorema 6.3.2b para expressar u = (-1, 2, 3, 7) como uma combinação linear dos vetores da parte (a). ▶ Nos Exercícios 12-13, é dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o Teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w em relação a essa base. 12. (a) w = (3, 7); u1 = (1/√2, 1/√2), u2 = (1/√2, 1/√2) (possibly missing parts.) 13. (a) w = (1, 2), u1 = (3, 1), w = (1, 2, 3) (possibly missing parts.)